沪教版(上海)高三一轮综合复习之 三角函数 习题

沪教版（上海）高三一轮综合复习之 三角函数 习题三角函数一、填空、选择题 1、（宝山区2020届高三上期末（一模））提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A. 当0a >，0b >时，辅助角arctan baϕ= B. 当0a >，0b <时，辅助角arctan b a ϕπ=+C. 当0a <，0b >时，辅助角arctanb a ϕπ=+ D. 当0a <，0b <时，辅助角arctan baϕπ=-2、（（奉贤区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，若60A =︒，2AB =，AC =ABC 的面积是3、（虹口区2020届高三上期末（一模））已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0,]2π上为增函数，则θ的一个值可以是（ ）A. 6πB. 3π C. 23π D. 23π-4、（黄浦区2020届高三上期末（一模））设θ为第二象限的角，3sin 5θ=，则tan2θ的值为 ． 5、（静安区2020届高三上期末（一模））某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21︒方向，且塔顶的仰角为18︒，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39︒方向，则该塔的高度约为( ) A ．265米B ．279米C ．292米D ．306米6、（闵行区2020届高三上期末（一模））设函数()sin()6f x A x πω=-（0ω>，0A >），[0,2]x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：① 若0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个； ② ()f x 在8[0,]19π上单调递增；③ 存在ω和1x ，使得11()()()2f x f x f x π≤≤+对任意 [0,2]x π∈恒成立；④“1A ≥”是“方程1()2f x =-在[0,2]π内恰有五个解”的必要条件；所有正确结论的编号是7、（浦东新区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为 8、（青浦区2020届高三上期末（一模））已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是34(,)55-，则sin2α=9、（松江区2020届高三上期末（一模））若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+= 10、（徐汇区2020届高三上期末（一模））已知函数()arcsin(21)f x x =+，则1()6f π-=11、（杨浦区2020届高三上期末（一模））要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x=的图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位12、（长宁嘉定金山区2020届高三上期末（一模））已知点()2,y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=_______.13、（长宁嘉定金山区2020届高三上期末（一模））某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：0.5sin() 3.24(06)y x πωπω=++>.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）.A ．16时B ．17时C ．18时D ．19时 14、（崇明区2020届高三上期末（一模））若不等式（|x ﹣a |﹣b ）sin （πx +6π）≤0对x ∈[﹣1，1]恒成立，则a +b 的值等于（ ） A ．23B ．56C ．1D ．2参考答案：1、B2、33、D4、－2475、【解答】如图，ABC ∆中，1000AB =，213960ACB ∠=︒+︒=︒，903951ABC ∠=︒-︒=︒； 由正弦定理得，1000sin 51sin 60AC =︒︒，所以1000sin 51sin 60AC ︒=︒；Rt ACD ∆中，18CAD ∠=︒， 所以1000sin 5110000.7771tan18tan180.3249292sin 600.8660CD AC ︒⨯=︒=⨯︒=⨯≈︒（米)；所以该塔的高度约为292米．故选：C ．6、①③④7、338、2425-9、45- 10、14- 11、A 12、22313、D 14、B二、解答题1、（宝山区2020届高三上期末（一模））已知函数()sin cos()3sin cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.2、（（奉贤区2020届高三上期末（一模））函数()sin(tan )f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π； （3）(1.50,1.57)ω∈，当函数()f x 的图像与11()()2g x x x=+的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.3、（虹口区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求： （1）角B ； （2）BC 边上的高.4、（黄浦区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，,,a b c 分别是角A , B , C 的对边，且cos (2)cos a C b c A =-．（1）若3AB AC ⋅=，求△ABC 的面积；（2）若B C ∠<∠，求222cos cos B C +的取值范围．5、（浦东新区2020届高三上期末（一模））已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.6、（普陀区2020届高三上期末（一模））某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60AOB ∠︒，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.7、（松江区2020届高三上期末（一模））已知函数2()3cos 2sin f x x x x =-. （1）求()f x 的最大值；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f A =，b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长.8、（崇明区2020届高三上期末（一模））知函数 f （x 3x ﹣cos 2x ﹣12，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c 3f （C ）＝0．若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．参考答案：1、2、解：（1）由2x k πωπ≠+得212k x πω+≠，k Z ∈所以函数()()wx x f tan sin =的定义域为21{|,}2k x x k Z πω+≠∈ ----------2分k Z ∈不写扣1分所以定义域关于原点对称 -----------1分()[]()()sin tan ()sin tan sin tan ()f x w x wx wx f x -=-=-=-=- -----------1分 所以函数()()wx x f tan sin =是21{|,}2k x x k Z πω+≠∈上的奇函数. ----------1分（2）1=w ，()()sin tan f x x =函数()f x 是周期函数，且π是它的一个周期.因为()()()sin tan sin tan ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦ ----------2分（必须要验证） 所以函数()f x 是周期函数，且π是它的一个周期. 假设0T 是函数()()sin tan f x x =的最小正周期，且00T π<<那么对任意实数x ，都有()()()00sin tan sin tan ()f x T x T x f x +=+==⎡⎤⎣⎦成立 取0x =，则()0sin tan 0T =，所以0tan T k π=，k Z ∈（*）取0x T =，则()()00sin tan 2sin tan T T =所以()00202tan sin sin tan 1tan T T T ⎛⎫=⎪-⎝⎭ 把（*）式代入上式，得222sin 01k k ππ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以2221k n k πππ=-,,k n Z ∈ 得2221kn k π=-,,k n Z ∈0k ≠时，上式左边为无理数，右边为有理数 所以只能0k =但由00T π<<，0tan T k π=，k Z ∈知0k ≠所以假设错误，故π是()f x 的最小正周期. -----------3分（3）因为0x >，111()122x x +≥⨯=且()()sin tan 1f x wx =≤由()()11sin tan ()()2f x wx g x x x===+成立，当且仅当1x =成立 -----------2分 ()sin tan 1w =，得tan 22k πωπ=+所以arctan(2)2k n πωππ=++，,k n Z ∈因为(1.50,1.57)ω∈，所以只能0n = 得arctan(2)2k πωπ=+，k Z ∈ -----------1分 得arctan(2)2k πωπ=+是k 的递增函数当0k <时，3arctan(2)arctan()022k ππωπ=+<-<，不符合当0k =时，arctan1.00(1.50,1.57)2πω=≈∉当1k =时，5arctan 1.44(1.50,1.57)2πω=≈∉当2k =时，9arctan 1.5001(1.50,1.57)2πω=≈∈当3k =时，13arctan 1.52(1.50,1.57)2πω=≈∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅当199k =时，()57.150.15699.12797arctan ，∈≈=πω当200k =时，()57.150.1570001546.12801arctan ，∉≈=πω当()57.150.1570001546.1,200，时∉>>ωk 无解 故满足条件的ω的个数有198个. -----------3分3、4、5、【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………………………3分 ,,,36T x k k k Zπππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………6分（2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f…………………………10分 612BC BA ac ⋅=⇒=……………………………………………12分 ∴1sin 332ABC S ac B ==△………………………………………14分 6、（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=,60OPN θ∠=-, 则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN θθ==-， 即403)ON θ=-，3PN θ，……………………………4分 则停车场面积sin 24003sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-， 即3sin(60)S θθ=-，其中060θ<<.………………………6分（2）由（1）得3124003sin(60)24003(sin )2S θθθθθ=-=-，即23600sin cos 12003sin =1800sin 26003cos 26003S θθθθθ=-+-，……………………4分则12003sin(230)6003S θ=+-. ……………………6分 因为060θ<<，所以30230150θ<+<，则23090θ+=时，max 120031600360031039.2S =⨯-=≈平方米. 故当30θ=时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……………………………8分 说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分. 7、8、。