陕西省西安交大阳光中学高中数学 1.1.2 类比推理学案 新人教版选修2-2
陕西省西安交大阳光中学高中数学 1.2.2 分析法学案 新
2-2
1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 目标
2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
重点 难点
分析法的概念及思考过程和特征
利用分析法解答问题. 探究任务一：分析法
问题： 如何证明基本不等式 a b ab (a 0,b 0) .（小组分析讨论） 2
达
标
与 f (x) 的图像关于 y 轴对称. 解答本题时可先分析 f (x 1 ) 为偶数的条件，
训
2
练
再利用已知，推出满足条件或寻找结论成立的条件.
作业
※知识拓展 证明过程中分析法和综合法的区别: 在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结
果,因此语气必须是肯定的.
分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已 知条件.
反思
-2-
二次备课
探究任务二：通过阅读教材 P9~P10 的例 4、例 5 和例 6，找出疑惑之处.（小组 讨论）
自
主
新知：在教材中找出“分析法”的定义，并画出关键词。
学
习
小结：分析法的推理过程，
Q P1 P1 P2 P2 P3 得到一个明显成立的条件
要点：逆推证法；执果索因
【试试】下列叙述正确的是（ ） A．综合法、分析法都是直接证明方法. B．综合法是直接证明方法，分析法是间接证明. C．综合法、分析法所用的语气都是肯定的. D．综合法、分析法所用的语气都是假定的. 问题生成记录：
例 1 求证 3 5 2 6
【思路点拨】证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析
人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《《推理与证明》全章复习与巩固(提高)(理)
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人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《推理与证明》全章复习与巩固【学习目标】1. 了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理；2. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；3. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；4. 了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点；5. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【知识网络】【要点梳理】要点一：有关推理概念归纳推理：又称归纳法，是从特殊到一般、部分到整体的推理．根据归纳对象是否完备，分为完全归纳法和不完全归纳法．完全归纳法是根据某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况作出的关于该类事物的一般性结论的推理；不完全归纳法是根据某类事物中的一部分对象具有某种特征而作出该类事物都具有这一特征的一般性结论的推理．由于仅列举了归纳对象中的一小部分，因此得出的结论与前提未必有必然的联系，故其结论未必正确，必须经过理论的证明和实践的检验．类比推理：又称类比法，是由特殊到特殊的推理．这是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的“开拓型”“发散型”思维方式．和归纳推理一样，能由已知推测未知，推理的结论也不一定为真，有待进一步证明，通常情况下，类比的相似性越多，类比得出的结论就越可靠．演绎推理：又称演绎法．是从一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式．演绎推理的结论完全蕴涵于前提之中．它是“封闭型”的思维方法，只要前提真实，逻辑形式正确，则结论必然真实，但由它一般不能取得突破性进展．故合情推理与演绎推理各有侧重，相辅相成．合情推理有助于发现新事物、新结论、新规律，演绎推理保证结论的可靠性，去伪存真．要点诠释：演绎推理更注重推理的形式规则，常见的有假言推理、关系推理、三段论推理．三段论推理：其一般形式为：大前提：所有M 都是P ；小前提：S 是M ；结论：S 是P ．要点二：有关证明方法综合法综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法，是数学推理证明中的主要方法．即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待征结论或需求问题．如果要证明的命题是p q ⇒，那么证明步骤用符号表示为p (已知)123p p p ⇒⇒⇒⇒…q ⇒．分析法分析法就是从待征结论出发，一步一步探索下去，寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．用分析法证明的逻辑关系：q (结论)n p ⇐⇐…321p p p p ⇐⇐⇐⇐(已知)． 间接证法间接证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，间接达到目的．反证法就是间接证法的一种．反证法证题步骤为：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾．(3)由矛盾判断假设不成立．从而肯定命题的结论成立．反证法导出矛盾常见的有以下几种情况：①导出非p 为真，即与原命题的条件矛盾．②导出q 为真，即与假设“非q 为真”矛盾．③导出一个与定义、公理、定理等矛盾的命题．数学归纳法数学归纳法是证明一个与正整数n 有关的命题时，常采用的一种方法，它是一种完全归纳法，其步骤为：第一步：证明n 取第一个值0n 时命题成立．第二步：假设n ＝k(k ≥0n ，k ∈N +)时命题成立，证明n ＝k+1时命题成立．第三步：下结论，命题对从0n 开始的所有自然数n 都成立．要点诠释：（1）用数学归纳法证明与自然数n 有关的命题时，如果证明恒等式或不等式应特别注意项及项数的变化规律；证明几何命题时，要特别注意从n ＝k 到n ＝k+1的几何图形中几何元素的变化规律；证明整除性命题时，要特别注意凑配项的变形技巧；证明与奇、偶数有关的命题要注意过渡时的特点，如一个命题对所有奇数n 成立，应假设n ＝2k -1时命题成立，推证n ＝2k+1时命题成立或假设n ＝k (k 为奇数)时命题成立，推证n ＝k+2时命题成立．（2）“归纳一猜想—证明”的论题，要特别关注项的构成规律，作出合理的猜想后再证明．【典型例题】类型一：合情推理与演绎推理例1. 若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则有数列n b =n ∈N +)也为等比数列，类比上述性质，相应地：若数列{}n c 是等差数列，则有n d =________也是等差数列． 【思路点拨】类比猜想可得12n n c c c d n+++=…也成等差数列. 【解析】若设等差数列{}n c 的公差为x ， 则12n n c c c d n +++=…1(1)2n n nc x n -+=1(1)2x c n =+-． 可见{}n d 是一个以1c 为首项，2x 为公差的等差数列，故猜想是正确的． 【总结升华】类比猜想是以两个对象之间某已知的相同或相似之处为根据，从而推出对象之间未知的相似之点的推理方法，这个根据是不充分的，因而类比推理的结论有时正确，有时不正确，其结论都需要证明．举一反三：【变式1】在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE AC EB CB=，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．【答案】ACD BCDS AE EB S ∆∆= 【变式2】观察2()2x x '=，43()4x x '=，(cos )sin x x '=-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记g (x )为()f x 的导函数，则g (-x )＝( )A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】 D【解析】 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当()f x 是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (-x )＝-g (x )．例2. 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈N +．(1)证明数列{}n a n -是等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ；(3)证明不等式1n S +≤4n S ，对任意n ∈N +皆成立．【解析】 (1)由题设1431n n a a n +=-+得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈N +．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． (3)对任意的n ∈N +，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎡⎤-++-+-=+-+⎢⎥⎣⎦21(34)2n n =-+-≤0． 所以不等式1n S +≤4n S ，对任意n ∈N +皆成立．【总结升华】本题属于递推数列问题，是高考考查的热点．解题的关键是转化为等差、等比数列． 举一反三：【变式1】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是 ( )A ．南B ．北C ．西D ．下【答案】 B【解析】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．【变式2】（2016 广州一模）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）A.201520172⨯B. 201420172⨯C.201520162⨯D. 201420162⨯【答案】由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，···，第2015行公差为20142 ， 故第1行的第一个数为：122-⨯ ，第2行的第一个数为：032⨯ ，第3行的第一个数为：142⨯，…第n 行的第一个数为：2(1)2n n -+⨯， 第2016行只有M ，则20142014(12016)220172M =+⋅=⨯类型二：直接证明与间接证明例3. 设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10．求证：log log 4lg a b c c c +≥．【解析】证法一(综合法)：因为ab ＝10， 所以lg lg log log 4lg 4lg lg lg a b c c c c c c a b+-=+- 11lg lg 4lg lg lg 4lg lg lg lg lg a b a b c c a b a b ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭14lg lg lg lg lg a b c a b-= 2(lg lg )4lg lg lg lg lg a b a b c a b+-= 2(lg lg )lg lg lg a b c a b-=． 又因为a ，b ，c 均为大于1的正数，所以lg a ，lg b ，lg c 均大于0，故2(lg lg )lg 0lg lg a b c a b-≥．即log log 4lg a b c c c +≥．证法二(分析法)：由于1a >，b ＞1．故要证明log log 4lg a b c c c +≥ 只要证明lg lg 0lg lg c c a b+≥，即log log 4lg a b c c c +≥． 又1c >，所以只要证明114lg lg a b +≥，即lg lg 4lg lg c b a b +≥． 因为10ab =，所以lg lg 1a b +=， 故只要证明14lg lg a b ≥． ①由于a ＞1，b ＞1，所以lg 0a >，lg b ＞0． 所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，即14lg lg a b ≥． 当且仅当lg lg a b =时等号成立，即①式成立，所以原不等式成立．举一反三：【变式】设a ，b ∈R 且a ≠b ，a+b ＝2，则必有（ ) A ．1≤ab ≤222a b + B ．2212a b ab +<< C ．2212a b ab +<< D ．2212a b +< 【答案】B【解析】∵ a+b ＝2．∴ b ＝2-a ，2224a b ab ++=，∴ 22(2)2(21)1ab a a a a a a =-=-=--++ 2(1)11a =--+≤． ∵ a ≠b ≠1．∴ ab ＜1．∵ 222222()0222a b a a b b a b ab +-+--==>， ∴ 2212a b +>．∵ 22222122a b a b ++--=422102ab ab --==->， ∴ 2212a b +>， 综上可得2212a b ab +>>． 例4. 设函数()f x 对定义域内任意实数都有()0f x ≠，且()()()f x y f x f y +=成立． 求证：对定义域内任意x ，都有()0f x >．【思路点拨】直接证明有些困难，考虑用反证法.【解析】假设满足题设条件的任意x ，()0f x >不成立，即存在某个0x ，有0()f x ≤0． ∵ ()0f x ≠，∴ 0()0f x <． 又知2000000()022222x x x x x f x f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 这与假设0()0f x <矛盾，假设不成立．故对任意的x 都有()0f x >．【总结升华】此题证明过程中，“对任意x ，都有()0f x >”的否命题是：“存在x 0，使0()f x ≤0”，而不是“对所有的x ，都有()f x ≤0”，因此在应用反证法时正确写出结论的否定形式是很重要的． 举一反三：【变式】函数41()2x x f x +=的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】 D【解析】 对于选项A ，点512⎛⎫⎪⎝⎭，在()f x 上， 但点512⎛⎫-- ⎪⎝⎭，不在()f x 上；对于选项B ，点(0，2)在()f x 上，但点(2，0)不在，(z )上；对于选项C ，函数的图象不能关于x 轴对称；对于选项D ，∵ 4114()()22x x x x f x f x --++-===． ∴ 函数的图象关于y 轴对称．类型三：数学归纳法例5. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋅> 【解析】(1)由题意：S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，21a b a =，即(1)b b b b r-=+，解得r ＝－1. (2)当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为214121242n n+++⋅⋅⋅>①当n ＝1时，左式＝32. 左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即214121242k k +++⋅⋅⋅>， 则当n ＝k ＋1时，21412123232422(1)2(1)k k k k k k +++++⋅⋅⋅⋅>=++， 要证当n ＝k ＋1时结论成立，>，即证232k+>由均值不等式23(1)(2)22k k k++++=>>所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式1212111nnbb bb b b+++⋅⋅⋅>【总结升华】本题属中等难度题，求解关键是要掌握数学归纳法．举一反三：【变式1】已知*111()()1231f n n Nn n n=+++∈++-，则f(k＋1)＝f(k)＋______________________. 【答案】1111331321k k k k++-+++【变式2】试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，由n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 又因：2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0， 即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立． 根据(1)和(2)，原不等式对于任何n ∈N *都成立．【变式3】（2016 南通一模）已知函数f 0（x ）=x （sin x+cos x ），设f n （x ）是f n+1（x ）的导数，n ∈N*。
高中数学选修2-2全套教案(下)
18=11+7, 20=13+7, ,, , 50=13+37, ,, , 100=3+97 ，猜测：任一偶数
（除去 2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和
. 1742 年写信提出，
欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想
. 1973 年，
我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素
1 颗珠宝， 第二件首饰是由 6 颗珠宝 ( 图中圆圈
表示珠宝 ) 构成如图 1 所示的正六边形， 第三件首饰如图 2， 第四件首饰如图 3， 第五件首饰如图 4， 以 后 每
件 首 饰 都 在 前 一 件 上 ，按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 ，使 它 构 成 更 大 的 正 六 变 形 ，依 此 推 断 第 6
n 个图中有
个小正方形 .
2） -1 ． 3 ． -7 ． 15 ． ( ) ， 63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ）
A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3) 设平面内有 n 条直线（ n ≥ 3 ），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示
n 条直
线交点的个数，则 f （ 4 ） =( ) A.3 B.4 C.5 D.6
1、 知 识 与 技 能 ：
（ 1）结合数学实例，了解归纳推理的含义
（ 2）能利用归纳方法进行简单的推理，
2、 过 程 与 方 法 ：
通 过课例 ，加深 对归纳这种 思想方 法的认 识。
3、 情 感 态 度 与 价 值 观 ：
体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。
【 教 学 重 点 】：
（ 1） 体 会 并 实 践 归 纳 推 理 的 探 索 过 程
高中数学人教版选修2-2全套教案设计
第一章导数及其应用§1.1。
1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线；三、求已知函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。
从数学角度，如何描述这种现象呢?⏹气球的体积V（单位：L)与半径r(单位:dm）之间的函数关系是⏹如果将半径r表示为体积V的函数，那么⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为⑵当V从1增加到2时，气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）= —4。
9t2+6。
5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题:⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:如图是函数h（t)= —4.9t2+6。
高中数学选修2-2全套教案(下)
但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是（
）.
A． 1643 B ． 1679 C ． 1681 D ． 1697
2) 考察下列一组不等式：
23 53 22 5 2 52 ,
24 54 23 5 2 53 ,
24 54 23 5 2 53 ,
25 55 23 52 22 53 ,
① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象
都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归
纳推理 . 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
.
② 归纳练习： (i) 由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
(ii) 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和
1、已知 f (1) 0, af (n ) bf (n 1) 1, n 2, a 0,b 0 ，推测 f ( n) 的表达式 .
2、三角形的内角和是 1800 , 凸四边形的内角和是 3600, 凸五边形的内角和是
5400 , ,,
由这些结论猜想凸 n 边形的内角和公式。
解析：凸 n 边形的内角和公式是 (n-2) × 1800.
所包容的范围 .
2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象
, 因而结
论具有猜测性 .
3）归纳的前提是特殊的情况 , 因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础
之上 .
注：归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上
. 提出带有
规律性的结论
2．归纳推理的一般步骤：
1) 对已有的资料进行观察、分析、归纳、整理； 2) 猜想
3) 检验
人教课标版高中数学选修1-2《类比推理》教案-新版
2.1.1类比推理一、教学目标1.核心素养通过对类比推理的学习，使学生能够进行简单的类比推理，培养学生的逻辑思维能力.2.学习目标(1)2.1.1.1了解类比推理的含义；(2)2.1.1.2能利用类比进行简单的推理.3.学习重点了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理.4.学习难点类比推理本质的理解，以及如何进行类比推理.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1阅读教材P22—P29思考：什么是推理？什么是合情推理？任务2什么是类比推理？类比推理有何特点？类比推理有什么作用？2.预习自测1.下列说法中正确的是（）A.合情推理就是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程答案：D2.下列推理正确的是（）A.把a(b＋c)与lg(x＋y)类比，则lg(x＋y)＝lg x＋lg yB.把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sin x＋sin yC.把a(b＋c)与a x＋y类比，则a x＋y＝a x＋a yD.把a(b＋c)与a(b＋c)类比，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c答案：D 由向量的运算性质知，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 正确.答案为D 3.立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是（ ） A.三棱柱 B.三棱台 C.三棱锥 D.正方体 答案：C4.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（ ）①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等. A.① B.③ C.①② D.①②③ 答案：D （二）课堂设计问题探究一 类比推理引例1.仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的.2.有个人的母亲，笃信佛，一天到晚念“南无阿弥陀佛”.于是有一天，这个人一早起来便喊：“妈！”母亲答应了他.过一会他又喊：“妈！”母亲又答应了他.可这个人还是没完没了地喊.现代起重机的挂钩起源于许多动物的爪子母亲终于被喊烦了，便没好气地说：“不在！不在！你烦不烦？”这个人笑着说：“我才喊了您几声，您就不高兴了.那阿弥陀佛每天不知被您喊多少遍，不知他该怎样发脾气呢！”提问：这还是归纳推理吗？（类比推理.让学生对照归纳推理的特点作出判断）.3.火星存在生命吗？这是一个凭空的推断还是科学猜想？地球火星行星、围绕太阳运行、绕轴自转行星、围绕太阳运行、绕轴自转有大气层有大气层在一年中有季节的变更在一年中有季节的变更温度适合生物的生存大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存有生命存在猜想：可能有生命存在提问：你能说说这些问题中用到的推理方法的含义吗？问题探究二类比推理的含义●活动一什么是类比推理？由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）.●活动二类比推理的特点1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠，单它却有发现的功能.●活动三如何进行类比推理？一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验这个猜想.（结论未必正确）问题探究三重点难点突破（1）常见类型：①由等差数列的某些性质类比到等比数列的某些性质；②由平面图形的某些性质类比到空间立体图形的某些性质；解决时要从数目、位置关系、度量等方面入手.(2)常用类比对象：线→线、面，面→面、体，三角形→四面体，圆→球，边长→边长、面积，面积→体积，线线角→面面角等.●活动一 由平面图形的某些性质类比到空间立体图形的某些性质例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.【知识点：类比推理，猜想与证明】 猜想：2222ABC OAB AOC OBC S S S S =++点拔：由三角形向四体的类比，可以实现由平面向空间的类比，线向面的类比，发现新结论.在直角三角形中有勾股定理，在空间中有没有类似的结论呢？例2.在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：222111AD AB AC=+. 在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 【知识点：类比推理，猜想与证明】详解：如图右所示，在Rt △ABC 中，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，ＡＢＣabc c 2=a 2+b 2∴2222211BC BC AD BD DC BC BD DC BC AB AC ===⋅⋅⋅⋅⋅. 又∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴2222222111AB AC AD AB AC AB AC+==+⋅. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD 于E ，则22221111AE AB AC AD=++.如上图，连接BE 交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面AC D. ∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴222111AE AB AF=+. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴222111AF AC AD =+. ∴22221111AE AB AC AD=++. ●活动二 由平面图形中的圆某些性质类比到空间立体图形球的某些性质 例3.找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.完成下表中的空白.圆球(1)圆心与弦(非直径)中点的直线垂直于弦 (1)______________________________ (2)与圆心距离相等的弦长相等 (2)______________________________ (3)圆的周长C d π=(3)______________________________(4)圆的面积2S r π=(4)______________________________【知识点：类比推理，猜想与证明】详解： (1)球心与截面圆(不过球心的小截面圆)圆心的连线垂直于截面 (2)与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等 (3)球的表面积24S r π= (4)球的体积343V r π=点拔：球与圆有许多类似之处，从概念上讲，都是动点到定点的距离相等，都有直径和半径，从平面向空间实现类比，将点与线、线与面、面积向体积等进行类比.●活动三 平面曲线中的图形之间类比例4.在圆222x y r +=中，AB 为直径，C 为圆上异于AB 的任意一点，则有1AC BC K K =-g ，你能用类比的方法得出椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中有什么样的结论.【知识点：类比推理，猜想与证明】详解：设00(,)A x y 为椭圆上的任意一点，则A 点关于中心的对称点B 的坐标为00(,)x y --，点(,)P x y 为椭圆上异于A 、B 两点的任意一点，则2200022000AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-. 由于A ，B ，P 三点都在椭圆上.所以222222002211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减有222200220x x y y a b --+=， 所以22202220y y b x x a-=--，即22AP BP b k k a ⋅=-.故椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中过中心的一条弦的两个端点A ，B ，P 为椭圆上异于A ，B的任意一点，则有22AP BPb k k a⋅=-.点拔：圆与椭圆的类比不光是斜率的问题，还有面积的类比，如圆的面积公是2S r π=，椭圆的面积公式是S ab π=，其中r 是圆的半径，a 、b 分别是椭圆的半长轴、半短轴的长. 3.课堂总结【知识梳理】（1）由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.（2）类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；③检验猜想.即【难点突破】（1）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.（2）类比推理的特点①类比是从特殊到特殊的推理，是根据两类不同对象已具有的某些相似性质，而联想到它们在其他方面可能也有相似的性质，从而由一类对象的已知的某项性质，猜测出另一类对象也可能有此项相应的性质而得到一个明确的结论，类比结论有明显的猜想和创新的特性.所得的结论超越了前提所包容的范围；②类比所得的结论超越了前提所包容的范围，结论不一定真.③类比的前提是两类对象之间有可比性，所谓可比性是指：它们之间有可以清楚定义的某些共同特征.而且两类对象之间的相似性质越多，类比所得的性质的可靠性越大；（3）类比推理的结论未必真，欲知真假需证明.4.随堂检测1.三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为（）A.V＝13abcB.V＝1 3ShC.V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)·r（S1，S2，S3，S4分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）观察、比较联想、类推猜想新结论D.V ＝13(ab ＋bc ＋ac )·h (h 为四面体的高) 【知识点：类比推理】 解：C平面几何与立体几何的类比，类比的知识点有：面积与体积，边长与面积，圆与球.因此，应选C ，答案为C2.在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为（ ） A.x a ＋y b ＋z c ＝1 B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D.ax ＋by ＋cz ＝1【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】 解：A3.圆的面积S ＝πr 2，周长c ＝2πr ，两者满足c ＝S ′(r )，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________.【知识点：类比推理】解：V 球＝43πR 3，S 球＝4πR 2，满足S ＝V ′(R )圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得，球的体积V ＝43πR 3，表面积S ＝4πR 2，满足S ＝V ′(R ).答案为V 球＝43πR 3，S 球＝4πR 2，满足S ＝V ′(R ).4.等差数列{a n }中，有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是________. 【知识点：类比推理】解：b 2n ＝b n －1·b n ＋1(n ≥2，且n ∈N *) 5.坐标平面上P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.类比以上结论，若△ABC 中，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 重心G 的坐标为________. 【知识点：类比推理】解：123123,33x x x y y y ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭（三）课后作业 基础型 自主突破1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A.① B.①② C.①②③ D.③ 答案：C解析：【知识点：类比推理】对于①：正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；①正确；对于②：∵正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等，∴相邻两个面所成的二面角都相等，②正确；对于③：∵各个面都是全等的正三角形，∴各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等，③正确. ∴①②③都是合理、恰当的.故选C.2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当AB FB ⊥时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于（ ）A.215+B.215-C.15-D.15+【知识点：类比推理】解：A类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，由题意可知222BF AB AF+=，∵222222b c c a c ac++=++，又222b c a=-，整理得22c a ac=+，∴210e e--=，152e±=，又1e>，所以选A.3.平面内平行于同一条直线的两条直线平行，类比可得，在空间有（）A.平行于同一直线的两直线平行；B.平行于同一直线的两平面平行；C.平行于同一平面的两直线平行；D.平行于同一平面的两平面平行.【知识点：类比推理】解：D利用类比推理，平面中的直线与空间中的平面类比，即可得空间中平行于同一平面的两平面平行.4.将一张坐标纸折叠一次，使点（2，3）与点（3，2）重合，且点（2005，2006）与点（m，n）重合，则m，n分别为（）A.2005，2005；B.2006，2006；C.2005，2006；D.2006，2005.【知识点：类比推理】解：D由于（2，3）与（3，2）关于直线y=x对称，(2005，2006)与(m，n)也关于直线y=x 对称，故m =2006，n=2005.5.在三角形中，任意两边之和大于第三边.类比上述性质：在三棱锥中，我们可以得到：__________________________.【知识点：类比推理】解：任意三个表面的面积之和大于第四个表面的面积.6.在项数为n 2（*∈N n ），公差为d 的等差数列中，偶数项和与奇数项和的差等于nd .类比可得：在项数为n 2（*∈N n ），公比为q 的等比数列中， .【知识点：类比推理】解：偶数项与奇数项的商为n q能力型 师生共研8.已知等差数列{}n a 中，有011=a ，则有),21(*212121N n n a a a a a a n n ∈<+⋯++=+⋯++- 成立.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若110=b ，则我们可以得到等式：________________________.【知识点：类比推理】解：*121219(19,)n n b b b b b b n n N -⋯=⋯<∈ 等差数列{}n a 中，有011=a ，则有),21(*212121N n n a a a a a a n n ∈<+⋯++=+⋯++-，类比推理，在等比数列{}n b 若110=b ，则存在的等式是*121219(19,)n n b b b b b b n n N -⋯=⋯<∈. 9.半径为r 的圆的面积2)(r r S π=，周长r r C π2)(=，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则r r ππ2)'(2=.①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：_______________________，你所写的式子可用语言叙述为_______________________.【知识点：类比推理】 解：2'3434R R ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 球的体积函数的导数等于球的表面积函数. 10.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列}{n a ，是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为 ，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为 .【知识点：类比推理】解：.318=a 当n 为偶数时，n S n 25=；当n 为奇数时，.2125-=n S n 11.已知两个圆：122=+y x ①与1)3(22=-+y x ②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .【知识点：类比推理】解：设圆的方程为222)()(r b y a x =-+-③与222)()(r d y c x =-+-④，其中c a ≠或d b ≠，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程.探究型 多维突破1.设函数x e x xe x f x x sin 12)(++++=，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得(5)(4)(0)(4)(5)f f f f f -+-+++++L L 的值 .【知识点：类比推理】解：11 22()sin sin 11x x x xe x f x x x x e e ++=+=++++， ∴222(2)()()2112x x x x x x e e f x f x e e e e ---+++-=+==++++，(0)1f = ∴(5)(4)(0)(4)(5)f f f f f -+-+++++L L[][][](5)(5)(4)(4)(1)(1)(0)11f f f f f f f =-++-+++-++=L2.若记号“*”表示两个实数a 与b 的算术平均的运算，即2*b a b a +=，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是 .【知识点：类比推理】解：c a b c b a c b c a c b a +=++=+)*()*(),*()*()*(此题答案不唯一还有：).(*)()*(c a b a c b a ++=+等（四）自助餐1.在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为（ ） A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋z ac ＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1D.ax ＋by ＋cz ＝1【知识点：类比推理】答案：A2.下面类比推理中恰当的是（ ）A.若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”C.“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”D.“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”【知识点：类比推理】解：B3.类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有（ ）A.(1)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.都不对【知识点：类比推理】解：C4.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲，在□ABCD 中，有)(22222AD AB BD AC +=+，那么在图乙所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，21212121DB CA BD AC +++等于（ ）A.4(AB 2＋AD 2＋AA 21)B.3(AB 2＋AD 2＋AA 21)C.2(AB 2＋AD 2＋AA 21)D.4(AB 2＋AD 2)【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】解：A5.等差数列{a n }中，有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是________.【知识点：类比推理】解：b 2n ＝b n －1·b n ＋1(n ≥2，且n ∈N *) 6.设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意P b a ∈、，都有、b a +、b a -、ab P ba ∈（除数0≠b ）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，数集}|2{Q b a b a F ∈+=，也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集M Q ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】解：③④7.根据三角形的性质，推测空间四面体的性质：（1）三角形的两边之和大于第三边；（2）三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆圆心. 解：（1）四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；（2）四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心.【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】8.在ABC ∆中，射影定理可以表示为B c C b a cos cos +=，其中c b a ,,依次为角C B A ,,的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想.【知识点：类比推理；数学思想：推理论证】解：四面体ABC P -中，S S S S ,,,321分别表示面ABC PAC PBC PAB ∆∆∆∆,,,的面积，γβα,,依次表示面PAB 、面PBC 、面PAC 与底面面ABC 所成的二面角大小，则空间中的射影定理可表示为：γβαcos cos cos 321S S S S ++=.9.若+∈R a a 21,，则有不等式221222122⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+a a a a 成立，请你类比推广此性质. 解：【知识点：类比推理；数学思想：特殊到一般】232123222133⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥++a a a a a a 或22221212n n a a a a a a n n ⎛⎫++++++≥ ⎪⎝⎭L L 或 321323122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+a a a a 或nn n a a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+222121 答案不唯一，n 可取任何的正整数.。
陕西省西安交大阳光中学高中数学 1.1.1 归纳推理学案 新人教版选修2-2
了解归纳推理的含义
二次备课
难点
利用归纳进行简单的推理
自
主
学
习
问题1：歌德巴赫猜想是什么？
哥德巴赫既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。
问题2：多面体的欧拉公式是什么？
虽然，歌德巴赫的猜想还不能证明，但他的这种猜想方法在定理发现中很有用。大数学家欧拉，也是通过观察一些简单的多面体，然后发现多面体的欧拉公式的。
下面请同学们数一数下列图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后一起把表格填完整。（小组讨论）
多面体
面数(F)
顶点数(V)
(1) ；(2) .
【思路点拨】
解：
达
标
训
练
作业
反思
板书
设计
陕西省西安交大阳光中学高中数学1.1.1归纳推理学案新人教版选修2-2
目标
1.通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去；
2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.
从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的“每一个充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”（简称“1+2”），这一结论十分接近歌德巴赫猜想的解，被国际上称为“陈氏定理”。
高中数学教案选修2-2《2.1.1 合情推理(2)》最新修正版
教学目标：1．了解类比推理的概念和归纳推理的作用，懂得类比推理与归纳推理的区别与联系．2．掌握类比推理的一般步骤．3．能利用类比进行一些简单的推理．教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理．教学难点：用类比进行推理，做出猜想．教学过程：一、复习引入：1. 什么叫推理？推理由哪几部分组成？2. 合情推理的主要形式有．3. 归纳推理是从事实中概括出结论的一种推理模式．4. 归纳推理的特点: ．5，a，b 均为实数），请推测a＝b＝．二、创设情境在案例2中，由矩形对角线的某一性质，推出长方体的对角线具有类似的性质．这个推理过程是归纳推理吗？我们再看几个类似的推理实例：1．据传，春秋时代鲁国的公输班受到路边的齿形草能割破行人的腿的启发，发明了锯子．他的思维过程可能为：齿形草能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．2．试根据等式的性质猜想不等式的性质．等式与不等式有不少相似的属性，例如：三、构建新知上述几个例子均是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理（reasoning by analogy），简称类比法．类比推理的一般步骤：（1）找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；（2）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；（3）检验猜想，归纳推理的思维过程：类似推理的思维过程：四、数学运用例1（G.波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质．解在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系：加（＋）乘（×）加数、被加数乘数、被乘数和积等等，它们具有下列类似的性质：表2-1-2例2 试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合． 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合． 圆截面圆 弦 大圆 直径周长 表面积 圆面积球体积五、学生探究1．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想． 2．若数列{a n }为等差数列，且()m n a x a y m n m n N +＝，＝≠，，∈，则m n mx nya m n＋－＝－．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N ＋)为等比数列，且m b x ＝，n b y ＝ ()m n m n +N ≠，，∈类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确性吗？六、课堂总结1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性．（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．七、课后作业教材第68页练习第1题，第2题，第3题，第4题．。
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目标 重点 难点 1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义; 2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 了解类比推理的含义 二次备课 利用类比进行简单的推理. 鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球 上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星， 有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命 存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 探究任务：类比推理（阅读教材 P5~ P6，找出疑惑之处） 1 新知：(1) 在教材中找出类比推理的定义，并画出关键词. (2) 类比推理是两类事物之间的推理， 但是推出的结论一定正确吗？请 举例. 自 主 学 习
2 练一练【进一步认识类比推理】 ：下面几种推理是类比推理的是 (1)因为三角形的内角和是 180 (3 2) ，四边形的内角和是
0
1800 (4 2),, 所以 n 边形的内角和是 1800 (n 2) .
(2)由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质. (3)某校高二年级有 20 个班，1 班 51 位团员，2 班 52 位团员，3 班 52 位团员， 由此可以推测各班都超过 50 位团员. (4)4 能被 2 整除，6 能被 2 整除，8 能被 2 整除，所以偶数能被 2 整除. 3 小组讨论：讨论教材 P6 例 4，你们的猜测正确吗？请说出证明思路和步骤. 问题生成记录： 例 1 (教材 P5 例 3) 命题：正四面体内一点到四个面的距离之和是一个定值. 问题分析：在正三角形中，如何如等面积法？棱锥的体积公式？ 解：
精 讲 互 动
例2
(教材 P6 例 4) 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体
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性质的猜想. 【思路点拨】 类比
在直角三角形的性 猜想四面体中的结 证明
质
论
解：ห้องสมุดไป่ตู้
小结：1 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用 一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）. 2 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常 常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法. 教材 P7 练习题：
达 标 训 练
平面向量的概念
空间向量的概念
作业 反思
板书 设计
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