工程力学-第九章-梁的应力及强度计算

工程力学-第九章-梁的应力及强度计算课时授课计划授课日期2011.10.23班别1044-3题目第九章梁的应力及强度计算目的要求➢掌握弯曲应力基本概念；➢掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；➢掌握弯曲正应力的强度计算；➢掌握弯曲剪应力强度校核。

重点梁应力的计算、弯曲强度计算难点弯曲正应力的强度计算和、弯曲剪应力的强度校核教具课本教学方法课堂教学报书设计第九章梁的应力及强度计算第一节纯弯曲梁横截面上的正应力第二节梁的正应力强度条件第三节梁的剪应力强度条件第四节提高梁弯曲强度的措施教学过程：复习：1、复习刚架的组成及特点。

2、复习平面静定刚架内力图的绘制过程。

新课：第九章梁的应力及强度计算第一节纯弯曲梁横截面上的正应力一、纯弯曲横梁截面上的正应力计算公式平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。

1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察现象：（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。

2、假设（1）平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。

中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。

中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。

注意：中性层是对整个梁而言的；中性轴是对某个横截面而言的。

中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。

（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。

各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。

3、推理纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。

二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知ρεσyEE =⋅=通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。

三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式梁在纯弯曲时的正应力公式：ZI My =σ式中：σ——梁横截面上任一点的正应力；M ——该点所在横截面的弯矩；Iz ——横截面对其中性轴z 的惯性矩；矩形Z I =123bh ；圆形Z I =644D πy ——所求正应力点到中性轴的距离。

正应力的单位为：Pa 或MPa ，工程上常用MPa 。

公式表明：梁横截面上任一点的正应力σ与截面上的弯矩M 和该点到中性轴的距离成正比，而与截面对中性轴的惯性矩 IZ 成反比。

在中性轴上（y=0），正应力为零。

离中性轴越远，正应力越大。

在横截面上、下边缘各点处（y=ymax ），正应力达到最大值。

应力σ的正负号直接由弯矩M 的正负来判断。

M 为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M 为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。

第二节 梁的正应力强度条件一、弯曲正应力的强度条件等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即zW M max max=σ对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。

为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax 不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：][max maxσσ≤=zW M二、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数1、常用截面的惯性矩I Z惯性矩是截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。

它是与截面的形状及尺寸相关的几何量。

123bh I Cz =123hb I Cy =644D I I C C y z π==2、常见截面的抗弯截面系数在对梁进行强度计算时，总要寻找最大正应力。

有公式可知，当y=ymax 时，即截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大。

maxmax max yI MI y M ZZ=⋅=σmaxy I W ZZ =令：ZW M =max σ则有：64 ) ( 4 4d D I I C C y z - = = π矩形截面抗弯截面系数：圆形截面抗弯截面系数：43max /64/232Z Z I d d W y d ππ===32max /12/26Z Z I bh bh W y h ===空心圆截面抗弯截面系数：Ddd W z =-=ααπ),1(3243例题如图所示，某20a 工字型钢梁在跨中作用集中力F ，已知l ＝6m ，F ＝20kN ，求梁中的最大正应力。

解：（1）计算梁内的最大弯矩跨中截面mkN PlM ⋅==304max （2）查找型钢表，确定20a 工字型的抗弯截面系数351037.2mm W z ⨯=（3）根据弯曲正应力公式的计算MPa W M Z6.126maxmax ==σ三、弯曲正应力强度的计算应用强度条件公式，可解决梁的强度方面三类问题。

（1）强度校核在已知梁的材料、截面形状与尺寸（即已知[σ]和W Z 值）以及所受荷载（即已知M ）的情况下，用强度条件检查梁的最大正应力是否满足强度条件。

即][max maxσσ≤=zW M（2）截面设计当已知荷载和所用材料（即已知M 和 [σ]）时，可根据强度条件，设计截面尺寸。

][maxσM W z ≥求出W Z 后，进一步根据所用梁的截面形状来确定尺寸。

若采用型钢时，则可由型钢表查得所用型钢的型号。

（3）计算许可载荷若已知梁的材料及截面尺寸（即已知[σ]和W Z ），则可根据强度条件确定梁的许用弯矩[M]。

z W M ⋅≤][][σ根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。

在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ]，但以不超过[σ]的5%为限。

即%5%100][][max <⨯-σσσ3、进行强度计算时应遵循的步骤（1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。

（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。

（3）确定危险点（4）依据强度条件，进行强度计算。

第三节 梁的剪应力强度条件一、概念梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。

对剪应力的分布作如下假设：(1)横截面上各点处剪应力τ均与剪力Q 同向且平行； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。

根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：b I QS z z *=τ式中:τ—横截面上距中性轴z 距离为y 处各点的剪应力；Q —该截面上的剪力；b —需求剪应力作用点处的截面宽度；Iz —横截面对其中性轴的惯性矩；Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。

剪应力的单位与正应力一样。

剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。

二、矩形截面横梁截面上的剪应力如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。

横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。

)4(2)]2(21[)2(22*yhbyhyyhbSz-=-+⋅-=将上式带入剪应力公式得：)4(222yhIQz-=τ上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。

在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，其值为AQbhQbhQhIQhyhIQzz5.1231288)4(232222max==⨯==-=τ即AQ5.1max=τ上市说明：矩形截面横梁截面上的最大剪应力为平均剪应力Q/A的1.5倍。

综上所述：剪应力沿其截面高度的分布规律与正应力不同，正应力最大的在截面的上下边缘各点，剪应力为零；剪应力最大的在中性轴上各点，正应力为零。

三、工字形横截面的剪应力工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。

K dzKh 1y上翼缘下翼缘腹板δAaaδzτmaxττmin1)腹板上的剪应力：腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力，剪应力沿腹板高度按抛物线规律分布，故中性轴处有最大剪应力；在腹板与翼板的交界处，剪应力与最大剪应力相差不多，接近于均匀分布。

2)翼缘上的剪应力：翼缘上的剪应力情况较复杂。

竖向分量很小且分布复杂，一般不考虑；水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布，计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在“剪应力流”的规律。

由理论分析可知，工字形截面的腹板上几乎承受了截面上的95%左右的剪力，而且腹板上的剪应力又接近于均匀分布，故可以近似得出工字形截面最大剪应力的公式：dh Q 1max≈τ式中：d 、h1—腹板的宽度和高度；Q —横截面上的剪力。

工程中，工字钢常采用轧制的工字型钢，由下式计算它的最大剪应力：bS I Q b I S Q z z z z )/(*max max *max max max=⋅=τ式中：*maxz S ——工字形截面中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩；max /z z S I ——可以直接由型钢表中查取（书P261），代入上式进行计算；b ——腹板的宽度，可以查型钢表确定。

四、圆形截面横梁截面上的最大剪应力圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。

AQ ⋅=34maxτ其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。

结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。

例1矩形截面简支梁如图,已知：l=2m ，h=15cm ，b=10cm ，h 1=3cm ，q=3kN/m 。

试求A 支座截面上K 点的剪应力及该截面的最大剪应力。

3*43323625.55.410281012151012cm y S cm bh c z z =⨯⨯=A ==⨯==I MPa b S Q z z A k 252.01010102810102361031433=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=I =τMPa A Q 3.01010151035.15.123max =⨯⨯⨯⨯==τ解：1.求剪力：Q A =3kN2.求K 点剪应力：3.求最大剪应力：ABl qyzoh bh1y cK3kN3kNQ 图五、梁的剪应力强度校核梁的剪应力强度条件为：][*max max maxττ≤⋅=b I S Q z z在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。

但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。

但在下列几种情况下，还需作剪应力强度校核：（1）梁的跨度很短而又受到很大的集中力作用，或在支座附近作用有较大的集中荷载，此时梁的最大弯矩较小，但最大剪力却很大。

（2）工字梁的腹板宽度很小，或某些铆接或焊接的组合截面钢梁中，其腹板宽度与高度之比小于一般型钢截面的相应值时，此时腹板上的剪应力可能较大。