工程力学 第九章 梁的应力及强度计算备课讲稿
《梁应力强度计算》课件
《梁应力强度计算》课件一、梁的基本概念1.1 梁的定义梁是一种受弯和/或受剪的受力构件，常用于桥梁、建筑、机器结构等工程中。
1.2 梁的分类（1）按材料分类：钢梁、木梁、混凝土梁等。
（2）按截面形状分类：矩形梁、工字梁、T型梁、I型梁等。
（3）按受力状态分类：简支梁、悬臂梁、连续梁等。
二、梁应力强度计算的基本原理2.1 弹性理论弹性理论是研究弹性体在外力作用下的应力、应变及位移分布的数学理论。
对于梁的应力强度计算，主要应用弹性力学中的平面应变问题和平面应力问题。
2.2 截面应力梁截面上的应力分布不均匀，通常最大应力出现在截面中性轴上，称为截面应力。
2.3 弯曲正应力弯曲正应力是梁截面上与中性轴垂直的应力，其计算公式为：σ= M·y / I，其中M为弯矩，y为截面上的点到中性轴的距离，I为截面的惯性矩。
2.4 剪切应力剪切应力是梁截面上与中性轴平行的应力，其计算公式为：τ= V·x / A，其中V为剪力，x为截面上的点到中性轴的距离，A为截面的面积。
三、梁应力强度计算的方法3.1 静力法静力法是通过对梁受力的分析，确定各部分的受力情况，根据力的平衡条件求解应力。
适用于简单梁结构。
3.2 弹性解析法弹性解析法是利用弹性力学的公式，通过计算梁的弯曲正应力和剪切应力，判断梁的应力强度。
适用于求解复杂梁结构的应力强度。
3.3 有限元法有限元法是利用计算机模拟梁的结构，将梁划分为若干个小的单元，通过对每个单元的应力分析，求解整个梁的应力强度。
适用于求解大型复杂梁结构的应力强度。
四、梁应力强度计算实例4.1 简支梁受集中载荷假设一根简支梁，跨度为L，截面惯性矩为I，截面面积为A，受集中载荷P作用。
求解梁的最大弯曲正应力和剪切应力。
（1）计算弯矩M：M = P·L / 2。
（2）计算截面应力σ：σ= M·y / I。
（3）计算剪切应力τ：τ= V·x / A，其中V为剪力，x为截面上的点到中性轴的距离。
工程力学-第九章-梁的应力及强度计算
当已知荷载和所用材料（即已知M和[ ]）时，可根据强度条件，设计截面尺寸。
求出WZ后，进一步根据所用梁的截面形状来确定尺寸。若采用型钢时，则可由型钢表查得所用型钢的型号。
（3）计算许可载荷
若已知梁的材料及截面尺寸（即已知[ ]和WZ），则可根据强度条件确定梁的许用弯矩[M]。
根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。
3、推理
纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。
二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知
通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。
它是与截面的形状及尺寸相关的几何量。
2、常见截面的抗弯截面系数
在对梁进行强度计算时，总要寻找最大正应力。有公式可知，当y=ymax时，即截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大。
三、弯曲正应力强度的计算
应用强度条件公式，可解决梁的强度方面三类问题。
（1）强度校核
在已知梁的材料、截面形状与尺寸（即已知[ ]和WZ值）以及所受荷载（即已知M）的情况下，用强度条件检查梁的最大正应力是否满足强度条件。即
三、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式
梁在纯弯曲时的正应力公式：
式中：σ——梁横截面上任一点的正应力；
M——该点所在横截面的弯矩；
Iz——横截面对其中性轴z的惯性矩；矩形 = ；圆形 =
y——所求正应力点到中性轴的距离。
工程力学第九章
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9.4
梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。
一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。
一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max
(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小
结
max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2
梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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My Iz
(9.4)
工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
工程力学(基础力学、材料力学)14(30)第九章6节
158.4 106 170
158.4kNm
930 103 ( m m3 )
查表选36c型号 I z 17310 cm 4 ; d 14 mm ; I z
3、切应力校核 max
4、结论：选36c型号
F
s max z
S Fs max 112.5 10 27( MPa) I z d 29.9 1014 Izd S z
q B l/2 17 KN 12 KN 12KN.m
F C l/2 D
检查此梁是否安全。
解：（1）作内力图
Fs图
13KN
max
M max Wz
M图
max
Fs max S zmax I zb
39KN.m
（2）计算几何性质
查表得
W z 309cm 3 0.309 103 m 3 Iz S z , max 18.9cm 0.189m
max [ ]
对于等直梁
F
S ,max
S
b
* z max
I
[ ]
z
b 为中性轴处的宽度。
对于横力弯曲下的等直梁 ，其横截面上一般既有弯矩
又有剪力。 梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远 的各点处 。 而梁上最大的切应力发生在剪力 最大的横截面上中性轴上 的各点处 。
梁除满足正应力强度条件外，还需满足切应力强度条件。
z
b 120(m m) F max 1.5 h 180(m m) bh b=140mm；h=210mm
lx Fs ( x) F x 0; Fs max F l x Fs1 ( x) F x l ; Fs1max F l
《梁的应力强度计算》课件
《梁的应力强度计算》课件一、梁的概述1.梁的定义梁是一种受弯和剪力作用的横向受力构件，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
2.梁的材料梁的材料主要有钢梁和钢筋混凝土梁两种。
3.梁的分类根据截面形状，梁可以分为工字梁、T型梁、I型梁等；根据受力状态，梁可以分为简支梁、悬臂梁、连续梁等。
二、梁的应力计算1.基本概念（1）应力：单位面积上的内力，用σ表示，单位为Pa（帕斯卡）。
（2）应变：物体在受力作用下产生的形变与原长的比值，用ε表示。
（3）泊松比：材料在受力作用下横向应变与纵向应变的比值，用ν表示。
2.梁的应力分布（1）简支梁：在梁的截面上，剪应力分布均匀，正应力分布按三角形分布。
（2）悬臂梁：在梁的悬臂端截面，剪应力为零，正应力按二次曲线分布。
（3）连续梁：在梁的连续跨中截面，剪应力分布均匀，正应力分布按三角形分布。
3.梁的应力计算公式（1）简支梁：剪应力τ=V/I正应力σ=My/I其中，V为梁的剪力，M为梁的弯矩，I为梁的截面惯性矩，y为截面上距离中性轴的距离。
（2）悬臂梁：剪应力τ=0正应力σ=Ml/(2I)其中，l为悬臂梁的长度。
（3）连续梁：剪应力τ=V/I正应力σ=My/I其中，V为梁的剪力，M为梁的弯矩，I为梁的截面惯性矩，y为截面上距离中性轴的距离。
4.梁的强度校核（1）剪切强度校核：τ≤τ_max（2）弯曲强度校核：σ≤σ_max其中，τ_max为材料的剪切强度，σ_max为材料的弯曲强度。
三、梁的变形计算1.基本概念（1）挠度：梁在受力作用下产生的垂直于加载力的线位移。
（2）曲率：梁在受力作用下的弯曲程度，用κ表示。
2.梁的变形计算公式（1）简支梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为梁的长度，E为材料的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
（2）悬臂梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为悬臂梁的长度，E为材料的弹性模量，I 为梁的截面惯性矩。
（3）连续梁：挠度f=VL^3/(3EI)其中，V为梁的剪力，L为梁的长度，E为材料的弹性模量，I为梁的截面惯性矩。
梁的应力和强度计算
将应力表达式代入(2)式，得
E
E
y
A
yzdA 0
FN dA
A
0 (1)
I yz A yzdA 0
M yE dA
A
M y
自然满足
Mz
zdA 0 (2)
A
将应力表达式代入(3)式，得
ydA M(3)
A
y
M
E
A
y dA
2
M
E
Iz
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力FS 内力 切应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力(normal stresses )，
弯矩M
正应力
又有 切应力(shear Stresses)
( Stresses in Beams)
纯弯曲（pure bending)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
工程力学：第9章 弯曲应力及强度计算(新)
P1
例如：
P2
纵向对称面
aP
Pa
A
P FS P
B P
x
P Pa M
x
3、纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。
纯弯曲：AB段
三.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不
受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
x
t max
1.5
FS max A
1.5 5400 0.12 0.18
qL
2
0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
x
s max M max 2 A L 16.7
t max Wz 3FS h
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m RA
1m 1m RB
2.5kNm
x
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如
(sdA)z
A
Eyz dA E
A
yzdA EI yz 0
A
（对称面）
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y2dA
A
EI z
MZ
A y2dA I Z
• IZ—横截面对中性轴的惯性矩
1 Mz
EI z
… …(3) EIz 杆的抗弯刚度。
sx
M y Iz
...... (4)
M(x)+d M(x) 在梁上取微段如图b；
z
t1
x
在微段上取一块如图c，平衡
sI
t
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课时授课计划
教学过程：
复习：1、复习刚架的组成及特点。
2、复习平面静定刚架内力图的绘制过程。
新课：
第九章梁的应力及强度计算
第一节纯弯曲梁横截面上的正应力
一、纯弯曲横梁截面上的正应力计算公式
平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
2、假设
（1）平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。
中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。
注意：中性层是对整个梁而言的；
中性轴是对某个横截面而言的。
中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。
（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。
各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。
3、推理
纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。
二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知
ρ
εσy
E
E =⋅=
通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。
二、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数
1、常用截面的惯性矩I Z
惯性矩是截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。
它是与截面的形状及尺寸相关的几何量。
123bh I C
z =12
3hb I C
y =64
4
D I I C C y z π=
=
2、常见截面的抗弯截面系数
在对梁进行强度计算时，总要寻找最大正应力。
有公式可知，当y=ymax
时，即截面上离中性轴最远的各点处，弯曲正应力最大。
max
max max y I M
I y M Z Z =
⋅=σmax
y I W Z
Z =
令：Z
W M =
max σ则有：
矩形截面抗弯截面系数：圆形截面抗弯截面系数：43
max /64/232
Z Z I d d W y d ππ===
32
max /12/26Z Z I bh bh W y h ===
空心圆截面抗弯截面系数：
D
d
d W z =
-=
ααπ),1(32
43
64
)
( 4 4 d D I I C
C y z - = = π
工字型的抗弯截面系数
5mm
3
)
4(2)]2(21[)2(22
*
y h b y h y y h b S z -=-+⋅-=
将上式带入剪应力公式得：
)
4(222
y h I Q z -=τ
上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。
在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，其值为
A Q bh Q bh Qh I Qh y h I Q z z 5.1231288)4(23
2
222max
==⨯==-=τ
即
A Q
5
.1max
=τ
上市说明：矩形截面横梁截面上的最大剪应力为平均剪应力Q/A 的1.5倍。
综上所述：剪应力沿其截面高度的分布规律与正应力不同，正应力最大的在截面的上下边缘各点，剪应力为零；剪应力最大的在中性轴上各点，正应力为零。
三、工字形横截面的剪应力
工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。
四、圆形截面横梁截面上的最大剪应力
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
A
Q
⋅
=
3
4
max
τ
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
例1矩形截面简支梁如图,已知：l=2m，h=15cm，b=10cm，
h1=3cm，q=3kN/m。
试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最大剪应力。
3
*
4
3
3
236
25
.5
5.4
10
2810
12
15
10
12
cm
y
S
cm
bh
c
z
z
=
⨯
⨯
=
A
=
=
⨯
=
=
I
MPa
b
S
Q
z
z
A
k
252
.0
10
10
10
2810
10
236
10
3
1
4
3
3
=
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
=
I
=
τ
MPa
A
Q
3.0
10
10
15
10
3
5.1
5.1
2
3
max
=
⨯
⨯
⨯
⨯
=
=
τ
解：1.求剪力：Q
A
=3kN
2.求K点剪应力：
3.求最大剪应力：
A B
l
q
y
z
o
h
b
h
1
y
c
K
3kN
3kN
Q图
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
][*max max max
ττ≤⋅=b I S Q z z 在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。
但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
但在下列几种情况下，还需作剪应力强度校核：
（1）梁的跨度很短而又受到很大的集中力作用，或在支座附近作用有较大的集中荷载，此时梁的最大弯矩较小，但最大剪力却很大。
（2）工字梁的腹板宽度很小，或某些铆接或焊接的组合截面钢梁中，其腹板宽度与高度之比小于一般型钢截面的相应值时，此时腹板上的剪应力可能较大。
（3）木梁。
由于木材在顺纹方向的抗剪强度很差，当横截面中性轴上有较大的剪应力时，根据剪应力互等定理，梁的中性层上也产生较大的剪应力，可能使木材沿顺纹方向破坏。
第四节 提高梁弯曲强度的措施
一、提高梁弯曲强度的措施
根据弯曲正应力的强度公式，减小梁的工作应力的途径：
A 、降低最大弯矩值Mmax
B 、增加截面的抗弯截面系数W Z
（1）合理安排梁的支座与荷
当荷载一定时，梁的最大弯矩Mmax 与梁的跨度有关，因此，应合理安排支座。
如果结构允许，应尽可能合理地布置梁上的荷载。
把梁所受的一个集中力分为几个较小的集中力，梁的最大弯矩就会明显减小。
（2）采用合理的截面形
1）从应力分布规律考虑
应使截面面积较多的部分布置在离中性轴较远的地方。
从应力分布情况看，工字形、槽形等截面形状比面积相等的矩形截面更合理，而圆形截面又不如矩形截面。
凡是中性轴附近用料较多的截面就是不合理截面。
2）从抗弯截面系数W Z考虑
应在截面面积相等的条件下，使得抗弯截面系数W Z尽可能地增大(I Z越大越好)，由式Mmax=[σ] W Z可知，梁所能承受的最大弯矩Mmax与抗弯截面系数W Z成反比。
所以，从强度角度看，当截面面积一定时，W Z值越大越有利。
3）从材料的强度特性考虑
应合理的布置中性轴位置，使截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的容许应力。
对抗拉和抗压强度相等的材料，一般采用对称于中性轴的截面形状，如矩形、工字形、槽形、圆形等。
对抗拉和抗压强度不相等的材料，一般采用菲对称截面形状，使中性轴偏向强度较低的一边，如T字形、槽形等。
（3）等强度梁
将梁制成变截面梁，使各截面上的最大弯曲正应力与材料的许用应力[σ]相等或接近。
小结：
1、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律
2、纯弯曲横梁截面上正应力计算公式
3、常用截面的惯性矩与抗弯截面系数
4、梁的正应力强度条件及应用
5、梁的剪应力强度校核
6、提高梁弯曲刚度和强度的措施
课后作业：书P170 8-1、8-3（d）。