梁的应力和强度计算
梁的应力和强度计算
梁的应力和强度计算1.梁的基本假设梁的基本假设包括：梁材料是均匀各向同性的，梁截面是平面截面，梁的纵向伸缩变形可以忽略，梁的横向收缩变形可以忽略，梁截面平面保持平直。
2.梁的受力分析在进行梁的应力和强度计算之前，需要对梁的受力进行分析。
常见的梁的受力包括弯曲、剪切和轴向拉压等。
2.1弯曲弯曲是梁的一种主要受力状态，发生在梁受到弯矩作用时。
对于弯曲受力的梁，可以运用梁弯曲理论进行应力和强度计算。
常见的梁弯曲理论包括欧拉-伯努利梁理论和延性梁理论。
2.2剪切剪切是梁的另一种重要受力状态，发生在梁上部分截面受到剪力作用时。
剪切力引起梁截面上的剪应力，可以通过剪切变形理论进行计算。
2.3轴向拉压轴向拉压发生在梁上部分截面受到轴向拉力或压力作用时。
轴向拉力或压力引起梁截面上的轴向应力，可以通过轴向变形理论进行计算。
3.梁的应力分析根据梁的基本假设和受力分析，可以进行梁的应力分析。
梁的应力分析包括黄金区和非黄金区的判断、应力分布的计算和强度设计的确定。
3.1黄金区和非黄金区判断黄金区是指梁截面上应力最大的区域，通常位于材料的纤维处。
在黄金区内，应力达到梁材料的屈服强度。
非黄金区则是指其他区域，应力小于屈服强度。
3.2应力分布计算根据梁的受力和应力分析，可以计算出梁截面上的应力分布。
应力分布的计算可以通过梁的几何形状、外力和边界条件以及材料的性质来确定。
常见的应力分布包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力等。
4.梁的强度设计梁的强度设计是根据计算得到的应力分布进行的。
根据材料的强度，可以确定梁的尺寸和形状，以满足梁的极限状态和使用状态的要求。
总结起来，梁的应力和强度计算是梁力学中的基本问题，包括梁的受力分析、应力分布计算和强度设计等内容。
通过合理的计算和设计，可以确保梁的安全和可靠性，提高结构的性能。
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。
在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。
本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。
在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。
根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。
根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。
轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。
通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
梁的应力和强度计算
剪切应力的计算步骤和实例
实例 1. 一根简支梁，跨度为$L$，在跨中受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
2. 一根连续梁，跨度为$L$，在中间支座受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
05
梁的强度计算
强度计算的原理和方法
极限应力法
根据梁的极限应力进行计算，确保梁在承受最大 载荷时不会发生断裂或屈服。
实例
假设有一根简支梁，跨度为L，承受均布载荷q，截面面积为A。根据正应力的计算公式，可以得出正应力的大小 为σ=q*L/2A。如果已知梁的材料和截面尺寸，可以通过查找或试验得到材料的屈服强度或极限强度，并与计算 出的正应力进行比较，以判断梁的强度是否满足要求。
04
梁的剪切应力计算
剪切应力的定义和计算公式
建立梁的力学模型
根据梁的几何形状、材料属性和载荷条件， 建立相应的力学模型。
强度校核
将计算得到的最大应力与材料的许用应力进 行比较，判断是否满足强度要求。
强度计算的注意事项和限制条件
材料属性
了解所用材料的机械性能，如弹性模 量、泊松比、屈服强度等。
支承条件
考虑梁的实际支承条件，如固定、简 支或滑动支承，对计算结果的影响。
剪切应力
在梁的剪切区域，由于相邻截面发生相对错动而产生的应力。
计算公式
剪切应力的大小与作用在剪切面上的外力成正比，与剪切面的面积成反比。公式为：$tau = frac{F}{A}$， 其中$tau$为剪切应力，$F$为作用在剪切面上的外力，$A$为剪切面的面积。
剪切应力的分布和影响
分布
剪切应力在梁的剪切面上是均匀分布的，但在剪切区域之外，由于弯曲应力的存在，剪 切应力会发生变化。
梁的应力和强度计算
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁，梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m，试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解：（1） 作剪力图、弯矩图
（2）求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线：仍为直线，仍与纵向线正交，相对转动了一个角度 纵向线：曲线，下部伸长,上部缩短
（2）假设 平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍
垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压，
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设：
(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。 (2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。
2.中性轴Z：
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式：
中性层
4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1）M、y 符号代入公式
2）直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲（平面假设、单向受力假设基础上）、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面； ② 细长梁 (l/h>5)；
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力：
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切（横力）弯曲： 矩形：
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
第6章梁的应力分析与强度计算
第6章梁的应力分析与强度计算梁是一种常见的结构构件，在建筑、桥梁、机械等领域都有广泛的运用。
在使用梁时，需要对其进行应力分析与强度计算，以确保其安全运行。
本章将介绍梁的应力分析与强度计算的基本原理和方法。
1.梁的应力分析梁的应力分析是指对梁内部各点的应力状态进行分析。
应力是指单位截面上受力的大小，常用的应力有轴力、弯矩和剪力。
对于梁的应力分析，主要有两个基本的方程：平衡方程和应变-位移关系。
1.1平衡方程平衡方程是指在梁内力平衡的条件下，梁内部各点的受力平衡。
对于梁来说，平衡方程可以表示为：∑Fx=0∑Fy=0∑M=0其中，∑Fx和∑Fy分别表示横截面上各点受力在X和Y方向的合力，∑M表示横截面上各点受力对横截面上其中一点产生的力矩。
通过求解平衡方程可以得到梁内力的分布情况。
1.2应变-位移关系应变-位移关系是指梁内部各点的应变与位移之间的关系。
梁的应变可以分为轴向应变、横向应变和剪应变三种，位移则可以分为平移位移和旋转位移。
应变-位移关系可以表示为：εx = du/dxεy = dv/dyγxy = (dudv + dvdx)/2其中，εx和εy分别表示横截面上各点的轴向应变，γxy表示横截面上各点的剪应变，du和dv分别表示横截面上各点的位移在X和Y方向上的微分。
2.梁的强度计算梁的强度计算是指根据应力分析的结果，对梁的强度进行评估。
梁的强度主要包括弯曲强度、剪切强度和扭转强度。
2.1弯曲强度弯曲强度是指梁在受到弯矩作用时的抗弯承载能力。
根据弯曲的理论，可以得到梁的最大正应力和最大剪应力。
对于矩形截面的梁来说，最大正应力和最大剪应力可以分别表示为：σmax = M * y / Iτmax = T * Q / It其中，M表示弯矩，y表示梁离中性轴的距离，I表示梁的惯性矩，T表示剪力，Q表示横截面的剪力传递量，It表示横截面的扭转惯性矩。
2.2剪切强度剪切强度是指梁在受到剪力作用时的抗剪承载能力。
关于梁的正应力强度计算.
§7-2 梁的正应力强度计算一、最大正应力在强度计算时，必须算出梁的最大正应力。
产生最大正应力的截面，称为危险截面。
对于等直梁，弯矩最大的截面就是危险截面。
危险截面上的最大应力处称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。
对于中性轴是截面对称轴的梁，最大正应力的值为：maxmax max zM y I σ=令zz maxI W y =，则 maxmax zM W σ=式中z W 称为抗弯截面系数，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。
常用单位是m 3或mm 3。
z W 值越大，max σ就越小，它也反映了截面形状及尺寸对梁的强度的影响。
对高为h 、宽为b 的矩形截面，其抗弯截面系数为：32z z max /12/26I bh bh W y h ===对直径为d 的圆形截面，其抗弯截面系数为：43z z max /64/232I d d W y d ππ===对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如图7-9所示的T 形截面梁，在正弯矩M 作用下梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为：+1max z My I σ=2maxzMy I σ-=令z 11I W y =、z 22IW y =，则有： +max 1M W σ=max2M W σ-=maxσ-图7-9二、正应力强度条件为了保证梁能安全地工作，必须使梁截面上的最大正应力max σ不超过材料的许用应力，这就是梁的正应力强度条件。
现分两种情况表达如下：1、材料的抗拉和抗压能力相同，其正应力强度条件为：maxmax z[]M W σσ=≤ 2、材料的抗拉和抗压能力不同，应分别对拉应力和压应力建立强度条件：+maxmax 1[]M W σσ+=≤ max max2[]MW σσ--=≤ 根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题：1）强度校核：在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸（即已知[]σ、z W ）以及所受荷载（即已知max M ）的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。
梁应力强度计算
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
20梁的应力和强度计算
F1 A
F2 CB
y2 z
a
a
a
y1
3.6kN.m M
x - 4.8kN.m
练习2：T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁[+]=30MPa，
[-]=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，
y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m 1m 1m 2.5kN.m M
2.纵向线变为曲线，且上缩下伸；
3.横向线与纵向线变形后仍正交。
结论：纯弯曲梁的横截面上只有正应力没有剪应力；
2. 应力分布
max z
max
应力分布规律：横截面上任意一点的正应力与该到 中性轴z的距离成正比。
3. 应力计算
My
M
Iz
M
a
c
Iz——轴惯性矩b，只与横d 截面几何尺寸和形状有关；
两种假设M：
M
1.平面假设：变形a前原为c平面的梁的横截面变形后仍
保持平面b ； d 2. 单向受力假设：梁的纵向“纤维”只承受拉或压
中性轴 中性层
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤 维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线。
M
M
变形后
a
c
现象：
b
d
1.横向线变形后仍为直线，长度不变，但有转动；
x -4kN.m
y1 z y2
练习3： T 字形截面铸铁梁尺寸和受力如图所示，铸铁
的[+]=30MPa，[-]=60 MPa， y1=50mm， y2=80mm，
Iz=800cm4 ，如果q＝1kN/m，a＝1m，试校核此梁的强
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z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式，得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题：
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （《两门新科学的对话》1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置（Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件（strength condition)：
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式（mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
应力的分布规律
建立公式
( Stresses in Beams)
2、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
( Stresses in Beams)
dx
d
dx o
o
x o y
z b
图（a）
y
b
b’
o’
z
y
o’
x b’
图（b）
图（c）
b ' b ' y d
z
Iz
Wz
3 23 1.4 2 3 1.07 cm 4 12 12 M max Wz [ ] Iz 1.07 3
ymax 1 1.07cm
Wz [ ] 1.07 106 140 106 P 3000 N 2 a 5 10
( Stresses in Beams) 例题2：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的 抗拉许用应力为 [t] = 30MPa ,抗压许用应力为[C] =160MPa 。已知截面对形心轴Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm, 校核梁的强度。
( Stresses in Beams) 对于铸铁等 脆性材料 (brittle materials)制成的梁，由于材料的
t c
且梁横截面的 中性轴 (neutral axis) 一般也不是对称轴，所以梁的
t max c max
（两者有时并不发生在同一横截面上） 要求分别不超过材料的 许用拉应力(allowable tensile stress) 和 许用压应力 (allowable compressive stress) 。
这一力系简化，得到三个内力分量
M
待解决问题
中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ Mz
z
O
y
dA
x σdA
FN
FN A dFN A dA
0
0
(1) (2)
My
y
M y dM y z dA
A A
dFN dA
M z dM Z y dA
A A
M(3)
( Stresses in Beams)
M.y Iz
讨论 应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。 若横截面存在剪力，当l/h≥5，公式仍然适用
实验 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 观察变形 提出假设
平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴
变形的分布规律
y
y
应力的分布规律
E
建立公式
( Stresses in Beams)
4、静力关系 (Static relationship） 横截面上内力系为垂直于 横截面的空间平行力系
F1=9KN F2=4KN
80
20
A
1m
c
1m
B
1m
z
D
y1
y2
20
120
( Stresses in Beams)
RA F1=9KN RB F2=4KN
80
20
A
1m
c
1m
B
1m
z
D
y1
y2
20
120
解：
R A 2.5KN
RB 10.5KN
( Stresses in Beams)
RA F1=9KN RB F2=4KN
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力FS 内力 切应力
所以，在梁的横截面上一般
既有 正应力(normal stresses )，
弯矩M
正应力
又有 切应力(shear Stresses)
( Stresses in Beams)
纯弯曲（pure bending)
且靠近顶端的纵向线缩短，
靠近底端的纵向线段伸长 横向线 各横向线仍保持为直线，
θ
相对转过了一个角度,
仍与变形后的纵向弧线垂直
( Stresses in Beams)
（2）提出假设 ( Assumptions）
(a)平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变
形后的梁轴线.
(b) 单向受力假设 纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压.
( Stresses in Beams)
第七章
梁的应力和强度计算
( Stresses in Beams)
引言
m M
当梁上有横向外力作用时，一般情 况下，梁的横截面上既有弯矩 M ， 又有剪力 FS 。
m
FS
( Stresses in Beams)
m
m
M
m
FS
m
只有与切应力有关的切向内力元素 d FS = dA 才能合成剪力
M.y Iz
式中: M Iz y
(Flexure Formula)
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式 横截面上的弯矩(bending moment in the beam) 横截面对中性轴的惯性矩 (moment of inertia of the cross section of the beam) 求应力的点到中性轴的距离 (distance from the neutral axis of the beam to the fibers)
( Stresses in Beams)
推论（Inference）:
横截面的转动将使梁的凹边的纵向 线段缩短，凸边的纵向线段伸长， 由于变形的连续性，中间必有一层 纵向线段 无长度改变。此层称为 中 性层 (Neutral surface)。中性层与横
截面的交线称为 中性轴( neutral
axis).
变形的分布规律
y
应力的分布规律
建立公式
( Stresses in Beams)
3、物理关系(Physical relationship)
Hooke’s Law 所以
E
y
M
?
O
z
E
x
?
应力分布规律
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
( Stresses in Beams)
§7–2 梁的正应力强度条件和应用
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处
max
M y max Iz
1)当 中性轴为对称轴时(The cross sections symmetrical about the neutral axis) :
IZ WZ ymax
max M WZ
C
ymax
Z
ymax
y
WZ称为抗弯截面系数
( Stresses in Beams)
Iz W ymax
实心圆截面
d z
4
Iz d 64 d W d 2 d 2 32
3
y
b
h
矩形截面
W
bh 12 bh h 2 6 h 2
Iz
3
2
z y D d
空心圆截面 W
将应力表达式代入(2)式，得
E
E
y
A
yzdA 0
FN dA
A
0 (1)
I yz A yzdA 0
M yE dA
A
M y
自然满足
Mz
zdA 0 (2)