§8-5 梁的刚度计算
材料力学-第八章叠加法求变形(3-4-5)
C
刚化
P
EI=
C
θc1
fc1
pa3 3EI
fc1
c1
pa2 2EI
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
P
A
θ B B2
C
fc2 刚化
EI=
B2
PaL 3EI
fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B2
θB2
P Pa
c
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 2EI
PaL 3EI
fc fc1 fc2
fc
pa3 3EI
MPa，[]=100
MPa，E=210
GPa，
w l
1 400
。
例题 5-7
解:一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横 截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸， 再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件 进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条 件不满足，应适当增加横截面尺寸。
[例8-3]如图用叠加法求 wC、A、B
解：1.求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加
=
wC
5qL4 384EI
A
qL3 24EI
B
qL3 24EI
+
PL3 48EI
PL2
16EI PL2
16EI
+
ML2 16EI
ML 3EI
ML 6EI
例题 5-4
试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的
16EI
1 qa4 24 EI
()
例题 5-5
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB
段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，
梁的强度和刚度计算
Sz;
dT 'bdx;
x 0, N1 N2 dT 0;
' dMSz , dM Q, ' ;
dxI zb dx
QS z ;
I zb
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矩形截面剪应力计算公式：
QS
* z
式中:Q—横截面上的剪力；
Izb
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度；
763 5.2
146 .7cm3;W2
z y2
763 8.8
86.7cm3;
(3)C截面的正应力强度校核:
max
W2 Mc
86.7 10
6
310
34.7MPa ; max
W1 MD
146.7 10
6
310
20.5MPa ;
3
3
(4)D截面的正应力强度校核:
max
W1 MD
146.7 10
6
4.810
32.7MPa ; max
W2 MD
86.7 10 6 4.810
55.3MPa ;
3
3
(5)最大拉应力发生在C截面的下边缘处,最大压应力发生在D
截面的下边缘处,其值分别为: max 34.7MPa; max 55.3MPa;
令Wz
Iz ; ymax
Wz ___ 抗弯截面系数（模量），反映截面抵抗弯曲变形的能力；单位：m3, mm3.
矩形截面：Wz
bh2 6
第 8 章 弯曲刚度
例题 8-2
F
A
a
q
a
C
叠加法求A截面 B 的转角和C截面 的挠度. 解：
B
Fa 2 FA 4 EI
Fa 3 w FC 6 EI
F
A
a
=
FA C
wFC
a
q
+
B
A
a
qA C
wqC
a
qa 3 qA 3 EI 5 qa4 w qC 24 EI
d w M 2 EI dx
2
w
d 2w 0,M 0 2 dx M M
d 2w 0,M 0 2 dx
M M
本书所采 用的情况
x
x
d w M 2 EI dx
2
w
d w M 2 EI dx
2
使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
EIw( x ) M ( x )
EIw( x ) M ( x )dx C 1
41ql 4 24 EI
§6 简单静不定梁
q
A
FAy
a
C
a
B
FBy
F
y
0 , FAy FBy 2qa 0.
0 , FBy 2a 2qa a 0.
M
A
1.静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力。
q
A
FAy
a
C
§2 小挠度微分方程及其积分 一、 小挠度微分方程
1 M( x ) ( x ) EI z
曲率与弯矩的关系
B
1 3 2 ( x ) 2 dw 1 dx d 2w dx 2
梁的刚度条件.
度条件为
l
应用梁的刚度条件可进行梁的刚度校核、设计截面、计算许用荷载。但对 பைடு நூலகம்土建工程中的梁，强度条件能满足要求时，一般情况下，刚度条件也能满 足要求。所以，先由强度条件进行强度计算，再由刚度条件校核。
工程力学
/
则梁的刚度条件为应用梁的刚度条件可进行梁的刚度校核设计截面计算许用荷载
工程力学
梁的刚度条件
主 讲 人： 杨 磊
杨凌职业技术学院
2014.09
工程力学
/
§8-4梁的刚度条件
1.梁的刚度条件：
y max y
max
在土建工程中，对梁进行刚度计算时，通常只对挠度进行计算。梁
| y | max f l l
主持单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
参建单位: 杨凌职业技术学院
黄河水利职业技术学院
重庆水利水电职业技术学院
工程力学第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
梁的刚度计算
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（1）梁的抗弯强度作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下：梁的抗弯强度按下列公式计算：单向弯曲时（5-3）双向弯曲时（5-4）式中：Mx、My——绕x轴和y轴的弯矩（对工字形和H形截面，x轴为强轴，y轴为弱轴）；Wnx、Wny——梁对x轴和y轴的净截面模量；——截面塑性发展系数，对工字形截面，；对箱形截面，；对其他截面，可查表得到；f ——钢材的抗弯强度设计值。
为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b与其厚度t之比大于，但不超过时，应取。
需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取。
（2）梁的抗剪强度一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。
工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。
截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。
在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。
因此，设计的抗剪强度应按下式计算（5-5）式中：V——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值；S——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩；I——毛截面惯性矩；tw——腹板厚度；fv——钢材的抗剪强度设计值。
图5-3 腹板剪应力当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。
型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。
刚度计算公式
刚度（Stiffness）是描述材料或结构在受到外力作用时抵抗变形的能力。
对于线性弹性材料，刚度可以通过应力（Stress）与应变（Strain）之间的比例关系来计算，这个比例常数被称为弹性模量（Elastic Modulus）。
对于一维情况（例如拉伸或压缩），刚度计算公式为：
[ K = \frac{\sigma}{\epsilon} ]
其中：
( K ) 是刚度（N/m 或Pa）
( \sigma ) 是应力（N/m²或Pa）
( \epsilon ) 是应变（无量纲）
对于二维情况（例如梁的弯曲），刚度计算公式可能会涉及到弯矩（M）和曲率（κ）：
[ EI = \frac{M}{\kappa} ]
其中：
( EI ) 是梁的弯曲刚度（N·m²）
( M ) 是弯矩（N·m）
( \kappa ) 是曲率（1/m）
对于三维情况（例如杆的扭转），刚度计算公式为：
[ GJ = \frac{T}{\phi} ]
其中：
( GJ ) 是杆的扭转刚度（N·m²）
( T ) 是扭矩（N·m）
( \phi ) 是扭转角（rad）
请注意，以上公式仅适用于线性弹性材料，并且在弹性范围内有效。
对于非线性材料或超出弹性范围的情况，刚度可能会发生变化，并且需要使用更复杂的模型来描述材料的力学行为。
此外，对于复杂的结构或组件，刚度可能需要通过有限元分析（FEA）或其他数值方法来计算。
这些方法可以考虑材料的非线性、几何非线性以及多种加载条件。
梁的刚度计算
梁得强度与刚度验算
1．如图1所示一根简支梁长m,梁得自重为;钢材得等级与规格(,),，，,均为已知。梁上作用恒荷载,荷载密度为,荷载分项系数为1、2,截面塑性发展系数为,。试验算此梁得正应力及支座处剪应力。
图1
解:
(1）计算作用在梁上得总弯矩
需要计算疲劳得梁，按弹性工作阶段进行计算,宜取。
(2)梁得抗剪强度
一般情况下,梁同时承受弯矩与剪力得共同作用。工字形与槽形截面梁腹板上得剪应力分布如图5-3所示。截面上得最大剪应力发生在腹板中与轴处。在主平面受弯得实腹式梁,以截面上得最大剪应力达到钢材得抗剪屈服点为承载力极限状态。因此,设计得抗剪强度应按下式计算
ﻩﻩﻩﻩ(5-7）
式中:——腹板计算高度边缘同一点上得弯曲正应力、剪应力与局部压应力。按式（5－5)计算，按式(5-6)计算,按下式计算
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(5-８)
——净截面惯性矩；
y——计算点至中与轴得距离;
均以拉应力为正值,压应力为负值;
——折算应力得强度设计值增大系数。当异号时,取=１、2;当同号或＝0取＝１、1。
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（5-5）
式中:V——计算截面沿腹板平面作用得剪力设计值;
S——中与轴以上毛截面对中与轴得面积矩；
I——毛截面惯性矩;
tw——腹板厚度;
fv——钢材得抗剪强度设计值。
图５－３腹板剪应力
当梁得抗剪强度不满足设计要求时,最常采用加大腹板厚度得办法来增大梁得抗剪强度。型钢由于腹板较厚,一般均能满足上式要求,因此只在剪力最大截面处有较大削弱时,才需进行剪应力得计算。
梁得强度与刚度计算
１．梁得强度计算
梁得强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度与折算应力,设计时要求在荷载设计值作用下,均不超过《规范》规定得相应得强度设计值。
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F=35kN
A 2m l=4m 2m
解： 1、作出梁的弯矩图
B
M max
Fl / 4
Fl 35103 N 4m 35103 N m 4 4
2、根据弯曲正应力强度条件
Wz
M max
35103 N .m 219 cm3 160106 N / m2
§8-5 梁的刚度计算
§8-5 梁的刚度计算
土建工程：
以强度为主，一般强度条件满足了，刚度要求也就满足了，因此刚度 校核在土建工程中处于从属地位。
机械工程：
对二者的要求一般是平等的，在刚度方面对挠度和转角都有一定的限 制，如机床中的主轴，挠度过大影响加工精度，轴端转角过大，会使轴承 严重磨损。
桥梁工程：
挠度过大，机车通过时将会产生很大的振动。
y max y
max
§8-5 梁的刚度计算 对于跨度为 l 的吊车梁，许用挠度
y
1 1 ~ l 400 750
对于架空管道，许用挠度
l y 500
§8-5 梁的刚度计算 一般用途的轴
[ y] (0.0003~ 0.0005 l )
一简支梁，跨度中点承受集中载荷F。已知F=35KN，跨度l=4m，许用
应力[σ]＝160 MPa，许用挠度[y]=l /500，弹性模量E=200GPa，试选择工字
钢型号。
F=35kN A 2m l=4m 2m B
3、梁的刚度条件为：
Fl / 4
Fl3 l 48EI z 500
500Fl 2 500 35103 N 42 m 2 Iz 2917cm4 48E 48 200109 N / m 2
4
Fl / 4
NO.20b工字钢的抗弯截面系数
WZ 309cm
惯性矩
3
I Z 3400cm
4
选择NO.20b工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。
5ql 4 5 788N / m 9.2 4 m 4 yCq 384EI 384 210109 N / m 2 32200108 m 4 0.0011 0.11cm m
§8-5 梁的刚度计算
l 9.2 102 cm [ y] 1.84cm 500 500
（2）校核刚度
y max yCF yCq 1.32 0.11 1.43 cm
y max 1.43cm [ y] 1.84 cm
满足刚度要求
§8-5 梁的刚度计算
一简支梁，跨度中点承受集中载荷F。已知F=35KN，跨度l=4m，许用
应力[σ]＝160 MPa，许用挠度[y]=l /500，弹性模量E=200GPa，试选择工字
刚度要求较高的轴
[ y] 0.0002 l
齿轮轴
[ y] (0.01 ~ 0.03)m
蜗轮轴
[ y] (0.02 ~ 0.05)m
m为齿轮的模数
§8-5 梁的刚度计算 刚度条件 1、数学表达式
y max y
2、刚度条件的应用
(1）校核刚度
max
（2）设计截面尺寸
（3）求许可载荷
§8-5 梁的刚度计算
§8-5 梁的刚度计算
解：（1）计算变形
F (50 5)kN 55kN
查型钢表，得
I z 32200cm
q 788 N / m4来自§8-5 梁的刚度计算
I z 32200cm
4
Fl 3 55103 N 9.23 m 3 yCF 48EI 48 210109 N / m 2 32200108 m 4 0.1319m 1.32cm
§8-5 梁的刚度计算
一简支梁，跨度中点承受集中载荷F。已知F=35KN，跨度l=4m，许用
应力[σ]＝160 MPa，许用挠度[y]=l /500，弹性模量E=200GPa，试选择工字
钢型号。
F=35kN A 2m l=4m 2m B
Wz 219 cm3
由型钢表中查得，
I z 2917cm