梁的刚度计算
梁的刚度计算
§10-6
RA
A
l 2
简 单 超 静 定 梁
RB
B
ql 2 mA 0, RBl 2 0. ql m 0 , R , RB 0.5ql. B A 2
q
C
l 2
静 定 问 题
由平衡方程可以解出全部未知数
RA
A
l 2
RC
C
ycq ycRC 0
A
C
B
多余反力 计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。
yB 0 RB
RA
A
l 2
RC
C
q
RB
B
l 2
例 已知梁的EI，梁的长度，求 各处的约束反力。
解：1) 受力分析，列平衡方程 判定超静定次数
q
A
RC
Y 0, RA RB RC ql 0 M A 0, RBl 0.5RCl 0.5ql2 0
I
=
A D
图1
B F1
图2
64
( D 4 d 4 ) 188 10 8 m 4
M
A L B
图3
+ +
F1 L2 F2 La 4 0 . 423 10 (弧度) B a 16EI 3EI C B F1L2 a F2 a 3 F2 a 2 L 6 y 5 . 19 10 m F 2 F2 C 2 16EI 3EI 3EI
3ql R A RB 16
RC l 3 5ql 4 0 384EI 48EI
RA
A
l 2
RC
C
梁的强度和刚度计算
梁的强度和刚度计算强度是指梁抵抗外力的能力。
梁的强度计算一般包括了两个方面：弯曲强度和剪切强度。
其中，弯曲强度是指梁在受到弯曲作用时的承载能力，剪切强度是指梁在受到剪切力作用时的承载能力。
弯曲强度的计算通常基于弹性理论，其中最常用的方法是根据梁的截面形状和材料的弹性模量来计算梁的截面抵抗力矩。
弹性模量是材料的一种力学性质，它衡量了材料在受力后产生的应变程度。
根据梁的截面形状和边界条件，可以计算出梁在弯曲作用下的最大应力和最大应变。
将最大应力与材料的弯曲强度进行比较，就可以判断梁是否满足设计要求。
剪切强度的计算也是基于弹性理论。
梁在受到剪切力作用时，梁内部会发生剪切变形。
剪切强度的计算包括两个方面：剪切应力和剪切变形。
剪切应力是指剪切力对梁截面的作用，剪切变形是指梁截面产生的剪切位移。
剪切强度的计算要求同时满足两个条件：剪切应力小于材料的剪切强度，剪切变形小于允许的变形限制。
刚度是指梁在受到力作用后的变形程度。
梁的刚度决定了梁的承载能力和结构的稳定性。
刚度的计算通常考虑梁的弹性变形和塑性变形两个方面。
弹性变形是指梁在小荷载下的弯曲变形，主要涉及梁的截面形状、材料的弹性模量和梁的长度等因素。
塑性变形是指梁在大荷载下的弯曲变形，主要涉及梁的屈服强度、截面形状和材料的塑性性质等因素。
根据梁的受力情况，可以计算出梁的弯曲刚度和剪切刚度。
弯曲刚度表示梁在受到弯曲作用时的抵抗变形能力，剪切刚度表示梁在受到剪切力作用时的抵抗变形能力。
在梁的强度和刚度计算中，需要根据具体的工程要求和设计规范进行。
梁的截面形状、材料的性质和受力情况都会对强度和刚度的计算结果产生影响。
因此，工程师需要根据具体情况选择适当的计算方法和模型进行计算。
同时，还需要进行合理的验算和对比，确保梁的设计满足强度和刚度的要求。
梁的变形与刚度计算
f2B qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 6 EI z
c L (1) L a
f2c
B
B
2c
B B
A
q
c
(2)
由叠加原理
f B f1B f 2 B
qL4 qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 8EI z 6EI z
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 2、调整跨长和改变结构 方法——同提高梁的强度的措施相同
3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到 一定的抵消作用）
w max L w L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
、设计载荷：
常处于从属地位。特殊构件例外）
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于
下面三个因素：
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。
B
A
C
x
挠曲线
C'
B
转角
y挠度
y
4、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
挠曲线
C'
混凝土梁线刚度的计算
混凝土梁线刚度的计算混凝土梁是建筑结构中常见的构件之一，用于承载和传递荷载。
在设计梁的过程中，计算梁的线刚度是非常重要的一步。
线刚度决定了梁的变形和位移情况，对于结构的安全性和稳定性有着重要影响。
混凝土梁的线刚度计算需要考虑多个因素，包括梁的几何形状、材料性质和截面特性等。
下面将从这些方面逐步介绍混凝土梁线刚度的计算方法。
1. 梁的几何形状混凝土梁的几何形状包括梁的长度、宽度和高度等。
梁的长度是一个关键参数，影响梁的刚度。
通常情况下，梁的长度越大，梁的刚度越小；梁的宽度和高度也会对梁的刚度产生影响，一般来说，梁的截面越大，梁的刚度越高。
2. 材料性质混凝土梁的材料性质主要包括混凝土的弹性模量和钢筋的弹性模量。
混凝土的弹性模量是一个描述混凝土刚度的参数，通常通过试验来确定。
钢筋的弹性模量也是一个重要的参数，它决定了钢筋对梁刚度的贡献程度。
在计算线刚度时，需要考虑混凝土和钢筋的弹性模量。
3. 梁的截面特性混凝土梁的截面特性是计算梁线刚度的关键因素之一。
梁的截面形状和钢筋布置方式会影响梁的刚度。
常见的梁截面形状包括矩形截面、T形截面和I形截面等。
不同截面形状的梁具有不同的刚度。
此外，钢筋的布置方式也会影响梁的刚度，通常在梁底部设置纵向钢筋，以增加梁的刚度。
在计算混凝土梁的线刚度时，可以使用简化的计算方法。
一种常用的方法是根据梁的几何形状和截面特性，计算梁的截面面积和抵抗力矩。
然后，根据梁的材料性质和截面特性，计算梁的刚度系数。
最后，根据梁的长度和刚度系数，计算梁的线刚度。
需要注意的是，混凝土梁的线刚度计算只是设计过程中的一部分，还需要考虑其他因素，如荷载、变形和位移限值等。
在进行线刚度计算时，还需要遵循相关的设计规范和标准，以确保结构的安全性和稳定性。
混凝土梁线刚度的计算是建筑结构设计中的重要一环。
通过考虑梁的几何形状、材料性质和截面特性等因素，可以计算出梁的线刚度。
线刚度的计算结果将影响梁的变形和位移情况，对于结构的安全性和稳定性有着重要影响。
梁的刚度计算范文
梁的刚度计算范文梁的刚度是指材料在受到外力作用时的抵抗变形的能力。
在工程中，刚度是一个非常重要的参数，它决定了梁的强度和稳定性。
梁的刚度计算可以通过不同的方法进行，下面将介绍两种常用的计算方法：简支梁的刚度计算和悬臂梁的刚度计算。
一、简支梁的刚度计算简支梁是指两个端点都可以转动的梁，它的刚度可以通过弯曲刚度来计算。
弯曲刚度是指单位长度下的梁的抵抗弯曲变形的能力。
1.简支梁的弯曲刚度公式简支梁的弯曲刚度可以通过以下公式进行计算：EI=(WL^3)/(48D)其中，EI为弯曲刚度，W为作用在梁上的力或负荷，L为梁的长度，D为梁的挠度。
2.弯曲刚度的单位和性质弯曲刚度的单位是N.m^2，它的数值越大，梁的刚度越高。
弯曲刚度与梁的材料属性有关，即与材料的弹性模量E和惯性矩I有关。
E表示材料的刚度，单位为N/m^2，I表示梁的惯性矩，单位为m^4、弯曲刚度EI 的数值越大，表示材料的刚度越高。
二、悬臂梁的刚度计算悬臂梁是指只有一个端点可以转动的梁，它的刚度可以通过挠度和力矩进行计算。
1.悬臂梁的挠度计算悬臂梁的挠度是指梁在受到外力作用时的弯曲变形。
悬臂梁的挠度可以通过以下公式进行计算：δ=(FL^3)/(3EI)其中，δ为悬臂梁的挠度，F为作用在梁上的力或负荷，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁的惯性矩。
2.悬臂梁的刚度计算悬臂梁的刚度可以通过力矩和挠度的比值来计算：K=M/δ其中，K为悬臂梁的刚度，M为悬臂梁上的力矩，δ为悬臂梁的挠度。
总结：梁的刚度是指梁在受到外力作用时的抵抗变形的能力。
梁的刚度可以通过弯曲刚度和挠度进行计算。
简支梁的刚度可以通过弯曲刚度进行计算，悬臂梁的刚度可以通过力矩和挠度的比值进行计算。
两种方法都可以用来计算梁的刚度，根据具体的梁结构和受力情况选择适当的计算方法。
梁的刚度计算
l=400mm，a=100mm，E=210GPa，
l/2 l/2 a
F1=2kN，F2=1kN， [yC]=0.0002l，
[B]=0.001rad。 试校核主轴的刚度。
解 Iz=1.88106mm4
A
应用叠加法计算C截面的挠度和
B截面的转角为 。yC=5.9110-3mm
F2 BF1
D
B
BF2
F1 yCF1
Fl 2 16 EI z
ql3 24 EI z
B=BF+Bq=
Fl2 16 EI z
ql 3 24 EI z
q
机械工业出版社
A
C
B
Aq
yCq Bq
AF yCF
BF
A
C
B
F
Bq
ql 3 24 EI z
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在一经简化处理的机床空心主轴 A
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1．挠度和转角
y
度量梁的变形的两个基
本物理量是挠度和转角。它 A 们主要因弯矩而产生， 剪
力的影响可以忽略不计。
机械工业出版社
m Fm1 C BF x
挠曲线 n1
C1 B1 n
以悬臂梁为例，变形前梁的轴线为直线AB，mn 是梁的某一横截面，变形后AB变为光滑的连续曲线 AB1。mn转到了m1n1的位置。
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设全轴（包括外伸端）可近似视为等
机械工业出版社
DB
C
例7-17 截面梁，且刀具与齿轮受力恰在同一
平面内。已知轴的外径D=80mm，内 径d=40mm，AB跨长l=400mm ，外伸 A 长a=100mm，材料的弹性模量
梁的刚度计算
梁的刚度计算The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020梁的强度和刚度计算1．梁的强度计算梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。
（1）梁的抗弯强度作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下：梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时f W M nxx x≤=γσ（5-3）双向弯曲时f W M W M nyy y nx x x≤+=γγσ（5-4）式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）；W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量；y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到；f ——钢材的抗弯强度设计值。
为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。
需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。
（2）梁的抗剪强度一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。
工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。
截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。
在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。
因此，设计的抗剪强度应按下式计算v wf It VS≤=τ（5-5）式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值；S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度；f v ——钢材的抗剪强度设计值。
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
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梁得强度与刚度验算
1．如图1所示一根简支梁长m,梁得自重为;钢材得等级与规格(,),，，,均为已知。梁上作用恒荷载,荷载密度为,荷载分项系数为1、2,截面塑性发展系数为,。试验算此梁得正应力及支座处剪应力。
图1
解:
(1）计算作用在梁上得总弯矩
需要计算疲劳得梁，按弹性工作阶段进行计算,宜取。
(2)梁得抗剪强度
一般情况下,梁同时承受弯矩与剪力得共同作用。工字形与槽形截面梁腹板上得剪应力分布如图5-3所示。截面上得最大剪应力发生在腹板中与轴处。在主平面受弯得实腹式梁,以截面上得最大剪应力达到钢材得抗剪屈服点为承载力极限状态。因此,设计得抗剪强度应按下式计算
ﻩﻩﻩﻩ(5-7）
式中:——腹板计算高度边缘同一点上得弯曲正应力、剪应力与局部压应力。按式（5－5)计算，按式(5-6)计算,按下式计算
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(5-８)
——净截面惯性矩；
y——计算点至中与轴得距离;
均以拉应力为正值,压应力为负值;
——折算应力得强度设计值增大系数。当异号时,取=１、2;当同号或＝0取＝１、1。
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（5-5）
式中:V——计算截面沿腹板平面作用得剪力设计值;
S——中与轴以上毛截面对中与轴得面积矩；
I——毛截面惯性矩;
tw——腹板厚度;
fv——钢材得抗剪强度设计值。
图５－３腹板剪应力
当梁得抗剪强度不满足设计要求时,最常采用加大腹板厚度得办法来增大梁得抗剪强度。型钢由于腹板较厚,一般均能满足上式要求,因此只在剪力最大截面处有较大削弱时,才需进行剪应力得计算。
梁得强度与刚度计算
１．梁得强度计算
梁得强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度与折算应力,设计时要求在荷载设计值作用下,均不超过《规范》规定得相应得强度设计值。
(1)梁得抗弯强度
作用在梁上得荷载不断增加时正应力得发展过程可分为三个阶段,以双轴对称工字形截面为例说明如下：
梁得抗弯强度按下列公式计算：
单向弯曲时
实际工程中只就是梁得某一截面处腹板边缘得折算应力达到承载力极限,几种应力皆以较大值在同一处出现得概率很小,故将强度设计值乘以予以提高。当异号时,其塑性变形能力比同号时大,因此值可取得更大些。
２.梁得刚度
梁得刚度验算即为梁得挠度验算。按下式验算梁得刚度
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（5-9)
式中:——荷载标准值作用下梁得最大挠度;
hy——自梁承载得边缘到腹板计算高度边缘得距离;
hR——轨道得高度,计算处无轨道时hR＝0;
a1——梁端到支座板外边缘得距离,按实际取,但不得大于2、５hy。
腹板得计算高度ｈ０按下列规定采用:
轧制型钢梁为腹板在与上、下翼缘相交接处两内弧起点间得距离;焊接组合梁,为腹板高度；铆接(或高强度螺栓连接)组合梁，为上、下翼缘与腹板连接得铆钉(或高强度螺栓)线间最近距离。
ﻩﻩﻩﻩﻩ(5-3)
双向弯曲时
ﻩﻩﻩﻩﻩ(5-4）
式中：Mx、My——绕x轴与y轴得弯矩(对工字形与H形截面,x轴为强轴，ｙ轴为弱轴);
Wnx、Ｗny——梁对x轴与y轴得净截面模量;
——截面塑性发展系数,对工字形截面,;对箱形截面,;对其她截面，可查表得到;
f——钢材得抗弯强度设计值。
为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳,当梁受压翼缘得外伸宽度b与其厚度t之比大于，但不超过时,应取。
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（５-6)
式中:F——集中荷载,对动力荷载应考虑动力系数；
——集中荷载增大系数:对重级工作制吊车轮压,=１、３5；对其她荷载，＝１、0;
——集中荷载在腹板计算高度边缘得假定分布长度，其计算方法如下
ﻩ跨中集中荷载＝a+5hy+2hＲ
梁端支反力=a+２、5hy+ａ1
ａ——集中荷载沿梁跨度方向得支承长度,对吊车轮压可取为５0mm;
(３）梁得局部承压强度
图5-4局部压应力
当梁得翼缘受有沿腹板平面作用得固定集中荷载且该荷载处又未设置支承加劲肋,或受有移动得集中荷载时，应验算腹板计算高度边缘得局部承压强度。
在集中荷载作用下,翼缘类似支承于腹板得弹性地基梁。腹板计算高度边缘得压应力分布如图5-4c得曲线所示。假定集中荷载从作用处以1∶2、5(在hy高度范围)与１∶1（在ｈR高度范围)扩散,均匀分布于腹板计算高度边缘。梁得局部承压强度可按下式计算
当计算不能满足式(5-6)时,在固定集中荷载处，应设置支承加劲肋予以加强，并对支承加劲肋进行计算。对移动集中荷载,则应加大腹板厚度。
(4）折算应力
在组合梁得腹板计算高度边缘处,当同时受有较大得正应力σ、剪应力τ与局部压应力σc时,或同时受有较大得正应力σ与剪应力τ时(如连续梁得支座处或梁得翼缘截面改变处等),应按下式验算该处得折算应力
计算梁自重产生得弯矩为：
外荷载在跨中产生得最大弯矩为:
总弯矩为：
(2)验算弯பைடு நூலகம்正应力:
(3)验算支座处最大剪应力:
支座处最大剪力:
剪应力：
<