第9章梁的弯曲变形与刚度计算
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材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
qx4
ql 12
x3
C x D 1
1
C 材料力学方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
6 梁的最大挠度：根据对称性
E Iw m a x E Iw |2 l 2 1 4 q 2 l 4 1 q 2 l 2 l 3 q 2 l4 3 2 l 3 5 8 q 4 lE 2 I
第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算 9.1 挠曲线 挠度和转角 9.2 挠曲线近似微分方程 9.3 积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计 9.6 用变形比较法解简单超静定梁
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.1 挠曲线 挠度和转角
1、梁的变形特点
平面假设
1 M z (x)
EI z * 思考：
1、若M常量
2、 若MM（x）
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
9.3 积分法求梁的变形
1、挠曲线方程（弹性曲线）
EIw (x)M (x)
EIw (x)M (x)dxC 1
E Iw (x ) (M (x )d x )d x C 1 x C 2
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
q
小变形（小挠度）
C
挠曲线
P x
w(x)
w(x)
C1
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线
挠曲线方程
挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移 w w(x)
转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度 qtanqdwx
材料力学第9章--梁挠度和刚度计算
dx
第9章__梁的挠度和刚度计算
第9章__梁的挠度和刚度计算在结构分析中，梁的挠度和刚度是非常重要的参数，它们能够帮助我们了解和评估梁的性能和稳定性。
本章主要介绍了梁的挠度和刚度的计算方法。
首先，我们需要了解梁的挠度是什么。
简单来说，梁的挠度指的是梁在承受荷载时的弯曲和垂直变形程度。
挠度大小反映了梁的柔软性和变形能力，对于结构工程来说，挠度必须在允许范围内，以保证结构的安全和稳定。
梁的挠度计算可以通过简化的工程解析方法或者数值计算方法来进行。
这里主要介绍两种常用的方法。
第一种方法是基于简化的工程解析方法，即梁的挠度计算公式。
根据梁的几何形状和受力情况，可以得到不同类型梁的挠度计算公式。
例如，对于简支梁，其挠度可以用以下公式计算：δ=(5*q*L^4)/(384*E*I)其中，δ是梁的最大挠度，q是梁的单位长度荷载，L是梁的长度，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩。
对于其他类型的梁，如悬臂梁、连续梁等，也有相应的挠度计算公式。
通过这些公式可以得到梁的最大挠度。
第二种方法是使用数值计算方法，主要是有限元法。
有限元法是一种通过将结构分割成若干小单元，然后进行位移解和力学分析的方法。
通过有限元软件，可以模拟梁在荷载作用下的变形情况，并得到挠度的数值解。
此外，在梁的挠度计算中，还需要考虑梁的边界条件。
梁的边界条件决定了梁的约束程度，也会影响梁的挠度大小。
常见的边界条件包括简支、悬臂、固支等。
在梁的刚度计算中，主要考虑的是梁的弯曲刚度和剪切刚度。
弯曲刚度指的是梁在弯曲过程中对外力的抵抗能力，可以用弯矩-曲率关系来表示。
剪切刚度指的是梁在受剪力作用下的变形能力，可以用剪力-变形关系来表示。
梁的弯曲刚度和剪切刚度分别可以通过以下公式计算：弯曲刚度：EI=M/θ剪切刚度：GA=T/ϕ其中，E是梁的弹性模量，I是梁的截面惯性矩，G是梁的剪切模量，A是梁的横截面积，M是梁的弯矩，θ是梁的曲率，T是梁的剪力，ϕ是梁的剪应变。
通过计算弯曲刚度和剪切刚度，我们可以评估梁在荷载作用下的响应和变形情况，进一步判断结构的性能和稳定性。
第九章梁的弯曲变形
a xl
在 x l / 2处
y 0.5l
Fb
(3l 2 4b 2 ) 48 EI
yqx(l32lx2x3) 2E 4 I
A
B
ql3 24EI
x
l 2
ymax
5ql4 384EI
梁的简图
第九章 梁的弯曲变形
挠曲线方程
y6M EI(xllx)2(lx)
yC1
aB
qa4 2EI
yC2
qa4 8EI
3）叠加 y C y C 1 y C 2 2 q E 4a 8 I q E 4a I 5 8 q E 4( a I)
第九章 梁的弯曲变形
例9-5 悬臂梁跨度为 l =2m，截面为矩形，宽b = 100mm，高h =120mm，材料的弹性模量E=210GPa， 梁上载荷如图所示，求自由端A的挠度。
挠曲线方程 y f (x)
第九章 梁的弯曲变形
二、挠度和转角
挠度：截面形心线位 移的垂直分量称为该 截面的挠度，用 y 表 示，一般用 ymax 表示 全梁的最大挠度。
转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角
位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小，
则有以下关系：
tanydy
1
(x)
M(x) EI
曲线 y f(x)的曲率
1
(x)
(1yy2)3/2
二阶小量
y (1y2)3/2
M(x) EI
挠曲轴线 近似微分方程
y M(x) EI
第九章 梁的弯曲变形
挠曲轴线 近似微分方程
y
工程力学第九章
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9.4
梁的弯曲变形与刚度
2.
挠度和转角
(1) 挠度 是指梁轴线上的一点在垂直于轴线方向上的位移， 通常用y表示。
一般规定向上的挠度为正，向上的挠度为负。它的单位是mm。 (2) 转角 是指梁的各截面相对原来位置转过的角度，用θ 表
示。
一般规定，逆时针方向的转角为正，顺时针的转角为负。它 的单位是弧度(rad)或度(º)。
远的边缘处。其计算公式为
max
(2) 梁的正应力强度条件为
M max y max M max Iz Wz
M max ≤[σ ] Wz
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max
小
结
max
* FQ S z
(3) 梁横截面上的切应力与切应力强度条件 对矩形截面梁，横截面上的切应力计算公式为 其最大切应力在截面的中性轴上，计算公式为 梁的切应力强度条件为τ max≤[τ ]
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9.2
梁弯曲时正应力强度计算
梁弯曲时正应力强度计算
9.2
为了保证梁在载荷作用下能够正常工作，必须使梁具备足够 的强度。也就是说，梁的最大正应力值不得超过梁材料在单 向受力状态(轴向拉、压情况)下的许用应力值[σ ]，即 M max max ≤[σ ] （9.10） Wz 式(9.10)就是梁弯曲时的正应力强度条件。需要指出的是， 式(9.10)只适用于许用拉应力[σ l]和许用压应力[σ y]相等 的材料。如果两者不相等(例如铸铁等脆性材料)，为保证梁 的受拉部分和受压部分都能正常工作，应该按拉伸式
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My Iz
(9.4)
工程力学 9弯曲
O
讨论： 惯性矩大于零
z
§A.3 惯性矩的平行移轴公式
组合截面的惯性矩
1.惯性矩的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C为其形心，Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为Oxy ,形心C在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
20
③计算静矩Sz(ω)和SzC(ω)
Sz ( ) A y C (0.1 0.02 0.14 0.02 0.103 0.494m 3 )
S zc ( ) Ai y C 0.1 0.02 0.047 - 0.02 0.14 0.033 1.6 10 6 m 3
（f)
纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
(c)
令中性层的曲率半径为(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 dx y
切应力。
F
FS
M
F
M
C
C
F
A
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
计算公式的推导 (1) 几何方面━━ 藉以找出与横截面上正应力相对应 的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。 表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：
(a)
1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵 向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁
工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算
挠曲线
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
第十三讲：第九章 梁的弯曲-变形刚度计算概要
例11
求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
Me A
x
e
解：
1.列微分方程并积分
B
M e Me x e M e FAy= M M EIy xx M l l l Me 2 EIy x Me x C 2l Me 3 Me 2 EIy x x Cx D 6l 2
33 5 Fl Fl Fl 2 l 6EI EI 2 EI 3
五、 叠加法求梁的变形
基本原理 由几个外力同时作用时所引起的梁的变形 转角和挠度 等于
由各个外力单独作用时所引起的梁的变形的代数和
q F M
e
y yq y F y M e
例13 求B和yB 解： 1. Me单独作用时 2Mel BM e EI 2 2 2 M l M 2 l e y BM e e EI 2 EI 2. F单独作用时 2 Fl BF CF 2 EI yBF yCF CF l
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2.数学方面
A
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
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也有线位移。
但在小变形情况下, 梁的挠度远小于跨长,
横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于
高阶微量, 可略去不计。
y
F
A
CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。
挠曲线方程: w f (x)
式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该
解: 由对称性可知, FA
q
FB
梁的两个支反力为
A
B x
FA
FB
ql 2
x l
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M (x) ql x 1 qx2 q (lx x2 ) (a) 22 2
EIw M (x) q (lx x2 )
(b)
2
y
FA
q
FB
A x
B x
l
EIw M (x) q (lx x2 )
点的挠度。
y
F
A
挠曲线
CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
y
F
A
C Bx
w(挠度) C1
挠度与转角的关系：
(转角)
tan w f (x)
9.2 挠曲线的近似微分方程
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 1 M
EI 横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁
的位移的影响, 则
取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为x轴, 横截面的铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。
y
A
挠度符号？
C
B
w
x
C1
B'
挠度
挠度(w): 横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方 向的线位移, 称为该截面的挠度(Deflection) 。
y A
转角符号？
C
B
C1
转角
x
B'
转角(): 横截面绕中性轴(即Z轴)转过的角度（或
D点的连续条件：
在x = a处, 1＝2, w1＝w2
边界条件:
在x = 0处, w1＝0 在x = l处, w2＝0
FA
a
F
b
FB
A
I
II
B
D
x l
代入方程可解得:
C1
C2
Fb 6l
(l 2
b2)
D1 D2 0
将积分常数代入得
梁段I ( 0 x a)
梁段II ( a x l)
转角方程
讨论2: BD段上有无θ=0的点？
当2
w2'
Pb 2LEI
L b
(x
a)2
x2
1 (L2 3
b
2
)
0时，
w2有最大值
FA
a
F
b
FB
AI
II
B
D
x
l
即x2 L
b 2a b
3
但当b a时有：x2 a即x2不在ＤＢ段，
即在DB段无 =0的点。
9.4 按叠加原理计算梁的挠度和转角
条件：由于梁的变形微小, 梁变形后其跨长的改变可略 去不计, 且梁的材料在线弹性范围内工作, 因而, 梁的挠 度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。
q
解：该梁上荷载可视为正 A
B C
对称载荷与反称对载荷两
l/2
l/2
种情况的叠加。
q/2
(1) 正对称载荷作用下
A
C
B
5(q 2)l4
5ql 4
wC1 384EI
768EI
A
q/2 C B
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分
EIw M (x) Fl Fx
EIw M (x) Fl Fx
EIw
Flx
Fx2 2
C1
(a)
Flx2 Fx3 EIw 2 6 C1x C2 (b)
y
(3) 确定积分常数
A
在x＝0处, w＝0
x
在x＝0处, ＝0
代入式(a)和(b), 得： C1＝0,
q Me
解：将梁上荷载分为两项 A
C
B
简单的荷载。
l
wC wCq wCM
5ql4 M el2 384EI 16EI
A Aq AM
ql3 M el 24EI 3EI
B
Bq BM
ql3 M el 24EI 6EI
例:试利用叠加法, 求图示抗弯刚度为EI的简支
梁跨中点的挠度wC。
F B
x
l
C2＝0
(4) 建立转角方程和挠度方程
将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b), 得梁
的转角方程和挠度方程分别y 为：
w Flx Fx2
EI 2EI
A
F B
w Flx2 Fx3 2EI 6EI
max
x
wma
x
x
l
(5) 求最大转角和最大挠度
自由端B处的转角和挠度绝对值最大。
1 M (x)
(x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
( x)
(1
w w2
)
3 2
M (x) EI
(1
w w2
)
3 2
M (x) EI
曲线向上凸 时： w’’<0, M＜0
y
M
M
M＜0 w’’<0
O O
x
曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0
因此, M与w’’的正负号相同。 y
M
M
w
(l2 b2 )3
wmax
Fbl2 9 3lEI
0.0642
Fbl 2 EI
梁中点C处的挠度为
wC
w1
|
x
l
2
Fb 48EI
(3l 2
4b2 )
略去b2项, 得
Fbl 2
Fbl 2
wC
16EI
0.0625
EI
结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只 要挠曲线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨 中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工 程要求的。
a)
积分一次 得转角方 程
EIw1
F
b l
x2 2
C1
EIw2
F
b l
x2 2
F(x a)2 2
C2
再积分一 次得挠曲 线方程
EIw1
F
b l
x3 6
C1x
D1
EIw2
F
b l
x3 6
F(x 6
a)3
C2 x
D2
注意：在对梁段II进行积分运算时, 对含有(x-a)的弯矩 项不要展开, 而以(x-a)作为自变量进行积分, 这样可使下 面确定积分常数的工作得到简化。
角位移）, 称为该截面的转角(Slope rotation angle) 。
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。
转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。
y
F
A
C Bx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题 必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后, 在x轴方向
x2 ]
0
FA A
a I
F
b II
FB B
x1
l2 b2 3
a(a 2b) 3
D x
l
当a > b时, x1< a, 最大挠度确实在第一段梁中
Fb
wmax
w1 |xx1
9
3lEI
(ห้องสมุดไป่ตู้2 b2 )3
讨论1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？
由x1
l2 b2 3
a(a 2b) 3
1
w1
Fb 2lEI
[1 3
(l 2
b2 )
x2 ]
2
w2
Fb 2lEI
[l b
(x
a)2
x2
1 3
(l 2
b2 )]
挠曲线方程
w1
Fbx 6lEI
[l 2
b2
x2 ]
w2
Fb 6lEI
[l b
(x
a)3
x3
(l 2
b2)x]
将x = 0和x = l分别代入转角方程左右两支座 处截面的转角
A
1
)
C1
C2
q
0
(l 3
6lx2
EIw
4x3)
q 2
( lx3 6
x4 12
)
C1x
C2
24EI
w qx (l3 2lx2 x3) 24EI
由对称性可知, 在两 端支座x＝0和x＝l 处, 转角的绝对值相 等且都是最大值
y
A
A
l/2
q wmax B
B x
max
A B
m ql3 24EI
w q (l3 6lx2 4x3)
24EI
在梁跨中点l/2处有最大 挠度值
w qx (l3 2lx2 x3) 24EI
wmax
w
|
x
l
2
5ql4 384EI
例3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受
一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转
角方程, 并求其最大挠度和最大转角。
解: 求出梁的支反力为
FA
但在小变形情况下, 梁的挠度远小于跨长,
横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于
高阶微量, 可略去不计。
y
F
A
CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。
挠曲线方程: w f (x)
式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该
解: 由对称性可知, FA
q
FB
梁的两个支反力为
A
B x
FA
FB
ql 2
x l
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M (x) ql x 1 qx2 q (lx x2 ) (a) 22 2
EIw M (x) q (lx x2 )
(b)
2
y
FA
q
FB
A x
B x
l
EIw M (x) q (lx x2 )
点的挠度。
y
F
A
挠曲线
CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
y
F
A
C Bx
w(挠度) C1
挠度与转角的关系：
(转角)
tan w f (x)
9.2 挠曲线的近似微分方程
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 1 M
EI 横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁
的位移的影响, 则
取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为x轴, 横截面的铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。
y
A
挠度符号？
C
B
w
x
C1
B'
挠度
挠度(w): 横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方 向的线位移, 称为该截面的挠度(Deflection) 。
y A
转角符号？
C
B
C1
转角
x
B'
转角(): 横截面绕中性轴(即Z轴)转过的角度（或
D点的连续条件：
在x = a处, 1＝2, w1＝w2
边界条件:
在x = 0处, w1＝0 在x = l处, w2＝0
FA
a
F
b
FB
A
I
II
B
D
x l
代入方程可解得:
C1
C2
Fb 6l
(l 2
b2)
D1 D2 0
将积分常数代入得
梁段I ( 0 x a)
梁段II ( a x l)
转角方程
讨论2: BD段上有无θ=0的点？
当2
w2'
Pb 2LEI
L b
(x
a)2
x2
1 (L2 3
b
2
)
0时，
w2有最大值
FA
a
F
b
FB
AI
II
B
D
x
l
即x2 L
b 2a b
3
但当b a时有：x2 a即x2不在ＤＢ段，
即在DB段无 =0的点。
9.4 按叠加原理计算梁的挠度和转角
条件：由于梁的变形微小, 梁变形后其跨长的改变可略 去不计, 且梁的材料在线弹性范围内工作, 因而, 梁的挠 度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。
q
解：该梁上荷载可视为正 A
B C
对称载荷与反称对载荷两
l/2
l/2
种情况的叠加。
q/2
(1) 正对称载荷作用下
A
C
B
5(q 2)l4
5ql 4
wC1 384EI
768EI
A
q/2 C B
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分
EIw M (x) Fl Fx
EIw M (x) Fl Fx
EIw
Flx
Fx2 2
C1
(a)
Flx2 Fx3 EIw 2 6 C1x C2 (b)
y
(3) 确定积分常数
A
在x＝0处, w＝0
x
在x＝0处, ＝0
代入式(a)和(b), 得： C1＝0,
q Me
解：将梁上荷载分为两项 A
C
B
简单的荷载。
l
wC wCq wCM
5ql4 M el2 384EI 16EI
A Aq AM
ql3 M el 24EI 3EI
B
Bq BM
ql3 M el 24EI 6EI
例:试利用叠加法, 求图示抗弯刚度为EI的简支
梁跨中点的挠度wC。
F B
x
l
C2＝0
(4) 建立转角方程和挠度方程
将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b), 得梁
的转角方程和挠度方程分别y 为：
w Flx Fx2
EI 2EI
A
F B
w Flx2 Fx3 2EI 6EI
max
x
wma
x
x
l
(5) 求最大转角和最大挠度
自由端B处的转角和挠度绝对值最大。
1 M (x)
(x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
( x)
(1
w w2
)
3 2
M (x) EI
(1
w w2
)
3 2
M (x) EI
曲线向上凸 时： w’’<0, M＜0
y
M
M
M＜0 w’’<0
O O
x
曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0
因此, M与w’’的正负号相同。 y
M
M
w
(l2 b2 )3
wmax
Fbl2 9 3lEI
0.0642
Fbl 2 EI
梁中点C处的挠度为
wC
w1
|
x
l
2
Fb 48EI
(3l 2
4b2 )
略去b2项, 得
Fbl 2
Fbl 2
wC
16EI
0.0625
EI
结论: 在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只 要挠曲线上无拐点, 其最大挠度值都可用梁跨 中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工 程要求的。
a)
积分一次 得转角方 程
EIw1
F
b l
x2 2
C1
EIw2
F
b l
x2 2
F(x a)2 2
C2
再积分一 次得挠曲 线方程
EIw1
F
b l
x3 6
C1x
D1
EIw2
F
b l
x3 6
F(x 6
a)3
C2 x
D2
注意：在对梁段II进行积分运算时, 对含有(x-a)的弯矩 项不要展开, 而以(x-a)作为自变量进行积分, 这样可使下 面确定积分常数的工作得到简化。
角位移）, 称为该截面的转角(Slope rotation angle) 。
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。
转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。
y
F
A
C Bx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题 必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后, 在x轴方向
x2 ]
0
FA A
a I
F
b II
FB B
x1
l2 b2 3
a(a 2b) 3
D x
l
当a > b时, x1< a, 最大挠度确实在第一段梁中
Fb
wmax
w1 |xx1
9
3lEI
(ห้องสมุดไป่ตู้2 b2 )3
讨论1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？
由x1
l2 b2 3
a(a 2b) 3
1
w1
Fb 2lEI
[1 3
(l 2
b2 )
x2 ]
2
w2
Fb 2lEI
[l b
(x
a)2
x2
1 3
(l 2
b2 )]
挠曲线方程
w1
Fbx 6lEI
[l 2
b2
x2 ]
w2
Fb 6lEI
[l b
(x
a)3
x3
(l 2
b2)x]
将x = 0和x = l分别代入转角方程左右两支座 处截面的转角
A
1
)
C1
C2
q
0
(l 3
6lx2
EIw
4x3)
q 2
( lx3 6
x4 12
)
C1x
C2
24EI
w qx (l3 2lx2 x3) 24EI
由对称性可知, 在两 端支座x＝0和x＝l 处, 转角的绝对值相 等且都是最大值
y
A
A
l/2
q wmax B
B x
max
A B
m ql3 24EI
w q (l3 6lx2 4x3)
24EI
在梁跨中点l/2处有最大 挠度值
w qx (l3 2lx2 x3) 24EI
wmax
w
|
x
l
2
5ql4 384EI
例3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受
一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转
角方程, 并求其最大挠度和最大转角。
解: 求出梁的支反力为
FA