第十三讲：第九章 梁的弯曲-变形刚度计算解析

由 y 0, x0
D0
y Me 3x2 6lx 2l 2 6EIl
由 y 0, xl
C Mel 3
y Me x x2 3lx 2l 2 6EIl
例11 求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
解：
Me
Me 3x2 6lx 2l 2
A
B
6EIl
x
y Me x x2 3lx 2l 2
五、 叠加法求梁的变形
基本原理 由几个外力同时作用时所引起的梁的变形
等于
转角和挠度
由各个外力单独作用时所引起的梁的变形的代数和
q F Me y yq yF yMe
例13 求B和yB
解：1. Me单独作用时
A
BM e
2Mel EI
yBM e
Me 2l
2EI
2
2Mel EI
2
FAy=
Me l
6EIl
FBy=
Me l
l
3.求 ymax
由 =0，
x0 1
3 3
l
0.423l
ymax
yx0
0.0642
Mel 2 EI
yC
y
l 2
0.0625
Mel 2 EI
可见：yC与ymax相差很小，两者相差不到ymax的3%。
对于简支梁，只要挠曲线上无拐点，总可以用跨中挠度
工代程替上最通大常挠采度用，中并点且的不挠会度引值起作很为大设误计差依。据
A
F C
Me B
l
l
yBMe
BMe B M e
2. F单独作用时
BF
CF
Fl 2 2EI
yBF yCF CF l
5FFl l33 Fl 2 l
36EEII 2EI
3. Me和F共同作用时
F
C
B
A
yBF
BF
B
BMe
BF
2Mel EI
Fl 2 2EI
yB
y BM e
yBF
2Mel 2 EI
y ( = 0)
1 = 2
( = 0)
例11 求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
解：
Me
1.列微分方程并积分
A
EIy
MMe l
xMxl eMxe
Me
FAy=
Me l
x
EIy
Me 2l
x2
Mex C
l
B
FBy=
Me l
EIy Me x3 Me x2 Cx D
6l
2
2.确定积分常数
对于等直杆 转角方程： 挠曲线方程：
EIy Mx
EI Mxdx C EIy Mxdxdx Cx D
四、位移条件
1. 已约知束位条移件条件 2. 位移连续条件
挠度连续——连续性条件 转角连续——光滑性条件
F
x
y
x=l,y=0
=0
F x0
A
1
2B
x
x = 0, y = 0 x = x0 , y 1= y 2 x = l , y = 0
第四节 弯曲变形和刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角 二、挠曲线近似微分方程 三、积分法求梁的变形 四、位移条件
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
A
C
C' y
1' 1
挠曲线——梁在受力变形后的轴线，
F B x
又称为弹性曲线
若忽略剪力的影响，横截面绕其自身中性轴旋转
一、梁的变形度量——挠度与转角
例11 求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
解：
Me
4.画挠曲线的大致形状
A
x
FAy=
Me l
l
M Me
B
FBy=
Me l
x
例12 求图示梁的弯曲变形
解：
A
x
F C
x
Me B
l
l
AC段：
CB段：
EIy1 MM1exFl x
EIy1
Fx2 2
Me
Fl x
C1
EIy1
Fx3 6
Me
Flx2
,
yBFBy
FBy l 3 3 EI
A
代入上式，解得
3 FBy 8 ql
B 原结构
B 静定基 FBy
B x
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
y
C' y
1' 1
来自百度文库
B x
y f ( x) ——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
在小变形下： 即：
x
1 1'
F
A
C
y
C'
y
1' 1
tan dy y
dx
B x
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
求梁变形的关键是求挠曲线方程
一次超静定梁
二次超静定梁
变形比较法
超静定梁的解法
1.选择静定基
2.通过比较多余约束处的变形求出多余约束力
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
解： 一次超静定
q
1.取静定基
A
l
设FBy为多余约束力
2.求FBy
q A
列变形几何方程
yB yBq yBFBy 0
q
查表
A
yBq
ql 4 8EI
二、挠曲线近似微分方程
1.力学方面
CD段：纯弯曲
1 M
EI
AC段：横力弯曲
（忽略剪力的影响）
x
1
x
Mx
EI
x
aF
A
C
x y
F
FQ
Fa
M
Fa
D
B
x
F
二、挠曲线近似微分方程
1.力学方面
x Mx
EI
2.数学方面
x
1
y y2
32
x
aF
A
C
x y
3.挠曲线近似微分方程
y
Mx
1 y2 3 2 EI
x
1 1'
F
A
C
y
C'
y
1' 1
B x
挠度（y）
—— 横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移 称为该点（横截面的形心）的挠度 向上为正，向下为负
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
y
C'
y
1' 1
转角（）
—— 横截面绕其中性轴旋转的角度 称为该横截面的转角
顺时针转为正，逆时针转为负
挠度与转角是度量梁的变形的两个基本量
Fa
D
B
x
二、挠曲线近似微分方程
y
Mx
1 y2 3 2 EI
O
x
M
M
y
符号处理： y"与M(x)恒异号
O
x
1
y y2
32
Mx
EI
M
M
y
——挠曲线微分方程
在小变形情况下，通常 <1，而tan1=0.017， y'2<<1
EIy M x ——挠曲线近似微分方程
三、积分法求梁的变形
5Fl 3 6EI
梁的刚度条件与梁的合理设计
一、梁的刚度条件
[ ] max
y [ y] max
式中
[ ]——许用转角 [ y]——许用挠度
二、梁的合理设计
由 EIy Mx出发：
1.提高梁的抗弯刚度 2.减小梁跨度 3.改善梁的受力情况
简单超静定梁的解法
超静定梁 ——仅用平衡方程不能求出全部约束反力的梁 多余约束 ——就维持梁的平衡而言所不必要的约束 多余约束力 ——与多余约束相应的约束反力 超静定次数 ——多余约束的个数
2
C1x
D1
EIy2 Me2x
EIy2 Me x C2
EIy2
Me x2 2
C2x
D2
边界条件： 连续条件：
x 0 1 0
y1 0
x l 1 2
y1 y2
C1 0
D1 0 Fl 2
C2 2 Fl 3
D2 6
B
2Mel EI
Fl 2 2EI
yB
2Mel 2 EI
5Fl 3 6EI