第7章梁的变形分析与刚度计算
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材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
3．确定积分常数
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
钢筋混凝土构件的裂缝及变形验算
第7章 钢筋混凝土构件的裂缝及变形验算
7.3 受弯构件挠度验算
一、受弯构件挠度验算的特点
对于简支梁承受均布荷载作用时，其跨中挠度：
f
5(g k
qk
)l
4 0
384 EI
Bs ––– 荷载短期效应组合下的抗弯刚度
B Bl ––– 荷载长期效应组合影响的抗弯刚度
f
5(gk qk )l04 384 B
例如，对矩形截面受弯构件，可根据代换前、后弯矩相等原则复 核截面承载力，即
裂缝宽度验算就是要计算构件的在荷载作用下产生的最大裂缝 宽度不应超过《规范》规定的最大裂缝宽度限值，即
wmax≤wlim
混凝土构件的最大裂缝宽度限值wlim见附表A-12。
第7章 钢筋混凝土构件的裂缝及变形验算
一、钢筋混凝土构件裂缝的形成和开展过程
通过理论分析可知， 裂缝之间混凝土和钢筋的 应变沿轴线分布为曲线形， 如图7-1（b）、（c）所示。 裂缝截面钢筋应变最大， 混凝土的应变为零；裂缝 间混凝土的应变最大，钢 筋的应变最小。
（1）等强度代换。当构件受承载力控制时，钢筋可按强度相等 原则进行代换。
（2）等面积代换。当构件按最小配筋率配筋时，钢筋可按面积 相等原则进行代换。
（3）当构件受裂缝宽度或挠度控制时，钢筋代换后应进行裂缝 宽度或挠度验算。
第7章 钢筋混凝土构件的裂缝及变形验算
二、代换方法
1、等强度代换
不同规格钢筋的代换，应按钢筋抗力相等的原则进行代换,即
《规范》规定：对构件进行正常使用极限状态验算时，应按荷载 效应的标准组合和准永久组合，或标准组合并考虑长期作用影响来进 行。标准组合是指对可变荷载采用标准值、组合值为荷载代表值的组 合；准永久组合是指对可变荷载采用准永久值为荷载代表值的组合。
梁的强度和刚度计算
Sz;
dT 'bdx;
x 0, N1 N2 dT 0;
' dMSz , dM Q, ' ;
dxI zb dx
QS z ;
I zb
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矩形截面剪应力计算公式：
QS
* z
式中:Q—横截面上的剪力；
Izb
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度；
763 5.2
146 .7cm3;W2
z y2
763 8.8
86.7cm3;
(3)C截面的正应力强度校核:
max
W2 Mc
86.7 10
6
310
34.7MPa ; max
W1 MD
146.7 10
6
310
20.5MPa ;
3
3
(4)D截面的正应力强度校核:
max
W1 MD
146.7 10
6
4.810
32.7MPa ; max
W2 MD
86.7 10 6 4.810
55.3MPa ;
3
3
(5)最大拉应力发生在C截面的下边缘处,最大压应力发生在D
截面的下边缘处,其值分别为: max 34.7MPa; max 55.3MPa;
令Wz
Iz ; ymax
Wz ___ 抗弯截面系数（模量），反映截面抵抗弯曲变形的能力；单位：m3, mm3.
矩形截面：Wz
bh2 6
梁的刚度计算范文
梁的刚度计算范文梁的刚度是指材料在受到外力作用时的抵抗变形的能力。
在工程中，刚度是一个非常重要的参数，它决定了梁的强度和稳定性。
梁的刚度计算可以通过不同的方法进行，下面将介绍两种常用的计算方法：简支梁的刚度计算和悬臂梁的刚度计算。
一、简支梁的刚度计算简支梁是指两个端点都可以转动的梁，它的刚度可以通过弯曲刚度来计算。
弯曲刚度是指单位长度下的梁的抵抗弯曲变形的能力。
1.简支梁的弯曲刚度公式简支梁的弯曲刚度可以通过以下公式进行计算：EI=(WL^3)/(48D)其中，EI为弯曲刚度，W为作用在梁上的力或负荷，L为梁的长度，D为梁的挠度。
2.弯曲刚度的单位和性质弯曲刚度的单位是N.m^2，它的数值越大，梁的刚度越高。
弯曲刚度与梁的材料属性有关，即与材料的弹性模量E和惯性矩I有关。
E表示材料的刚度，单位为N/m^2，I表示梁的惯性矩，单位为m^4、弯曲刚度EI 的数值越大，表示材料的刚度越高。
二、悬臂梁的刚度计算悬臂梁是指只有一个端点可以转动的梁，它的刚度可以通过挠度和力矩进行计算。
1.悬臂梁的挠度计算悬臂梁的挠度是指梁在受到外力作用时的弯曲变形。
悬臂梁的挠度可以通过以下公式进行计算：δ=(FL^3)/(3EI)其中，δ为悬臂梁的挠度，F为作用在梁上的力或负荷，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁的惯性矩。
2.悬臂梁的刚度计算悬臂梁的刚度可以通过力矩和挠度的比值来计算：K=M/δ其中，K为悬臂梁的刚度，M为悬臂梁上的力矩，δ为悬臂梁的挠度。
总结：梁的刚度是指梁在受到外力作用时的抵抗变形的能力。
梁的刚度可以通过弯曲刚度和挠度进行计算。
简支梁的刚度可以通过弯曲刚度进行计算，悬臂梁的刚度可以通过力矩和挠度的比值进行计算。
两种方法都可以用来计算梁的刚度，根据具体的梁结构和受力情况选择适当的计算方法。
《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 一、扭转的概念 复习 Me
mA
阻抗力 偶
主动力 偶
me
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 主要发生扭转变形的杆——轴。
Mx 16M x 16 1.5kN m 103 max＝ ＝ 3 ＝ ＝50.9MPa 3 4 -3 4 WP πD 1 π 90mm 10 1 0.9传动轴的强度是安全的。
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 2．确定实心轴的直径 根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求， 实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于 50.9MPa 。若设实 心轴直径为d1，则有
b b
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 T 一、 扭转强度计算 变截面圆轴: max W [ ] 1、强度条件： p
max
max
对脆性材料 [ ] 对韧性材料 [ ]
b
nb
梁的变形分析与刚度问题
在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w 相比为高阶小量，故通常不予考虑。
在Oxw坐标系中，挠度与转角 存在下列关系：
dw tan
dx
在小变形条件下，挠曲线较为
平坦，即很小，因而上式中 tan。于是有
dw
dx
w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。
梁的变形分析与刚度问题
wD0,D0
wC wC
光滑条件： C C 或 写C左 成C右
梁的变形分析与刚度问题
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续 条件）确定。
优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
梁的变形分析与刚度问题
梁的曲率与位移
根据上一章所得到 的结果，弹性范围内的挠 度曲线在一点的曲率与这 一点处横截面上的弯矩、 弯曲刚度之间存在下列关 系：
1＝ M
EI
梁的变形分析与刚度问题
挠度与转角的相互关系
梁在弯曲变形后，横截面的 位置将发生改变，这种位置的 改 变 称 为 位 移 ( displacement)。 梁的位移包括三个部分：
另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的 变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧 即为一例。这种情形下也需要研究变形。
此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补 充方程。
梁的变形分析与刚度问题
梁的位移分析与刚度问题
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方 程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方 程。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变 形的叠加法。此外，还将讨论简单的静不定梁 的求解问题。
在Oxw坐标系中，挠度与转角 存在下列关系：
dw tan
dx
在小变形条件下，挠曲线较为
平坦，即很小，因而上式中 tan。于是有
dw
dx
w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。
梁的变形分析与刚度问题
wD0,D0
wC wC
光滑条件： C C 或 写C左 成C右
梁的变形分析与刚度问题
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续 条件）确定。
优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
梁的变形分析与刚度问题
梁的曲率与位移
根据上一章所得到 的结果，弹性范围内的挠 度曲线在一点的曲率与这 一点处横截面上的弯矩、 弯曲刚度之间存在下列关 系：
1＝ M
EI
梁的变形分析与刚度问题
挠度与转角的相互关系
梁在弯曲变形后，横截面的 位置将发生改变，这种位置的 改 变 称 为 位 移 ( displacement)。 梁的位移包括三个部分：
另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的 变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧 即为一例。这种情形下也需要研究变形。
此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补 充方程。
梁的变形分析与刚度问题
梁的位移分析与刚度问题
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方 程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方 程。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变 形的叠加法。此外，还将讨论简单的静不定梁 的求解问题。
梁的刚度分析
挠曲线： y f x 任一点的斜率与转角之间的关系为： 由于： 极其微小
dy tg dx
tg
dy f ' x dx
——转角方程
物理意义： 反应了挠度与转角之间的关系，即挠曲线上任意一点处切 线的斜率等于该点处横截面的转角。 结论：由转角方程我们可看出：梁上某点处横截面的转角等于 f ' x 在该点处的大小。研究梁的变形的关键在于提出 挠曲线方程 y f x 。
C ， A EIZ
（5） （6）
即：一次常数C表示原点的转角与抗弯刚度的乘积 二次常数D表示原点的挠度与抗弯刚度的乘积
从上面可看出：把原点取在简支梁的铰支座上时，二次积分常数 D=0, 这正是因为原点是铰支座，而铰支座处的 挠度为零。 注：这一点可作为一个标准来检验上面积分常数的正确与否，并 且对其它类型的梁也成立。 例2.图示一悬臂梁，自由端受一集中力P作用，求自由端B处的 挠度和转角。 解：建立坐标系如图： （1）求支反力
（4）求结果：
x=0时， x=L/2时，
1 PL2 PL2 A y EI Z 16 16EI Z
' A
PL3 yC 48EI Z
思考题：
图示一简支梁，在梁中点处作用一个集中力偶Me，求梁跨中 点C处的挠度与铰支座A点处的转角及连杆支座B点处的转角。并 求梁上最大挠度值。
Me
A
1 M x K x x EI Z
又：
1 x
(b)
1 y
y
3 2 2
1 M x y x EIZ
1 y M x x 1 EIZ
——挠曲线近似微分方程 (9-3)
第7章 杆件的变形与刚度
32Tmax ⋅180 4 32 × 2000 ×180 d ≥4 = ×103 = 83.5mm G[θ ]⋅ π 2 80 ×109 × 0.3π 2
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
[例2]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； [τ]=60MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚 度，并计算两端面的相对扭转角。 mC
D
解：本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
16mC
⊕
○ 1kN.m
π [τ ]
16 × 2000 3 = ×10 6 π 60 ×10
3
= 55.4mm
mA A
mB
mC
⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
⊕
○ 1kN.m
θ max = T ⋅ 180 ≤ [θ ] (°/m) GI p π π 4 Tmax 180 IP = d ≥ ⋅ 32 G[θ ] π
d2
mA
d1
mB
解： ⑴按强度校核
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T1 16mB τ1 = = Wt1 π d13 16 × 600 = = 47.7 MPa < [τ ] 3 π ×4
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dv ( 2l ) dv2 ( 2l ) EI 3 M 0 2l C 2 C 3 dx dx
C3 M0l
D3
梁的连续光滑挠曲线 (1)
•正确答案：D •判断梁变形后挠曲线的大致形状
1 0
v1 0
2
v2
1 ( M 0 x M 0l ) EI
3
例题 1
解：2．建立梁的弯矩方程 从坐标为x的任意截面处 截开，因为固定端有两个约 束力，考虑截面左侧平衡时， 建立的弯矩方程比较复杂， 所以考虑右侧部分的平衡， 得到弯矩方程：
x
M(x) FQ(x)
例题 1
O
w
x
解：2．建立梁的弯矩方程
3． 建立微分方程并积分
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得
例题 2
解： 4． 利用约束条件和 连续条件确定积分常数
在支座A、C两处挠度应为零，即 x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0 因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC 段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即 x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
例题 2
解： 4． 利用约束条件和 连续条件确定积分常数
梁的连续光滑曲线
梁的连续光滑曲线
试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的 挠度曲线的大致形状
梁的连续光滑曲线
梁的连续光滑曲线
试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠 度曲线的大致形状
梁的连续光滑曲线
7.2 梁的小挠度微分方程及其积分
7.2.1
小挠度微分方程
力学中的曲率公式
数学中的曲率公式
例题 2
已知：简支梁受 力如图所示。FP、 EI、l 均为已知。 求：加力点B的挠度 和支承A、C处的转角。
例题 2
解：1． 确定梁约束力
首先，应用静力学方法 求得梁在支承A、C二处的 约束力分别如图中所示。
2． 分段建立梁的弯矩方程
因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两 段建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯 矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范 围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和 荷载FP。
EI
dv1 C1 dx
EIv1 C1 x D1
EIv3 C3 x D3
2 dv2 1 dv2 EI M x C EIv M 0 x 2 C 2 x D2 EI M M 0 2 2 2 0 2 dx 2 dx
2 dv3 EI M3 0 dx2
EI
在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积 分运算，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件 有关。 若材料的应力一应变关系满足胡克定律，又在弹 性范围内加载，则位移与力（均为广义的）之间均存 在线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一种 位移可以相互叠加。 本章将在本书第 4章和第5章中有关变形分析的基 础上，建立位移与杆件横截面上的内力分量以及刚度 之间的关系，进而建立弹性杆件刚度设计准则。
基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线 和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念， 以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采 用叠加法（superposition method）由现有的挠 度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。
7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形
7.3.2 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形
例题 1
w
O
x
3． 建立微分方程并积分
积分后，得到
例题 1
解： 4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为：
例题 1
解： 5． 确定挠度与转角方程
例题 1
解： 6． 确定最大挠度与最大转角 从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度 和转角均为最大值。 于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：
D2
1 ( M 0 x M 0l ) EI
EIv 2 ( l ) EIv1 ( l )
1 1 1 1 M 0 l 2 v2 ( M 0 x 2 M 0 lx M 0 l 2 ) 2 EI 2 2
EI
3 1 M0l 2 3 M 0l 2 EI 1 3 1 ( M 0 lx M 0 l 2 ) EIv 2 ( 2l ) EIv 3 ( 2l ) M 0 4l 2 C 2 2l D2 C3 2l D3 v3 EI 2 2
为
积分法小结
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程
微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角
梁的连续光滑挠曲线 (1)
y
d 2v 1 M dx2 x EI z
x
v( x) f ( x)
第7章
梁的变形分析与刚度计算
2018年3月3日
位移是指弹性体受力变形后，一点位置的改变。 对于杆件则指横截面在杆件受力变形后的位置改变。
位移是杆件各部分变形累加的结果。位移与变形 有着密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处 有位移；有位移也不一定有变形。这是因为，杆件横 截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约 束有关。 只要在弹性范围内加载，不管产生什么位移，杆 件均保持为连续体，并在约束处满足变形协调要求。
7.2.1
小挠度微分方程
小挠度情形下
弹性曲线的小挠度微分方程
7.2.1
小挠度微分方程
7.2.2 小挠度微分方程的积分与积分常数
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写 出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积 分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：
其中C、D为积分常数。
积分常数的确定
EIv1 C1 x D1
EIv3 C3 x D3
2 dv2 1 dv2 EI M x C EIv M 0 x 2 C 2 x D2 EI M M 0 2 2 2 0 2 dx 2 dx
2 dv3 EI M3 0 dx2
EI
d v3 C3 dx
M
FP
A B C
BC段有没有变形？有没有位移？没有变形为什 么会有位移？
总体变形是微段变形累加的结果;
有位移不一定有变形。
关于梁的连续光滑曲线
梁的连续光滑曲线
由M 的方向确定轴线的凹凸性; 由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大 致形状及位置。
梁的连续光滑曲线
试根据连续光滑性质以及约束条件，画 出梁的挠度曲线的大致形状
x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0 x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2 D1＝D2 =0
例题 2
解： 5． 确定转角方程和挠度方 程以及指定横截面的挠度与转角 将所得的积分常数代入后,得 到梁的转角和挠度方程为： AB段
BC段
据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别
7.3.3 叠加法应用于确定斜弯曲时的位移
7.3.1
叠加法应用于多个载荷作用的情形
7.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形
1 M 0l EI
•分析方法？
1 1 1 ( M 0 x 2 M 0 lx M 0 l 2 ) EI 2 2
v3
1 3 ( M 0 lx M 0 l 2 ) EI 2
梁的连续光滑挠曲线 (2)
EI
•正确答案：D
EI dv1 C1 dx
•判断梁变形后挠曲线的大致形状
2 dv1 M1 0 dx2
Q
2 dv F 2 dv2 EI 2 FP x EI 2 P x C2 dx 2 dx
x
Fp
M
x
Fp L
2 dv3 dv3 FP lx C3 EI 2 Fp l EI dx dx
EIv 3
FP l 2 x C3 x D3 2
•分析方法？
EIv1 (0) D1 0
应用举例
例题 1
已知：左端固定、右 端自由的悬臂梁承受均 布载荷。均布载荷集度 为q ，梁的弯曲刚度为 EI 、长度为l。q、EI 、l 均已知。 求：梁的弯曲挠度 与转角方程，以及最大 挠度和最大转角。
例题 1
O
w
x
解：1．建立Oxw坐标系 建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上 作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯 矩可以用一个函数描述，即无需分段。 2．建立梁的弯矩方程
d v3 C3 dx
EIv1 (0) D1 0
EI
EI
dv1 ( 0) C1 0 dx
1 0
2
v1 0
dv2 ( l ) dv1 ( l ) EI M 0l C2 0 dx dx 1 M 0 l 2 C 2 l D2 0 2
C2 M0 l
例题 2
解： 2． 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为 AB 段
BC 段
例题 2
解： 3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
例题 2
解： 3． 将弯矩表达式代入小 挠度微分方程并分别积分
积分后，得
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和 AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。
F
a
•解：
•离地处曲率为零
L
M ( x) 0 x EI
2L a 3
•根据变形连续条件
1
G 2 G G 2 Fa a a a 0 2L 3 2L
7.3 叠加法确定梁的挠度与转角