杆件变形与刚度计算.
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建筑力学第8章杆件的变形和刚度校核
9
8.3 平面弯曲梁的变形计算———叠加法（查表法） 从上一节例题可以看出，由于梁的变形微小， 而且梁的材料是在线弹性范围内工作的，因此梁的 挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。这样，梁 上某一荷载所引起的变形，不受同时作用的其他荷 载的影响，即各荷载对弯曲变形的影响是各自独立 的。因此，梁在几项荷载（集中力、集中力偶或分 布力）同时作用下某一截面的挠度和转角，就分别 等于每一项荷载单独作用下给截面的挠度和转角的 叠加。当每一项荷载所引起的转角在同一平面内（ 例如均在 xy平面内），其挠度都在同一方向上（ 例如均在 y轴方向）时，叠加就是代数和。
12
小结 本章主要研究扭转轴和平面弯曲梁的变形计算 和刚度校核问题。 1）扭转轴的变形计算及刚度条件为
13
2）平面弯曲梁的变形计算可用积分法和叠加 法进行。用积分法求解梁变形就是正确列出各段梁 的弯矩方程，代入挠曲线近似微分方程，积分一次 得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程，然后 正确应用边界条件和连续条件确定积分常数。积分 法是求梁变形的基本方法，虽然计算比较烦琐，但 在理论上是比较重要的。
14
2
图 8.2
3
图 8.3
4
5
6
7
8
正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文
第8章 杆件的变形和刚度校核
为了避免受扭的轴产生过大的变形，除了要 保证强度条件以外，还要满足刚度要求。工程中 ，通常是用单位长度扭转角 θ 来限制轴的扭转变 形。因此，其刚度条件为
变形及刚度计算_图文_图文
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 2、转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面 绕中性轴转动的角度） , 称为该截面的转角。
A
C
B
x
y挠度
C'
y
转角
转角方程：一般各横截面的转角是不相同的，是位置x的 函数，称为转角方程，记做= （x）
4、挠度和转角的关系
注意：位移边界条件在支座处
变形连续条件中间在分段点
三、 用积分法求梁的变形 注意
当梁上的外力将梁分为数段时，由于各段梁 的弯矩方程不同，因而梁的挠曲线近似微分方程 需分段列出。相应地各段梁的转角方程和挠曲线 方程也随之而异。
F
A
a
D
B
b
三、 用积分法求梁的变形 步骤
1、正确分段，分别列弯矩方程； 2、分段列近似微分方程，一次积分得转角方程，再此积 分得挠度方程； 3、由位移边界条件和变形连续条件求得积分常数。
纵向伸长量： 横向缩短量：
轴向压缩：
F
F
纵向缩短、横向伸长
纵向缩短量： 横向伸长量：
注：绝对变形量不足以描述变形的程度，尤其对于长度不 一的杆件，因此引入应变的概念。
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
二、线应变
线应变：将绝对伸长量除以杆件的初始尺寸，即得单位伸长 ，称之为线应变。
1、纵（轴）向变形量： F
即 该式表明，某截面的转角等于挠曲线在该截面处的 一阶导数
A
挠曲线
y
C
C'
转角
B
x
y挠度
5、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。 转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
拉压杆的变形及刚度计算
胡克定律：
l FNl EA
上式只适用于在杆长为l长度内FN、E、A均为常
值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。
EA称为杆的拉压刚度
1.2 横向变形、泊松比 则横向正应变为：
a
a
当应力不超过一定限度时，横向应变
与轴向应变 之比的绝对值是一个常数。
横向变形因数或泊松比
法国科学家泊松（1781~1840） 于1829年从理论上推演得出的结果。 ，
FRA F2 F1 (10 30)
=－20kN (2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： FNAB=FRA=－20kN
BD段： FNBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。
(4)、计算各段应力
AB段： BC段： CD段：
AB
FNAB AAC
20 103 500
40MPa
表4-1给出了常用材料的E、 值。
表8.1 常用材料的E、 值
材料名称 低碳钢 中碳钢
低合金钢 合金钢
灰口铸铁 球墨铸铁
铝合金 硬铝合金
混凝土 木材（顺纹） 木材（横纹）
牌号 Q235
45 16Mn 40CrNiMoA
LY12
E 200 ~ 210
205 200 210 60 ~ 162 150 ~ 180 71 380 15.2 ~ 36 9.8 ~ 11.8 0.49 ~ 0.98
例2 图示托架，已知 F 40 kN，圆截面钢杆
AB的直径 d 20 mm ，杆BC是工字钢，其
横截面面积为 1430mm，2 钢材的弹性模量
E 200GPa。求托架在F力作用下，
节点B的铅垂位移和水平位移？ 解：（1）、取节点B为研究对象，求两杆轴力
第4章杆件的变形和刚度
外力在对应位移上所做的功 就等于内力在对应变形上所做的 功Wi，两者都等于系统的弹性变 形能，即We=U。
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
☆ 拉压杆件的弹性变形能
图中拉杆外力FP所做的功为
We
0
l
Fp
(l)d
(l)
1 2
Fpl
杆件内部弹性变形能U
U
1 2
FN l
500
4kN·m
⊕
T图
500
⊖
5kN·m
500 1.5kN·m
试设计外径D，并求全轴 【解】求扭矩，画扭矩图，
的 相 对 扭 转 角 24 。 G=80GPa，[]=60MPa。
得出最大扭矩为
Tmax 5kN m
第4章 杆件的变形和刚度
圆轴扭转时的 变形及刚度条件
【解】 设计外径D
WP
单位长度的相对扭转角
在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转 变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转 变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。
d T
dx GIP 工程中多是采用单位长度扭转角对轴进行刚度计算， 单位是rad/m，工程中常用º/m，需要通过1rad=(180/)º来换 算。
d [ ]
dx
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又
可以写成：
T [ ]
GIP
第4章 杆件的变形和刚度
圆轴扭转时的 变形及刚度条件
受扭圆轴的刚度设计准则
d [ ]
dx
T [ ]
GIP
其中，[]为单位长度上的容许相对扭转角，其数值需要
第4章 杆件的变形和刚度
拉压杆件 的变形分析
☆ 拉压杆件的弹性变形能
图中拉杆外力FP所做的功为
We
0
l
Fp
(l)d
(l)
1 2
Fpl
杆件内部弹性变形能U
U
1 2
FN l
500
4kN·m
⊕
T图
500
⊖
5kN·m
500 1.5kN·m
试设计外径D，并求全轴 【解】求扭矩，画扭矩图，
的 相 对 扭 转 角 24 。 G=80GPa，[]=60MPa。
得出最大扭矩为
Tmax 5kN m
第4章 杆件的变形和刚度
圆轴扭转时的 变形及刚度条件
【解】 设计外径D
WP
单位长度的相对扭转角
在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转 变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转 变形，单位长度扭转角即扭转角的变化率。
d T
dx GIP 工程中多是采用单位长度扭转角对轴进行刚度计算， 单位是rad/m，工程中常用º/m，需要通过1rad=(180/)º来换 算。
d [ ]
dx
对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，刚度设计准则又
可以写成：
T [ ]
GIP
第4章 杆件的变形和刚度
圆轴扭转时的 变形及刚度条件
受扭圆轴的刚度设计准则
d [ ]
dx
T [ ]
GIP
其中，[]为单位长度上的容许相对扭转角，其数值需要
杆件的变形及计算
τ=
Q ≤ [τ ] A
其中 Q 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解;A 为剪切面面积;[τ]为材料的许用剪应力,单位 MPa. 为剪切面上的剪力,由平衡条件求解; 为剪切面面积; 为材料的许用剪应力 为材料的许用剪应力, .
二,挤压使用计算
在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压, 在承载的情形下,连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压,因而在二者接触面的局部区域产生 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号σjy表示 单位MPa.挤压应力是垂直与接触面的正应力.其可 表示, 较大的接触应力,称为挤压应力,用符号 表示,单位 .挤压应力是垂直与接触面的正应力. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 导致接触的局部区域产生过量的塑性变形,而导致二者失效. 积压力为作用在接触面上的总的压力, 表示. 积压力为作用在接触面上的总的压力,用符号 Pjy 表示. 表示. 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影, 挤压面为接触面在挤压力作用线垂直平面上的投影,用符号 Ajy 表示. 其强度设计准则
在例6-1中杆 的直径均为d=30mm,[σ]=160MPa,其它条件不变.试确定此时结构所能 例6-3 在例 中杆BC,EF 的直径均为 , ,其它条件不变. 承受的许可载荷? 承受的许可载荷? 中分析EF杆为危险杆 解:根据例1中分析 杆为危险杆,由平衡方程可得 根据例 中分析 杆为危险杆,
N2 =
第三节 连接件的强度设计
一,剪切实用计算
当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值, 当作为连接件的铆钉,,销钉,键等零件承受一对等值,反 ,,销钉 作用线距离很近的平行力作用时, 向,作用线距离很近的平行力作用时,其主要失效形式之一为沿 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面. 剪切面发生剪切破坏.发生相对错动的截面称为剪切面.由于剪 切面上剪应力分布比较复杂, 切面上剪应力分布比较复杂,可假定认为剪应力在剪切面上均匀 分布——剪切实用计算. 剪切实用计算. 分布 剪切实用计算 其设计准则为
杆件的刚度计算汇总.
5
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
刚度计算的三方面：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
max
T max Ip G[ ]
T
max
GI p[ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
6
第一节
[例]
圆轴扭转时的变形及刚度计算
图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为
有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而
引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。 绕曲线——梁在载荷作用下发生弯曲变形，梁轴线由直线 弯曲成一条光滑连续曲线。 梁曲线上任一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移 称为该点的挠度 。 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和
2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最 大直径才为 75mm。 T (kNm) 2.814 x – 4.21
13
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
课堂练习
14
第二节
梁的变形及刚度计算
一、弯曲变形的概念
为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求
D=60mm，小端直径为
d=30mm，已知G=80GPa，
1
0
/m 。试求：
1)．校核该轴刚度； 2)．A截面相对于C 截 面的扭转角。
解：1．内力分析：
画扭矩图如图所。
7
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2．变形分析及刚度条件：
3.14 604 1012 I P1 1.27 106 (m 4 ) 32 32 d 4 3.14 304 1012 I P2 0.08 106 (m 4 ) 32 32 180 T1 180 2.5 103 0 1 1 . 4 ( /m) 9 6 GI P1 3.14 80 10 1.27 10 180 T2 180 1.5 103 0 2 1 . 35 ( /m) 9 6 GI P 2 3.14 80 10 0.08 10 故 max 1.4( 0 /m)
第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
刚度计算的三方面：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷：
max
T max Ip G[ ]
T
max
GI p[ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
6
第一节
[例]
圆轴扭转时的变形及刚度计算
图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为
有足够的刚度。如果变形过大，将造成梁不能正常工作，进而
引起梁的破坏。如：高精度车床轴；桥梁；变速箱传动轴等。 绕曲线——梁在载荷作用下发生弯曲变形，梁轴线由直线 弯曲成一条光滑连续曲线。 梁曲线上任一点在垂直于梁变形前轴线方向的线位移 称为该点的挠度 。 梁任一横截面绕其中性轴转动的角度称为该截面的转角。
③ 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和
2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最 大直径才为 75mm。 T (kNm) 2.814 x – 4.21
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第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
课堂练习
14
第二节
梁的变形及刚度计算
一、弯曲变形的概念
为了确保梁的正常工作，梁除了满足强度条件外，还要求
D=60mm，小端直径为
d=30mm，已知G=80GPa，
1
0
/m 。试求：
1)．校核该轴刚度； 2)．A截面相对于C 截 面的扭转角。
解：1．内力分析：
画扭矩图如图所。
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第一节
圆轴扭转时的变形及刚度计算
2．变形分析及刚度条件：
3.14 604 1012 I P1 1.27 106 (m 4 ) 32 32 d 4 3.14 304 1012 I P2 0.08 106 (m 4 ) 32 32 180 T1 180 2.5 103 0 1 1 . 4 ( /m) 9 6 GI P1 3.14 80 10 1.27 10 180 T2 180 1.5 103 0 2 1 . 35 ( /m) 9 6 GI P 2 3.14 80 10 0.08 10 故 max 1.4( 0 /m)
第九章 杆件的变形及刚度计算
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q 2 M ( x) x x 2 2 ql q 2 EIw x x 2 2
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第九章
杆件的变形及刚度计算
第九章
杆件的变形及刚度计算
三、微分方程的积分
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
1.积分一次得转角方程
EIw M ( x )dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
一、叠加原理
梁的变形微小, 且梁在线弹性范围内工作时, 梁在几项荷载
(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角, 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. 当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向), 其转角 是在同一平面内(如均在 xy 平面内)时,则叠加就是代数和. 这就
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1
1 M ( x) ( x) EI
第九章
杆件的变形及刚度计算
2.由数学得到平面曲线的曲率
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
第九章
杆件的变形及刚度计算
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件 在简支梁中, 左右两铰支座处的 挠度 w A 和 w B 都等于0. 在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
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2、几何方程（变形协调 方程） 3、物理方程
F N1L L1 EA
F N1a 2F N 2 a 3Pa 0
L2 2L1
F N 2L L2 EA
P
FAy
L1
L2
F N 2 2F N1
3 P 5
F N1
F N2
6 P 5
拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力
拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力
解超静定问题的步骤：1、静力平衡；2、物理方程；3、变形协调。 例：已知E、A、L，求、杆的内力。
、静力学平衡方程 解： 1
F
1 2
x
0
A
FAx 0
P
A
a
FAx
FN1
L
m
F 0
y
FAy FN1 FN 2 P 0
0
B
a
C
a
FN 2
2、几何方程（变形协调 方程）
m
A
0 F N1 2F N2 0
FAx
FN 2
T 1
P :dxdy dW dxdyd dz ddxdydz L : dz 0 0
1
dW Pd(L) W Pd( L ) 若： p 2 0 P L 1 PL U W 则：W PL L 2EA 2 EA
1
1
dP
P
上式无论构件中应力是否均匀，只要一个方向受力即可。 dy
：称为泊松比（Simêon Denis Poisson）。
轴向拉伸或压缩时的变形
例1：等截面石柱，E、容重。 解：F N ( x) Ax
d(L ) xdx F N ( x )dx E EA
F N ( x)
L
L
d( L )
0 0
L
例2：结构如图所示，求B点的位移。已知：A1=6cm2， E1=200Gpa，A2=300cm2，E2=10Gpa，P=88.5kN。
轴向拉伸或压缩时的变形
P
L L1 L
FN A
L L1
L L
P
b b1 b
b1
b
b b
Hooke（Robert Hooke）定律：When <p，=E
FN L E：称为杨氏（Thomas Young）模量，或弹性模量。 L EA 关于横向变形： When p or
P B
1 2
4 P 解： F N1 5
3 FN 2 P 5
A
C
2 2 2 P a 16 9 FN L F L 1 1 1 N2 2 ( 3 4) P V 2EA 25 25 2 2EA 2EA
1
L1
ห้องสมุดไป่ตู้
B
V
84Pa V 25EA
H
12Pa 4 5 H ? ( V L1 ) 25EA 3 4
F N1
3 1 P 2
F N2
3 P 3
F N3
3 3 P 6
拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力
•温度应力：
由于结构超静定，当温度发生变化时，而不能自由膨胀所产生的应力。
1
2
L
A
a
B
a
FN1
C
线膨胀系数： 单位： 1/ oc 单位长度杆每当温度升 高1O C时的伸长量 即：L TL 解： 1 、静力学平衡方程
1400
L2 xdx 2E L E
F N ( x)
dx
A
2200
1
2
P
C
FN1L1 56.32 10 3 1.4 0.657(mm ) B L1 9 4 E1A1 200 10 6 10 FN 2 L2 104.9 103 2.22 1.42 B L1 L2 1010 3 10 4 E2A2 L2 0.912(mm ) H L1 0.657(mm ) V L2 sin ( L1 L2 cos )ctg 1.499(mm ) 2 2 H V 1.637(mm )
dU 1 u d dV 0
P
d( L )
L1
0
1
dz
dx
if p
1 u 2
d
L
L
L
dU ( d )dV
1
u
2 p 2E
回弹模量：在线弹性范围内材 料吸收能量的能力。
d 1
轴向拉伸或压缩时的应变能
例：求B点的铅垂位移和水平位移。E、A已知。AB=3a，BC=4a， AC=5a。
L3
L2
A
P
A
L1
F F 2 3F 3F N1L1 N 2 L2 N1a N 2a L 2 EA EA EA EA F L 6F a L3 N 3 3 N 3 F N1 F N3 F N2 EA EA
3、物理方程
L1 cos 30 o L3 sin 30 o L2 3L1 L3 2L2
例：三杆的E、A相同，AC=3a，求各杆的内力。 1 、静力学平衡方程 解： B C D
F
x
0
2 1
30o 60o
3
F 0
y
A
F N1
A
F N2
30o 60o
P
F N3
2、几何方程（变形协调 方程）
L1
o o F N1 sin 30 F N 3 sin 60 0 F 3F N1 N3 o o F N1 cos 30 F N2 F N 3 cos 60 P 0 3F N1 2F N2 F N3 2P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第五章
杆件变形与刚度计算
第五章 杆件变形与刚度计算
•轴向拉伸或压缩时的变形 •轴向拉伸或压缩时的变形能 •拉伸、压缩超静定问题、温度和装配应力 •圆轴扭转时的变形计算 •非圆截面杆扭转的概念 •挠曲线微分方程 •求弯曲变形的积分法 •求弯曲变形的叠加法 •简单超静定梁 •提高弯曲刚度的措施
解：F N1 56.32kN
F N 2 104.9kN
B
轴向拉伸或压缩时的应变能
在变形的过程中，不考虑其他能量的损耗，外力作功全部转化为固 体的应变能。即： W U P : P P dP L L : L L d(L)
P
L
P1
P
单位体积的应变变能（比能、能密度）