第九章杆件的变形及刚度计算
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建筑力学课程教学大纲
《建筑力学》课程教学大纲一、本课程的地位、作用和任务《建筑力学》是水利水电建筑工程专业的一门重要的专业基础课，在本专业中起着承上启下的作用，为后续课程打基础。
《建筑力学》的任务是：教授学生掌握物体受力分析与静力平衡问题的求解方法；杆件及结构内力与变形的分析方法；关于构件的强度、刚度与稳定性的计算及构件应力、应变的方法。
通过本课程的学习，要求学生具备对常见结构、构件进行受力分析、内力与变形计算的能力，并初步具备对结构的实验分析能力。
二、教学内容和教学要求第一章绪论1、教学内容建筑力学的研究对象、研究方法、主要内容。
2、教学要求了解建筑力学课程的性质、地位和作用，了解建筑力学各部分的内容、了解建筑力学的学习方法。
第一篇、静力学第二章刚体静力分析基础1、教学内容2—1 力与力偶1）力的概念和性质2）力对点之矩3）力偶的概念和性质2—2 约束与约束反力1）约束与约束反力的概念2）工程中常见的约束与约束反力2—3 受力分析与受力图2、教学要求（1）理解力、力对点的矩、平面力偶的概念及静力学的四个公理，合力矩定理、刚体的概念；掌握平面力偶系合成的计算。
（2）了解约束的概念及荷载的分类；了解作用在构件上荷载的计算方法；掌握常见工程中的约束类型及其约束反力的确定；第三章平面力系1、教学内容3—1 平面力系向一点的简化1）力的平移定理2）平面力系向一点的简化3）力在坐标轴上的投影主矢与主矩的计算4）平面力系向一点简化结果的进一步分析3—2 平衡方程及其应用1）平面一般力系的平衡条件和平衡方程2）平面力系的几种特殊情形3）静定与超静定问题4）物体系的平衡问题2、教学要求（1）了解力的平移定理的内容；掌握力在坐标轴上的投影的概念及计算，掌握合力的投影定理；（2）理解平面一般力系的概念；了解平面一般力系向一点简化和简化结果分析。
（3）掌握平面一般力系、平面汇交力系、平面平行力系及平面力偶系的平衡方程及其应用，重点掌握常见物体支座反力的求法。
轴心受力构件的强度和刚度
1、轴心压杆的弹性弯曲屈曲变形
欧拉理论
cr
N cr A
2 EI
l2A
2E
2
2、 轴心压杆的弹塑性弯曲屈曲变形：
１） 双模量理论 ：（弹塑性屈曲力的上限）与两 个变形模量有关 ：
加载区应力应变遵循切线模量Et的变化规律， 卸载区应力应变遵循弹性模量E的变化规律，
2) 切线模量理论:（弹塑性屈曲力的下限） 弯曲时整个截面都处在加载过程中,应力应变关 系遵循同一个侧向模量Et,以Et代表E代入上式 切线模量，求屈曲应力和屈曲力 。
t 10
(10 0.1) 235
fy
(10 0.1 57.2) 235 12.97(满足) 345
腹板：
h0 200 33.3 (25 0.5) 235
tw 6
fy
(25 0.557.2) 235 44.2(满足) 345
四、原截面改用Q235钢材
235 fy
与无关，定值偏于安全，
以上 30取 30， 100,取 100
三、圆管的径厚比
D t
100或 23500 f y
D 管径,
t 壁厚,
f y 屈服强度
第四节 实腹式轴心压杆的截面设计
一、设计原则：
截面形式为双轴对称的型钢截面和实腹式组合截面。 为取得合理而经济的效果，设计时可按以下原则：
(二) 验算截面
1、强度验算： ２、刚度验算：
N f
An
l0 i
3、 整体稳定：
N f
A
须同时考虑两主轴方向，但一般取其中长细比 较大值进行验算。
4、 局部稳定：
工字形：
材料力学 杆件的变形计算
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa， ν = 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力 σ (b) 螺栓的横向变形△d
解：1) 求横截面正应力 ：
ε=
∆l 0.04 = = 7.41×10-4 l 54
l = 54 mm ，di = 15.3 mm， E＝200 GPa， ν = 0.3， △l ＝0.04 mm
∆ac = a ′c′ − ac
∆ac ε′ = ac
二、拉压杆的弹性定律 1、等内力拉压杆的弹性定律 P P
PL NL dL = = EA EA
PL dL ∝ A
2、变内力拉压杆的弹性定律
N（x） N(x)
x dx dx 内力在n段中分别为常量时 内力在 段中分别为常量时
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。 ※“ ”称为杆的抗拉压刚度。
C1
C点总位移： 点总位移：
∆C = ∆C y + ∆C x = 1.47mm
2 2
C0
Cx
(此问题若用圆弧精确求解) 此问题若用圆弧精确求解)
∆C x = 0.278mm ∆C y = 1.44mm
第二节 圆轴的扭转变形及相对扭转角
为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dϕ 的两个相邻截面之间有相对转角d
800 π × 0.04 4 80 ×109 32 = 0.03978rad / m
综合两段， 综合两段，最大单位扭转角应在BC 段 为 0.03978 rad/m
例4-5 图示一等直圆杆， 图示一等直圆杆，已知 d =40mm a =400mm G =80GPa, ϕ DB=1O , 求 : 1) 最大切应力 2）ϕ AC
材料力学-杆件的变形计算
EIz EIw M (x)dx C
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
抗弯刚度计算公式ei
抗弯刚度计算公式ei在结构力学中，抗弯刚度是指杆件或梁的抵抗弯曲变形的能力。
抗弯刚度计算公式EI是计算杆件或梁的抗弯刚度的基本公式，其中E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩。
在实际工程中，抗弯刚度是一个非常重要的参数，它直接影响着杆件或梁的承载能力和稳定性。
因此，准确地计算抗弯刚度是非常必要的。
在计算抗弯刚度时，首先需要确定杆件或梁的材料和截面形状，然后根据公式EI进行计算。
材料的选择对于抗弯刚度的计算至关重要。
不同材料的杨氏模量不同，因此使用不同材料的杆件或梁的抗弯刚度也会有所不同。
在实际工程中，常用的材料有钢、混凝土、木材等。
截面形状也是影响抗弯刚度的重要因素。
不同截面形状的杆件或梁的抗弯刚度也会有所不同。
常见的截面形状有矩形、圆形、梯形等。
在计算抗弯刚度时，需要先计算出截面惯性矩。
截面惯性矩是描述杆件或梁抵抗弯曲变形能力的重要参数，它反映了截面形状和材料的特性。
截面惯性矩越大，杆件或梁的抗弯刚度就越大。
计算截面惯性矩时，需要根据截面形状进行计算。
对于矩形截面，截面惯性矩的计算公式为I=bh^3/12，其中b为截面宽度，h为截面高度。
对于圆形截面，截面惯性矩的计算公式为I=πr^4/4，其中r为截面半径。
对于梯形截面，截面惯性矩的计算公式为I=(b1h1^3-b2h2^3)/12，其中b1、b2为上下底宽度，h1、h2为上下底高度。
计算出截面惯性矩后，就可以根据公式EI计算出杆件或梁的抗弯刚度。
公式EI的计算公式为EI=E*I，其中E为杨氏模量，I为截面惯性矩。
需要注意的是，公式EI只适用于杆件或梁在弹性范围内的抗弯刚度计算。
当杆件或梁受到超过弹性极限的载荷时，就会发生塑性变形，此时抗弯刚度就会发生变化。
总之，抗弯刚度计算公式EI是计算杆件或梁抗弯刚度的基本公式，它对于工程设计和结构分析具有重要意义。
在实际工程中，需要根据具体情况选择合适的材料和截面形状，并准确地计算出截面惯性矩和抗弯刚度，以确保结构的承载能力和稳定性。
零件的变形及强度计算
二、轴向拉伸和压缩时的内力 零件受到外力作用时，由于内部各质点之间的相对位
置的变化，材料内部会产生一种附加内力，力图使各质点
恢复其原来位置。附加内力的大小随外力的增加而增加， 当附加内力增加到一定限度时，零件就会破坏。因此，在
研究零件承受载荷的能力时，需要讨论附加内力。后面的 讨论中所述的内力，都是指这种附加内力。
通过对低碳钢的
曲线分析可知，试样在拉伸过程
中经历了弹性变形（oab段）、塑性变形（bcde段）和断 裂（e点）三个阶段。 弹性变形阶段，试样的变形与应力始终呈线性关系。 应力σp称为比例极限。图中直线oa的斜率就是材料的弹性 模量E。 塑性变形阶段，试样产生的变形是不可恢复的永久变 形。该阶段又分屈服阶段（bc-塑性变形迅速增加）、强 化阶段（cd-材料恢复抵抗能力）和颈缩阶段（de-试样局 部出现颈缩）。应力σs称为屈服点，当零件实际应力达到 屈服点时，将会引起显著的塑性变形。应力σb称为抗拉强
强度校核
设计截面 确定许可载荷
例2-2某车间自制一台简易吊车（图a）。已知在铰接点B 处吊起重物最大为FP=20kN，杆AB与BC均用圆钢制作，且
dBC=20mm，材料的许用应力[σ]=58Mpa。试校核BC杆的
强度，并确定AB杆的直径dAB（不计杆自重）。
第二节 零件的剪切和挤压
一、剪切和挤压的概念 如图b所示，在外力FP的作用下，截面发生相对错动 的变形称为剪切变形。产生相对错动的截面m—m称为剪切
强度储备，为此用极限应力除以一个大于1的系数（安全 系数）所得商作为材料的许用应力[σ]。
对于塑性材料，当应力达到屈服点时，零件将发生显
著的塑性变形而失效。考虑到其拉压时的屈服点相同，故
拉、压许用应力同为 式中，nS是塑性材料的屈服安全系数。 对于脆性材料，在无明显塑性变形下即出现断裂而失 效（如铸铁）。考虑到其拉伸与压缩时的强度极限值一般 不同，故有
第九章 压杆稳定
外，最小根是
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性 稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态 临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和 将以上边界条件代入 式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出 满足以上两式的根， 满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度， 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 可靠地工作. 可靠地工作.
s in k l = 0
kl = 2π
4π 2 EI Fcr = k 2 EI = 2 l
21
图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 图示结构中四根压杆的材料、截面形状、横截面面积均相同， 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。 排序出在纸平面内失稳的先后顺序。
22
§9-4 欧拉公式的应用范围•经验公式 欧拉公式的应用范围•
8
2.弹性压杆的稳定性 2.弹性压杆的稳定性 稳定平衡状态 F < F —稳定平衡状态 cr
F = F —临界平衡状态 临界平衡状态 cr
不稳定平衡状态 F > F —不稳定平衡状态 cr
关键
确定压杆的临界力 确定压杆的临界力 Fcr
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: 临界压力:
将以上边界条件代入(a)式和 将以上边界条件代入 式和 (b) 式，得
B+
A sin kl + B cos kl +
由以上四个方程得出 满足以上两式的根， 满足以上两式的根，除
Me =0 F
Me =0 F
Ak = 0
Ak cos kl − Bk sin kl = 0
cos kl − 1 = 0
kl = 0
实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度， 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 40N 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力. 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
1
① 强度 构件的承载能力 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 可靠地工作. 可靠地工作.
材料力学：第九章 压杆稳定问题
绞），I 应取最小的形心主惯矩，得到直杆的
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
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第九章 杆件的变形及刚度计算 三、微分方程的积分
w M ( x) EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M( x)
1.积分一次得转角方程
EIw M( x)dx C1
2.再积分一次,得挠度方程
EIw M( x)dxdx C1x C2
第九章 杆件的变形及刚度计算
挠曲线方程为
w f (x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
4.挠度与转角的关系
tan w ' w '(x)
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
第九章 杆件的变形及刚度计算
5.挠度和转角符号的规定
2.由数学得到平面曲线的曲率
1
(x)
(1
| w |
w2
3
)
2
(1
|
w | w2 )
3
2
M(x) EI
第九章 杆件的变形及刚度计算
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0 M 0
M 0
曲线向上凸时: w 0 M 0 w
w 0
M
M
因此, w与 M 的正负号相同
四、积分常数的确定
1.边界条件 2.连续条件
A
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 wA 和 wB 都等于0.
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 wA
和转角 A 都应等于0.
A
wA 0
A 0
B
wB 0
B
第九章 杆件的变形及刚度计算
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F
l l FN (x) dx 0 EA
第九章 杆件的变形及刚度计算
刚度设计准则
对于受扭圆轴
[ ] , = /l []
M xl
GI p M x 180 [ ]
GI
第九章 杆件的变形及刚度计算
刚度设计准则
对于梁
w [w], [ ]
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-3 用积分法求弯曲变形
挠度向上为正,向下为负.
转角自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
w
A
C
B
x
挠曲线
w挠度 C'
B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
二、推导公式
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
1M
EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影
响, 则
1 M(x)
( x) EI
第九章 杆件的变形及刚度计算
EIw
Flx
Fx 2 2
C1
(3)
EIw
Flx 2 2
Fx 3 6
C 1x
C2
(4)
F
Bx
第九章 杆件的变形及刚度计算
EIw
Flx
Fx 2 2
C1
(3)
EIw
Flx 2 2
Fx 3 6
C 1x
C
2
(4)
边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 C2 0
第九章 杆件的变形及刚度计算
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例 §9-2 杆件的刚度计算准则 §9-3 用积分法求弯曲变形 §9-4 用叠加法求弯曲变形 §9-5 简单的静不定问题 §9-6 提高弯曲刚度的措施
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-1 基本概念及工程实例
一、工程实例
第九章 杆件的变形及刚度计算
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max
和 wmax
q
A
B
l
第九章 杆件的变形及刚度计算
q
解:由对称性可知,梁的两
个支反力为
A
B
FRA
FRB
ql 2
x
l
FRA
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
EIw Flx Fx2 2
EIw Flx2 Fx3 26
第九章 杆件的变形及刚度计算
y
F
A
l
Bx
wmax
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
max
|xl
Fl 2
EI
Fl 2 2EI
Fl 2 （ 2EI
）
wmax
w
|xl
Pl 3 3EI
（
）
作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax
和最大转角 max
F w
A
Bx
l
第九章 杆件的变形及刚度计算
解： （1） 弯矩方程为
w A
M( x) F (l x) (1)
（2） 挠曲线的近似微分方程为
x
l
EIw M( x) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
一、基本概念
1.挠度
横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移, 称为该截面的挠度.用w表示.
w
A
C
B
x
w挠度
C'
B'
第九章 杆件的变形及刚度计算
2.转角
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示
w
A
C
B
x
C'
w挠度（
B 转角
第九章 杆件的变形及刚度计算
3.挠曲线 —— 梁变形后的轴线称为挠曲线 .
M ( x) ql x q x2 22
EIw ql x q x2 22
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D 1Байду номын сангаас 24
第九章 杆件的变形及刚度计算 边界条件x=0 和 x=l时, w 0
q
wmax
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
q (6lx2 4x3 l 3 )
O M 0 w 0
x
第九章 杆件的变形及刚度计算
w
(1
w2
3
)
2
M(x) EI
w2与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w" M(x)
(6.5)
EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
（3） tan w w( x)
第九章 杆件的变形及刚度计算
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受 到的冲击和振动作用.
F
F
2
2
F
第九章 杆件的变形及刚度计算
§9-2 杆件的刚度设计准则
刚度设计准则
对于拉压杆
FPFP
u
u [u]
l
FNl EA
24EI w qx (2lx2 x3 l 3 )
24EI
A
x
FRA
B
B
l
FRB
最大转角和最大挠度分别为
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
max
A
B
ql 3 24EI
在梁跨中点处有最大挠度值
wmax
w
x l 2
5ql4 384EI
第九章 杆件的变形及刚度计算
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作 用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转 角.