梁的弯曲-变形刚度计算
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工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
梁的抗弯曲刚度计算公式
梁的抗弯曲刚度计算公式梁是工程结构中常见的构件，其抗弯曲性能对结构的整体稳定性和安全性具有重要影响。
在工程设计中，需要对梁的抗弯曲性能进行计算和分析，以确保结构的安全可靠。
梁的抗弯曲刚度是评价其抗弯曲性能的重要参数之一，本文将介绍梁的抗弯曲刚度计算公式及其应用。
梁的抗弯曲刚度是指梁在受到外力作用时抵抗弯曲变形的能力。
在工程设计中，通常使用弹性理论来计算梁的抗弯曲刚度。
根据弹性理论，梁的抗弯曲刚度与梁的几何形状、材料性能和受力情况有关。
一般来说，梁的抗弯曲刚度可以通过以下公式进行计算：EI = K (b h^3) / 12。
其中，EI表示梁的抗弯曲刚度，单位为N·m^2；K为梁的截面形状系数；b为梁的宽度，单位为m；h为梁的高度，单位为m。
上述公式中的截面形状系数K反映了梁的截面形状对其抗弯曲性能的影响。
对于不同形状的截面，其截面形状系数K也不同。
一般来说，矩形截面的梁的截面形状系数K为1/3，而对于其他形状的截面，则需要根据具体情况进行计算。
在实际工程中，可以通过有限元分析等方法来确定梁的截面形状系数K。
梁的抗弯曲刚度计算公式可以应用于不同类型的梁，包括悬臂梁、简支梁和连续梁等。
在实际工程设计中，需要根据具体的受力情况和结构要求来选择合适的计算方法。
下面将分别介绍悬臂梁、简支梁和连续梁的抗弯曲刚度计算方法。
对于悬臂梁而言，其一端固定，另一端悬空。
在计算悬臂梁的抗弯曲刚度时，需要考虑悬臂梁的受力情况和截面形状。
一般来说，可以通过悬臂梁的截面形状系数K和悬臂长度来计算悬臂梁的抗弯曲刚度。
具体计算方法如下：EI = K (b h^3) / 3 L。
其中，L表示悬臂长度，单位为m。
对于简支梁而言，其两端都可以自由转动。
在计算简支梁的抗弯曲刚度时，需要考虑简支梁的受力情况和截面形状。
一般来说，可以通过简支梁的截面形状系数K和梁长来计算简支梁的抗弯曲刚度。
具体计算方法如下：EI = K (b h^3) / 3 L。
梁的变形与刚度计算
qa 4 f 2C 8EI z qa3 2C 6EI z
f2B qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 6 EI z
c L (1) L a
f2c
B
B
2c
B B
A
q
c
(2)
由叠加原理
f B f1B f 2 B
qL4 qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 8EI z 6EI z
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 2、调整跨长和改变结构 方法——同提高梁的强度的措施相同
3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到 一定的抵消作用）
w max L w L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
、设计载荷：
常处于从属地位。特殊构件例外）
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于
下面三个因素：
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。
B
A
C
x
挠曲线
C'
B
转角
y挠度
y
4、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
挠曲线
C'
f2B qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 6 EI z
c L (1) L a
f2c
B
B
2c
B B
A
q
c
(2)
由叠加原理
f B f1B f 2 B
qL4 qa 4 qa3 ( L a) 8EI z 8EI z 6EI z
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。 （转角为 L 的 2 次幂，挠度为 L的 3 次幂） 1、增大梁的抗弯刚度（EI） 2、调整跨长和改变结构 方法——同提高梁的强度的措施相同
3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到 一定的抵消作用）
w max L w L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
、设计载荷：
常处于从属地位。特殊构件例外）
三、提高梁的刚度的措施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于
下面三个因素：
式中 ，x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标 ，y为该点的挠度。
B
A
C
x
挠曲线
C'
B
转角
y挠度
y
4、挠度和转角的符号约定
挠度：向下为正，向上为负。
转角：自x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。
A
C
B
x
挠曲线
C'
梁的弯曲变形与刚度计算
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 k 1 M
EI 横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁
的位移的影响, 则
k(x) 1 M (x)
(x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
1
( x)
(1
w w2
3
)2
M (x) EI
(1
w w2
)
3 2
M (x) EI
曲线向上凸 时： w’’<0, M＜0
解：以梁左端A为原点, y
取直角坐标系, 令x轴
F
向右, y轴向上为正。
A
B
x
(1) 列弯矩方程
x
l
M (x) F(l x) Fl Fx
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分
EIw M (x) Fl Fx
EIw M (x) Fl Fx
EIw
Flx
Fx2 2
C1
(a)
Flx2 Fx3 EIw 2 6 C1x C2 (b)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。
(Approximately differential equation of the deflection curve)
称为近似的原因: (1) 略去了剪力的影响; (2)略
去了w'2项。
9.3 积分法求弯曲变形
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量, 上式可改写成
y
M
M
M＜0 w’’<0
O O
x
曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0
因此, M与w’’的正负号相同。 y
M
M
w
(1
w2
)
3 2
M (x) EI
工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算
挠曲线
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
梁的变形及刚度计算
(3) 改善荷载的作用情况
在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置 及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形， 提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用， 甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的 变形减小，刚度提高。
l /500，弹性模量E=2×105MPa ，试选择工字钢
的型号。
解 （1）按强度条件选择工字钢型号 梁的最大弯矩为：
M max
FP l 4
＝
40 103 N 3103 mm 4
＝3107 N mm
按弯曲正应力强度条件选截面
M max
W
W
M max
3107 N mm 160MPa
B
=
FPl 2 2EI
wm a x
=
FPl 3 3EI
2.悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端
B
=
Ml EI
wm a x
=
Ml 2 2EI
续表
3.悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上
B
=
ql 3 6EI
wm a x
=
ql 4 8EI
4.简支梁 集中荷载作用跨中位置上
时 a = b = l 2
A
=－
B
=
FPl 2 16 EI
梁的刚度足够
所以，选用20a工字钢
3、提高梁抗弯刚度的措施
梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI 、梁的跨 度L 、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的 抗弯刚度可以采取以下措施：
(1) 增大梁的抗弯刚度EI 增大梁的EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩I 值，一般不采用增大E 值的方法。
在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形 状，可提高惯性矩I 。
梁的变形及刚度计算
静态刚度计算公式
静态刚度计算公式
1.梁的弯曲刚度:
梁的弯曲刚度计算公式如下所示：
$$
EI=\frac{1}{k}
$$
其中，E表示梁的杨氏模量，I表示梁的截面惯性矩，k表示梁的曲率。
2.柱的弯曲刚度:
柱的弯曲刚度计算公式如下所示：
$$
EI=\frac{\pi^2EI}{l^2}
$$
其中，E表示柱的杨氏模量，I表示柱的截面惯性矩，l表示柱的长度。
3.弹簧的刚度:
弹簧的刚度计算公式如下所示：
$$
k=\frac{F}{\delta}
$$
其中，k表示弹簧的刚度，F表示作用在弹簧上的力，
$\delta$表示弹簧的形变。
4.板的刚度:
板的刚度计算公式如下所示：
$$
k=\frac{D}{t}
$$
其中，k表示板的刚度，D表示板的弯曲刚度矩，t表示板的厚度。
5.圆环的刚度:
圆环的刚度计算公式如下所示：
$$
k=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}
$$
其中，k表示圆环的刚度，k1和k2表示圆环内外半径的刚度。
需要注意的是，在实际工程中，刚度计算通常还要考虑材料的弹性、应力分布等因素，因此以上列举的公式只是一些常见
情况下的刚度计算公式，具体情况需要根据实际工程而定。
此外，不同国家和行业的标准和规范可能会有所差异，需要根据实际情况参考相应的标准和规范进行计算。
6第四章平面弯曲3--变形与刚度
EIw M x dx dx Cx D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件即边 界条件确定。
如：
A
F B
边界条件： wA=0
F A
wB=0 边界条件：
wA=0 θA=0 边界条件：
F A C
D a B
△a
l
wA=0
wB=△a
EIw EI M x dx C
Fb( l 2 b2 ) Fb 2 F DB : w2 2 x ( x a )2 6EIl 2EIl 2EI
Fb( l 2 b2 ) Fb 3 F w2 x x ( x a )3 6EIl 6EIl 6EI
当a＞b时
wmax 在AD段。
由w1 0，x0
EIw M x dx dx Cx D
积分常数C,D的几何意义是什么？
EIw'(0)=EIθ0 =C EIw (0)=EIw0 =D
例：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的转 角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。 设梁的抗弯刚度为EI。
F
A l B
思考题:作出图示梁弯矩图，并根据边界条 件和连续条件画出挠曲线大致形状.
F
Fl A
D
l y l
B
l
C
x
§4－10 奇异函数法计算梁的变形
一、弯矩的通用方程:
Me
A
F
D E
q
G
B
x
FA
am
C
aF aq1
FB
aq2
y
l
Me
A
F
D
E
q
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一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
由 y x l 0, C M e l 3
Me y 3 x 2 6lx 2l 2 6 EIl Me x 2 y x 3lx 2l 2 6 EIl
例11
求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
A l
B 原结构
q A
5 ql 8
FQ
4.作FQ、M图 极值弯矩位置：
3 x0 : l ql : ql 8
B 静定基 FBy
x0 3 ql 8
3 x0 l 8
极值弯矩：
1 2 M M 0 FBy x0 qx0 2 1 ql 8 2 3 3 1 3 9 ql l q l ql 2 8 8 2 8 128
梁的刚度条件与梁的合理设计 一、梁的刚度条件
max
[ ]
y max [ y]
式中 [ ]——许用转角 [ y]——许用挠度
二、梁的合理设计
由 EIy M x 出发：
1.提高梁的抗弯刚度 2.减小梁跨度 3.改善梁的受力情况
简单超静定梁的解法
超静定梁
——仅用平衡方程不能求出全部约束反力的梁 ——就维持梁的平衡而言所不必要的约束
x0
F
2
转角连续——光滑性条件
A
1
B x
x = 0, y = 0 x = x 0 , y 1 = y 2 x = l , y = 0 ( = 0) y ( = 0) 1 = 2
例11
求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
Me A
x
e
解：
1.列微分方程并积分
B
Me Me x M e M e FAy= M EIy Mx x l l l Me 2 EIy x Me x C 2l Me 3 Me 2 EIy x x Cx D 6l 2
五、 叠加法求梁的变形
基本原理 由几个外力同时作用时所引起的梁的变形 转角和挠度 等于
由各个外力单独作用时所引起的梁的变形的代数和
q F M
e
y yq y F y M e
例13 求B和yB 解： 1. Me单独作用时 2Mel BM e EI 2 2Mel 2 M e 2l y BM e EI 2 EI 2. F单独作用时 2 Fl BF CF 2 EI yBF yCF CF l
( 6)
Fxl Fx w ( 5) EI 2 EI 2 3 挠曲线方程 w Fx l Fx ( 6) 2 EI 6 EI 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值， 描出挠曲线的示意图(图c)。
转角方程
例题 5-1
2
(c)
2. 求max和wmax
(c)
例题 5-1
由挠曲线可见，该梁的max和wmax均在x=l的 自由端处。由(5)、(6)两式得 2 2 2 Fl Fl Fl max | x l EI 2 EI 2 EI 3 3 3 Fl Fl Fl wmax w | x l 2 EI 6 EI 3 EI
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
挠度（y）
—— 横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移 称为该点（横截面的形心）的挠度 向上为正，向下为负
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
转角（）
—— 横截面绕其中性轴旋转的角度 称为该横截面的转角 顺时针转为正，逆时针转为负
挠度与转角是度量梁的变形的两个基本量
——与多余约束相应的约束反力 ——多余约束的个数
多余约束
多余约束力 超静定次数
一次超静定梁
二次超静定梁
超静定梁的解法
变形比较法
1.选择静定基
2.通过比较多余约束处的变形求出多余约束力
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。 q 解： 一次超静定
1.取静定基
设FBy为多余约束力 2.求FBy 列变形几何方程 yB yBq yBFBy 0 查表
(b)
例题 5-1
2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程
该梁的边界条件为：在 x =0 处 w'=0 ，w =0
由(3)、(4)两式得
C1 0，C 2 0
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程 挠曲线方程
Fxl Fx 2 w EI 2 EI
( 5)
Fx 2l Fx 3 w 2 EI 6 EI
l
Me l
M Me
x
例题 5-1
解: 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方 程为 M x F l x (1) 挠曲线近似微分方程为
EIw M x F l x ( 2) x2 通过两次积分得 EIw F lx C ( 3) 1 2 lx 2 x 3 EIw F 2 6 C1 x C 2 (4)
1 2 M A ql 8
MA
3
q A B
Aq
代入上式，解得
A
AMA
B
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 能否设FAy为多余约束力?
A l
B 原结构
q A B q A B FAy
几何可变的——平衡的位置是不稳定的
结论: 静定基的选取不是唯一的 静定基必须是几何不变的
第四节
弯曲变形和刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角 二、挠曲线近似微分方程 三、积分法求梁的变形 四、位移条件
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
C'
y
1'
1
挠曲线——梁在受力变形后的轴线，
又称为弹性曲线
若忽略剪力的影响，横截面绕其自身中性轴旋转
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
Me
解：
Me 3 x 2 6lx 2l 2 6 EIl Me x 2 y x 3lx 2l 2 6 EIl
FAy=
A
x
B
Me l
l
FBy=
Me l
3.求 ymax
由 =0，
3 l 0.423l x0 1 3
Mel 2 ymax y x0 0.0642 EI Mel 2 l yC y 0.0625 EI 2
求梁变形的关键是求挠曲线方程
二、挠曲线近似微分方程 1.力学方面
M x x EI
2.数学方面
A
x
a x y F C
F D a B x
x
1 y
y
2 32
3.挠曲线近似微分方程
1 y
y
2 32
M x EI
二、挠曲线近似微分方程
可见：yC与ymax相差很小，两者相差不到ymax的3%。 对于简支梁，只要挠曲线上无拐点，总可以用跨中挠度
代替最大挠度，并且不会引起很大误差。 工程上通常采用中点的挠度值作为设计依据
例11 解：
求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
Me A B
x
4.画挠曲线的大致形状
FAy= Me l
FBy=
三、积分法求梁的变形
EIy M x
对于等直杆 转角方程： 挠曲线方程：
EIy M x dxdx Cx D
EI M x dx C
四、位移条件