第十二章 弯曲刚度和变形讲解
梁弯曲时的变形和刚度计算
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
最大转角发生在支座A (或支座B )处，其值为
max
A
ql3 24EI
()
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.4 用叠加法求梁的变形
积分法是求梁变形的基本方法。这种方法的优点是可以求得梁 的转角方程和挠曲线方程，从而求得梁任一横截面的转角和挠度。 其缺点是运算过程比较繁复，特别当梁上荷载复杂时，尤为明显。
2EI 3 2
w q ( x4 lx3 ) Cx D 2EI 12 6
简支梁在铰支座处的挠度均为零，即
x=0，w=0； x=l，w=0
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
将这两个边界条件代入方程，得
C ql3 , D 0 24EI
3) 求转角方程和挠曲线方程。 将所得的积分常数C、D值方程，得转角和挠曲线方程分别为
l
a qa3
6EI
B
C
qa3 6EI
(
)
目录
弯曲\梁的变形及刚度计算
1.5 梁的弯曲刚度计算
在工程中，根据强度条件对梁进行设计后，往往还要对梁进行 刚度计算。梁的刚度条件为
wmax
max
w
式中：wmax、max——梁的最大挠度和最大转角；
[w]、——许用挠度和许用转角。根据梁的用途，其值可在
第十二章轴与轮毂连接资料重点
1．按轴受的载荷和功用的不同进行分类 按轴受的载荷和功用的不同，轴可分为心轴（如图12-1）、传
动轴（如图12-2）、和转轴（如图12-3）。
第十二章 轴与轮毂连接
图12-1 心轴（铁路车辆轮轴）
第十二章 轴与轮毂连接
图12-2 传动轴
图12-3 转轴
第十二章 轴与轮毂连接
3．球墨铸铁
球墨铸铁吸振性和耐磨性好，对应力集中敏感低，价格低廉，使 用铸造方法可制成外形复杂的轴，如内燃机中的曲轴。
第十二章 轴与轮毂连接
12.4 轴的设计与计算
为了满足使用要求，并防止轴的疲劳断裂，设计轴时应根据使用 条件对轴进行设计计算。
12.4.1 按扭转强度计算
12.4.2 按弯扭合成强度计算
第十二章 轴与轮毂连接
图12-19 普通平键连接
第十二章 轴与轮毂连接
（2）半圆键连接
半圆键的两个侧面为半圆形，放置在半圆形的轴槽内，如图12-
22所示。工作时半圆键靠两侧面受挤压传递转矩，键在轴槽内可绕其
几何中心摆动，以适应轮毂槽底部的斜度。半圆键连接装拆方便，但
对轴的强度削弱较大，主要用于轻载场合。
完成轴的结构设计后，对于既承受弯矩M又传递转矩T的转轴， 可根据弯矩和转矩的合成强度来进行轴危险截面的强度校核。进行强 度计算时，我们通常把轴当作置于铰链支座上的梁，作用于轴上零件 的力作为集中力，其作用点取零件轮毂宽度的中点。
12.4.3 轴的刚度计算概念
轴的刚度主要是弯曲刚度和扭转刚度。其中，弯曲刚度是轴在弯 矩作用下产生的弯曲变形，其变形量用挠度 和偏转角 来度量；扭转 刚度是在扭矩作用下产生的扭转变形，其变形量用扭转角 来度量。
第十二章 轴与轮毂连接
工程力学弯曲变形教学课件
复合弯曲
构件在多个方向上的弯曲，如螺 旋弹簧。
特点
弯曲构件应力状态复杂，难以直 观描述。
弯曲变形的应用领域
建筑结构
如板材、梁、柱等结构的设计。
管道工程
例如油气管道的输送、变形与控制。
车辆工程
比如汽车、火车的车体、悬挂、轮轴等的设计。
机械制造
如转子、齿轮的制造及加工工艺的设计。
工程力Байду номын сангаас弯曲变形的研究方法
工程实例分析：高速铁路钢轨的弯曲变形
1 设计要求
2 轨道变形及寿命
3 分析方法
轨道线形和理论分析准确， 轨道表面平整，满足高速 列车的舒适性要求。
铁路轨道在使用过程中会 发生弯曲变形和垂向变形， 会影响轨道寿命和车辆行 驶安全。
载荷计算、应力分析、变 形分析、疲劳寿命分析、 几何形状优化等方法。
弯曲变形未来发展趋势
2 应用
纯弯曲在平面构件及杆件的弯曲变形分析有广泛应用，而复合弯曲则常见于薄壳结构的 变形分析。
工程力学对弯曲变形的判定准则
1
最大应力准则
理想的弯曲构件上，弯曲应力分布处，最大应力是许容应力的一定倍数。
2
最大应变准则
理想的弯曲构件上弯曲应变分布处，最大应变是许容应变的一定倍数。
3
能量方法
包括弯曲形态能、应变能等计算方法。
2 影响
材料弹性模量越大，弯曲变形的刚度越大；模量越小，刚度越小。
不同材料的弯曲特性
铝合金
木材
弯曲特性良好，重量轻，易加工， 耐腐蚀性能好。
弯曲特性较好，在建筑结构、家 具等领域有广泛应用。
钢材
弯曲特性相对较强，适用于制造 各种构件。
基础理论：欧拉梁理论
弯曲刚度 (3)
弯曲刚度弯曲现象及其原理在力学中，弯曲是一种物体受到外力作用而发生形变的现象。
当一个物体受到外力作用时，会发生内力和应变分布的变化，产生弯矩。
物体的弯曲刚度是描述物体抵抗弯曲变形的能力。
弯曲现象和弯曲刚度的原理可以通过弯曲梁的例子来解释。
弯曲梁是一种常见的结构，例如桥梁、楼梯等。
当外力作用在梁上时，梁会发生变形，顶部受到压缩力，底部受到拉力。
这个过程会产生一个名为弯矩的力矩。
弯曲梁的弯矩可以通过以下公式计算：M = E * I * κ / y其中，M是弯矩，E是弹性模量，I是截面惯性矩，κ是曲率，y是曲线上的点到中性轴的距离。
根据上述公式可以看出，弯曲刚度和弹性模量、截面惯性矩以及曲率有关。
影响弯曲刚度的因素1. 材料弹性模量材料的弹性模量是描述材料抵抗形变的能力，是衡量材料刚度的重要参数。
弹性模量越大，材料的刚度越高，抵抗弯曲变形的能力越强。
不同材料具有不同的弹性模量，例如钢材的弹性模量通常高于混凝土。
因此，在设计弯曲梁时，需要根据材料的弹性模量选择合适的材料，以满足所需的弯曲刚度。
2. 截面形状和大小弯曲梁的截面形状和大小对弯曲刚度有很大影响。
通常情况下，截面惯性矩越大，弯曲刚度越高。
因此，在设计弯曲梁时，需要选择合适的截面形状和尺寸，以提高弯曲刚度。
3. 曲率曲率是衡量曲线曲率程度的参数，也对弯曲刚度产生影响。
曲率越小，弯曲刚度越高。
在设计弯曲梁时，通常会尽量控制梁的曲率，以提高弯曲刚度。
弯曲刚度的应用弯曲刚度在工程中具有重要的应用价值。
以下是几个典型的应用示例：1. 结构设计在建筑和桥梁等大型工程的结构设计中，弯曲刚度是一个重要的考虑因素。
设计者需要根据工程的要求和使用条件，选择合适的材料和截面形状，以满足结构的强度和刚度要求。
2. 机械设计在机械设计中，弯曲刚度是一个关键的性能指标。
例如，在设计机械零件或装配体时，需要考虑其在受力情况下的弯曲变形情况，以确保零件或装配体的刚度满足设计要求。
12第十二讲(弯曲正应力)
材料力学教案
M z y d A
A
第十二讲：弯曲正应力计算
E
r
A
y dA
2
EI z
r
M
(c)
由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为
M r EI z 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，
梁横截面上的弯矩M 不随截面位置变化。故对于等截面的
1
直梁，包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。
3、纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 r dx
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是
梁的横截面与侧表面的交线（由表及里），可作出如下推论
(假设)：
平面假设
梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，
只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。 三峡大学 工程力学系
将 E 代入，即得弯曲正应力计算公式：
r
y
My Iz
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十二讲：弯曲正应力计算
二. 纯弯曲理论的推广－横力弯曲中正应力的计算
工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时，对于梁在
纯弯曲时所作的假设不再成立。
构件弯曲刚度-概述说明以及解释
构件弯曲刚度-概述说明以及解释1.引言1.1 概述构件弯曲刚度是指构件在承受外力作用下发生弯曲时所表现出的抵抗变形的能力。
在工程领域中，构件弯曲刚度是一个重要的参数，它直接影响着结构的稳定性和持久性能。
构件弯曲刚度的概念可以从两个方面来理解。
首先，从力学角度来看，构件弯曲刚度是指在给定的外力作用下，构件所发生的弯曲变形与所施加力矩的比值。
其数值越大，说明构件越难被弯曲和变形，具有较高的刚度。
其次，从工程设计角度来看，构件弯曲刚度反映了结构对外界荷载的抵抗能力。
在实际工程中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要合理选取构件的弯曲刚度。
构件弯曲刚度受多种因素的影响。
首先，构件的材料性质是影响弯曲刚度的重要因素之一。
不同材料具有不同的弯曲刚度，如强度高的材料往往具有较高的弯曲刚度。
其次，构件的几何形状对弯曲刚度也有着重要的影响。
构件的截面形状和尺寸大小会直接影响构件的刚度。
此外，外部环境条件以及构件与其他构件之间的连接方式也会对弯曲刚度产生一定的影响。
在实际工程设计中，构件弯曲刚度的重要性不可忽视。
具有较高弯曲刚度的构件可以有效地抵抗外界荷载的作用，提高结构的稳定性和安全性。
同时，弯曲刚度也与结构的变形和挠度密切相关。
通过合理设计和加强构件的弯曲刚度，可以降低结构的变形，提高结构的使用寿命。
为了提高构件的弯曲刚度，可以采取多种方法。
首先，选用合适的材料，如高强度材料或具有较高刚度的材料，可以有效提高构件的弯曲刚度。
其次，通过改变构件的截面形状和尺寸，可以增加构件的刚度。
此外，采用适当的连接方式和支撑结构，也可以有效增加构件的弯曲刚度。
总之，构件弯曲刚度在工程设计中扮演着重要的角色。
了解构件弯曲刚度的定义、影响因素以及提高方法，对于设计出稳定可靠的工程结构具有重要意义。
在未来的研究和实践中，我们应该进一步深入研究构件弯曲刚度的理论与应用，为工程结构的设计和施工提供更准确、可靠的指导。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述构件弯曲刚度的相关内容：1. 引言：在引言部分，将对构件弯曲刚度的概念进行概述，介绍本文的目的和重要性。
《弹性力学》第十二章薄板弯曲
4w q D
得:
C
q0
8D
3 a4
2 a 2b 2
3 b4
从而
w
q0 1
x2 a2
y2 b2
2
8D
3 a4
2 a 2b 2
3 b4
内力
M
x
D
2w x2
2w y 2
4CD
3x2 a4
xy
8CD1
xy a 2b 2
最大挠度为: wmax x0,y0 C
最大弯矩为（设a>b):
Mmax
My
x0, y b
8CD b2
其中
C
8D
3 a4
q0
2 a2b2
3 b4
,D
Et3
12 1 2
28
例2 试求图示四边简支，
承受均布载荷 q0 的矩形
o
q0
薄板之最大挠度。
x
z
解：取图示坐标系
设
w
m1
Ym
y
sin
mx
a
a
b
则在x=0及x=a边界上，边
o
2
界条件
w 0,
自然满足。
2w x 2
0
b
x
2
y
将w 的表达式代入弹性曲面微分方程
4w q D
29
得
Ym4
m1
弯曲刚度文档
弯曲刚度1. 弯曲刚度的概念弯曲刚度是一个物体在受到弯曲力作用时抵抗弯曲变形的能力的量化指标。
它描述了物体在弯曲过程中的抗弯刚度，即物体受到一定弯曲力后，发生的弯曲程度与力的大小之间的关系。
2. 弯曲刚度的计算公式弯曲刚度可以通过以下的计算公式来表示：EI = M/f其中，EI 为弯曲刚度，M 是作用在物体上的弯矩，f 是物体所发生的弯曲程度。
3. 弯曲刚度的单位和量纲弯曲刚度的单位是 Nm²，它是由力的单位 N 乘以长度的单位 m 的平方得到的。
在 SI 系统中，弯曲刚度的单位可以简化为 Nm²。
4. 弯曲刚度与材料的关系弯曲刚度与材料的性质密切相关。
不同的材料具有不同的弯曲刚度，这取决于材料的组成和结构。
一般来说，材料的强度和刚度越高，它的弯曲刚度也越大。
5. 弯曲刚度的应用弯曲刚度在工程设计和材料选择中起着重要的作用。
在设计中，了解材料的弯曲刚度可以帮助工程师确定材料是否适用于特定的应力条件下。
此外，也可以通过调整材料的组成和结构来改变弯曲刚度，以满足特定的设计要求。
6. 弯曲刚度的影响因素弯曲刚度受到多种因素的影响，其中包括材料的性质、截面形状、截面尺寸、载荷大小等。
例如，增加物体的截面尺寸可以增加弯曲刚度；增加材料的刚度可以提高弯曲刚度。
7. 弯曲刚度的测试方法常用的测试方法包括悬臂梁法、三点弯曲法和四点弯曲法等。
这些方法都可以测量物体在不同的弯曲条件下的弯曲变形程度，从而计算出弯曲刚度。
8. 弯曲刚度与其他刚度指标的关系弯曲刚度与其他刚度指标，如剪切刚度和压缩刚度等相关，它们共同描述了物体在不同受力条件下的刚度表现。
这些刚度指标之间的关系可以用来评估材料的力学性能和应用范围。
9. 结论弯曲刚度是一个描述物体在受到弯曲力作用时抵抗弯曲变形的能力的指标。
它与材料的性质、截面形状和尺寸、载荷大小等因素密切相关，可以通过不同的测试方法来测量和计算。
了解和掌握弯曲刚度对于工程设计和材料选择具有重要意义，有助于优化设计和提高材料的力学性能。
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定义混凝土开裂前的
M
截面刚度为初始刚度，
180 160 140
=1.27% =0.98%
B0
B1
B2
开裂后至割线刚度突 变结束时的割线刚度 为开裂后刚度
M (×106N.mm)
120 100
80 60 40 20
=0.81%
o
=0.66% =0.52% =0.40%
f =0.29%
0
-20 0
1.15 6E
1 3.5 f
= 1.1 0.65 ftk s sk te
在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围，三个参数、 和 中， 和 为常数，而 随弯矩增长而增大。
该参数反映了裂缝间混凝土参与受拉工作的情况，随着弯矩增 加，由于裂缝间粘结力的逐渐破坏，混凝土参与受拉的程度减
20
40
60
80
100
120
¦Õ (×10£ 6mm-1)
ª¿ ÑÁ óº Õ¸ ȶ /õ³ ʼ Õ¸ ȶ Ö¸ ½î üÇ þ·Ê±Õ¸ ȶ /õ³ ¼Ê Õ¸ ȶ
M
B0
B1
B2
o
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
f
¼Æ Ëã Çú Ïß Äâ ºÏ Çú Ïß
小，平均应变增大， 逐渐趋于1.0，抗弯刚度逐渐降低。
等效惯性矩法 Branson建议
M B
EI0
EIcr
A
Ie
=
( Mcr M
)a I0
[1 ( Mcr M
)a ]Icr
o
ACI318-95取a=3，于是有：
I
I0
Ie
)(
M cr M
)3
Icr
o
Mcr
f
My
M
等效刚度法----同济大学研究人员建议的方法
刚度公式的建立
材料力学中曲率与弯矩关系的推导
f=e
y
s = Ee e = s
E
s=M y
I
几何关系 物理关系 平衡关系
f=e = s =M
y Ey EI
短期刚度Bs：
解析刚度法
1、几何关系： f = e s ec
2、物理关系：
h0
es
=
ss
Es
，
ec
= sc Ec
3、平衡关系：根据裂缝截面的应力分布
裂缝截面的相对受压区高度 变化很小，内力臂的变化也不大。 对常用的混凝土强度和配筋情况， 值在0.83~0.93之间波动。 《规范》为简化计算，取=0.87。
2、受压区边缘混凝土平均应变综合系数
根据试验实测受压边缘混凝土的压应变，可以得到系数 的试 验值。在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围，系数 的变化很小，
0.5
1
1.5
Åä ½î ÂÊ ¦Ñ %
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0
¼Æ Ëã Çú Ïß Äâ ºÏ Çú Ïß
0.5
1
1.5
Åä ½î ÂÊ ¦Ñ £¥
M
B0
B1
B2
o
f
混凝土的强度 等级
C20 C25 C30 C50
B1 = 1
B0
a1
b1
函数关系式
B2 = 1
=
ss
Es
= Ms Es As h0
f = Ms
= es ec
=
Ms Ecbh02
Ms Es Ash0
Bs
h0
h0
Bs
=
Es As h02
E
参数、 和的讨论
1、开裂截面的内力臂系数
试验和理论分析表明，在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围，
第十二章 弯曲刚度和变形
变形限值
f ≤[f]
[f]为挠度变形限值。主要从以下几个方面考虑： 1、保证结构的使用功能要求。结构构件产生过大的变形将影响甚至
丧失其使用功能，如支承精密仪器设备的梁板结构挠度过大，将 难以使仪器保持水平；屋面结构挠度过大会造成积水而产生渗漏； 吊车梁和桥梁的过大变形会妨碍吊车和车辆的正常运行等。
仅与配筋率有关。《规范》根据试验结果分析给出，
E = 0.2 6 E
1 3.5 f
f
=
(bf b)hf bh0
受压翼缘加强系数
3、钢筋应变不均匀系数
= 1.1 0.65 ftk s sk te
s sk
=
M sk
As h0
当 <0.2时，取 =0.2；
B0
a2
b2
(上限)
a1 0.65
b1 0.49
0.63
0.56
0.61
0.65
0.59
0.84
(下限)
a2 1.27 1.15 1.10 1.06
b2 0.65 0.77 0.88 1.15
B B0 B1
B2
o
Mcr
My
M
考虑部分荷载长期作用的影响
Mq (Mk Mq )
2、防止对结构构件产生不良影响。如支承在砖墙上的梁端产生过大 转角，将使支承面积减小、支承反力偏心增大，并会引起墙体开 裂。
3、防止对非结构构件产生不良影响。结构变形过大会使门窗等不能 正常开关，也会导致隔墙、天花板的开裂或损坏。
4、保证使用者的感觉在可接受的程度之内。过大振动、变形会引起 使用者的不适或不安全感。
刚度是反映力与变形之间的关系：
应力-应变：s = E e 弯矩-曲率：M = EI ×f
荷载-挠度：P = 48× EI × （f 集中荷载） l3
水平力-侧移：V = 12 EI d（两端刚接）
h3
由于混凝土开裂、弹塑性应力-应变关系和钢筋屈服等影响，
钢筋混凝土适筋梁的M-f 关系不再是直线，而是随弯矩增大，
M s = C h0= s c h0 b h0
M s = T h0 = s s As h0
sc
=
Ms
bh02
ss
=
Ms
As h0
h0
h0
sc sc
C
ssAs
ec
= cec
=
c
sc Ec
=
c
Ms
Ecbh02
=
Ms Ecbh02
es
=e s
当 >1.0时，取 =1.0；
对直接承受重复荷载作
用的构件，取 =1.0。
te
=
As Ate
te为以有效受拉混凝土截面面积
计算的受拉钢筋配筋率。
Ate为有效受拉混凝土截面面积，对
受弯构件取
Ate = 0.5bh (bf b)hf
Bs
=
Es Ash02
E
Bs
=
Es Ash02
截面曲率呈曲线变化。
M EcI0
My Ms
Mcr
Bs
M
Mcr f
EcI0 0.85EcI0
f
短期弯矩Msk一般处于第Ⅱ阶段，刚度计算需要研究构件带裂 缝时的工作情况。该阶段裂缝基本等间距分布，钢筋和混凝土
的应变分布具有以下特征：
c
=
ec ec
f = es ec
h0
= es es
Bs
=
Ms
f