高中数学必修4第一章第四节《三角函数的图像与性质》全套教案

三角函数的图像与性质
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
【教学目标】
（1）了解正弦曲线的画法及原理，理解余弦曲线与正弦曲线的联系；
（2）观察y=sin x，x∈［0，2］的图象，归纳出“五点法”，并推广到余弦函
π
数以及复合函数的图象的画法
【教学重点难点】
【教学重点】：五点法
【教学难点】：正余弦曲线间的联系；数形结合、图象变换的思想方法
【学前准备】：多媒体，预习例题电脑
2
、利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：
（1）sin x ≥；（2）cos x ≤．
解：（1）作出正弦函数y =sin x ，x ∈[0，2π]的图象：
由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：
Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++,265,26ππππ （2）作出余弦函数y =cos x ，x ∈[0，2π]的图象：
由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：
Z k k k ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++,235,23ππππ
212
1
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
【教学目标】
1.借助图象理解正弦函数、余弦函数的基本性质，会求复合函数的单调区间.
2.体会数形结合思想及整体换元思想
【教学重难点】
通过正弦函数、余弦函数的图象归纳其性质.
整体换元思想的渗透，复合函数单调性的求法
【学前准备】：多媒体，预习例题
1、师生共同研究得出正弦函数的性质：
①定义域：R ②值域：]1,1[- ③单调性：递增区间为
Z k k k ∈++-
],22
,
22
[ππ
ππ
，函数值从-1增至1；
递减区间为
Z k k k ∈++],22
3,
22
[
ππ
ππ
，函数值从1减至-1. ④最值：当Z k k x ∈+=
,22
ππ
时，1max =y ；
当Z k k x ∈+-
=,22
ππ
时，1min -=y .
⑤奇偶性：奇函数，x x sin )sin(-=- ⑥对称性：对称轴为Z k k x ∈+=
,2
ππ
；
对称中心为Z k k ∈),0,(π.
2、小组合作探究得出余弦函数的性质：
①定义域：R ②值域：]1,1[-
③单调性：递增区间为Z k k k ∈+-],2,2[πππ，函数值从-1增至1；
正切函数的性质与图象【教学目标】
1.掌握正切函数的性质；
2.掌握性质的简单应用；
3.会解决一些实际问题。

【教学重点】
正切函数的性质的应用。

【教学难点】
灵活应用正切函数的性质解决相关问题
【学前准备】
：多媒体，预习例题
一、复习引入分钟）
正切线：
首先练习正切线，画出下列各角
的正切线：正切线是AT 。

正切函数R x x
y ∈=tan ，且
()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切
曲线”
余切函数y ＝cotx ，x ∈(k π，k
π+π)，k ∈Z 的图象（余切曲线） 正切函数的性质：
1
．
定
义
域
：
1x
x 时
x 时 数
间数单调递减
⎭
⎬
⎫
z
3：
作出函数
()π2,0
,
tan
1
tan
2
∈
+
=x
x
x
y且
2
3
,
2
π
π
≠
x的简图。

解：
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛π
π
∈
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
π
π
⋃
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛π
∈
=
=
+
=
2
3
,
2
,
sin
2,
2
3
2
,0
,
sin
sec
tan
tan
1
tan
2
x
x
x
x
x
x
x
x
y
4：
求下列函数的定义域
1．
1
tan
cot
-
=
x
x
y 2．x
x
y csc
cot⋅
=
解：1．
}轴
括y
y=sin2x+3cos2x-2
y=sin2x+3cos2x-2=2sin(2x+
3
)-2
＜
2
时
（－
2＜＜
2
）
即tanx＝AＴ，由Ｓ扇形AOP＜Ｓ△ＯA
＜
2
π）＜2
π
时，）结论，得∴当－2
π
＜ 因此方程x ＝tanx 在（－2
π，
2
π
x ＝0。

，
2
）且)2
(22
121＜2 0＜2
∴－2＜＜2
且2
12
2
+>2
cos
cos cos 2cos
21x x x x 2
cos
2sin cos cos 22cos 2sin 212
1
2121x x x x +>
2tan cos cos 22121x x ⇒
2
tan 22
121即
)2
(22
121因此
2
）时是下凸的，同样可以2
π，0
根据y ＝tanx 在x ∈(－
2π，2π)上的图象可知0＜x ≤4
π
结合周期性，可知原函数的定义域为：｛x ｜k π＜x ≤k π＋
4
π
，k ∈Z ｝ 答案：C
2求函数y ＝x x sin cot 的定义域
解：∵cotxsinx ＝x
x sin cos ·sinx ＝cosx
∴函数的定义域由⎩
⎨⎧≠≥0sin 0
cos x x 确定
解之得2k π-
2π≤x ≤2k π＋2
π
，且x ≠k π，(k ∈Z)
从而原函数的定义域为：［2k π－2π
，2k π)∪(2k π，2k π＋
2π
] (k ∈Z) 3如果α、β∈(
2
π
，π)且tan α＜cot β，那么必有( ) A α＜β B β＜α
C α＋β＜23π
D α＋β＞2
3π
解：tan α＜cot β⇔tan α＜tan(2
3π
－β)
∵α、β∈(2π，π)，23π－β∈(2
π
，π)
又∵y ＝tanx 在(2
π
，π)上是增函数
∴α＜23π－β 即α＋β＜23π
答案：C
4函数y ＝lg(tanx)的增函数区间是( ) A(k π－2π，k π＋2π)(k ∈Z) B(k π，k π＋2
π
)(k ∈
Z) C(2k π－2π，2k π＋2
π
)(k ∈Z) D(k π，k π＋π)(k ∈Z)
解：函数y ＝lg(tanx)为复合函数，要求其增函数区间则要满
足tanx ＞0，且y ＝tanx 是增函数的区间。