重庆市42中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题含答案
B. bf (ln a ) af (ln b) D. bf (ln a ) 与 af (ln b) 的大小不确定
1 3 1 2 x ax (a 1) x 1 在区间（1,4）内为减函数，在区间（6， 3 2
+ ）上为增函数，则实数 a 的取值范围是（ C. 5,7
）
A.(5,7)
n
=
（x x）（y
i 1 i n i
n
i
（x x）
2 i 1
y） ，^ a＝ y －^ bx.
1 19、 （12 分）函数 f(x)＝ x2－3x＋2lnx，求函数 f(x)在[1，e]上的最值 2
4
20、 （12 分）用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长 与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体 积是多少？
）
10、计算：1+2 i +3 i 2 +4 i 3 +5 i 4 + … +100 i 99 =(
2
)（i 是虚数单位）
A. 0
B. 1
C.-25-25 i
D.-50-50 i
11、已知函数 f ( x) 的导函数为 f ( x) ，对一切的 x R 都有 f ( x) f ( x) 成立，对 任意正数 a, b , 若 a b ,则有( A. bf (ln a ) af (ln b) C. bf (ln a ) af (ln b) 12、若函数 f ( x) ).
－1
A．1
B．－1C．－e来自D．－e5、若 a, b, c R ，且 a x 2 2 y 正确的是（ ）
, b y 2 2 z , c z 2 2 x ，则下列说法 2 3 6
1
A. a, b, c 都大于 0， C. a, b, c 都小于 0
B. D.
b c b c 3、已知 a, b, c R ，若 1 且 -2 ，则下列结论成立的是（ a a a a
）
A. a, b, c 同号 C. a ,c 同号，b 与它们异号
B.b,c 同号， a 与它们异号 D.b,c 同号， a 与 b,c 符号关系不能确定
4、已知函数 f(x)的导函数为 f （x） ，且满足 f(x)＝2x f (e) ＋lnx ，则 f (e) ＝ ( )
1 2 综上，函数 f(x)在[1，e]上的最大值为 e －3e＋2，最小值为 2ln2－4....12 2 分
20 、 （ 12 分 ） 解 ： 设 长 方 体 的 宽 为 x （ m ） ， 则 长 为 2x
h 18 12 x 4.5 3 x(m) 4 3 0＜x＜ 2
16、在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f(x)＝xlnx－x 的图象上的动点， 该曲线在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M（0,y M ） ，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点
3
N（0,y N ） ．则
yN 的范围是____________ yM
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，写出必要的计算、证明或推理过程）
A．(10,10)
8、在函数 y x 3 8 x 的图象上，其切线的倾斜角小于 点的个数是（ A. 2 ） B. 3 C. 0 D. 1
的点中，坐标为整数的 4
9、在极坐标系中，直线 cos( ) 2 与曲线 2 的公共点个数是（ 4
A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都有可能
x t 3 17、（10 分） 已知直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ， y 3t
以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆 C 的极坐标方 程为
2 - 4 cos 3 0 。
（1）求 l 的普通方程及 C 的直角坐标方程。 （2）P 为圆 C 上的点，求 P 到 l 的距离的取值范围。
重庆市 42 中学 2016—2017 学年度高二 下学期期中考试数学（文）试题
（考试时间：120 分钟；满分：150 分） 一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
4 - 3i （i 是虚数单位） ，则|z| =( 6 8i 7 1 B. 1 C. D. 48 2
1、已知复数 z= A.
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入 逐年增加，平均每年增加 0.5 千元， ...8 分
将 2015 年 的 年 份 代 号 t ＝ 9 代 入 (1) 中 的 回 归 方 程 ， 得 ＝ 0.5 × 9 ＋ 2.3 ＝ 6.8 ...11 分 ..12 分
...10 分
1 1 18. （12 分） (1)由所给数据计算得 t ＝ (1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝ (2.9 7 7 ＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，＝0.5，＝ y － t ＝4.3－0.5×4＝ 2.3，所求回归方程为＝0.5t＋2.3. ...6 分
m....11 分 答： 当长方体的长为 2 m， 宽为 1 m， 高为 1.5 m 时， 体积最大， 最大体积为 3m ...12 分
7
3
21.解： （1）由题意 f ( x) x 2 (k 1) x 为 f ( x)在区间(2,) 上为增函数 所以 f ( x) x 2 (k 1) x 0在(2,) 上恒成立，即 k 1 x恒成立, 又x 2 所以 k 1 2, 故k 1 当 k=1 时， f ( x) x 2 2 x ( x 1) 2 1在x (2,) 恒大 于 0， 故 f ( x)在(2,) 上单增，符合题意.所以 k 的取值范围为 k≤1...5 分 （
故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收人为 6.8 千元．
1 2 x2－3x＋2 19.由 f(x) ＝ x2 － 3x ＋ 2lnx 可 得 ， f ′ (x) ＝ x ＋ － 3 ＝ ＝ 2 x x
( x 1)( x 2) ...2 分 x
6
当 x∈(1,2)时，f ′(x)<0，∴f(x)在[1,2]上是减函数；当 x∈(2，e)时，f ′ (x)>0，∴f(x)在[2，e]上是增函数． ∴当 x＝2 时，f(x)min＝f(2)＝2ln2－4. ...5 分 ...6 分
18、 （12 分）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位：千元) 的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9
h( x ) f ( x ) g ( x )
5 1 2 1 2 5 1 2 又 f(1)＝－ ，f(e)＝ e －3e＋2，f(e)－f(1)＝ e －3e＋2－(－ )＝ (e －6e 2 2 2 2 2 1 2 ＋9)＝ (e－3) >0， 2 ...10 分 ...11 分
1 ∴f(e)>f(1)，∴f(x)max＝f(e)＝ e2－3e＋2. 2
1 ． 2 ，求 f (n) f (m) 的最大值（e 是自然对数的底数） e
5
参考答案
1--12 题： DAADB 13.68 BCCBD AB 3 6 15.( ， ) 16 5 16.(－∞，－1]∪[3，＋∞)
14.-36
17、（10 分） （1）解： l 的普通方程为： 3 x y 3 3 0 ， C 的直角坐标方程为： x 2 y 2 4 x 3 0 ...4 分
因此 x 1 .
...6 分
1 x 3 2 时，V ' x 0 ，故在 x 1 处 V x 取得极大
当 0 x 1 时，V ' x 0 ；当
值，并且这个极大值就是 V x 的最大值。
...9 分
2 3 3 从而最大体积 V V ' x 9 1 6 1 m ，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5
...2 分
2 （2）C 的标准方程为： ，半径为 1， （x 2） y 2 1 ，圆心为 C（2,0）
点 C 到 l 的距离为 d=
| 2 3 -03 3 | 5 3 , 2 2
...8 分
5 3 5 3 所以 P 到 l 的距离的取值范围是 - 1， 1 2 2
a, b, c 中至少有一个大于 0 a, b, c 中至多有一个大于 0
6、当 m＝7，n＝3 时，执行如图所示的程序框图， 输出的 S 值为( )
A．840
B．210
C．42
D．7
7、已知“整数对”按如下规律排成一列：(0,0)，(0,1)，(1,0)，(0,2)，(1,1)， (2,0)， (0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，…，则第 222 个“整数对”是( B．(10,9) C．(11,9) D．(9,10) )
B. [5,7]
D. 5,7
二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、某单位为了解用电量 y(度)与气温 x(℃)之间的关系，随机抽查了某 4 天的 用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温(℃) 用电量(度) 18 24 13 34 10 38 －1 64
^ ^ ^ ^ 由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量 约为__度．
22、 （12 分）设 x m 和 x n 是函数 f ( x) ln x 中m n ，aR ．
2017学年重庆市巴蜀中学高二下学期期中数学试卷及参考答案(文科)
2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）在复平面中，下列复数中所对应的点在第三象限的是（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i2．（5分）已知集合A={x|（x﹣5）（x+1）＜0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣3＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|﹣1＜x ＜5}3．（5分）2000年5月，位于咸阳市的陕西省石化建设公司在其院后取土时，发现西汉古墓3座，咸阳市文物考古研究所派人对其进行了清理，发现了较多的文物．其中有一件串饰，如图所示的是一串黑白相间排列的珠子．请问以左边第一颗珠子算起，按照这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是（）A．白色B．黑色C．白色的可比性大 D．黑色的可能性大4．（5分）设α、β为两个不同平面，若直线l在平面α内，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数y=f（x）+x3是R上的偶函数，若f（1）=2，则f（﹣1）=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.257．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）的导数为f'（x），且满足≤0，下列关系中成立的是（）A．f（1）+f（3）＜2f（2） B．f（1）+f（3）≤2f（2） C．f（1）+f（3）＞2f （2）D．f（1）+f（3）≥2f（2）时，液面高为（）A．4 B．5 C．6 D．711．（5分）设P是双曲线﹣=1上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1、d2，则d1•d2=（）A．3 B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），则u=2a+b 的最小值为（）A．﹣4 B．3﹣2C．3﹣4D．﹣2二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．14．（5分）若=1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则a+b=．15．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．三、解答题（本大题6个小题，共70分，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）已知x的不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，其中a为实数．（1）当a=1时，解不等式；（2）若不等式的解集为R，求a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=log a（3﹣ax）．（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围．（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，且最大值为2，求出实数a的值．18．（12分）某校为了解高二年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对）进行了如下的调查研究．全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按问卷调查，得到如下2×2列联表：（1）完成下列联表，并判断能否有99%的把握认为态度与性别有关？（2）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率．参考公式：K2=19．（12分）如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．AC=4（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求几何体C﹣BDF的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A，B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若•=﹣，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知l1，l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P，Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R，求△PQR面积最大值时，直线l221．（12分）已知函数f（x）=1﹣﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）当a≥0时，记函数Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x+﹣1+f（x），试求Γ（x）的单调递减区间；（Ⅲ）设函数h（x）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，当λ∈（﹣∞，0]∪[，+∞）时，求h（a）的最大值．2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）在复平面中，下列复数中所对应的点在第三象限的是（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i【解答】解：只有B中的复数对应的点（﹣1，﹣2）在第三象限．故选：B．2．（5分）已知集合A={x|（x﹣5）（x+1）＜0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣3＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|﹣1＜x ＜5}【解答】解：集合A={x|（x﹣5）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜5}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．3．（5分）2000年5月，位于咸阳市的陕西省石化建设公司在其院后取土时，发现西汉古墓3座，咸阳市文物考古研究所派人对其进行了清理，发现了较多的文物．其中有一件串饰，如图所示的是一串黑白相间排列的珠子．请问以左边第一颗珠子算起，按照这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是（）A．白色B．黑色C．白色的可比性大 D．黑色的可能性大【解答】解：从第一个开始，每5颗珠子作为一个整体，则前3颗为白珠子，后2颗为黑珠子，则36颗珠子为第8组的第一个珠子，则为白色，故选：A．4．（5分）设α、β为两个不同平面，若直线l在平面α内，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）已知函数y=f（x）+x3是R上的偶函数，若f（1）=2，则f（﹣1）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意，令F（x）=f（x）+x3，若f（1）=2，则有F（1）=f（1）+13=3，又由F（x）为R上的偶函数，则F（﹣1）=f（﹣1）+（﹣1）3=F（1）=3，解可得：f（﹣1）=4；故选：D．6．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25【解答】解：=（1+2+3+4）=2.5，=（4.5+4+3+2.5）=3.5，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是：=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a，故a=5.25，故选：D．7．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是上部为长方体，下部为三棱柱的组合体，画出几何体的直观图如图所示，根据图中数据，计算其体积为V组合体=V三棱柱+V长方体=．8．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）的导数为f'（x），且满足≤0，下列关系中成立的是（）A．f（1）+f（3）＜2f（2） B．f（1）+f（3）≤2f（2） C．f（1）+f（3）＞2f （2）D．f（1）+f（3）≥2f（2）【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x），且满足≤0，可得x＜2，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数．x＞2，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数．所以x=2时，函数取得最小值，可得f（1）+f（3）＞2f（2）．10．（5分）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B 水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．则当底面ABC水平放置时，液面高为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，=S，设△ABC的面积为S，则S梯形=S×AA1=6S，水的体积V水当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，=Sh=6S，则有V水故h=6；故选：C．11．（5分）设P是双曲线﹣=1上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1、d2，则d1•d2=（）A．3 B．C．D．2【解答】解：﹣=1，可得x2﹣2y2=4，由条件可知：两条渐近线分别为x±y=0，设双曲线C上的点P（x，y），则点P到两条渐近线的距离分别为d1=，d2=，所以d1•d2==．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），则u=2a+b 的最小值为（）A．﹣4 B．3﹣2C．3﹣4D．﹣2【解答】解：由函数f（x）的图象：可知，a＜﹣1，﹣1＜b＜1，且a2﹣2a﹣3=﹣b2+2b+3，即点P（a，b）满足不等式组，此区域为以为端点且不含端点的圆弧，直线u=2a+b与圆弧相切于点C，则直线u=2a+b过点C时，u有最小值，2=，（u＜0），解得u=3﹣2．最小值为：．故选：B．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【解答】解：，故答案为：14．（5分）若=1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则a+b=1．【解答】解：∵=1﹣bi，∴=1﹣bi，即=1﹣bi，∴=1 且=﹣b，解得a=2，b=﹣1，∴a+b=1，故答案为1．15．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．【解答】解：设g（x）=x2+（2﹣k）x+1设不等式g（x）≤0的解集为a≤x≤b．则△=（2﹣k）2﹣4＞=0，解得k≥4或k≤0又∵函数f（x）=x2+2x+1，且f（x）＜=kx对任意实数x属于（1，m]恒成立；∴（1，m]⊆[a，b]∴a≤1，b≥m∴f（1）=4﹣k＜0，解得k＞4m的最大值为b，所以有b=5．即x=5是方程g（x）=0的一个根，代入x=5我们可以解得k=故答案为：三、解答题（本大题6个小题，共70分，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）已知x的不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，其中a为实数．（1）当a=1时，解不等式；（2）若不等式的解集为R，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣2，令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|，则当x＜﹣3时，f（x）=﹣x﹣3+x﹣1=﹣4≤﹣2，成立，当﹣3≤x≤1时，f（x）=2x+2≤﹣2，解得：x≤﹣2，当x＞1时，f（x）=x+3﹣x+1=4＞﹣2，不成立，故不等式的解集是{x|x≤﹣2}，（2）：令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|，则当x＜﹣3时，f（x）=﹣x﹣3+x﹣1=﹣4；当﹣3≤x≤1时，f（x）=2x+2∈[﹣4，4]；当x＞1时，f（x）=x+3﹣x+1=4；∴f（x）max=4．∵不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a的解集是R，∴a2﹣3a≥f（x）max=4，∴a2﹣3a﹣4≥0．解得：a≥4或a≤﹣1．17．（12分）已知函数f（x）=log a（3﹣ax）．（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围．（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，且最大值为2，求出实数a的值．【解答】解：（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，则a＞0且a≠1，且当x∈[0，2]时，3﹣ax＞0恒成立．由3﹣ax＞0，当x=0时，对于任意实数a恒成立；当x∈（0，2]时，不等式化为a，则a．综上，a的范围为：0＜a＜且a≠1；（2）∵a＞0，∴内层函数t=3﹣ax为减函数，要使f（x）=log a（3﹣ax）在[1，2]上为减函数，且最大值为2，则，解得a=．18．（12分）某校为了解高二年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对）进行了如下的调查研究．全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2×2列联表：（1）完成下列联表，并判断能否有99%的把握认为态度与性别有关？（2）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率．参考公式：K2=【解答】解：（1）抽取样本容量为1350×=150，其中男生为150×=80，女生为150×=70，填写列联表如下：计算得K2=≈10.714＞6.635，所以有99%的把握认为态度与性别有关；（2）随机抽取一男一女所有可能的情况有6×4=24种，其中恰有一人支持一人反对的可能情况有2×2+4×2=12种，所以概率为P==．19．（12分）如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．AC=4（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求几何体C﹣BDF的体积．【解答】证明：（1）取DE的中点H，连AH，CH，∵△ADE为等边三角形，∴AH⊥DE，且，在△DHC中，DH=1，DC=4，HDC=60°，∴，∴AC2=AH2+HC2，即AH⊥HC，∵DE∩HC=H，∴AH⊥平面BCDE，∵AH⊂平面ADE，∴平面ADE⊥BCDE…（6分）==2，∵F是AC中点，∴几何体C﹣BDF的体积…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A，B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若•=﹣，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知l1，l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P，Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R，求△PQR面积最大值时，直线l2的方程．【解答】解：（1）由题意可得|AB|=2，即b=1，△ABF为等边三角形，可得c=•2=，a==2，则椭圆方程为+y2=1；（2）设M（m，n），即有H（m，0），N（﹣m，﹣n），（m，n＞0），由•=﹣，即为（0，n）•（﹣2m，﹣n）=﹣，即有﹣n2=﹣，解得n=，代入椭圆方程可得，+=1，可得m=，即有N（﹣，﹣），H（，0），直线NH：y=（x﹣），代入椭圆方程，可得5x2﹣2x﹣14=0，由﹣•x J=﹣，解得x J=，y J=（﹣）=，J（，），NJ中点为（，﹣），圆的半径为r==，即有所求圆的方程为（x﹣）2+（y+）2=；（3）设l2：y=kx﹣1，代入椭圆方程可得，（1+4k2）x2﹣8kx=0，解得x R=，y R=，则|AR|==，由题意可得直线PQ的方程为y=﹣x﹣1，由弦长公式可得|PQ|=2=，则△PQR面积为S=|PQ|•|AR|=••=8•，令1+4k2=t（t≥1），即有k2=，则S=2=2=2，可得=，即有t=，即为k=±，即有直线l2的方程为y=±x﹣1．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）当a≥0时，记函数Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x+﹣1+f（x），试求Γ（x）的单调递减区间；（Ⅲ）设函数h（x）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，当λ∈（﹣∞，0]∪[，+∞）时，求h（a）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1﹣，则f′（）=4﹣2=2，∴函数f（x）的图象在点（的切线方程为：y﹣（ln2﹣1）=2（x﹣），即2x﹣y+ln2﹣2=0．（Ⅱ）∵f（x）=1﹣﹣lnx（a∈R）．Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x+﹣1+f（x）=Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnxΓ′（x）=ax+（1﹣2a）﹣=①当a=0时，Γ′（x）=由Γ′（x）=≤0及x＞0可得：0＜x≤1，Γ（x）的单调递减区间为（0.1]②当a＞0时，Γ′（x）=ax+（1﹣2a）﹣=．由ax2﹣（2a﹣1）x﹣1=0可得：△=（2a﹣1）2+4a=4a2+1＞0设其两根为x1，x2，因为，所以x1x2一正一负设其正根为x2，则x2=由Γ′（x）=≤0及x＞0可得0∴Γ（x）=的单调递减区间为（0，]．（Ⅲ）f′（x）=，由f′（x）=0⇒x=a由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2对于h（a）=3λa﹣2a2，对称轴a=当或，即λ≤0或时，h（a）max=h（）=当0，即0＜λ≤1时，h（a）max=h（0）═0，当；综上可知：h（a）max=赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
重庆市高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
2016-2017学年重庆市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．2．在用反证法证明命题“过一点只有一条直线与已知平面垂直”时，应假设（）A．过两点有一条直线与已知平面垂直B．过一点有一条直线与已知平面平行C．过一点有两条直线与已知平面垂直D．过一点有一条直线与已知平面不垂直3．函数f（x）=2x3在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（）A．y=6x+4 B．y=6x﹣4 C．y=﹣6x+4 D．y=﹣6x﹣44．某数学老师在分析上期末考试成绩时发现：本班的数学成绩（x）与总成绩（y）之间满足线性回归方程：，则下列说法中正确的是（）A．某同学数学成绩好，则总成绩一定也好B．若该班的数学平均分为110分，则总成绩平均分一定为530分C．若某同学的数学成绩为110分，则他的总成绩一定为530分D．本次统计中的相关系数为1.85．在下列图、表中，能更直观地反映两个分类变量是否有关系的是（）A．列联表B．散点图C．残差图D．等高条形图6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是（）A．4 B．6 C．9 D．137．函数y=x2﹣2lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1）B．（0，1] C．[1，+∞）D．（0，+∞）8．若，，（a＞﹣5），则P，Q的大小关系为（）A．P＜Q B．P=Q C．P＞Q D．不能确定9．某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：（x＞0），生产成本y2万元是产量x（千台）的函数：（x＞0），为使利润最大，应生产（）A．9千台B．8千台C．7千台D．6千台10．已知函数f（x）=x2+x+2cosx，若f'（x）是f（x）的导函数，则函数f'（x）的图象大致是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=e2x﹣1，直线l过点（0，﹣e）且与曲线y=f（x）相切，则切点的横坐标为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．e﹣112．已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）+f'（x）＜0，则以下判断正确的是（）A．e2017•f（2017）＞f（0）B．e2017•f（2017）=f（0）C．e2017•f（2017）＜f（0）D．e2017f（2017）与f（0）的大小无法确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分“全科阅读”测试（请根据假期阅读书目《数学万花筒》内的内容完成第13、14题）13．《数学万花筒》第3页中提到如下“奇特的规律”：1×1=111×11=121111×111=12321…按照这种模式，第5个式子11111×11111= ．14．《数学万花筒》第7页中谈到了著名的“四色定理”．问题起源于1852年的伦敦大学学院毕业生弗朗西斯•加斯里．他给自己的弟弟弗莱德里克写的信中提到：“可以使用四种（或更少）颜色为平面上画出的每张地图着色，使任何相邻的两个地区的边界线具有不同的颜色吗？”回答他这个问题用了124年，但简单的图形我们能用逐一列举的方法解决．若用红、黄、蓝、绿四种颜色给右边的地图着色，假定区域①已着红色，区域②已着黄色，则剩余的区域③④共有种着色方法．15．已知i是虚数单位，则= ．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=e x﹣2ax．若函数f（x）在R内没有零点，则a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）“雷神”火锅为提高销售业绩，委托我校同学研究气温对营业额的影响，并提供了一份该店在3月份中5天的日营业额y（千元）与当日最低气温x（℃）的数据，如表：（Ⅰ）请你求出y关于x的回归方程；（Ⅱ）若4月份某天的最低气温为13摄氏度，请预测该店当日的营业额．【参考公式】==．18．（12分）年级组长徐老师为教育同学们合理使用手机，在本年级内随机抽取了30名同学做问卷调查．经统计，在这30名同学中长时间使用手机的同学恰占总人数的，长时间使用手机且年级名次200名以内的同学有4人，短时间用手机而年级名次在200名以外的同学有2人．（Ⅰ）请根据已知条件完成2×2列联表；（Ⅱ）判断我们是否有99%的把握认为“学习成绩与使用手机时间有关”【附表及公式】19．（12分）已知函数，其中a ∈R（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线，求a 的值；（Ⅱ）若f （x ）在（0，6）上单调递减，（6，+∞）上单调递增，求a 的值． 20．（12分）设a 为实数，函数f （x ）=e x ﹣2x+2a ，x ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a ＞ln2﹣1且x ＞0时，e x＞x 2﹣2ax+1．21．（12分）已知函数f （x ）=ax+lnx （a ∈R ），g （x ）=x 2﹣2x+2 （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若∀x 1∈（0，+∞），均∃x 2∈[0，1]，使得f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围． 22．（10分）已知函数f （x ）=xlnx ，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣2 （Ⅰ）求函数f （x ）在[t ，t+2]（t ＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．2016-2017学年重庆十一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数=﹣﹣i，虚部为﹣．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．在用反证法证明命题“过一点只有一条直线与已知平面垂直”时，应假设（）A．过两点有一条直线与已知平面垂直B．过一点有一条直线与已知平面平行C．过一点有两条直线与已知平面垂直D．过一点有一条直线与已知平面不垂直【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】假设的结论为原结论的否定．【解答】解：命题“过一点只有一条直线与已知平面垂直”的否定为：过一点至少有两条直线与已知平面垂直，故选C．【点评】本题考查了反证法证明，属于基础题．3．函数f（x）=2x3在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为（）A．y=6x+4 B．y=6x﹣4 C．y=﹣6x+4 D．y=﹣6x﹣4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导函数，得到f′（﹣1），再求出f（﹣1），利用直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=2x3，得f′（x）=6x2，∴f′（﹣1）=6．又f（﹣1）=﹣2，∴点（﹣1，f（﹣1））为（﹣1，﹣2），则函数f（x）=2x3在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y+2=6（x+1），即y=6x+4．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处得导数值，是中档题．4．某数学老师在分析上期末考试成绩时发现：本班的数学成绩（x）与总成绩（y）之间满足线性回归方程：，则下列说法中正确的是（）A．某同学数学成绩好，则总成绩一定也好B．若该班的数学平均分为110分，则总成绩平均分一定为530分C．若某同学的数学成绩为110分，则他的总成绩一定为530分D．本次统计中的相关系数为1.8【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据两个变量之间线性回归方程的定义与性质，对选项中的命题判断正误即可．【解答】解：对于A，某同学数学成绩好，根据回归方程预测他的总成绩可能也好，∴A错误；对于B，根据回归直线过样本中心点，当=110时， =1.8×110+332=530，∴B正确；对于C，某同学的数学成绩为110分时，预测他的总成绩可能为530分，∴C正确；对于D，在线性回归方程中，相关系数r∈（0，1），不是1.8，∴D错误．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程的定义与应用问题，是基础题．5．在下列图、表中，能更直观地反映两个分类变量是否有关系的是（）A．列联表B．散点图C．残差图D．等高条形图【考点】BN：独立性检验的基本思想．【分析】根据题意，依次分析选项的图、表，结合其统计意义，即可得答案．【解答】解：根据题意，分析选项：对于A、对于列联表，需要计算k2的值，不是直观的分析；对于B、散点图体现的是变量间相关性的强弱，对于C、残插图体现预报变量与实际值之间的差距，对于D、等高条形图能直观地反映两个分类变量是否有关系，故选：D．【点评】本题考查分类变量的关系的判定，直观上判定的方法是等高条形图．6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是（）A．4 B．6 C．9 D．13【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行如图所示的程序框图，即可得出程序运行后输出的s值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；输入n=5，i=2，s=3，i≤n；s=3+0=3，i=3，i≤n；s=3+1=4，i=4，i≤n；s=4+2=6，i=5，i≤n；s=6+3=9，i=6，i＞n；结束循环，输出s=9．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．7．函数y=x2﹣2lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1）B．（0，1] C．[1，+∞）D．（0，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，再由导函数小于0求得函数的单调减区间．【解答】解：由y=x2﹣2lnx，得（x＞0）．由y′＜0，得＜0，解得x＜﹣1或0＜x＜1．∵x＞0，∴函数y=x2﹣2lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的单调性与导函数符号间的关系，是基础题．8．若，，（a＞﹣5），则P，Q的大小关系为（）A．P＜Q B．P=Q C．P＞Q D．不能确定【考点】72：不等式比较大小．【分析】计算P2，Q2，比较（a+6）（a+7）和（a+5）（a+8）的大小关系，即可得出P2，Q2的大小关系，从而得出P，Q的大小关系．【解答】解：P2=2a+13+2，Q2=2a+13+2，∵（a+6）（a+7）﹣（a+5）（a+8）=a2+13a+42﹣（a2+13a+40）=2＞0，∴（a+6）（a+7）＞（a+5）（a+8），∴＞，∴P2＞Q2，∴P＞Q．故选C．【点评】本题考查了不等式比较大小，属于基础题．9．某产品的销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：（x＞0），生产成本y2万元是产量x（千台）的函数：（x＞0），为使利润最大，应生产（）A．9千台B．8千台C．7千台D．6千台【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量．【解答】解：由题意，利润y=（x＞0）．y′=36x﹣6x2，由y′=36x﹣6x2=6x（6﹣x）=0，得x=6（x＞0），当x∈（0，6）时，y′＞0，当x∈（6，+∞）时，y′＜0．∴函数在（0，6）上为增函数，在（6，+∞）上为减函数．则当x=6（千台）时，y有最大值为144（万元）．故选：D．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，简单的数学建模思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．10．已知函数f（x）=x2+x+2cosx，若f'（x）是f（x）的导函数，则函数f'（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由题可得f′（x）=2x﹣2sinx+1，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=x2+x+2cosx，∴f′（x）=2x+1﹣2sinx=2（x﹣sinx）+1，而y=2（x﹣sinx）是奇函数，故f′（x）的图象是y=2（x﹣sinx）的图象向上平移1个单位，导函数是奇函数，∵x∈（0，），x＞sinx＞0，∴B、C、D不正确．故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．11．已知函数f（x）=e2x﹣1，直线l过点（0，﹣e）且与曲线y=f（x）相切，则切点的横坐标为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．e﹣1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点（0，﹣e）代入，利用函数零点的判定求得切点横坐标．【解答】解：由f（x）=e2x﹣1，得f′（x）=2e2x﹣1，设切点为（），则f′（x0）=，∴曲线y=f（x）在切点处的切线方程为y﹣=（x﹣x0）．把点（0，﹣e）代入，得﹣e﹣=﹣，即，两边取对数，得（2x0﹣1）+ln（2x0﹣1）﹣1=0．令g（x）=（2x﹣1）+ln（2x﹣1）﹣1，函数g（x）为（，+∞）上的增函数，又g（1）=0，∴x=1，即x0=1．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定及应用，是中档题．12．已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）+f'（x）＜0，则以下判断正确的是（）A．e2017•f（2017）＞f（0）B．e2017•f（2017）=f（0）C．e2017•f（2017）＜f（0）D．e2017f（2017）与f（0）的大小无法确定【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=e x f（x），求出函数的导数，根据函数的单调性，可得结论．【解答】解：令g（x）=e x f（x），则g′（x）=e x[f（x）+f′（x）]＜0，故g（x）在R递减，故g（2017）＜g（0），即e2017f（2017）＜f（0），故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分“全科阅读”测试（请根据假期阅读书目《数学万花筒》内的内容完成第13、14题）13．《数学万花筒》第3页中提到如下“奇特的规律”：1×1=111×11=121111×111=12321…按照这种模式，第5个式子11111×11111= 123454321 ．【考点】F1：归纳推理．【分析】各个数字均为1，当因数为n位时，积的数字为从1排到n，再从n排到1．【解答】解：根据题意可得111111×111111=123454321，故答案为：123454321【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题14．《数学万花筒》第7页中谈到了著名的“四色定理”．问题起源于1852年的伦敦大学学院毕业生弗朗西斯•加斯里．他给自己的弟弟弗莱德里克写的信中提到：“可以使用四种（或更少）颜色为平面上画出的每张地图着色，使任何相邻的两个地区的边界线具有不同的颜色吗？”回答他这个问题用了124年，但简单的图形我们能用逐一列举的方法解决．若用红、黄、蓝、绿四种颜色给右边的地图着色，假定区域①已着红色，区域②已着黄色，则剩余的区域③④共有 2 种着色方法．【考点】D3：计数原理的应用．【分析】先涂区域③，再涂区域④，使用列举法得出不同的涂色方案．【解答】解：区域③只能涂蓝色或绿色，若区域③涂蓝色，则区域④只能涂绿色，若区域③涂绿色，则区域④只能涂蓝色，故只有2种涂色方法．故答案为2．【点评】本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题．15．已知i是虚数单位，则= ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=e x﹣2ax．若函数f（x）在R内没有零点，则a的取值范围是a＜．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】作出y=e x与直线y=2ax的函数图象，令两图象在[0，+∞）上无交点得出a的范围．【解答】解：∵f（x）无零点，且f（x）是偶函数，∴y=e x与直线y=2ax在[0，+∞）上无交点，作出y=e x与直线y=2ax的函数图象，如图所示：设直线y=2ax与y=e x相切，切点为（m，n），则，解得，∴a＜．故答案为：．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2017春•南岸区校级期中）“雷神”火锅为提高销售业绩，委托我校同学研究气温对营业额的影响，并提供了一份该店在3月份中5天的日营业额y（千元）与当日最低气温x（℃）的数据，如表：（Ⅰ）请你求出y关于x的回归方程；（Ⅱ）若4月份某天的最低气温为13摄氏度，请预测该店当日的营业额．【参考公式】==．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据表中数据，计算、， 求出回归系数，写出回归方程； （Ⅱ）利用回归方程计算x=13时的值即可．【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，计算=×（2+5+8+9+11）=7， =×（12+10+8+8+7）=9， 回归系数为====﹣0.56，=﹣=9﹣（﹣0.56）×7=12.92，所以，回归方程为： =﹣0.56x+12.92； （Ⅱ）当x=13时，=﹣0.56×13+12.92=5.64，当某天的最低气温为13摄氏度，预测该店当日的营业额5.64千元． 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．18．（12分）（2017春•南岸区校级期中）年级组长徐老师为教育同学们合理使用手机，在本年级内随机抽取了30名同学做问卷调查．经统计，在这30名同学中长时间使用手机的同学恰占总人数的，长时间使用手机且年级名次200名以内的同学有4人，短时间用手机而年级名次在200名以外的同学有2人． （Ⅰ）请根据已知条件完成2×2列联表；（Ⅱ）判断我们是否有99%的把握认为“学习成绩与使用手机时间有关” 【附表及公式】【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，填写列联表即可；（Ⅱ）根据表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；（Ⅱ）根据表中数据，计算，对照临界值P（K2≥6.635）=0.01，所以，有99%的把握认为“学习成绩与使用手机时间有关”．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19．（12分）（2017春•南岸区校级期中）已知函数，其中a∈R（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在（0，6）上单调递减，（6，+∞）上单调递增，求a的值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）根据f′（6）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ），由题设知：，解得：；（Ⅱ）由题设知，f（x）在x=6处取得极值，则f'（6）=0，所以，解得：a=3．【点评】本题考查了导数的应用以及函数的单调性问题，是一道基础题．20．（12分）（2010•安徽）设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，知f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表讨论能求出f（x）的单调区间区间及极值．（Ⅱ）设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a ＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．由此能够证明e x＞x2﹣2ax+1．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R，∴f′（x）=e x﹣2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln2），单调递增区间是（ln2，+∞），f（x）在x=ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2+2a=2（1﹣ln2+a），无极大值．（Ⅱ）证明：设g（x）=e x﹣x2+2ax﹣1，x∈R，于是g′（x）=e x﹣2x+2a，x∈R．由（1）知当a＞ln2﹣1时，g′（x）最小值为g′（ln2）=2（1﹣ln2+a）＞0．于是对任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当a＞ln2﹣1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即e x﹣x2+2ax﹣1＞0，故当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1．【点评】本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用．解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）（2017春•南岸区校级期中）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），g（x）=x2﹣2x+2（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∀x1∈（0，+∞），均∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题可转化为f（x）max＜g（x）max，根据函数的单调性分别求出f（x）的最大值和g （x）的最大值，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），①当a≥0时，∵x＞0，∴f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞），②当a＜0时，令f'（x）＞0，得，令f'（x）＜0，得，所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；（Ⅱ）问题可转化为f（x）max＜g（x）max，已知g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2，由（Ⅰ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意；当a＜0时，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减，故f（x）max=f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得：a＜﹣e﹣3．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．22．（10分）（2016•宝鸡二模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（Ⅱ）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，∴∴①0＜t＜，时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增，∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（）=﹣，②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，∴f（x）min=；（Ⅱ）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点∵G′（x）=﹣+2，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意，两式相减可得ln=2（x1﹣x2）=﹣2ln2∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，此时a=ln2﹣ln（）﹣1，所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（）﹣1；【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查的知识点比较多，考查数形结合的数学思想，综合性强．。
重庆市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
重庆市2017-2018学年高二下学期期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设i 为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．﹣1D ．﹣i2．若向量=（1，2），=（3，4），则||=（ ）A ．2B ．4C ．2D ．23．设全集U=R ，集合A={x|x ﹣1＞0}，B={x|﹣x 2+2x≤0}，则A∩（C U B}=（ ）A ．{x|0＜x≤1}B ．{x|1≤x＜1}C ．{x|1＜x ＜2}D ．{x|1＜x≤1}4．若0＜x ＜y ＜1，则（ ）A ．3y ＜3xB ．x 3＞y 3C ．log 4x ＜log 4yD ．（）x ＜（）y5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下则y 对x 的线性回归方程为（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=x+1C ．D ．y=1766．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”7．设p、q是简单命题，则“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件8．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．19．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积（）A ．0.18B ．0.16C ．0.15D ．110．设f （x ）=，则f[f （）]=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应横线上.11．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为 ．12．函数f （x ）=lg （2﹣x ）+的定义域是 ．13．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2= ．14．已知=2，=3，=4，…=7…（m ，n 都是正整数，且m ，n 互质），通过推理可推测m 、n 的值，则m ﹣n= ．15．若a 是复数z 1=的实部，b 是复数z 2=（1﹣i ）3的虚部，则ab 等于 ．三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知，，其中=（1，0），=（0，1），计算，|+|的值．17．已知复数，试求实数a分别为什么值时，z分别为（Ⅰ）实数；（Ⅱ）虚数；（Ⅲ）纯虚数．18．已知△ABC的三个顶点A（m，n），B（2，1），C（﹣2，3）．（Ⅰ）求BC边所在直线方程；=7，求m，n的值．（Ⅱ）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6=0，且S△ABC19．已知f（x）=log（a＞0，a≠1），a（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）单调性并用定义证明．20．我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如表：（Ⅰ）求出表中m、n、M、N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．21．某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现，第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量为，已知该商品成本为每件25元．（Ⅰ）写出销售额t关于第x天的函数关系式；（Ⅱ）求该商品第7天的利润；重庆市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设i 为虚数单位，则复数的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．﹣1D ．﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则答案可求．【解答】解： =，则复数的虚部为﹣1．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．若向量=（1，2），=（3，4），则||=（ ）A ．2B ．4C ．2D ．2 【考点】向量的模；平面向量的坐标运算． 【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算和模的计算公式即可得出．【解答】解：∵ ==（3，4）﹣（﹣1，﹣2）=（4，6），∴||==．故选：A ．【点评】本题考查了向量的坐标运算和模的计算公式，属于基础题．3．设全集U=R ，集合A={x|x ﹣1＞0}，B={x|﹣x 2+2x≤0}，则A∩（C U B}=（ ）A ．{x|0＜x≤1}B ．{x|1≤x＜1}C ．{x|1＜x ＜2}D ．{x|1＜x≤1} 【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合A ，B 的等价条件，利用集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|x ﹣1＞0|}={x|x ＞1}，B={x|﹣x 2+2x≤0}={x|x≥2或x≤0}，则C U B={x|0＜x ＜2}， 则A∩（C U B}={x|1＜x ＜2}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．4．若0＜x ＜y ＜1，则（ ）A ．3y ＜3xB ．x 3＞y 3C ．log 4x ＜log 4yD ．（）x ＜（）y 【考点】不等关系与不等式． 【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可判断出．【解答】解：∵0＜x ＜y ＜1，∴3y ＞3x ，x 3＜y 3，log 4x ＜log 4y ，．故选：C ．【点评】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下则y 对x 的线性回归方程为（ ）A ．y=x ﹣1B ．y=x+1C ．D ．y=176 【考点】线性回归方程．【专题】计算题．【分析】求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x 适合，得到结果．【解答】解：∵=176，=176，∴本组数据的样本中心点是（176，176），根据样本中心点一定在线性回归直线上，把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有y=88+x适合，故选C．【点评】本题考查线性回归方程的写法，一般情况下要利用最小二乘法求出线性回归方程，本题是一个选择题目，有它特殊的解法，即把样本中心点代入检验，也不是所有的选择题都能这样做．6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由算得，附表：参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【考点】独立性检验的应用．【专题】计算题．【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【解答】解：由题意知本题所给的观测值，∵7.8＞6.635，∴这个结论有0.01=1%的机会说错，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选A．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量比较大，主要要考查运算能力，本题有所创新，只要我们看出观测值对应的意义就可以，是一个基础题．7．设p、q是简单命题，则“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】规律型．【分析】根据复合命题与简单命题之间真假之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据复合命题真值表，知：pq或为假命题，知命题p和命题q同时都是假命题，非p是真命题．故满足充分性；若非p是真命题．命题p为假命题，若命题q为真命题，则命题p或q是真命题，故不满足必要性．故选：A．【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．8．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1），由此能够求出结果．【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．【点评】本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积（）A．0.18 B．0.16 C．0.15 D．1【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】根据几何概型的意义，豆子落在阴影部分的概率阴影部分的面积与正方形的面积比等于落在阴影部分的豆子数与所有豆子数的比，由此求出阴影部分的面积．【解答】解：解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计，解得S=0.18；故选A．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基．10．设f（x）=，则f[f（）]=（）A．B．C．﹣D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式．先求f（），再求f[f（）]，由内而外．【解答】解：f（）=，，即f[f（）]=故选B【点评】本题考查分段函数的求值问题，属基本题．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应横线上.11．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12 ．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∴这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∴每个个体被抽到的概率是， ∵田径队有男运动员48人，∴男运动员要抽取48×=12人，故答案为：12．【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．12．函数f （x ）=lg （2﹣x ）+的定义域是 [1，2） ．【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：函数定义域要满足，即，解得1≤x＜2，即函数的定义域为[1，2），故答案为：[1，2）【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2=．【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】图表型．【分析】先读出表格中投中的次数，再根据平均数与方差的计算公式S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n﹣）2]计算即可．【解答】解析：甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差．故填：．【点评】本题考查平均数与方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．14．已知=2，=3，=4，…=7…（m ，n 都是正整数，且m ，n 互质），通过推理可推测m 、n 的值，则m ﹣n= 41 ．【考点】进行简单的合情推理．【专题】推理和证明．【分析】由已知中的式子=2，=3，=4，…分析等式两边式子和数的变化规律，求出m ，n 的值，进而可得答案． 【解答】解：由已知中：=2，=3，=4，…，等式左右两边均为二次根式，左边的被开方数是两项的和，一项为n+1，另一项是分式，分子为n+1，分母为（n+1）2﹣1， 左边的被开方数是分式，分子为n+1，分母为（n+1）2﹣1，故=7中，m=48，n=7，故m ﹣n=41， 故答案为：41【点评】此题重点考查了准确由图抽取信息考查了学生的观察能力，根据已知分析式子两边数的变化规律是解答的关键．15．若a 是复数z 1=的实部，b 是复数z 2=（1﹣i ）3的虚部，则ab 等于．【考点】复数代数形式的混合运算． 【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数代数形式的加减乘除运算法则分别化简z 1、z 2，整理出实部和虚部求出a 、b 的值，即可求出ab ．【解答】解：由题意知，z 1====，∴a=，∵z 2=（1﹣i ）3=﹣2i （1﹣i ）=﹣2﹣2i ，∴b=﹣2，∴ab=，故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知，，其中=（1，0），=（0，1），计算，|+|的值．【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．【分析】首先将，用坐标表示，然后进行数量积和模的坐标运算．【解答】解：由已知，，其中=（1，0），=（0，1），所以=（1，﹣1），=（4，3），所以=1×4﹣1×3=1；=（5，2），|+|=．【点评】本题考查了平面向量的加减法、数量积的坐标运算；属于基础题．17．已知复数，试求实数a分别为什么值时，z分别为：（Ⅰ）实数；（Ⅱ）虚数；（Ⅲ）纯虚数．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）复数的虚部为0，复数是实数，求出a的值即可；（Ⅱ）复数的虚部不为0，复数是虚数，求出a的值即可；（Ⅲ）复数的实部为0，虚部不为0，复数是纯虚数求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当z为实数时，则∴a=﹣1或a=6，且a≠﹣1，∴当a=6时，z为实数．（5分）（Ⅱ）当z为虚数时，则∴a≠﹣1且a≠6，z为虚数．（10分）（Ⅲ）当z为纯虚数时，则∴a=1，z为纯虚数．（14分）【点评】本题考查复数的基本概念，注意复数实部的分母不为0是解题的易错点．18．已知△ABC的三个顶点A（m，n），B（2，1），C（﹣2，3）．（Ⅰ）求BC边所在直线方程；=7，求m，n的值．（Ⅱ）BC边上中线AD的方程为2x﹣3y+6=0，且S△ABC【考点】直线的一般式方程；三角形的面积公式．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（I）由两点的斜率公式，算出BC的斜率k=﹣，再由直线方程的点斜式列式，化简即得BC边所在直线方程；（II ）由两点的距离公式，算出，结合S △ABC =7得到点A 到BC 的距离等于，由此建立关于m 、n 的方程组，解之即可得到m ，n 的值．【解答】解：（Ⅰ）∵B （2，1），C （﹣2，3）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）可得直线BC 方程为化简，得BC 边所在直线方程为x+2y ﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由题意，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由点到直线的距离公式，得，化简得m+2n=11或m+2n=﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得m=3，n=4或m=﹣3，n=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题给出三角形ABC 的顶点BC 的坐标，求直线BC 的方程并在已知面积的情况下求点A 的坐标．着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．19．已知f （x ）=log a（a ＞0，a≠1），（1）求f （x ）的定义域； （2）判断f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）单调性并用定义证明．【考点】对数函数图象与性质的综合应用． 【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由＞0，求得﹣1＜x ＜1，由此求得函数的定义域．（2）由于f （﹣x ）=log a =﹣log a=﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数．（3）设g （x ）=，则f （x ）=log a f （x ），先由函数的单调性的定义证明g （x ）在x ∈（﹣1，1）为递增函数，再根据复合函数的单调性规律求得f （x ）的单调性．【解答】解：（1）∵＞0，∴﹣1＜x ＜1，故定义域为（﹣1，1）．…（3分）（2）∵f （﹣x ）=log a=log a （）﹣1=﹣log a=﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数．…（6分）（3）设g （x ）=，则f （x ）=log a f （x ），取﹣1＜x 1＜x 2＜1，则g （x 1）﹣g （x 2）=﹣=＜0 ∴g （x ）在x ∈（﹣1，1）为递增函数，…（8分）∴a ＞1时，f （x ）为递增函数，0＜a ＜1时，f （x ）为递减函数…（10分）【点评】本题主要考查对数函数的图象、性质的应用，函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于中档题．20．我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如表：分组 频数 频率 （0，30]30.03 （30，60] 3 0.03 （60，90] 37 0.37 （90，120] m n （120，150] 15 0.15 合计MN（Ⅰ）求出表中m 、n 、M 、N 的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；（Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩在90分以上的人数；（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求被选中2人分数不超过30分的概率．【考点】频率分布直方图；频率分布表．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（I）根据频率公式，结合表中第一组数据的频率算出总数M．再用减法可得第五组的频数m，由此可算出第五组的频率n的值，而N是各组的频率之和，显然为1．（II）90分以上的人有两组，分别是第五、六两组，算出它们的频率之和为0.57，由此不难估算出这次测试中我区成绩在90分以上的人数．（III）根据题意，列出从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有15种，而分数不超过30分的结果有3种，再结合等可能事件的概率公式，可得要求的概率．【解答】解：（I）由频率分布表，得总数，…（1分）所以m=100﹣（3+3+37+15）=42，…（2分）得第四组的频率，N=0.03+0.03+0.37+0.42+0.15=1．…（3分）所求的频率分布直方图如右图所示…（5分）（Ⅱ）由题意，90分以上的人分别在第五组和第六组，它们的频率之和为0.42+0.15=0.57，∴全区90分以上学生估计为0.57×600=342人．…（7分）（III）设考试成绩在（0，30]内的3人分别为A、B、C；考试成绩在（30，60]内的3人分别为a、b、c，从不超过60分的6人中，任意抽取2人的结果有：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c）共有15个．…（10分）设抽取的2人的分数均不大于30分的事件为事件D．则事件D含有3个结果：（A，B），（A，C），（B，C）…（11分）∴被选中2人分数不超过30分的概率为．…（13分）【点评】本题给出频率分布表，要我们计算其中的频率和频数，并算出被选中2人分数不超过30分的概率．着重考查了频率分布直方图的认识和等可能性事件的概率等知识，属于基础题．21．某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现，第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量为，已知该商品成本为每件25元．（Ⅰ）写出销售额t关于第x天的函数关系式；（Ⅱ）求该商品第7天的利润；（Ⅲ）该商品第几天的利润最大？并求出最大利润．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数最值的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据题意写出销售额t关于第x天的函数关系式；（Ⅱ）根据分段函数，求该商品第7天的利润；（Ⅲ）利用函数的性质，求出函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）当x=7时，t=（56﹣7）×（48﹣7）﹣25×（48﹣7）=984元﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）设该商品的利润为H（x），则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）（x）=H（6）=1050当1≤x≤6时，Hmax（x）=H（7）=984当6＜x≤8时，Hmax当8＜x≤20时，H（x）=H（9）=902max∴第6天利润最大，最大利润为1050元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题主要考查函数的应用，根据题意列出分段函数，然后利用分段函数研究函数的性质．。
重庆市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题Word版含答案 (2)
重庆市南开2017-2018学年下学期期中考试高二数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}211,20A x x B x x x =-≤≤=-≤，则A B ⋂=（ ）A ．[]1,0-B ．[]1,2-C ．[]0,1D ． (][),12,-∞⋃+∞ 2. 若2ab i i=-，其中,a b 都是实数，i 是虚数单位，则a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．13. 命题“2000,(,x R x kx b k b ∃∈=+为常数）”的否定是（ ）A ．2000,(,x R x kx b k b ∀∈≠+为常数）B ．2000,(,x R x kx b k b ∃∈<+为常数) C ．2000,(,x R x kx b k b ∀∈≥+为常数) D ．2000,(,x R x kx b k b ∃∈>+为常数)4. 已知函数()f x x x =,若()09f x =，则0x =（ ）A ．3-B ．3C ．3-或3D ．9 5. 已知()1,23a a b a =+=,向量,a b 的夹角为3π，则b 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 6. 已知某几何体的正视图和侧视图如图所示，则该几何体的府视图不可能为（ ）A ．B ．C ．D ． 正(侧)视图 7. 已知11lnln 432x y x y <+++-，若x y λ-<恒成立，则λ的取值范围是（ ）A ．(],10-∞B ．(),10-∞C ．[)10,+∞D ．()10,+∞8. 若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()104mod6=，下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》. 执行该程序框图，则输出的n 为（ ） A ．17 B ．16 C ．15 D ．139. 在()0,π内任取一个α，使得1sin 232πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭的概率为（ ） A ．12 B ．33 C ．13D ．3210. 设曲线C 的参数方程为23cos (13sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数)，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l 为距离为71010的点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411. 在直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是准线l 上任一点，直线PF 交抛物线于,A B 两点，若4FP FA =，则AOB ∆的面积S =（ ）A ．92B ．322C ．263D ．7312. 已知()f x 是定义在R 上的减函数，而满足()()1'f x x f x +<，其中()'f x 为()f x 的导数，则（ ） A ．对任意的(),0x R f x ∈< B ．对任意的(),0x R f x ∈> C ．当且仅当()(),1,0x f x ∈-∞< D ．当且仅当()()1,0x f x ∈+∞>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 如图所示，过O 外一点P 作一条直线与O 交于,A B 两点，已知2PA =，点P 到O 的切线长4PT =，则弦AB 的长为 ．14. ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知3,,36a B A ππ=∠=∠=，则b = ．15. 已知函数()(2ln 1f x x x =+，若正实数,a b 满足()()210f a f b +-=，则11a b+的最小值是 ．16. 棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的所有顶点均在球O 的球面上，,,E F G 分别为1,,AB AD AA 的中点，则平面EFG 截球O 所得圆的半径为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 若n A 和n B 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和 ，对任意正整数n ，()221,5n n a n B n n =+=+（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）记22n n c A n=-，求{}n c 的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）2016年春节期间全国流行在微信群发红包，抢红包，现假设某人将688元发成 手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如下： 金额分组 [)1,5[)5,9[)9,13[)13,17 [)17,21 []21,25频数39171182（1）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（2）估计手气红包的金额平均数(同一组的数据用该组区间的中值点做代表)；（3）在这50个红包组成的样本中，随机抽取两名手气红包金额在[)[]1,521,25⋃内的幸运者，设其红包金额分别为,m n ，求16m n ->的频率.19. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上.（1）求证：1BC A B ⊥；（2）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为33，求AP PC的值.20. （本小题满分12分）已知圆2219:24E x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭经过椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点为12,F F ，若圆与椭圆在第一象限的交点为A ，且1AF 恰好过圆心E ，直线l 交圆E 于,M N 两点，且()0MN OA λλ=≠.（1）求椭圆C 的方程；（2）当MEN ∆面积最大时，求，直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()ln xf x xe a x =-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴.（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当b e ≤时，()()222f x b x x ≥-+恒成立.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22312sin ρθ=+，点4R π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求距形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =-.（1）解不等式()()248f x f x ++≥； （2）若1,1,0a b a <<≠，求证：()f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭.重庆市南开2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.CAABD 6-10.DCACB 11-12.BB 二、填空题（每小题5分，共20分）13.6 14.6 15.322+ 16.153三、解答题17.解：（1）当1n =时,16,2b n =≥ 时，()()()22515124n b n n n n n =+--+-=+，由于1n =也符合，所以24n b n =+；（2）因为23n A n n =+，则()211211n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以11111221 (22311)n n S n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭ 18. 解：（1）由题得，391915025P +=-=，故产生的金额不小于9元的频率为1925. （2）手气红包的平均数估计值30.0670.18110.34150.22190.16230.0412.44x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19. 解：（1）证明：AD ⊥平面1,A BC BC ⊂平面1,A BC AD BC ∴⊥,在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面1,ABC AA BC ∴⊥1,AA AB A BC =∴⊥平面11AA B B ，1A B ⊂平面11AA B B ，1BC A B ∴⊥.（2）设PC x =,过点B 作BE AC ⊥于点E . 由（1）知BC ⊥平面11AA B B ,BC AB ∴⊥122,22,2,22PBC AB BC AC BE S BE CP x ∆==∴==∴==. AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上，1AD A B ∴⊥，111116,3,2,2333A PBC PBC AA BC AD AB AA V S AA x -∆⊥==∴=∴==.又三棱锥1A PBC -的体积为33,6333x ∴=，解得232,.322AP x AP PC =∴=∴=. 20. 解：（1）如图，圆E 经过椭圆C 的左、右焦点121,,,,F F F E A 三点共线，1F A ∴为圆E 的直径，22212190,2,224AF F F x x c ⎛⎫∴⊥+-=∴=±∴= ⎪⎝⎭22221121981,24AF AF F F a AF =-=-===.222a b c =+，解得2,2a b ==，∴椭圆C 的方程22142x y +=.（2）点A 的坐标)()2,10MN OA λλ=≠，∴2. 故设直线的方程为2x m =+，圆心E 到直线的距离为223m d +=.22229194228MEN d d S d MN d r d ∆+-==-≤=，当且仅当22322m d +==, 此时2624m =-±. 21. 解：（1）由()()'1xa f x x e x =+-，依题意，()'10f =，有2a e =，所以()()2'1x e f x x e x=+-，显然()'f x 在()0,+∞上单调递增，且()'10f =，故当()()0,1,'0x f x ∈<，当()()1,,'0x f x ∈+∞>，所以函数()f x 的递减区间为()0,1，递增区间为()1,+∞.（2）设()()22ln 22x g x xe e x b x x =---+.①当b e =时，()()()2'122xe g x x e e x x =+---，设()()'g x h x =则()()22'22x eh x x e e x=++-. 当(]0,1x ∈时，()2220,20x e e x e x -≥+>，当()1,x ∈+∞时，()22232,0xe x e e e x+>>>，则()()0,,0x h x ∈+∞>，所以()'g x 单增且()'10g =故当()()0,1,'0x g x ∈<，当 ()()1,,'0x g x ∈+∞>，所以()()10g x g ≥=.②b e <时，因为()2222110x x x -+=-+>所以()()222222e x x b x x -+>-+有①知()()()222222f x e x x b x x ≥-+>-+综上所述，当b e ≤时，()()222f x b x x ≥-+恒成立.22. 解：（1）曲线22:13x C y +=，点R 的直角坐标()2,2. （2）设点),sin Pθθ，由题意可得2,2sin PQ RQ θθ==-周长()2282sin 84sin 60PQ RQ θθθ=+=--=-+︒， 当30θ=︒时，周长最小为4,此时点P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭. 23. 解：（1）()()32,31242134,32132,2x x f x f x x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪++=-++=-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩所以解得()()248f x f x ++≥的解集为1023x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）()f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭等价于()1b f ab a f ab a b a ⎛⎫>⇔->- ⎪⎝⎭，因为1,1a b <<，所以 ()()()()222222221212110ab a b a b ab a ab b a b ---=-+--+=-->，所以1ab a b ->-，故所证不等式成立.。
2016-2017年重庆四十二中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2016-2017学年重庆四十二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．D．2．（5分）已知C﹣C＝C（n∈N*），则n等于（）A．14B．12C．13D．153．（5分）设f（x）＝（2x+5）6，在函数f'（x）中x3的系数是（）A．2000B．12000C．24000D．非以上答案4．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e5．（5分）某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则不同的邀请方法有（）A．84种B．98种C．112种D．140种6．（5分）当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7B．42C．210D．8407．（5分）已知“整数对”按如下规律排成一列：（0，0），（0，1），（1，0），（0，2），（1，1），（2，0），（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），…，则第222个“整数对”是（）A．（10，10）B．（10，9）C．（11，9）D．（9，10）8．（5分）在函数y＝x3﹣8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．09．（5分）计算：1+2i+3i2+4i3+5i4+…+100i99＝（）（i是虚数单位）A．0B．1C．﹣25﹣25i D．﹣50﹣50i 10．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），对一切的x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，对任意正数a，b，若a＜b，则有（）A．bf（lna）＜af（lnb）B．bf（lna）＝af（lnb）C．bf（lna）＞af（lnb）D．bf（lna）与af（lnb）的大小不确定11．（5分）若函数f（x）＝x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）为增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[5，7]C．[4，6]D．（﹣∞，5]∪[7，+∞）12．（5分）函数f（x）＝e x﹣x﹣2，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0恒成立，则k的最大值是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在（﹣x2）6的展开式中，x3的系数是（用数字作答）．14．（5分）设f（x）＝（x﹣1）•（x﹣2）•（x﹣3）•…•（x﹣100），则f'（1）＝．15．（5分）有6本不同的书分给四人，每人至少一本，则有种不同的分配方案．（数字作答）16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）＝xlnx﹣x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，y M），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，y N）．则的范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，写出必要的计算、证明或推理过程）17．（10分）某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张．每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元．某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券．设该顾客购买餐桌的实际支出为ζ（元）．（1）求ζ的所有可能取值；（2）求ζ的分布列；（3）求Eζ．18．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．可用公式：＝＝，＝﹣．19．（12分）若（x2﹣3x+2）5＝（1）求a2（2）求a1+a2+a3+…+a10（3）求﹣．20．（12分）某牙膏厂生产的牙膏的年销售量（即该厂的年产量）x万支与年广告费用a万元（a≥0）满足（k为常数），如果不进行广告宣传，则该牙膏的年销售量是1万支．已知2014年生产该牙膏的固定投入为8万元，每生产1万支该产品需要再投入16万元，厂家将每支牙膏的销售价格定为每支牙膏平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括广告费用）．（1）将2014年该产品的利润y万元表示为年广告费用a万元的函数；（产品的利润＝销售收入﹣产品成本﹣广告费用）（2）该厂家2014年的广告费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大值是多少？21．（12分）设x＝m和x＝n是函数f（x）＝lnx+x2﹣（a+2）x的两个极值点，其中m＜n，a∈R．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（Ⅱ）求f（m）+f（n）的取值范围；（Ⅲ）若a＞+﹣2，求f（n）﹣f（m）的最大值（e是自然对数的底数）．22．（12分）已知函数（1）求函数f（x）在区间[1，e]上的最值．（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）＝的下方．（3）设h（x）＝f'（x），求证：[h（x）]n+2≥h（x n）+2n．2016-2017学年重庆四十二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．D．【解答】解：z＝＝＝﹣i，则|z|＝．故选：A．2．（5分）已知C﹣C＝C（n∈N*），则n等于（）A．14B．12C．13D．15【解答】解：∵C﹣C＝C（n∈N*），∴，∴n+1＝7+8，解得n＝14．故选：A．3．（5分）设f（x）＝（2x+5）6，在函数f'（x）中x3的系数是（）A．2000B．12000C．24000D．非以上答案【解答】解：f（x）＝（2x+5）6，f′（x）＝12（2x+5）5，（2x+5）5的通项公式为：T r+1＝，令r＝3，则在函数f'（x）中x3的系数＝12×23×52＝24000．故选：C．4．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e【解答】解：由关系式f（x）＝2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）＝2f'（x）+，令x＝e得f'（e）＝2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）＝﹣e﹣1；故选：C．5．（5分）某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则不同的邀请方法有（）A．84种B．98种C．112种D．140种【解答】解：若甲、乙两位教师都不参加，则有＝C82＝28 种不同方法；若甲、乙两位教师只有一人参加，则有C21C85 ＝112种不同方法，综上，所有的不同的邀请方法有28+112＝140 种，故选：D．6．（5分）当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7B．42C．210D．840【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝7×6×…×k的值，当m＝7，n＝3时，m﹣n+1＝7﹣3+1＝5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S＝7×6×5＝210．故选：C．7．（5分）已知“整数对”按如下规律排成一列：（0，0），（0，1），（1，0），（0，2），（1，1），（2，0），（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），…，则第222个“整数对”是（）A．（10，10）B．（10，9）C．（11，9）D．（9，10）【解答】解：整数对”也可以表示如下（0，0）（0，1）（1，0）（0，2）（1，1）（2，0）（0，3）（1，2）（2，1）（3，0）…类似于杨辉三角，整数对的总个数为1+2+3+4+…+n＝，因为＝210，＝231，所以第222个“整数对”在第21行，且为第12个，第21行第一个为（0，20），故第12个为（11，9）故选：C．8．（5分）在函数y＝x3﹣8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵切线倾斜角小于，∴斜率0≤k＜1．＝3x02﹣8，设切点为（x0，x03﹣8x0），则k＝y′|x＝x0∴0≤3x20﹣8＜1，≤x02＜3．又∵x0∈Z，∴x0不存在．故选：D．9．（5分）计算：1+2i+3i2+4i3+5i4+…+100i99＝（）（i是虚数单位）A．0B．1C．﹣25﹣25i D．﹣50﹣50i【解答】解：设S＝1+2i+3i2+4i3+5i4+ (100i99)则iS＝i+2i2+…+99i99+100i100，相减可得：（1﹣i）S＝1+i+i2+…+i99﹣100i100＝﹣100i100＝﹣100i100＝﹣100，∴S＝＝＝﹣50﹣50i．故选：D．10．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），对一切的x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，对任意正数a，b，若a＜b，则有（）A．bf（lna）＜af（lnb）B．bf（lna）＝af（lnb）C．bf（lna）＞af（lnb）D．bf（lna）与af（lnb）的大小不确定【解答】解：由f'（x）＞f（x），即f'（x）﹣f（x）＞0，设g（x）＝，g（x）＝＞0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，由任意正数a，b，且a＜b，则lna＜lnb，∴g（lna）＜g（lnb），则＜，∴bf（lna）＜af（lnb），故选：A．11．（5分）若函数f（x）＝x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）为增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[5，7]C．[4，6]D．（﹣∞，5]∪[7，+∞）【解答】解：由函数，得f′（x）＝x2﹣ax+a﹣1．令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝a﹣1．当a﹣1≤1，即a≤2时，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意；当a﹣1＞1，即a＞2时，f′（x）在（﹣∞，1）上大于0，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，f′（x）在（1，a﹣1）内小于0，函数f（x）在（1，a﹣1）内为减函数，f′（x）在（a﹣1，+∞）内大于0，函数f（x）在（a﹣1，+∞）上为增函数．依题意应有：当x∈（1，4）时，f′（x）＜0，当x∈（6，+∞）时，f′（x）＞0．∴4≤a﹣1≤6，解得5≤a≤7．∴a的取值范围是[5，7]．故选：B．12．（5分）函数f（x）＝e x﹣x﹣2，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0恒成立，则k的最大值是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：当x＞0时，e x﹣1＞0，∴不等式，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0可以变形如下：（x﹣k）（e x﹣1）+x+1＞0，即k＜+x①令g（x）＝+x，则g′（x）＝，函数h（x）＝e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．设此零点为a，则a∈（1，2）．当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；∴g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）＝0，可得e a＝a+2，∴g（a）＝a+1∈（2，3），由于①式等价于k＜g（a），故整数k的最大值为2，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在（﹣x2）6的展开式中，x3的系数是﹣20（用数字作答）．【解答】解：二项式（﹣x2）6＝（x2﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r＝3，解得r＝3，故二项式（x2﹣）6展开式中的x3项的系数为﹣1×20＝﹣20，故答案为：﹣20．14．（5分）设f（x）＝（x﹣1）•（x﹣2）•（x﹣3）•…•（x﹣100），则f'（1）＝﹣99!．【解答】解：f（x）＝（x﹣1）•（x﹣2）•（x﹣3）•…•（x﹣100），f′（x）＝（x﹣1）′•（x﹣2）•（x﹣3）•…•（x﹣100）+（x﹣1）•[（x﹣2）•（x﹣3）•…•（x﹣100）]′，＝（x﹣2）•（x﹣3）•…•（x﹣100）+（x﹣1）•[（x﹣2）•（x﹣3）•…•（x﹣100）]′，f'（1）＝（﹣1）×（﹣2）×…×（﹣99）+0，＝﹣99!，故答案为：﹣99!15．（5分）有6本不同的书分给四人，每人至少一本，则有1560种不同的分配方案．（数字作答）【解答】解：先把6本不同的书分成4组，每组至少一本．若4个组的书的数量按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有＝20种，若4个组的书的数量按2、2、1、1分配，则不同的分配方案有＝45种，故所有的分组方法共有20+45＝65种．再把这4组书分给4个人，不同的方法有A44＝24种，则共有65×24＝1560种种不同的分配方案，故答案为：1560．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）＝xlnx﹣x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，y M），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，y N）．则的范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【解答】解：设P（a，alna﹣a），∵f（x）＝xlnx﹣x，∴f′（x）＝lnx，∴曲线在点P处的切线l的方程为y﹣alna+a＝lna（x﹣a），即y＝﹣a+xlna．令x＝0，可得y M＝﹣a，过点P作l的垂线的方程为y﹣alna+a＝﹣（x﹣a），令x＝0，可得y N＝alna﹣a+，∴＝﹣lna+1﹣，∵lna+≥2或lna+≤﹣2，∴﹣（lna+）≤﹣2或﹣（lna+）≥2，∴＝﹣lna+1﹣的范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，写出必要的计算、证明或推理过程）17．（10分）某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张．每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元．某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券．设该顾客购买餐桌的实际支出为ζ（元）．（1）求ζ的所有可能取值；（2）求ζ的分布列；（3）求Eζ．【解答】解：（1）ζ的所有可能取值为3400，2400，1400，400．…（2分）（2），…（4分），…（6分）…（8分），…（10分）故ζ的分布列为：（3）．…（12分）18．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．可用公式：＝＝，＝﹣．【解答】解：（1）由所给数据计算得＝（1+2+3+4+5+6+7）＝4，＝（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）＝4.3，计算回归系数＝＝＝0.5，＝﹣＝4.3﹣0.5×4＝2.3，所求回归方程为＝0.5t+2.3；…（6分）（2）由（1）知，＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，…（8分）将2015年的年份代号t＝9代入（1）中的回归方程，得＝0.5×9+2.3＝6.8；…（11分）故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元．…（12分）19．（12分）若（x2﹣3x+2）5＝（1）求a2（2）求a1+a2+a3+…+a10（3）求﹣．【解答】解：（1）（x2﹣3x+2）5的本质是5个x2﹣3x+2相乘，由多项式的乘法法则，产生x2的项有两种可能：一个算式取x2的项，其他4个取常数项，得到＝80；两个算式取x的项，其他3个取常数项，得到，所以a2＝80+720＝800…（4分）（2）令f（x）＝（x2﹣3x+2）5＝，a0＝f（0）＝25＝32，a0+a1+a2+a3+…+a10＝f（1）＝0，所以a1+a2+a3+…+a10＝﹣32…（8分）（3）原式＝（a0+a1+a2+a3+…+a10）（a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a9+a10）＝f（1）f（﹣1）＝0…（12分）20．（12分）某牙膏厂生产的牙膏的年销售量（即该厂的年产量）x万支与年广告费用a万元（a≥0）满足（k为常数），如果不进行广告宣传，则该牙膏的年销售量是1万支．已知2014年生产该牙膏的固定投入为8万元，每生产1万支该产品需要再投入16万元，厂家将每支牙膏的销售价格定为每支牙膏平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括广告费用）．（1）将2014年该产品的利润y万元表示为年广告费用a万元的函数；（产品的利润＝销售收入﹣产品成本﹣广告费用）（2）该厂家2014年的广告费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大值是多少？【解答】解：（1）由题意可知当a＝0时，x＝1（万件）∴1＝3﹣k，即k＝2．所以．每件产品的销售价格为（元）∴2014年的利润y＝x﹣（8+16x+a）＝4+8x﹣a＝4+8﹣a ＝﹣（a≥0）．（2）方法一：∵，∴y≤﹣8+29＝21．当且仅当（万元）时，y max＝21（万元）所以当广告费用为3万元时，利润最大，最大值是21万元．方法二：求导：＝4+8x﹣a＝﹣a＝﹣a+28，y'＝﹣1，令y'＝0，求得a＝3，代入原函数，最大为21万元．21．（12分）设x＝m和x＝n是函数f（x）＝lnx+x2﹣（a+2）x的两个极值点，其中m＜n，a∈R．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（Ⅱ）求f（m）+f（n）的取值范围；（Ⅲ）若a＞+﹣2，求f（n）﹣f（m）的最大值（e是自然对数的底数）．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝lnx+x2﹣3x，f′（x）＝+x﹣3，f（1）＝﹣，f′（1）＝﹣1，故切线方程是：y+＝﹣（x﹣1），即2x+2y+3＝0；（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝+x﹣（a+2）＝，依题意，方程x2﹣（a+2）x+1＝0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．故，∴a＞0，并且m+n＝a+2，mn＝1．∴f（m）+f（n）＝lnmn+（m2+n2）﹣（a+2）（m+n）＝[（m+n）2﹣2mn]﹣（a+2）（m+n）＝﹣（a+2）2﹣1＜﹣3，故f（m）+f（n）的取值范围是（﹣∞，﹣3）．…（7分）（Ⅲ）当a≥+﹣2时，（a+2）2≥e++2．若设t＝（t＞1），则（a+2）2＝（m+n）2＝＝t++2≥e++2．于是有t+≥e+，∴（t﹣e）（1﹣）≥0，∴t≥e，∴f（n）﹣f（m）＝ln+（n2﹣m2）﹣（a+2）（n﹣m）＝ln+（n2﹣m2）﹣（n+m）（n﹣m）＝ln﹣（n2﹣m2）＝ln﹣＝ln﹣（﹣）＝lnt﹣（t﹣），构造函数g（t）＝lnt﹣（t﹣）（其中t≥e），则g′（t）＝﹣（1+）＝﹣＜0．所以g（t）在[e，+∞）上单调递减，g（t）≤g（e）＝1﹣+，故f（n）﹣f（m）的最大值是1﹣+．22．（12分）已知函数（1）求函数f（x）在区间[1，e]上的最值．（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）＝的下方．（3）设h（x）＝f'（x），求证：[h（x）]n+2≥h（x n）+2n．【解答】解：（1）f'（x）＝，当x在区间[1，e]上，f'（x）＞0恒成立，所f（x）在区间[1，e]上单调递增，所以f（x）max＝f（e）＝+1，，…（3分）（2）证明：设F（x）＝，则F′（x）＝，因为x＞1，所以F′（x）＜0，所以函数F（x）在区间（1，+∞）上单调递减，又F（1）＝＜0，所以F（x）＜F（1）＝＜0，即，所以函数f（x）的图象在函数g（x）＝的下方．…（6分）（3）证明：可知x＞0．当n＝1时，不等式成立当n≥2时，＝≥++…+＝2n﹣2，所以[h（x）]n+2≥h（x n）+2n…（12分）。
2017-2018学年重庆市高二下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2017-2018学年重庆市高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A为（）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁UA．{1，3，4} B．{4，5} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}2．整数是自然数，由于﹣3是整数，所以﹣3是自然数，则有（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理正确 D．推理形式错误3．“x＞3”是“不等式x2﹣2x＞0”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．非充分必要条件4．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞05．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在区间[0，1]上随机取一个数x，使y=3x﹣1的值介于1与2之间的概率为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（）16 B．256 C．16 D．4A．log38．函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）9．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．10B ．15C ．20D ．3010．过点P （0，1）与圆（x ﹣1）2+y 2=4相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（ ）A ．x+y ﹣1=0B ．x ﹣y+1=0C ．x=0D ．y=111．已知对k ∈R ，直线y ﹣kx ﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．[1，5）∪（5，+∞）D ．[1，5）12．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）=x 2，若对任意的x ∈[t ，t+2]，不等式f （x+t ）≥2f （x ）恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．B ．[2，+∞）C ．（0，2]D ．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上.）13．小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟．要完成这些事情，小明要花费的最少时间为 ．14．复数z=的共轭复数是 ．15．已知映射f 1：A→B，其中A=B=R ，对应法则f 1：x→y=x 2﹣2x+2；若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k的取值范围是 ．16．设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx+c ，若曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为，则P 到曲线y=f （x ）的对称轴的距离的取值范围为 ．三．解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数y=ax 3+bx 2，当x=1时，有极大值3．（1）求a ，b 的值；（2）求函数y 的极小值．18．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万（Ⅰ）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式： =， =﹣）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x2﹣1.75x+17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大？19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为边AD的中点，分别沿BE，CE将△ABE，△DCE折叠，使平面ABE和平面DCE均与平面BCE垂直．（Ⅰ）证明：AD∥平面BEC；（Ⅱ）求点E到平面ABCD的距离．20．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a＞0）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在x∈[，e]上的最小值．21．椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，两个焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 2（1，0）的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q （M 、Q 不重合），求证：直线MQ 过x 轴上一个定点．请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C 的参数方程为：（θ为参数），直线l 的参数方程为：（t 为参数），点P （2，1），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的标准方程；（2）求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x+1|+|x ﹣3|．（1）请写出函数f （x ）在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数f （x ）的图象；（2）若不等式|x+1|+|x ﹣3|≥a+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．2017-2018学年重庆市高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A为（）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，则∁UA．{1，3，4} B．{4，5} C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}【考点】并集及其运算．【分析】由已知中全集和集合A，结合补集运算的定义，可直接得到答案．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁A={4，5}U故选：B2．整数是自然数，由于﹣3是整数，所以﹣3是自然数，则有（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理正确 D．推理形式错误【考点】演绎推理的意义．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的分类，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“整数是自然数”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提的形式：“整数是自然数”错误；故此推理错误原因为：大前提错误，故选：A3．“x＞3”是“不等式x2﹣2x＞0”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．非充分必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：解不等式x2﹣2x＞0得x＞2或x＜0，则x＞3⇒x2﹣2x＞0，而x2﹣2x＞0时，x＞3不成立0．故“x＞3”是“不等式x2﹣2x＞0”的充分不必要条件．故选A．4．命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．5．函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故答案为 C．6．在区间[0，1]上随机取一个数x，使y=3x﹣1的值介于1与2之间的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出y=3x﹣1的值介于1与2之间的值对应线段的长度，再将其代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：y=3x﹣1的值介于1与2之间，即1＜3x﹣1＜2，解得：，y=3x﹣1的值介于1与2之间的对应的x的长度为1﹣．，故y=3x﹣1的值介于1与2之间的概率是．故选C．7．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a值为（）A．log16 B．256 C．16 D．43【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当a=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=4，当a=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=16，当a=16时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=256，当a=256时，满足退出循环的条件，故输出的a值为256，故选：B8．函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7）B．（7，8）C．（8，9）D．（9，10）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）＜0，f（10）＞0，由此得出结论．【解答】解：由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）=lg9﹣1＜0，f（10）=1﹣=＞0，f（9）•f（10）＜0，故函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（9，10），故选D．9．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．10 B．15 C．20 D．30【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，∵底面面积S=×4×3=6，高h=5，故组合体的体积V=Sh﹣Sh=Sh=20，故选：C10．过点P（0，1）与圆（x﹣1）2+y2=4相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．x﹣y+1=0 C．x=0 D．y=1【考点】直线与圆相交的性质．【分析】最长的弦是直径，根据圆的方程可得圆心坐标，再根据直线过点P（0，1），由截距式求得最长弦所在的直线方程．【解答】解：最长的弦是直径，根据圆的方程（x﹣1）2+y2=4可得圆心坐标为（1，0），再根据直线过点P（0，1），由截距式求得最长弦所在的直线方程为+=1，x+y﹣1=0，故选：A．11．已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，5）C．[1，5）∪（5，+∞）D．[1，5）【考点】椭圆的简单性质；恒过定点的直线．【分析】要使直线y﹣kx﹣1=0恒过点（0，1），需点（0，1）在椭圆上或椭圆内，进而求得m的范围．【解答】解：直线y﹣kx﹣1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，而点（0，1）在y轴上，所以，≤1且m＞0，得m≥1，而根据椭圆的方程中有m≠5，故m的范围是[1，5）∪（5，+∞），故本题应选C．12．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．[2，+∞）C．（0，2] D．【考点】函数单调性的性质．【分析】2f（x）=f（x），由题意可知f（x）为R上的增函数，故对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立可转化为对任意的x∈[t，t+2]恒成立，此为一次不等式恒成立，解决即可．也可取那个特值排除法．【解答】解：（排除法）当则得，即在时恒成立，而最大值，是当时出现，故的最大值为0，则f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B项，同理再验证t=3时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C项，t=﹣1时，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D项故选A二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上.）13．小明每天起床后要做如下事情：洗漱5分钟，收拾床褥4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟．要完成这些事情，小明要花费的最少时间为 ．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据统筹安排可得小明在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播最节省时间，进而得到答案．【解答】解：由题意可知在完成洗漱、收拾床褥、吃饭的同时听广播，故小明花费最少时间为4+5+8=17分钟．故答案为：17分钟．14．复数z=的共轭复数是 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数除法法则，分子分母同乘分母的共轭复数化简成基本形式，再根据共轭复数的定义求出所求即可．【解答】解：z====﹣1+i∴复数z=的共轭复数是﹣1﹣i 故答案为：﹣1﹣i15．已知映射f 1：A→B，其中A=B=R ，对应法则f 1：x→y=x 2﹣2x+2；若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k的取值范围是 ．【考点】映射．【分析】由题意可知，函数y=x 2﹣2x+2（x ∈R ）的值域是集合B 的子集，因而所求的范围是该函数的值域在R 中的补集．【解答】解：y=x 2﹣2x+2=（x ﹣1）2≥1，∴该函数的值域C=[1，+∞），又∵对于映射f 1：A→B，其中A=B=R ，对应法则f 1：x→y=x 2﹣2x+2而言，C ⊆R ，∴若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，∴k ∈∁R C=（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）16．设a ＞0，f （x ）=ax 2+bx+c ，若曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为，则P 到曲线y=f （x ）的对称轴的距离的取值范围为 ．【考点】二次函数的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．【分析】由已知得f （x ）开口向上，对称轴x=，再由点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，]，到得切线的斜率的取值范围，所以x 0一定在x=的右侧，得到0≤2ax 0+b ≤1，最后建P 到对称轴距离模型求解．【解答】解：∵a ＞0，则f （x ）开口向上，对称轴x=∵点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为[0，] ∴切线的斜率的取值范围为[0，1]x 0一定在x=的右侧切线的斜率=f'（x 0）=2ax 0+b∴0≤2ax 0+b ≤1∴P 到对称轴距离=x 0﹣（）=∴P 到对称轴距离的取值范围为：[0，]故答案为：[0，]三．解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数y=ax 3+bx 2，当x=1时，有极大值3．（1）求a ，b 的值；（2）求函数y 的极小值．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出y′，由x=1时，函数有极大值3，所以代入y 和y′=0中得到两个关于a 、b 的方程，求出a 、b 即可；（2）令y′=0得到x 的取值利用x 的取值范围讨论导函数的正负决定函数的单调区间，得到函数的极小值即可．【解答】解：（1）y′=3ax 2+2bx ，当x=1时，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3，即（2）y=﹣6x 3+9x 2，y′=﹣18x 2+18x ，令y′=0，得x=0，或x=1当x ＞1或x ＜0时，y′＜0函数为单调递减；当0＜x ＜1时，y′＞0，函数单调递增．∴y 极小值=y|x=0=0．18．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式： =， =﹣）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.05x 2﹣1.75x+17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由表中数据计算、，求出、，即可写出回归直线方程；（Ⅱ）写出利润函数z=y﹣w，利用二次函数的图象与性质求出x=3时z取得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得， =×（2+4+6+8+10）=6，=×（16+13+9.5+7+4.5）=10，由最小二乘法求得==﹣1.45，=10﹣（﹣1.45）×6=18.7，所以y关于x的回归直线方程为y=﹣1.45x+18.7；（Ⅱ）根据题意，利润函数为z=y﹣w=（﹣1.45x+18.7）﹣（0.05x2﹣1.75x+17.2）=﹣0.05x2+0.3x+1.5，所以，当x=﹣=3时，二次函数z取得最大值；即预测x=3时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为边AD的中点，分别沿BE，CE将△ABE，△DCE折叠，使平面ABE和平面DCE均与平面BCE垂直．（Ⅰ）证明：AD∥平面BEC；（Ⅱ）求点E到平面ABCD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明四边形AMND为平行四边形，可得AD∥MN，利用线面平行的判定定理证明：AD∥平面BEC；（Ⅱ）利用VE﹣ABC =VA﹣BEC，求点E到平面ABCD的距离．【解答】（Ⅰ）证明：分别取BE，CE中点M，N，连接AM，MN，DN，由已知可得△ABE，△DCE均为腰长为4的等腰直角三角形，所以AM⊥BE，且AM=2．又∵平面ABE⊥平面BCE，且交线为BE，∴AM⊥平面BEC，同理可得：DN⊥平面BEC，且DN=2．∴AM∥DN，且AM=DN，∴四边形AMND为平行四边形．∴AD∥MN，又∵MN⊂平面BEC，AD⊄平面BEC，∴AD∥平面BEC．…（Ⅱ）解：点E到平面ABC的距离，也就是三棱锥E﹣ABC的高h．连接AC ，MC ，在Rt △EMC 中有MC==2，在Rt △AMC 中有AC==4．可得AC 2+AB 2=BC 2，所以△ABC 是直角三角形．由V E ﹣ABC =V A ﹣BEC 得•AB•AC•h=•BE•EC•AM，可知h=．∴点E 到平面ABC 的距离为．…20．已知函数f （x ）=+lnx ﹣1（a ＞0）．（1）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）求f （x ）在x ∈[，e]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）通过a=1，求出函数的导数，令导数大于0，小于0，即可求函数f （x ）的单调区间；（2）通过，，e ≤a 判断导函数的单调性，然后求f （x ）在x ∈[，e]上的最小值．【解答】（本题满分，第（1）问，第（2）问7分）解：（1）…x ∈（0，1）时，f′（x ）＜0，则f （x ）在 （0，1）上单调递减，x ∈[1，+∞）时，f′（x ）≥0，则f （x ）在[1，+∞）上单调递增；…（2）…①当时，f'（x ）≥0，f （x ）在单调递增，，…②当时，f （x ）在上递减，（a ，e]上单调递增，f （x ）min =f （a ）=lna ，…③当e ≤a 时，f'（x ）≤0，f （x ）在单调递减，．…21．椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，两个焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 2（1，0）的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q （M 、Q 不重合），求证：直线MQ 过x 轴上一个定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）通过椭圆的离心率与焦距，求出a ，c ，得到b ，即可求出椭圆C 的方程；（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），Q （x 2，﹣y 2），l ：y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合MQ的方程为，令y=0，化简求解可得x=2，说明直线MQ 过x 轴上一个定点．【解答】（本题满分，第（1）问，第（2）问9分）解：（1），所以椭圆的方程为；…（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），Q （x 2，﹣y 2），l ：y=k （x ﹣1），代入整理得（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0，由韦达定理可得：，，…MQ 的方程为令y=0，得代入，，x===2．得x=2，所以直线过定点（2，0）…请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C 的参数方程为：（θ为参数），直线l 的参数方程为：（t 为参数），点P （2，1），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的标准方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C 的参数方程为：（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1可得：曲线C 的标准方程．直线l 的参数方程为：（t 为参数），消去参数t 可得：直线l 的标准方程．（2）将直线l 的参数方程化为标准方程：（t 为参数），代入椭圆方程，利用|PA||PB|=|t 1t 2|即可得出．【解答】解：（1）由曲线C 的参数方程为：（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1可得：曲线C 的标准方程为： +y 2=1，直线l 的参数方程为：（t 为参数），消去参数t 可得：直线l 的标准方程为： y ﹣2+=0．（2）将直线l 的参数方程化为标准方程：（t 为参数），代入椭圆方程得：5t 2+8t+16=0，∴|PA||PB|=|t 1t 2|=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|x+1|+|x ﹣3|．（1）请写出函数f （x ）在每段区间上的解析式，并在图上的直角坐标系中作出函数f （x ）的图象；（2）若不等式|x+1|+|x ﹣3|≥a+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）根据绝对值的应用进行表示即可．（2）根据绝对值的应用求出|x+1|+|x﹣3|的最小值，将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）f（x）=…函数f（x）的图象如图所示．（2）由（1）知f（x）的最小值是4，所以要使不等式|x+1|+|x﹣3|≥a+恒成立，有4≥a+，…若a＜0，则不等式恒成立，若a＞0，则不等式等价为a2﹣4a+1≤0，得2﹣≤a≤2+，综上实数a的取值范围是a＜0或2﹣≤a≤2+…。
重庆市第一中学2016-2017学年高二数学下学期期中试题文(含解析)
重庆市第一中学2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22,4,,6,8,|9180A B x x x ==-+≤，则A B ⋂=（ ）A. {}2,4B. {}4,6C. {}6,8D. {}2,8【答案】B 【解析】由29180x x -+≤得：36x ≤≤，所以{}4,6A B ⋂=，故选B ．点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错． 2.若复数()12a ia R i+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A. -3 B. -2C. 2D. 3【答案】B 【解析】 因为11((12)[2(12)]1255a i a i i a a i i +=+⋅-=++-+）为纯虚数，所以20a +=且120a -≠，解得2a =-，故选B ．点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．3.函数3log (2)y x =+的定义域为（ ）A. (,1)(3,)-∞-+∞UB. (,1)[3,)-∞-+∞UC. (2,1]--D. (2,1][3,)--+∞U【答案】D 【解析】函数有意义，则：2230{20x x x --≥+>，解得：31{2x x x ≥≤->-或，综上可得，函数的定义域为][()2,13,--⋃+∞. 本题选择D 选项.4.已知直线20ax by --=与曲线3y x =在点(1,1)P 处的切线互相垂直，则ab为( ) A.13B.23C. 23-D. 13-【答案】D 【解析】因为23y x '=，所以切线的斜率313k =⨯=，而直线20ax by --=的斜率ak b'=，由题设1k k '=-，即13a kb =-'=，应选答案D 。
2016-2017年重庆四十二中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年重庆四十二中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．D．2．（5分）利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值（）A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关3．（5分）已知a，b，c∈R，若且，则下列结论成立的是（）A．a，b，c同号B．b，c同号，a与它们异号C．a，c同号，b与它们异号D．b，c同号，a与b，c符号关系不能确定4．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e5．（5分）若a，b，c∈R，且，则下列说法正确的是（）A．a，b，c都大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c都小于0D．a，b，c中至多有一个大于06．（5分）当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7B．42C．210D．8407．（5分）已知“整数对”按如下规律排成一列：（0，0），（0，1），（1，0），（0，2），（1，1），（2，0），（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），…，则第222个“整数对”是（）A．（10，10）B．（10，9）C．（11，9）D．（9，10）8．（5分）在函数y＝x3﹣8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．09．（5分）在极坐标系中，直线与曲线的公共点个数是（）A．0B．1C．2D．以上都有可能10．（5分）计算：1+2i+3i2+4i3+5i4+…+100i99＝（）（i是虚数单位）A．0B．1C．﹣25﹣25i D．﹣50﹣50i 11．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），对一切的x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，对任意正数a，b，若a＜b，则有（）A．bf（lna）＜af（lnb）B．bf（lna）＝af（lnb）C．bf（lna）＞af（lnb）D．bf（lna）与af（lnb）的大小不确定12．（5分）若函数f（x）＝x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）为增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[5，7]C．[4，6]D．（﹣∞，5]∪[7，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程中b＝﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为．14．（5分）设f（x）＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）x（x+1）（x+2）（x+3），则f'（0）＝．15．（5分）已知函数在x＝1处的切线与x轴平行，若函数f（x）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）＝xlnx﹣x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，y M），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，y N）．则的范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，写出必要的计算、证明或推理过程）17．（10分）已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（1）求l的普通方程及C的直角坐标方程；（2）P为圆C上的点，求P到l的距离的取值范围．18．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．可用公式：＝＝，＝﹣．19．（12分）函数f（x）＝x2﹣3x+2lnx，求函数f（x）在[1，e]上的最值．20．（12分）用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？21．（12分）已知函数f（x）＝﹣kx且f（x）在区间（2，+∞）上为增函数．（1）求k的取值范围；（2）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．22．（12分）设x＝m和x＝n是函数f（x）＝lnx+x2﹣（a+2）x的两个极值点，其中m＜n，a∈R．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（Ⅱ）求f（m）+f（n）的取值范围；（Ⅲ）若a＞+﹣2，求f（n）﹣f（m）的最大值（e是自然对数的底数）．2016-2017学年重庆四十二中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知复数z＝（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．D．【解答】解：z＝＝＝﹣i，则|z|＝．故选：A．2．（5分）利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值（）A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解答】解：用独立性检验来考查两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量k2的值越大，说明“x与y有关系”成立的可能性越大，由此可知A正确．故选：A．3．（5分）已知a，b，c∈R，若且，则下列结论成立的是（）A．a，b，c同号B．b，c同号，a与它们异号C．a，c同号，b与它们异号D．b，c同号，a与b，c符号关系不能确定【解答】解：∵•＞1，∴a2＜bc，故b，c同号．∵+≥﹣2，∴≥﹣2，当，小于0时，+≤﹣2 ＜﹣2不成立，∴＞0，＞0，∴a，b，c同号．故选：A．4．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e【解答】解：由关系式f（x）＝2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）＝2f'（x）+，令x＝e得f'（e）＝2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）＝﹣e﹣1；故选：C．5．（5分）若a，b，c∈R，且，则下列说法正确的是（）A．a，b，c都大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c都小于0D．a，b，c中至多有一个大于0【解答】解：令x＝y＝z＝0，则a＞0，b＞0，c＞0，排除C，D；令x＝0，y＝1，则a＜0，排除A；故选：B．6．（5分）当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7B．42C．210D．840【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝7×6×…×k的值，当m＝7，n＝3时，m﹣n+1＝7﹣3+1＝5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S＝7×6×5＝210．故选：C．7．（5分）已知“整数对”按如下规律排成一列：（0，0），（0，1），（1，0），（0，2），（1，1），（2，0），（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），…，则第222个“整数对”是（）A．（10，10）B．（10，9）C．（11，9）D．（9，10）【解答】解：整数对”也可以表示如下（0，0）（0，1）（1，0）（0，2）（1，1）（2，0）（0，3）（1，2）（2，1）（3，0）…类似于杨辉三角，整数对的总个数为1+2+3+4+…+n＝，因为＝210，＝231，所以第222个“整数对”在第21行，且为第12个，第21行第一个为（0，20），故第12个为（11，9）故选：C．8．（5分）在函数y＝x3﹣8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵切线倾斜角小于，∴斜率0≤k＜1．设切点为（x0，x03﹣8x0），则k＝y′|x＝3x02﹣8，＝x0∴0≤3x20﹣8＜1，≤x02＜3．又∵x0∈Z，∴x0不存在．故选：D．9．（5分）在极坐标系中，直线与曲线的公共点个数是（）A．0B．1C．2D．以上都有可能【解答】解：直线展开为：ρ（cosθ+sinθ）＝，化为：x+y﹣2＝0．曲线即x2+y2＝2．圆心C（0，0），半径r＝．∵圆心C到直线的距离d＝＝＝r，∴直线与圆相切．因此直线与圆的公共点个数是1．故选：B．10．（5分）计算：1+2i+3i2+4i3+5i4+…+100i99＝（）（i是虚数单位）A．0B．1C．﹣25﹣25i D．﹣50﹣50i【解答】解：设S＝1+2i+3i2+4i3+5i4+ (100i99)则iS＝i+2i2+…+99i99+100i100，相减可得：（1﹣i）S＝1+i+i2+…+i99﹣100i100＝﹣100i100＝﹣100i100＝﹣100，∴S＝＝＝﹣50﹣50i．故选：D．11．（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），对一切的x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，对任意正数a，b，若a＜b，则有（）A．bf（lna）＜af（lnb）B．bf（lna）＝af（lnb）C．bf（lna）＞af（lnb）D．bf（lna）与af（lnb）的大小不确定【解答】解：由f'（x）＞f（x），即f'（x）﹣f（x）＞0，设g（x）＝，g（x）＝＞0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，由任意正数a，b，且a＜b，则lna＜lnb，∴g（lna）＜g（lnb），则＜，∴bf（lna）＜af（lnb），故选：A．12．（5分）若函数f（x）＝x3﹣ax2+（a﹣1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）为增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[5，7]C．[4，6]D．（﹣∞，5]∪[7，+∞）【解答】解：由函数，得f′（x）＝x2﹣ax+a﹣1．令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝a﹣1．当a﹣1≤1，即a≤2时，f′（x）在（1，+∞）上大于0，函数f（x）在（1，+∞）上为增函数，不合题意；当a﹣1＞1，即a＞2时，f′（x）在（﹣∞，1）上大于0，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，f′（x）在（1，a﹣1）内小于0，函数f（x）在（1，a﹣1）内为减函数，f′（x）在（a﹣1，+∞）内大于0，函数f（x）在（a﹣1，+∞）上为增函数．依题意应有：当x∈（1，4）时，f′（x）＜0，当x∈（6，+∞）时，f′（x）＞0．∴4≤a﹣1≤6，解得5≤a≤7．∴a的取值范围是[5，7]．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程中b＝﹣2，预测当气温为﹣4°C时，用电量的度数约为68．【解答】解：由表格得，为：（10，40），又在回归方程上且b＝﹣2∴40＝10×（﹣2）+a，解得：a＝60，∴y＝﹣2x+60．当x＝﹣4时，y＝﹣2×（﹣4）+60＝68．故答案为：68．14．（5分）设f（x）＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）x（x+1）（x+2）（x+3），则f'（0）＝﹣36．【解答】解：f（x）＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）x（x+1）（x+2）（x+3）＝x（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）（x+1）（x+2）（x+3），求导f′（x）＝（x）′（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）（x+1）（x+2）（x+3）+x[（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）（x+1）（x+2）（x+3）]′，＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）（x+1）（x+2）（x+3）+x[（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）（x+1）（x+2）（x+3）]′，f′（0）＝（0﹣3）（0﹣2）（0﹣1）（0+1）（0+2）（0+3）+0×[（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）（x+1）（x+2）（x+3）]′，＝﹣36，故答案为：﹣36．15．（5分）已知函数在x＝1处的切线与x轴平行，若函数f（x）的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是＜a＜．【解答】解：求导函数可得f′（x）＝ax2+ax﹣b∵函数在x＝1处的切线与x轴平行∴f′（1）＝0∴2a﹣b＝0∴b＝2a∴f′（x）＝ax2+ax﹣2a＝a（x+2）（x﹣1），令f′（x）＝a（x+2）（x﹣1）＝0得x＝﹣2或x＝1x∈（﹣∞，﹣2）时f′（x）的符号与x∈（﹣2，1）时f′（x）的符号相反，x∈（﹣2，1）时f′（x）的符号与x∈（1，+∞）时f′（x）的符号相反∴函数在﹣2与1处取极值∵图象经过四个象限∴f（﹣2）•f（1）＜0，即（）（﹣1）＜0∴＜a＜故答案为：＜a＜16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）＝xlnx﹣x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，y M），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，y N）．则的范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【解答】解：设P（a，alna﹣a），∵f（x）＝xlnx﹣x，∴f′（x）＝lnx，∴曲线在点P处的切线l的方程为y﹣alna+a＝lna（x﹣a），即y＝﹣a+xlna．令x＝0，可得y M＝﹣a，过点P作l的垂线的方程为y﹣alna+a＝﹣（x﹣a），令x＝0，可得y N＝alna﹣a+，∴＝﹣lna+1﹣，∵lna+≥2或lna+≤﹣2，∴﹣（lna+）≤﹣2或﹣（lna+）≥2，∴＝﹣lna+1﹣的范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，写出必要的计算、证明或推理过程）17．（10分）已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（1）求l的普通方程及C的直角坐标方程；（2）P为圆C上的点，求P到l的距离的取值范围．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得l的普通方程为x﹣y+3＝0，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0，可得C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3＝0．（2）C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1，圆心为C（2，0），半径为1，点C到l的距离为d＝＝，∴P到l的距离的取值范围是．18．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．可用公式：＝＝，＝﹣．【解答】解：（1）由所给数据计算得＝（1+2+3+4+5+6+7）＝4，＝（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）＝4.3，计算回归系数＝＝＝0.5，＝﹣＝4.3﹣0.5×4＝2.3，所求回归方程为＝0.5t+2.3；…（6分）（2）由（1）知，＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，…（8分）将2015年的年份代号t＝9代入（1）中的回归方程，得＝0.5×9+2.3＝6.8；…（11分）故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元．…（12分）19．（12分）函数f（x）＝x2﹣3x+2lnx，求函数f（x）在[1，e]上的最值．【解答】解：由f（x）＝x2﹣3x+2lnx可得，f′（x）＝x+﹣3＝，当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，2]上是减函数；当x∈（2，e）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[2，e]上是增函数，∴当x＝2时，f（x）min＝f（2）＝2ln2﹣4，又f（1）＝﹣，f（e）＝e2﹣3e+2，f（e）﹣f（1）＝e2﹣3e+2﹣（﹣）＝（e2﹣6e+9）＝（e﹣3）2＞0，∴f（e）＞f（1），∴f（x）max＝f（e）＝e2﹣3e+2，综上，函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣3e+2，最小值为2ln2﹣4．20．（12分）用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？【解答】解：设长方体的宽为x（cm），则长为2x（cm），高为．故长方体的体积为V（x）＝2x2（4.5﹣3x）＝9x2﹣6x3（cm3）．从而V′（x）＝18x﹣18x2＝18x（1﹣x）．令V′（x）＝0，解得x＝0（舍去）或x＝1，因此x＝1．当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，故在x＝1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值．从而最大体积V＝V′（x）＝9×12﹣6×13（cm3），此时长方体的长为2cm，高为1.5cm．答：当长方体的长为2cm时，宽为1cm，高为1.5cm时，体积最大，最大体积为3cm3．21．（12分）已知函数f（x）＝﹣kx且f（x）在区间（2，+∞）上为增函数．（1）求k的取值范围；（2）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由题意f′（x）＝x2﹣（k+1）x，因为f（x）在区间（2，+∞）上为增函数，所以f′（x）＝x2﹣（k+1）x≥0在（2，+∞）上恒成立，即k+1≤x恒成立，又x＞2，所以k+1≤2，故k≤1，当k＝1时，f′（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1在x∈（2，+∞）恒大于0，故f（x）在（2，+∞）上单增，符合题意．所以k的取值范围为k≤1．（2）设，h′（x）＝x2﹣（k+1）x+k＝（x﹣k）（x﹣1），令h′（x）＝0得x＝k或x＝1，由（1）知k≤1，①当k＝1时，h′（x）＝（x﹣1）2≥0，h（x）在R上递增，显然不合题意；②当k＜1时，h（x），h′（x）随x的变化情况如下表：由于＜0，欲使f（x）与g（x）图象有三个不同的交点，即方程f（x）＝g（x），也即h（x）＝0有三个不同的实根．故需即（k﹣1）（k2﹣2k﹣2）＜0，所以，解得．综上，所求k的范围为．22．（12分）设x＝m和x＝n是函数f（x）＝lnx+x2﹣（a+2）x的两个极值点，其中m＜n，a∈R．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（Ⅱ）求f（m）+f（n）的取值范围；（Ⅲ）若a＞+﹣2，求f（n）﹣f（m）的最大值（e是自然对数的底数）．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝lnx+x2﹣3x，f′（x）＝+x﹣3，f（1）＝﹣，f′（1）＝﹣1，故切线方程是：y+＝﹣（x﹣1），即2x+2y+3＝0；（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝+x﹣（a+2）＝，依题意，方程x2﹣（a+2）x+1＝0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．故，∴a＞0，并且m+n＝a+2，mn＝1．∴f（m）+f（n）＝lnmn+（m2+n2）﹣（a+2）（m+n）＝[（m+n）2﹣2mn]﹣（a+2）（m+n）＝﹣（a+2）2﹣1＜﹣3，故f（m）+f（n）的取值范围是（﹣∞，﹣3）．…（7分）（Ⅲ）当a≥+﹣2时，（a+2）2≥e++2．若设t＝（t＞1），则（a+2）2＝（m+n）2＝＝t++2≥e++2．于是有t+≥e+，∴（t﹣e）（1﹣）≥0，∴t≥e，∴f（n）﹣f（m）＝ln+（n2﹣m2）﹣（a+2）（n﹣m）＝ln+（n2﹣m2）﹣（n+m）（n﹣m）＝ln﹣（n2﹣m2）＝ln﹣＝ln﹣（﹣）＝lnt﹣（t﹣），构造函数g（t）＝lnt﹣（t﹣）（其中t≥e），则g′（t）＝﹣（1+）＝﹣＜0．所以g（t）在[e，+∞）上单调递减，g（t）≤g（e）＝1﹣+，故f（n）﹣f（m）的最大值是1﹣+．。
重庆市42中高二下学期期中考试数学(理)试题
重庆市第四十二中学校2015—2016学年度下期半期考试高 二 理 科 数 学试 题 卷（满分：150分；考试时间：120分钟；命题人：程光）一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A ．2'31)3(x x x +=+ B ．2ln 1)(log '2x x = C ．e x x 3'log 3)3(= D ．x x x x sin 2)cos ('2-=2．若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ）A ．1,1a b ==B ． 1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-3．重庆42中艺术节招募了30名志愿者（编号分别是1，2，⋅⋅⋅，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到十佳歌手组、小品组，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一组的选取种数是（ ）A ．25B ．32C ．60D ．1004．设复数z 满足||2+=+z z i ，那么z 等于（ ） A ．34-+i B ．34-i C ．34--i D ．34+i 5．在二项式1()n x x 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ). A ．－56 B ．－35 C ．35 D ．566．已知13)(23+-+=mx x x x f 在]2,2[-为单调增函数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．3-≤mB ．0≤mC ． 24-≥mD ．1-≥m7．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接等工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A ．240B ．300C ．150D ．1808．10)d x x -⎰等于（ ） A ．14 B ．12 C ．14π- D ．24π-9．设函数f （x ）的定义域为R ，x 0（x 0≠0）是f （x ）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．x R ∀∈，0()()f x f x ≤B ．0x -是()f x --的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x -的极小值点10．定义在R 上的函数()f x 满足()41f ＝，()f x '为()f x 的导函数，已知函数()y f x '＝的图象如图所示．若两正数a b ，满足1(2)f a b <＋，则22b a ++的取值范围是（ ） A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,(3,+)2⎛⎫-∞∞ ⎪⎝⎭ C ．(,3)-∞- D ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+，设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则()0,a ∈+∞时，实数b 的最大值是（ ）A ．6136eB ．616e C ．2372e D ．2332e 12．设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）（A ）-32e ，34） （C ）32e ，1） （D ）32e ，34）二、填空题13．由直线y=2x 及曲线y=4﹣2x 2围成的封闭图形的面积为14．设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622a x x x ⎛-⋅+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 ．15．已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为 ．16．函数()ln f x a x x =+，对任意的1[]x e e∈，时，()0f x ≥恒成立，则a 的范围为 . 三、解答题17（本题满分10分）已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位．（1）求复数z ；（2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．18（本小题满分12分，请写出简要过程，直接书写结果没分）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；（5）甲、乙站在两端．-32e ，1） （B ）32e ，1） （D ）32e ，34） 二填空题13．由直线y=2x 及曲线y=4﹣2x 2围成的封闭图形的面积为 914．设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛⋅+ ⎝的展开式中常数项是 -332 ．15．已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为 (1, +∞) ． 16．函数()ln f x a x x =+，对任意的1[]x e e ∈，时，()0f x ≥恒成立，则a 的范围为 ]1,[ee - . 三解答题17（本题满分10分）已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位．（1）求复数z ；（2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．18（本小题满分12分，请写出简要过程，直接书写结果没分）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻； （4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；（5）甲、乙站在两端．19．（本小题满分12分）已知函数3()16f x x x =+-．（1）求曲线()y f x =在点(2,6)-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．20. （本小题满分12分）已知n二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3（1）求n 的值；（2）求展开式中3x 项的系数（3）计算式子01231010101010102481024C C C C C -+-++的值． 21．（本小题满分12分）已知函数3()f x x ax =+． （Ⅰ）若()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求a 的值和()f x 的极值；（Ⅱ）若过点(1,0)A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求a 的取值范围．22（本小题满分12分）.设.0,)53()(22≠+-=m e mx m x x f mx 其中 的单调性）讨论（)(1x f的取值范围恰有两个零点，求）若（m 52)()(2--=x m x f x g。
重庆市南岸区2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文
重庆市南岸区2016-2017学年高二数学下学期期中试题（文）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、复数(1)2i i -（i 为虚数单位）的虚部是 （ ） A 、12B 、12-C 、12i D 、12i - 2、在用反证法证明命题“过一点只有一条直线与已知平面垂直”时，应假设（ ）A 、过两点有一条直线与已知平面垂直B 、过一点有一条直线与已知平面平行C 、过一点有两条直线与已知平面垂直D 、过一点有一条直线与已知平面不垂直3、函数3()2f x x =在点（-1，(1)f -）处的切线方程为 （ ）A 、64y x =+B 、64y x =-C 、64y x =-+D 、64y x =--4、某数学老师在分析上期末考试成绩时发现：本班的数学成绩（x ）与总成绩（y ）之间满足线性回归方程：ˆ 1.8332yx =+，则下列说法中正确的是 （ ） A 、某同学数学成绩好，则总成绩一定也好B 、若该班的数学平均分为110分，则总成绩平均分一定为530分C 、若某同学的数学成绩为110分，则他的总成绩一定为530分D 、本次统计中的相关系数为1.85、在下列图、表中，能更直观地反映两个分类变量是否有关系的是 （ ）A 、列联表B 、散点图C 、残差图D 、等高条形图6、执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5，则输出s 的值是（ ）A 、4B 、6C 、9D 、137、函数22ln y x x =-的单调递减区间为 （ ）A 、（-1,1）B 、（0,1]C 、 (1)令f ′(x )＝ln x ＋1＝0得x ＝1e ，①当0<t <1e 时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t ＋2上单调递增， 此时函数f (x )在区间上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ； ②当t ≥1e时，函数f (x )在上单调递增， 此时函数f (x )在区间上的最小值为f (t )＝t ln t .(2)由题意得，y ＝f (x )＋g (x )＝x ln x －x 2＋ax －2，则其导函数为y ′＝ln x －2x ＋1＋a ，由题意知y ′＝ln x －2x ＋1＋a ＝0有两个不同的实根x 1，x 2，等价于a ＝－ln x ＋2x －1有两个不同的实根x 1，x 2，且x 1<x 2，等价于直线y ＝a 与函数G (x )＝－ln x ＋2x －1的图象有两个不同的交点．由G ′(x )＝－1x ＋2，得G (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 画出函数G (x )图象的大致形状(如图)．由图象易知，当a >G (x )min ＝G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 2时， x 1，x 2存在，且x 2－x 1的值随着a 的增大而增大．而当x 2－x 1＝ln 2(*)时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－2x 1＋1＋a ＝0，ln x 2－2x 2＋1＋a ＝0， 两式相减可得ln x 2x 1＝2(x 2－x 1)＝2ln 2，得x 2＝4x 1，代入(*)解得x 1＝ln 23，x 2＝43ln 2， 此时实数a ＝23ln 2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 23－1， 所以实数a 的取值范围为a >23ln 2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 23－1。