四年级数学奥赛起跑线第2讲__简单的数列问题(二)

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四年级奥数数列规律总汇

寻找常见数‎列的排列规‎律可以从以‎下三个方面‎入手：一、仔细观察数‎据的特征（对于一些特‎殊数要有一‎定的积累，如平方数、立方数），根据数据特‎征极其相互‎之间的关系‎找规律。

二、对数列中相‎邻两个数作‎差或相除，根据差和商‎的情况找规‎律。

三、统筹考虑数‎列中相邻的‎三、四个数，根据它们之‎间的关系找‎规律。

《奥赛天天练‎》第1讲，模仿训练，练习2【题目】：按规律在“？”处填数。

【解析】：第（1）小题，仔细观察前‎三幅图，通过计算可‎找到规律：上格的数字‎与左下格数‎字之差的2‎倍就是右下‎格数字，如第一幅图‎中：（8-6）×2=4。

所以第四幅‎图中“？”处的数字为‎：（13-6）×2=14；第五幅图中‎“？”处的数字为‎：32-（24÷2）=20。

第（2）小题，仔细观察前‎两幅图，通过计算可‎找到规律：中间方格中‎的数字就等‎于左、上、右方三角形‎中三个数字‎连乘的积，如第一幅图‎中：1×4×5=2 0。

所以第三幅‎图中“？”处的数字为‎：3×5×2=30；第四幅图中‎“？”处的数字为‎：56÷（7×8）=1。

《奥赛天天练‎》第1讲，巩固训练，习题2【题目】：将8个数从‎左到右排成‎一行，从第三个数‎开始，每个数恰好‎等于它前面‎两个数的和‎。

如果第7个‎数和第8个‎数分别是8‎1，131，那么第一个‎数是多少？【解析】：根据题意列‎出数列（未知数字用‎方框代替）：□、□、□、□、□、□、81、131……“从第三个数‎开始，每个数恰好‎等于它前面‎两个数的和‎”，倒过来可以‎推出，这个数列中‎每个数等于‎这个数后面‎两个数的差‎。

如：第8个数等‎于第7个数‎与第6个数‎的和，则第6个数‎就等于第8‎个数与第7‎个数的差，可求出第6‎个数为：131-81=50。

依次倒推，可求出前面‎5个数。

第5个数为‎：81-50=31；第4个数为‎：50-31=19；第3个数为‎：31-19=11；第2个数为‎：19-11=8；第1个数为‎：11-8=3。

四年级奥数奇妙的数列规律

四年级奥数奇妙的数列规律在数学的世界里，有许多有趣而奇妙的数列规律等待着我们去探索。

而在四年级的学习中，我们将会遇到一些引人入胜的奥数题目，让我们一起来看看这些奥数问题中隐藏的数列规律吧！1. 完全平方数列首先，让我们来看一下完全平方数列。

这个数列的一般形式可以表示为1, 4, 9, 16, 25, ...。

我们可以发现，它的每一项都是一个完全平方数。

具体来说，每一项都可以表示为n^2，其中n代表着该数列中的项数。

例如，第1项为1，即1^2=1；第2项为4，即2^2=4；第3项为9，即3^2=9。

以此类推，每一项都是前一项的平方加1。

2. 等差数列接下来，我们来看一下等差数列。

等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值相等。

一个常见的等差数列是2, 4, 6, 8, 10, ...，其中每一项与前一项的差值均为2。

等差数列的一般形式可以表示为a, a+d, a+2d, a+3d, ...，其中a为首项，d为公差（即相邻两项之间的差值）。

在前面的例子中，首项a为2，公差d为2。

除了常见的等差数列外，我们还会遇到一些稍微复杂一些的情况。

例如，3, 8, 13, 18, ... 这个数列中，我们可以发现每一项与前一项的差值为5。

这种情况下，首项a为3，公差d为5。

3. 等比数列接下来，我们来看一下等比数列。

等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值相等。

一个常见的等比数列是1, 2, 4, 8, 16, ...，其中每一项与前一项的比值均为2。

等比数列的一般形式可以表示为a, ar, ar^2, ar^3, ...，其中a为首项，r为公比（即相邻两项之间的比值）。

在前面的例子中，首项a为1，公比r为2。

除了常见的等比数列外，我们还会遇到一些稍微复杂一些的情况。

例如，2, 6, 18, 54, ... 这个数列中，我们可以发现每一项与前一项的比值为3。

这种情况下，首项a为2，公比r为3。

4. 斐波那契数列最后，让我们来研究一下著名的斐波那契数列。

小学奥数(认识简单数列学生版)

认识简单数列知识点梳理: 我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.例1找出下面各数列的规律，并填空.（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.（5） 5，10，15，20，□，□，35，40，45.注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列.例2 找出下面的数列的规律并填空.1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.例3找出下面数列的生成规律并填空. 1，2，4，8，16，□，□，128，256.例4如下图所示。

商店的货架上堆放着一堆火腿肠。

你能很快地算出它的总数有多少根吗？例5 如果全体自然数如下表排列，请问:(1)数20在哪个字母下面？(2) 数27在哪个字母下面？(3) 数70在哪个字母下面？(4) 数71在哪个字母下面？例6 找出下面数列的生成规律，并填空.1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.例7 一辆公共汽车有28个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？例8 如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到一列数：3，10，17，……，38.这里3叫第一项，10叫第二项，17叫第三项，试求38是第几项？例9一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？”小朋友，请你帮小明想一想？例10小青每年都和家长一起参加植树节劳动。

小学四年级奥数认识简单数列题

【导语】奥数是奥林匹克数学竞赛的简称。

1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第xx届国际数学奥林匹克竞赛。

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1.⼩学四年级奥数认识简单数列题 1、-8，15，39，65，94，128，170，（） A、180 B、210 C、225 D、256 解：观察呈线性规律，数值逐渐增⼤，且增幅⼀般，考虑做差，得出差23,24,26,29,34,42，再度形成⼀个增幅很⼩的线性数列，再做差得出1，2，3，5，8，很明显的⼀个和递推数列，下⼀项是5+8=13，因⽽⼆级差数列的下⼀项是42+13=55，因此⼀级数列的下⼀项是170+55=225，选C。

2、0.25，0.25，0.5，2，16，（） A、32 B、64 C、128 D、256 解：观察呈线性规律，从0.25增到16，增幅较⼤考虑做乘除，后项除以前项得出1，2，4，8，典型的等⽐数列，⼆级数列下⼀项是8*2=16，因此原数列下⼀项是16*16=256　2.⼩学四年级奥数认识简单数列题 1、12，19，29，47，78，127，（） A、199 B、235 C、145 D、239 2、100，50，2，25，（） A、1 B、3 C、225 D、25 3、0，0，6，24，60，120，（） A、180 B、196 C、210 D、216 4、1，4，9，（），25，36 A、10 B、14 C、20 D、16 5、0，4，16，48，128，（） A、280 B、320 C、350 D、4203.⼩学四年级奥数认识简单数列题（1）３、５、７、（）、11 （2）５、１０、１5、２０、（）、（）、（）、（）（3）20、18、16、14、12、（）、（）、（）、（）（4）1、5、5、1、1、5、5、1、（）、（）、（）、（）（5）1、2、3、2、1、1、2、3、2、1、（）、（）、（）、（）、（）（6）2、5、8、11、（）、（）、（）、（）、（7）1、2、4、7、11、（）、（）、（）、（）（8）10、20、11、19、12、18、（）、（）、（）、（）4.⼩学四年级奥数认识简单数列题 1、按规律填数。

四年级奥数第二讲_找规律_(二)学生版教程文件

四年级奥数第二讲_找规律_(二)学生版第二讲找规律（二）解题方法除了一些数列和数组存在规律外,有些算式之间也存在规律,我们可以根据给出的算式写出类似的不同算式。

例题1先计算下面一组算式的第一题,然后找出其中的规律,并根据规律直接写出后几题的得数12345679×9= 12345679×18=12345679×45= 12345679×63=提示：从算式中可以看出一个因数都是12345679不变，另一个因数是9，9*2，9*5，9*7的结果，所以后面的结果分别是第一个结果的2倍，5倍，7倍引申1、先计算下面一组算式的第一题,然后找出其中的规律,并根据规律直接写出后几题的得数。

12345679×9= 12345679×27=12345679×36= 12345679×45=2、先算出前三题的得数,找找有什么规律,再直接写出后面几题的答案。

4×9= 4444× 9999=44×99= 44444× 99999=444×999= 444444× 999999=3、先算出前三题的得数,找找有什么规律,再直接写出后面几题的答案。

3×6= 3333×6666=33×66= 33333×66666=333×666= 333333×666666=例题2 先算出前三题的得数,找找有什么规律,再直接写出后面几题的答案。

1×8+1= 1234×8+4=12×8+2= 12345×8+5=123×8+3= 123456×8+6=引申1、先算出前二题的得数,找找有什么规律,再直接写出后面几题的答案。

0×9+1= 1×9+2= 12×9+3=123×9+4= 12345678×9+9=2、先算出前二题的得数,找找有什么规律,再直接写出后面几题的答案。

四年级暑期数学思维训练(1-10讲)

第1讲简单的数列问题（一）例题1（1）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？（2）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？练习1一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大1，并且首项为21，那么末项是多少？例题2（1）一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大7，并且末相为125，那么首项是多少？（2）一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项小7，并且末相为125，那么首项是多少？练习2一个等差数列共有12项，每一项都比它的前一项小4，并且末相为56，那么首项是多少？例题3（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？（2）一个等差数列第4项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？练习3一个等差数列第5项为25，第16项为91，那么这个等差数列的公差等于多少？例题4（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？练习4已知等差数2,9,16,23,30，…那么709是其中第几项？例题5一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差是多少？第19项等于多少？305是第几项？例题6下面的各算式是按规律排列的：1+1,2+3,3+5,1+7,2+9,3+11,1+13,2+15,3+17，…请写出其中所有结果为98的算式。

作业1. 一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项大2，并且末项为75，那么首项是多少？2. 一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项小2，并且末项为75，那么首项是多少？3．一个等差数列首项为13，第9项为29，那么这个等差数列的公差等于多少？第20项等于多少？4. 一个等差数列第5项为47，第15项为87，那么这个等差数列的公差等于多少？63是第几项？5．如图所示，有一堆按规律摆放的砖，从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖，……，按照这个规律，第19层有多少块砖？第2讲简单的数列问题（二）例题1计算下面各题：（1）3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30（2）41＋37＋33＋29＋25＋21＋17＋13＋9＋5＋1练习1计算：6＋11＋16＋21＋26＋31＋36＋41＋46例题2计算下列各题：（1）5＋11＋17＋…＋77＋83（2）82＋77＋72＋…＋12＋7练习2计算：100＋92＋84＋…＋12例题3计算下面各题：（1）12＋18＋24＋…共10项（2）193＋187＋181＋…共13项练习3计算：（1）10＋13＋16＋…共项例题4萱萱读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完，请问：萱萱一共对了多少天，这本课外书共有多少页？练习4暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米。

第2讲数列篇(教师版)

第2讲数列[考点分析]数列问题是高考的必考内容，主要考查：1．等差等比数列的证明．2．数列求通项．3．数列求和．4．个别时候考查数列不等式问题．在新高考中很多题目开始以开放性题型命题．[特训典例]题型一等差等比数列的证明例1 （2019全国2卷理19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，，. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.[特训跟踪]1、（2021全国卷）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300. 【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13n n b b +=+，从而可求{}n b 的通项. （2）根据题设中的递推关系可得{}n a 的前20项和为20S 可化为()2012910210S b b b b =++++-，利用（1）的结果可求20S .【详解】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++= 又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-= 所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-. （2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-，所以()20241820210S a a a a =++++-()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.2.在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .解 (1)∵a n 是1与a n a n ＋1的等差中项， ∴2a n ＝1＋a n a n ＋1，∴a n ＋1＝2a n －1a n， ∴a n ＋1－1＝2a n －1a n －1＝a n －1a n ，∴1a n ＋1－1＝a n a n －1＝1＋1a n －1，∵1a 1－1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1，公差为1的等差数列，∴1a n －1＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ＋1n .(2)由(1)得1n 2a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求S n 和a n .[听前试做] (1)证明：当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，① ∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)，由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2.(2)由(1)知1S n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n (n －1)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，∴a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.题型二数列求通项和求和例2 (2015·新课标全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[听前试做] (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3＝n3(2n ＋3). 例3 (2020衡水2调）已知数列{}n a 满足：211231333()3n n n a a a a n N -*+++++=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设111,3(1)(1)n n n n b a a ++=--数列{}nb 的前n 项和为n S ，试比较n S 与716的大小. 解：（1）数列{}n a 满足211231333()3n n n a a a a n N -*+++++=∈，所以2n ≥时，212133,3n n n a a a --+++=相减可得113,3n n a -=所以1.3n n a =n=1时,12.3a =综上可得2,1,31, 2.3n nn a n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（5分）(2)因为111,3(1)(1)n n n n b a a ++=--所以12213.2183(1)(1)33b ==⨯-⨯-2n ≥时，1111111.11231313(1)(1)33n n n n n n b +++⎛⎫==- ⎪--⎝⎭-- 所233413111111182313131313131n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦131117.8283116n +⎛⎫=+-< ⎪-⎝⎭ 例4 (2019衡水2调）已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且n S 为n a 与1na 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()1,nnnb a -=求{}n b 的前n 项和n T .解：（1）由题意知，12n n nS a a =+，即221,n n n S a a -=① 当n=1时，由①式可得11;S =当2n ≥时,有1,n n n a S S -=-带入①式，得2112()()1,n n n n n S S S S S -----=整理得221 1.n n S S --= 所以{}2nS 是首项为1，公差为1的等差数列，211.nSn n =+-=因为{}n a各项都为正数，所以n S =所以12),n n n a S S n -=-=≥ 又111,a S ==所以n a =（6分）（2）()(1)1,n n nn n b a -===-当n 为奇数时，(11)1n T n=-+-++--=当n 为偶数时，(11)1n T n =-+-+--+=所以{}n b 的前n 项和()1nn T =-（12分）例5 （潍坊市高三下学期第一次模拟）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S 。

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四年级数学奥赛起跑线
第2讲简单的数列问题（二）
1、求所有的除以4后余1的两位数的和
2、求首项是13，公差是5的等差数列的前60项的和。

3、用相同的小立方体摆成如下图的形状，如果共摆成10层，那么最下面一层有多少个小立方体？
4、如下图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，这个为第一层，第二层每边两个点，第三层每边三个点……这个六边形点阵共100层，求这个点阵共有多少个点？
5、24个连续偶数的和是1992，其中最大的一个偶数是几？
6、时钟在每个整点敲打报时，敲打的次数等于该钟点数，每半点也敲一下，求时钟一昼夜总共敲
打多少次？
7、平面上共有10个点，没有3个点在一条直线上。

求过这些点最多可以画出多少条直线？
8、在北京与上海之间往返的火车，除起点站和终点站外，还要停靠8个火车站。

问：一共要准备
多少种火车票？
9、小明计算从1开始若干个连续自然数的和，结果不小心把1当做10来计算，得出的错误结果
恰好是100。

你知道小明算的是哪些自然数的和吗？正确的结果应该是多少？
10、一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。

如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人。