第 2 章-单输入单输出系统时域分析

1 t e 2
1 t 2
3 3 3 3 sin( t ) c2 cos( t )u (t ) c1 (t ) c1 2 2 2 2
3 3 t ) c 2 sin( t )u (t ) c1 cos( 2 2

3c2 c1 c2 3c1 3 3 cos( t) sin( t )u(t ) c1 (t ) 2 2 2 2
y(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzi (t ) x(t ) * h(t )
•求解齐次微分方程得到零输入响应
•利用卷积积分可求出零状态响应
3.变换域法: Laplace变换
2.2 经典时域分析法
s
y(t ) y n (t ) y f (t )
2.2 经典时域分析法 系统的自由响应yn(t)就是微分方程式的通解，即由
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入响应和零
状态响应。仅由初始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程 得到；零状态响应可以按经典法求解初始条件为0的非齐次微分方程。
单位冲激响应和单位样值响应：连续系统和离散系统中非常重要的零状
态响应，在求解系统响应和系统特性分析是具有十分重要的作用。 为了求解系统的零状态响应，希望能够将任意复杂信号分解为简单激励
( 1 )( 2 )...( m )( c1 ) k1 ( c 2 ) k 2 ...( cp ) kp ( i ) ( j ) kj
i 1 j 1 m p
m
k
j 1
p
j
n
2.2 经典时域分析法：典型激励的特解形式
特征根的不同形式可以确定微分方程的通解。
（2-4）
这是个一元n次代数方程有n个根。根据微分方程式的
2.2 经典时域分析法：通解的常用形式
(1) 特征根为单实根α, 齐次解中应包括
s
Ae
t
(2) 特征根为 k 阶重实根,并令其等于α，即 α1= α 2== α k= α
( At 1
k 1
A2t
s
输入信号 E（常数） tm e (α 不是特征根)
αt
特解 A（常数） Amtm+ Am-1tm-1+…+ A1t+ A0 A e αt (A1t +A0)eαt (Amtm +Am-1tm-1+…+A1t +A0)eαt AsinΩ t+ BcosΩ t
特例
e (α 是单阶特征根)
αt
e (α 是 m 阶特征根)
2.2 经典时域分析法：不足之处
s
•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。
•若激励信号发生变化，则须全部重新求解。
•若初始条件发生变化，则须全部重新求解。
•这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响
应的物理概念。
2.2 全响应
s
y (t ) y zi (t ) y zs (t )
系统的零输入响应是外加激励信号为零，仅由系统 的初始状态引起的响应。 当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产 生的响应称为系统的零状态响应。
2.2 连续系统响应求解方法
y ( n ) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y (t ) a0 y(t ) bm x ( m) (t ) bm1 x ( m1) (t ) b1 x (t ) b0 x(t )
s
1. 经典时域分析方法: 2. 系统全响应=零输入响应+零状态响应
2 2A2 3(2A2t A1 ) 2( A2t 2 At A ) 2 t t 1 0
y(0 ) y(0 ) 1, y(0 ) y(0 ) 0
将初始值代入有
c1 c2 2 1
3c1 2c2 2 0
以上两式联立求解得 c1 4, c 2 7 ，故系统的响应 为：
y(t ) 4e
3t
7e
2t
2e
t
k 2
...Ak 1t Ak )e
t
(3) 特征根为一对共轭复根
t
j j
e (C cos t D sin t )
(4) 特征根为 k 阶共轭复根
(B1t k 1 B2t k 2 ...Bk 1t Bk )et (C cos t D sin t )
s
（2-3） d n yn (t ) d n 1 yn (t ) dyn (t ) an 1 a1 a0 yn (t ) 0 n n 1 dt dt dt
微分方程式的特征根来确定。
根据（2-3）式可以写出微分方程的特征方程：
n an1 n1 an2 n2 a1 a0 0
y n (t ) c1e 3t c2 e 2t
式中c1和c2为待定系数。
因为微分方程的右边为 e t ，故设微分方程的特解为： y f (t ) Aet
2.2
例
题
s
Ae 5 Ae 6 Ae 2 Ae
t t t t
将特解代入微分方程：
4e
t
4e
t
信号，单独激励后叠加得到复杂信号的响应。从而引出卷积概念。学习
了卷积运算后，可用卷积方法求解零状态响应。 在此基础上，通过类比的方法，建立离散时间系统的常系数差分方程，
并求解。
2.2 连续系统时域分析
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy(t ) an 1 a1 a0 y (t ) n n 1 dt dt dt d m x(t ) d m 1 x(t ) dx(t ) bm b b b0 x(t ) m 1 1 m m 1 dt dt dt
有：
A 2
y (t ) y n (t ) y f (t )
于是微分方程的全解为：
c1e 3t c 2 e 2t 2e t
所以
dy(t ) 3c1e 3t 2c2 e 2t 2e t dt
2.2
例
题
s
因为在微分方程的右边没有冲激项，所以系统不会跳 变，即有
例
题
1 t 2
s
yn (t ) e 3 3 c cos u (t ) 2 t c2 sin 2 t 1
1
则微分方程的通解为：
式中c1和c2为待定系数。因为
1 2t y (t ) e 2
e
2.2
s
yzi (t ) ci e
i 1 m
it
d j ,l t
j 1 l 1
p
kj
k j l j t
e
m
k
j 1
p
j
n
待定系数的求解如前所述。
零状态响应yzs(t)是零初始条件下非齐次微分方程的全 解，这时微分方程的全解仍分为齐次解和特解两部分来求 解，其解法与前述方法相同，只是初始值为零。 零状态响应的求解还可以用卷积方法。
求系统的响应
2.2 例题
解：将已知条件（激励信号）代入微分方程得：
d 2 y (t ) dt 2 5 dy(t ) 6 y (t ) 4e t dt
s
2 由此可得特征方程： 5 6 0
这个特征方程有两个单阶实根，即 1 3 2 2 ，则 微分方程的通解为：
1 c 3c1 1 2 t 3c2 c1 3 3 y (t ) e cos( t ) 2 sin( t )u(t ) c1 (t ) 2 2 2 2 2
1 t e 2

3 2
3c2 c1 3c2 c1 3 3 c2 3c1 3 sin( t ) cos( t )u(t ) (t ) 2 2 2 2 2 2
整理后： c1 (t )
3c2 c1 (t ) (t ) (t ) 2
比较等式两边同类同次项系数得： c1 1, 于是系统的单位冲激响应为：
y(t )
1 t 2 e cos
3 c2 3

3 3 3 t sin t u(t ) 2 2 3
2.2 例
d 2 y (t ) dt 2
题
dy(t ) dx(t ) y (t ) x (t ) dt dt
s
（例2-2） 若系统的微分方程为：
求系统的单位冲激响应。 解：系统的冲激响应就是系统输入为单位冲激信号时系统
的输出（响应），既有 x(t ) (t ) ，微分方程可以写成：
ai和bi均为常数。
s
（2-1）
式中x(t)为系统输入激励，y(t)为系统的输出响应，n为微分方程的阶数，系数
y (t ) an1 y
(n)
( n 1)
(t ) a1 y (t ) a0 y(t )
bm x
( m)
(t ) bm1 x
( m 1)
(t ) b1 x (t ) b0 x(t )
3c2 c1 c2 3c1 3 3 cos( t ) sin( t )u(t ) c1 (t ) 2 2 2 2
将以上各式代入微分方程：
1 t e 2

1 t e 2
1 t 2 e c1 cos

3 3 t c2 sin t u(t ) (t ) (t ) 2 2