尺规作图(二)角平分线

课题：基本作图（二）-----角平分线及其性质
教学重点：角平分线的尺规作图、性质定理及它们的应用。

教学难点：理解角平分线尺规作图的依据，以及角平分线性质定理的应用；
教学目标：
1．知识与技能：掌握角平分线的尺规作图方法及角平分线的性质定理，并用它们解决相关问题；
2．过程与方法：学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。

3．情感与态度：经过对角的平分线的性质的探索与形成的过程，发展应用数学知识的意识与能力，养成良好的学习态度和严谨的科学态度。

教学过程：
实际问题引入：若要在S区建一个瞭望塔，安排人员进行环境监测，要求瞭望塔到三条公路的距离都相等，请问瞭望塔应建于何处？
预设一：学生想到作高线，找交点。

预设二：学生想到作中线，找交点。

预设三：学生想到作角平分线，找交点。

（在此情况下，学生分组进行画图实验，之后比较，猜想哪种做法是有可能正确的，之后引出作角平分线的方法，既然作角平分线的方法有可能，那就研究标准的作角平分线的的方法，研究猜想是否正确。

）
【活动一】作角平分线。

（一）提出问题：你能自己想办法做出一个角的角平分线吗？ （学生自己考虑解决问题的方法）
预设一：学生估计角度的大小，直接画出近似的角平分线； 预设二：学生用折纸的方法完成； 预设三：学生用量角器度量功能完成；
预设四：学生用直尺量出AO=BO,联结AB ，确定AB
中点C ，之后作射线
预设五：学生用直尺量出AO=BO,分别过A,B 作OA,OB 的垂线，两条垂线相交于点C ，之后作射线OC;
预设六：学生思考到尺规作图的方法，
但是不能准确叙述或者是完成；
预设七：学生可以用尺规作图的方法完成。

如果学生出现预设中的一、二、三、四、五情形的时候，老师适时提出：预设一不准确，预设二相对准确些，但是不便于操作，预设三、四、五，这时可以提问：如果我们没有刻度尺，没有半圆仪这些带刻度的工具，我们能不能考虑其他方法解决这个问题呢？如何做呢？
如果学生考虑到了预设六、七中的尺规作图，鼓励学生继续思考，如果学生不能完成，老师可以带领学生完成，如果有的学生能够完成，可以教师带领学生写好已知、求作，由学生演示做法。

（二）已知：∠BOA 求作：∠BOA 的角平分线 作法：
1. 以 O 为圆心，任意长度为半径作弧，分别与角的两边交于点 D 、E;
2. 分别以 D 、E 为圆心，大于DE 一半的相同长度为半径作弧,两弧在角的内部交于 C;
3. 作射线 OC.∴射线 OC 为∠BOA 的角平分线
（三）提出问题：同学们都同意这种做法吗？为什么这样做的就是角平分线呢？ （由学生根据作图过程提供的条件，结合课前的探究引例，进行说理） 【活动二】学习角平分线的性质。

（一）提出问题：
预设一：如果之前学生没有想到折纸的方法，此时可以提问第一个问题：你能否通过折叠的方式将∠AOB 平分呢？
预设二：回顾学生如果学生之前想到了折纸的方法，可以直接带领学生进行折纸：通过第二次折叠，折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），之后打开，让学生将两次的折痕画出来，之后寻找：这种图形结构中有哪些相等的量？为什么？
（学生尝试在老师的指导下进行折纸活动，应引导学生将三条折痕用数学语言来表达，为表述性质的内容打下基础。

在此活动中，让学生通过动手观察、交流等活动，经历新知的探索与形成过程，从而培养学生的几何直觉。

）。

（学生观察、猜想：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

）
（二）提出问题：这一结论，你能归纳出来吗？你能用数学知识来证明吗? （学生尝试进行证明，引导学生写出命题的已知、求证并加以证明，让学生熟悉证明文字命题的步骤，体会由实践活动得到的猜想,只能通过证明来验证,从而发展学生的理性思维。

）
已知:OP 是∠AOB 的平分线，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F 求证：PE=PF 证明：由学生完成
得出性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

符号语言：
∵OP 是∠AOB 的平分线，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ∴PE=PF （角平分线的性质） （三）简单运用： 判断：
A
O
B
C
D
E
F E
O B
A
P ┌
（1）如图1：OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （ ）
（2）如图2 ：PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则 PE=PF （ ）
（3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （ ）
（在练习中，有意去掉性质的一个条件，使得图形看似相似，实则 不同，目的是让学生明确性质的两个条件缺一不可，从而加深学生 对性质的深刻理解） 【活动三】做一做 （一）问题：
如图：若要在S 区建一个瞭望塔，安排人员进行环境监测，要求瞭望塔到三条公路的距离都相等，请问瞭望塔应建于何处？
（此题是对[活动二]的延伸，学生利用所学的知识知道作两条内角
平分线的交点；但对于结果的确定性，则必须用数学知识来证明。

通过此题让学生学会用数学知识解决实际问题，同时也培养学生在 实际问题中建立数学模型的意识）
（二）提出问题：我们在课堂上只是解决了理论上的作图方法以及依据，但是实际生活中我们没有这么大的圆规，我们又该怎么办呢？（留作课下解决） 课堂小结：（由学生谈谈本节课的收获）
通过小结让学生明确本节的重，难点，理清思路，使学生善于总结 所学知识，提高学生归纳，概括的能力。

【布置作业】
（作业分两层：A 组必做，B 组选做。

在实施分层教学的活动中，使得不同的学生在数学上得到不同的发展。

）
图1
F
E
O B
A P
图2
F E
O B
A
P
┌
S
公路
公路
公路
C B
A
A组：
1、如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路
的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉
处O的距离为300m，你能在图上标出学校的
位置吗？
2、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA 的距离相等。

B组：完成课堂上的拓展题。

如图：若要建一个瞭望塔，安排人员进行环境监测，要求瞭望塔到三条公路的距离都相等，请问瞭望塔应建于何处？
B C。