2020-2021学年高考押题金卷(全国卷ⅱ)数学(文)试卷及答案解析
绝密★启封前 高考押题金卷（全国卷Ⅱ）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B I 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3] （C ）(2,3) （D ）(1,4)-2．已知i z i 32)33(-=⋅+（i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．若()()()()2,1,1,1,2//a b a b a mb ==-+-r r r r r r，则m =（）A ．12 B ．2 C ．-2 D ．12- 4.甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（） (A)14(B)12(C)13(D)345.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7()B 5()C -5()D -76.下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性均相同的是（）A ．ln(y x =+B ．2y x = C ．tan y x =D ．xy e =（7）若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如104(mod 6)≡，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》aaaa中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入2a =，3b =，5c =，则输出的N =（）(A)6(B)9(C)12(D)218.已知函数，且f （a ）=-3，则f （6-a ）=（A ）-74（B ）-54（C ）-34（D ）-149.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-310.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P ABCD -的侧面积等于4(12)+,则该外接球的表面积是(A) 4π (B)12π (C)24π (D)36π11.直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k=2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）A.e>2B.1<e<3C.e>5D.1<e<512.已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（）A ．012x <<0 B ．012x <<1C ．2220<<x D 0x <<第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
若在试卷上作答，答案无效。
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题~ 第23题为选考题，考生根据要求做答。
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知sin()6πθ-=，则cos(2)3πθ-=______ ．14．已知圆22(1)4x y ++=与抛物线2(0)y mx m =≠的准线交于A 、B 两点，且||AB =则m 的值为__________15.老师给出一个函数=y )(x f ，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于R x ∈，都有)1()1(x f x f -=+；乙：在(]0,∞-上函数递减；丙：在()+∞,0上函数递增；丁：函数的最小值为０.如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数16．若中心在原点，一个焦点为F 1(0，50)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点的横坐标为12，是该椭圆的方程为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）如图，一山顶有一信号塔CD (CD 所在的直线与地平面垂直)，在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为,α沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β.(1) 求BC 的长；(2) 若24,45,75,30,l αβθ︒==︒==︒求信号塔CD 的高度.AE DCBαβθ18. （本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2016年1月—2016年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：（记为t ）的关系为：0,01004400,1003001500,300t P t t t ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？参考公式：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++19．（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E ．F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD ． （Ⅰ）求证：⊥AF 平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（Ⅲ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为ABCD F V -，CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．20.（本小题满分12分）已知点(1,0)F ，点P 为平面上的动点，过点P 作直线:1l x =-的垂线，垂足为H ，且HP HF FP FH ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r. (1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 过点F 的直线与轨迹C 交于点,A B 两点，在,A B 处分别作轨迹C 的切线交于点N ，求证：NF AB k k ⋅为定值.21．（本小题满分12分）已知函数3()ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠， e 为自然对数的底数，e 2.71828≈…．（1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()=0f x 在区间(1e]，上有两个不同实数解，求ab的取值范围．请考生在第22题和第23题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值.23.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|f x x =-（I ）解不等式：()(1)2f x f x ++≤（II ）若0a <，求证：()(2)()f ax f a af x -≥高考押题金卷（全国卷Ⅱ）文科数学1. 解析312|1|≤≤-⇔≤-x x ；42086<<⇔<+-x x x ，()U C A B I =],32(.选B2. 解析：23213332iii z --=+-=，故选C. 3.解析：由()1,2=a ，()1,1-=b ，得()3,32=+b a ，()m m b m a -+=-1,2，由于()()m -+//2，故()()m m +=-2313，解得21-=m ，故选D.4.解析总的基本事件有四个，甲、乙的红包金额不相等的事件有两个，∴选B ．5.解析472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-选D6.解析：A ，C 都为奇函数，C 为周期函数不符题意，选A7.解析经验证1,2,3,4,5N =必须返回，6N =时通过，∴选A.8.解析：由题意知1127log (1)3,7,(67)(1)224x x f f ---+=-=-=-=-=-，答案选A9.四棱锥的侧面积211224(122a a ⋅+⋅=，2a =，球的半径r =12S π=，选B.10.解析：画出不等式组对应的平面区域，如图所示. 在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a 5或a3.但a5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a3. 选B.11.【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m 的倾斜角为β.显然。
当β＞α时直线l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由2222tan tan 245b c a e a aβαβα->⇒>⇒>⇒>⇒>. ∵双曲线中1e >，故取e>5.选C. 题12D由题xx f 2)(='，20)(x x f =，所以l 的方程为2000)(2x x x x y +-=2002x x x -=，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为)ln ,(11x x ，x y 1='，所以l 的方程为y1ln 111-+=x x x ，这样有⎪⎩⎪⎨⎧=-=20110ln 112x x x x ，所以2002ln 1x x =+，()01,x ∈+∞,令12ln )(2--=x x x g ，()1,x ∈+∞，所该函数的零点就是0x ，排除A 、B 选项，又因为xx x g 12)(-='x x 122-=，所以)(x g 在()1,+∞上单调增，又02ln )1(<-=g ，022ln 1)2(<-=g ，2ln 0g =-，从而0x << D.13.21cos(2)12sin ()363ππθθ-=--=. 14 815.|2|)(2x x x f -=解析：若甲、乙、丁正确，丙不正确的一个函数可以是|2|)(2x x x f -=；若乙、丙、丁正确，甲不正确可以是2)(x x f =.答案不唯一，写出一个即可.16.设椭圆的标准方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a>b>0)由F 1(0，50)，得a 2－b 2＝50. ①把直线方程y ＝3x －2代入椭圆方程，整理得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0， 设弦的两个端点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12b2a 2＋9b 2，又弦AB 的中点的横坐标为12，∴x 1＋x 22＝6b 2a 2＋9b 2＝12，∴a 2＝3b 2. ② 联立①②，解得a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的方程为x 225＋y 275＝1.答案 x 225＋y275＝117.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-.(6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒，45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒.18.解：（1）设在这一年内随机抽取一天， 该天经济损失(200,600]P ∈元为事件A ， 由2004400600t <-≤得150250t <≤， 频数为39，39()100P A ∴=. （2）根据以上数据得到2K 的观测值100(638227) 4.575 3.84185153021k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关. 19．（Ⅰ）证明：Θ平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥, 平面I ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF Θ平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,又AB Θ为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，⊥∴AF 平面CBF 。
文科数学2021高考数学押题预测卷(新课标Ⅱ卷)03(参考答案)
5分
∴ x1 x2 2k ， x1x2 2k 2 ，∴ P(k，k 1) ，∴点 P 的轨迹方程为 x y 1 0 ； 6 分
(2)由(1)知： | AB | 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 2 1 k 2 k 2 2k 2 ，
8分
又 P(k，k 1) 到直线 AB 的距离为： d | k 2 2k 2 | ，
6分
又
x
1 2
，故分离参数可得
a a
x 2 x
x 4 x
，
7分
令函数 g(x) x 2 ( x 1 )，显然 g(x) 在[ 1 ， ) 上单调递减，∴ g(x) g( 1 ) 7 ，
x2
2
22
当 x 1 时， x 4 2 x 4 4 (当且仅当 x 2 时等号成立)，
9分
)
上单调递减，
2
2
又
(0)
1
0
，
(
2
)
2
0
，∴存在唯一的
x0
(0， 2
)
使据
( x0
)
0
，
7分
当 0 x x0 时 (x) 0 ，则 h(x) 2(x) 0 ，∴ h(x) 在 (0，x0 ) 上单调递增，
当
x0
x
Hale Waihona Puke 2时( x)
0
，则
h( x)
2( x)
0
，∴
h(x)
在
(x0，2 )
由 tan A 1 2c 得： sin A cos B 1 2c ，又由正弦定理得： c sin C ，
2分
tan B
b
cos A sin B
2020年泄露天机高考押题卷文科数学2(含答案)
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）记 bn
log2
1 a2a1 log2
a2n1
，求数列{bn}的前 n
项和 Tn
.
18.（12 分）经调查， 3 个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常
的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常 值变化情况如下表：
此
A.
B.
C.
D.
4.在 ABC 中， B 90 ， AB (1, 2) ， AC (3, ) ， （ ）
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
5.在 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边， (a b c)(a c b) 2ab ，则
1
班级
角 C 的正弦值为（ ）
封 座位号
密
绝密 ★ 启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文 科 数 学（二）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务 必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回 答 第Ⅰ 卷 时 ，选 出 每 小题 的 答 案 后 ，用 铅 笔 把答 题 卡 上 对 应题 目 的 答 案 标 号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
B. n 999
C. n 999
D. n 999
8.已知单位圆有一条直径 AB ，动点 P 在圆内，则使得 AP AB 2 的概率为（ ）
1
1
2
2
A.
B.
C.
D.
2
4
4
4
9.长方体 ABCD A1B1C1D1 ， AB 4 ， AD 2 ， AA1 5 ，则异面直线 A1B1 与 AC1 所
2020年高考全国II卷文科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标II ）一、选择题1．已知集合{||3,}A x x x Z =<∈，{||1,}B x x x Z =>∈，则A B ⋂= （ ）A.∅B.{3,2,2,3}--C.{2,0,2}-D.{2,2}-【答案】D【解析】{|1||3,}{2,2}A B x x x Z ⋂=<<∈=-，故选D ． 2．4(1)i -= （ ）A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A【解析】42(1)(2)4i i -=-=-，故选A ．3．如图，将钢琴上的12个键依次记为1212,,...,a a a ，设112i j k ≤<<≤．若3k j -=且4j i -=，则称,,i j k a a a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称,,i j k a a a 为原位小三和弦，用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 （ ）A. 5B. 8C.10D. 15【答案】C【解析】原位大三和弦：1i =，5j =，8k =；2i =，6j =，9k =；3i =，7j =，10k =；4i =，8j =，11k =；5i =，9j =，12k =共5个；原位小三和弦：1i =，4j =，8k =；2i =，5j =，9k =；3i =，6j =，10k =；4i =，7j =，11k =；5i =，8j =，12k =共5个；总计10个．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 （ ）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B【解析】积压500份订单未配货，次日产生新订单超过1600份的概率为0.05，其中1200份不需要志愿者配货，志愿者只需负责400份配货，也就是需要志愿者配货的为900份，故需要18名志愿者．5．已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中， 与b 垂直的是 （ ）A.2a b +B.2a b +C.2a b -D.2a b -【答案】D【解析】21(2)2211102a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-=，故选D ． 6．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若5312a a -=，6424a a -=，则nnS a = （ ）A.21n- B.122n--C.122n -- D.121n--【答案】 B 【解析】设等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=，根据5312a a -=，6424a a -=．解得11a =，2q =，故12n n a -=，122112nn n S -==--，可得122n n n S a -=- ，故选B ．7．执行右面的程序框图，若输入0k =，0a =，则输出的k 为 （ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】当0k =，0a =运行后：1a =，1k =，再次运行后： 3a =，2k =，再次运行后： 7a =，3k =，再次运行后：15a =，4k =，此时达到输出条件，所以输出4k =，故选C ．8．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 （ ）A.5B.5C.5D.5【答案】B【解析】依题意，因为点(2,1)在直线230x y --=上，结合题意可设圆心坐标为(,)a a ，则222(2)(1)a a a -+-=，即2650a a -+=，所以1a =，或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，当圆心坐标为(1,1)时，其到直线230x y --==标为(5,5)时，其到直线230x y --==，综上，可知B 正确． 9．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两边渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =． 10．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ）A.是奇函数，且在(0,)+∞单调递增B.是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C.是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D.是偶函数，且在(0,)+∞单调递减【答案】A【解析】因为331()f x x x=-，所以()333311()()()0f x f x x x x x +-=-+--=-，所以函数()f x 是奇函数．又因为331()f x x x =-由函数31y x =（为(0,)+∞增函数）加上函数231y x =-（为(0,)+∞增函数）得到，所以函数331()f x x x =-为(0,)+∞增函数，故选A ． 判断单调性时也可以这样处理：因为当(0,)x ∈+∞，243()30f x x x '=+>，所以()f x 在(0,)+∞上是单调递增的．11．已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 （ ）B.32C.1【答案】C【解析】2ABC S AB ∆==3AB =．设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =．设O 在ABC ∆内的射影为'O ，'O 是ABC ∆的重心，故2'3O A ==O 到平面ABC 的距离1h ==，故选C ．12． 若2233x y x y ---<-，则（ ）A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】11223323232233xyxy x x y y x y x y -----<-⇒-<-⇒-<-．设1()23xx f x =-，已知()f x 是定义在R 上的增函数，故由112233xyx y -<-可得x y <，所以011y x y x ->⇒-+>，从而ln(1)0y x -+>，故选A ．二、填空题 13．若2sin 3x =-，则cos2x = ． 【答案】19【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=--=-=． 14．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，262a a +=，则10S =______． 【答案】25【解析】由262a a +=，可得1152a d a d +++=，因为12a =-，可求出1d =，由数列的前n 项和公式得1010(101)21012045252S ⨯-=-⨯+⨯=-+=． 15．若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_______．【答案】8【解析】方法一：如图当2x =，3y =时，max 8z =．方法二：联立11x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，得(1,0)-，联立121x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得(0,1)-，联立121x y x y -=-⎧⎨-=⎩，得(2,3)，代入验证可得当2x =，3y =时，max 8z =． 16．设有下列四个命题：1:p 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2:p 过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3:p 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4:p 若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下列命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧ ②21p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【解析】对于1:p 可设1l 与2l 相交，所得平面为α．若3l 与1l 相交，则交点A 必在α内，同理，3l 与2l 交点B 也在α内，故AB 直线在α内，即3l 在α内，故1p 为真命题． 对于2:p 过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故2p 为假命题． 对于3:p 空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，故3p 为假命题． 对于4:p 若m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故m l ⊥，故4p 为真命题．综上可知：14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题，故正确的有：①③④．三、解答题17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）3b c a -=，证明：ABC ∆是直角三角形． 【解析】（1）由25cos ()cos 24A A π++=可得：25sin cos 4A A +=，2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2A A A A -+=⇒-=⇒=，∵(0,)A π∈，∴3A π=．（2）解法1：由b c -=可得)a b c =-，又2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=，∴2223()b c b c bc +--=，(2)(2)0b c b c ⇒--=，∴2b c =或2c b=（舍），∴a =，即222a c b +=，故三角形为直角三角形．解法2：因为b c -=，由正弦定理得1sin sin 2B C A -==，由于A B C π++=，于是1sin()sin 32C C π+-=，又因为1sin()sin sin sin 32C C C C C π+-=+-1sin sin()23C C C π=-=-,又因为(,)333C πππ-∈-，于是36C ππ-=，6C π=，所以()2B AC ππ=-+=，故三角形为直角三角形．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据,1,2(,...,0)2)(i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160ii x==∑，2011200i i y ==∑，2021()80ii x x =-=∑，2021()9000i i y y =-=∑，201()()800i i i x x y y =--=∑，(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本,1,2(,...,0)2)(i i x y i =的相关系数(精确到0．01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：()()niix x y y r --=∑1.414≈【解析】(1) 由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数12006020==，故这种野生动物数量的估计值6020012000=⨯=；（2）由参考公式得()()0.94niix x yy r --===≈∑；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组,采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．19．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C 、D 两点，且4||||3CD AB =． （1）求1C 的离心率；（2）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程．【解析】（1）由题意知：222242232b p a p c a b c ⎧=⋅⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，∴ 24243b c a =⋅，∴ 2232()ac a c =-，即222320c ac a +-=，∴22320e e +-=，∴12e =或2e =-，∵01e <<，即1C 的离心率为12． （2）设1C 的四个顶点到2C 的准线距离为1d ，2d ，3d ，4d ，则：∵123422d a c d a c p d c p d c =-⎧⎪=+⎪⎪⎨==⎪⎪==⎪⎩，又∵ 123412d d d d +++=∴122a c a c c c pc -++++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴6a c += ∵12c a = ∴26c c +=∴216a =，24c =，24p c == ∴212b =∴221:11612x y C +=，22:8C y x =．20．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F （1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C ∆的中心，若6AO AB ==，//AO 平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．【解析】（1）证明∵M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，底面为正三角形，∴1B N BM =，四边形1BB NM 为矩形，∴1//BB MN ，而11//AA BB ，∴1//AA MN ，可得1,,,A A M N 共面，由四边形1BB NM 为矩形，得11MN B C ⊥，由11B N NC =,得111A N B C ⊥，又1MN A N N ⋂=，得11B C ⊥面1A AMN ，11B C ⊂面11EB C F ∴面1A AMN ⊥面11EB C F ；（2）因为//AO 平面11EB C F ，AO ⊂平面1A NMA ，平面1A NMA平面11EB C F NP =，所以//AO NP ，又因为//NO AP ，所以四边形AONP 为平行四边形,6AO NP ==，ON AP ==M 做MH 垂直于NP ，垂足为H ，因为平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，平面11EB C F平面1A AMN NP =，MH ⊂平面1A AMN ，所以MH⊥平面11EB C F，由PM =,6AO =,MN =,得PM MNMH PN⋅==11111()242EB C FS B C EF NP =+⋅=，由//BC 平面11EB C F，所以11111113B EB F M EBC FB C C E F V V S MH --==⋅⋅= 21．已知函数()2ln 1f x x =+，（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．【解析】（1）()2f x x c ≤+等价于2ln 21x x c -≤-，设()2ln 2h x x x =-，22(1)'()2x h x x x-=-=， 当01x <<时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)上递增， 当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在(1,)+∞递减，故max ()(1)2h x h ==-，所以12c -≥-．即1c ≥-，所以c 的取值范围是[1,)-+∞； （2）2(ln ln )()(0,,0)x a g x x x a a x a-=>≠>-，所以2222()2ln 2ln 2ln 2ln 2'()()()a x a x a x a x x g x x a x a --+--++==--，令2()2ln 2ln 2(0)a w x x a x x =--++>，则22222()'()a a x w x x x x -=-=， 令'()0w x >得0x a <<，'()0w x <得x a >，所以()w x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减，所以，()()0w x w a ≤=，即'()0g x <，所以，()g x 在(0,)a 和(,)a +∞上单调递减．四、选做题22．已知1C ，2C 的参数方程分别为2124cos :4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），21:1x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数）（1）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由题：1C 的普通方程为：40x y +-=，(0,0)x y ≥≥； 因为222222212:12x t t C y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，故2C 的普通方程为：224x y -=；联立1C ，2C ，22404x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点P 坐标为：53(,)22P ，设以设所求圆圆心为(,0)Q a ，半径为a ，故圆心(,0)Q a 到53(,)22P 的距离a =，得1710a =，所以圆Q 的圆心为17(,0)10Q ，半径为1710，圆Q 的直角坐标方程为：2221717()1010()x y -+=，即221705x y x +-=，所以所求圆的极坐标方程为：17cos 5ρθ=．23.已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+.(1)当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；(2)若()4f x ≥，求a 的取值范围.【解析】当2a =时，()|4||3|f x x x =-+-，即 ()27,31,3427,4x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩所以()4f x ≥的解集为32x ≤或112x ≥. （2）222()|||21||(21)||(1)|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-，又()4f x ≥，所以2|(1)|4a -≥，则3a ≥或1a ≤-.。
2020-2021学年最新高考总复习数学高考冲刺压轴卷(文卷二)及答案解析
最新高考冲刺压轴卷·全国数学（文卷二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．第Ⅰ卷 选择题（共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（2015·山东潍坊市二模·1)设全集R U =，集合}1|||{≤=x x A ，}1log |{2≤=x x B ，则B A UI 等于（ ）A ．]1,0(B ．]1,1[-C ．]2,1(D ．]2,1[)1,(Y --∞２．（2015·山东日照市高三校际联合检测·1)在复平面内，复数121iz i+=-（i 是虚数单位）对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. （2015·山东青岛市二模·3)某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（ ）A ．84B ．78C ．81D ．964．（2015·山东济宁市二模·4)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2015·山东德州市二模·5)已知向量AB AC 与uu u r uuu r的夹角为602=AB AC AP AB AC AP λ==+⊥，且，若，且ouuu r uuu u r uu u r uu u r uu u r uu u r BC uu u r ，则实数λ的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．12-6．（2015·山东淄博市二模·6)ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c ，成等比数列，且c=2a ，则cosC=（ ）A ．4B ．4-C ．34D ．34-7. （2015·山东聊城市二模·7)已知函数()()2log ,1,2,0 1.x x f x f x x ≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩则1212f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A. 32B.1C.12D.1-8．（2015·山东省济宁市曲阜市第一中学三模·9)设P 为双曲线221916x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左焦点和右焦点，过P 点作12PH F F ⊥，若12PF PF ⊥，则PH =（ ） A ．645B ．85C ．325D ．1659. （2015·山东潍坊市第一中学4月份过程性检测·9)函数()22sin 1,0,24,0x x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨--≤⎪⎩的零点个数为（ ）A.0B.1C.2D.310．（2015·山东兖州市第一中学4月月考·10)函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为（ ）A ．{|22}x x x ><-或B ．{|22}x x -<<C ．{|04}x x x <>或D ．{|04}x x <<第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．（2015·山东淄博市二模·11)若x,y都是锐角，且51sin tan,3x y x y==+=，则_________．12．（2015·山东菏泽市二模·12)设,x y满足约束条件302x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则22x y+的最大值为；13．（2015·山东烟台市二模·11)14．（2015·山东潍坊市二模·12)当输入的实数[2,30]x∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是；15．（2015·山东潍坊市二模·14)已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++-的最小值为________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16.（2015·山东聊城市二模·16) （本小题满分12分）一个小商店从某食品有限公司购进10袋白糖，称池内各袋白糖的重量（单位：g ），如茎叶图所示，其中有一个数据被污损. （I ）若已知这些白糖重量的平均数为497g ，求污损处的数据a ；（II ）现从重量不低于498g 的所购各袋白糖中随机抽取2袋，求重量是508g 的那袋被抽中的概率.17．（2015·山东省济宁市曲阜市第一中学三模·17)（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，常数0λ>且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的 前n 项和最大？18．（2015·山东潍坊市第一中学4月份过程性检测·17)（本小题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，11=9022,BCA AA AC BC A ∠===o ，在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D.（1）求证：11AC BA ⊥； （2）求四棱锥111A BCC B -的体积.19．（2015·山东济南二模·17)（本小题满分12分）济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A 和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm ）.若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高精灵”，身高在175cm 以下 （不包括175cm ）定义为“帅精灵”.已知A 大学志愿者的身高的平均数为176cm ，B 大学志愿者的身高的中位数为168cm. （I ）求,x y 的值；（II ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人.求至少有一人为“高精灵”的概率.20．（2015·山东菏泽市二模·20)（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为(7,0)F ，A ,B 是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△ADB 面积的最大值为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：当点),(00y x P 在椭圆C 上运动时，直线2:00=+y y x x l 与圆1:22=+y x O 恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．21．（2015·山东烟台市二模·20) （本小题满分14分）数学（文卷二）参考答案与解析1．C【命题立意】本题旨在考查集合的运算。
高考文科数学押题卷(带答案)
文科数学押题卷(二)一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共60分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x ≤2}， B ＝{0， 1， 2， 3}， 则A ∩B ＝( )A ．{0， 1}B ．{0， 1， 2}C ．{1， 2}D ．{0， 1， 2， 3}2．已知复数z ＝1－2i（1＋i ）2， 则z 的虚部为( )A ．－12B ．12C ．－12iD ．12i3．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额 6 5 8 3 4 7 利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3根据表中数据， 下列说法正确的是( )A ．利润率与人均销售额成正相关关系B ．利润率与人均销售额成负相关关系C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系4．已知a ＝⎝⎛⎭⎫13π， b ＝⎝⎛⎭⎫1312， c ＝π12， 则下列不等式正确的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．c >b >a5．已知某空间几何体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图是边长为3的正三角形，则该几何体的体积为( )A ．πB ．π2C ．3π8D ．π46．已知△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ， 若cos A ＝－35， cos B ＝45， a ＝20， 则c ＝( )A ．10B ．7C ．6D ．5 7．函数f (x )＝ln|x |·sin x 的图象大致为( )A B C D8．执行如图所示的程序框图， 则输出的k 值为( )A ．4B ．6C ．8D ．109．已知F 1， F 2为椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点， B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ， 若△BAF 2为等腰三角形， 则|AF1||AF2|＝( )A ．13B ．12C ．23 D ．310．数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的， 它们都叫欧拉公式， 分散在各个数学分支之中， 任意一个凸多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间， 都满足关系式V －E ＋F ＝2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”。
2021届高三数学(新高考)全国统一模拟考试押题卷二(含解析)
2021 普通高等学校招生全国统一考试•押题卷数学（二）本试卷分选择题和非选择题两部分，共16道小题，6道大题，满分150分.考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)4,,},{(,)A x y xy x y B x y ==∈∈=N N ∣∣,,}.x y n x y -=∈∈N N 若A ⋂B ≠∅,则n 的值不可能是 （ ） A.3- B.1- C. 0 D. 32.设()3i z i =+为虚数单位,若()az a z+∈R 为实数,则a 的值为（ ） A. 10 B.10- C.103 D.103- 3.2021年1月18日国家统计局公布了中国2020年全年GDP （国内生产总值）数据,在疫情和世界经济复杂多变的双重影响下,中国2020年GDP 首次突破100万亿元，下图为2012 年—2020年中国GDP 的增长折线图.根据折线图，下列结论不正确的是 （ ） A.2012年-2020年中国GDP 逐年增加B.2020年与2019年相比,中国GDP 增速超过2%C.中国GDP 增速逐年增加D.已知2012年中国GDP 首次突破50万亿元,则2020年与2010年相比,中国GDP 至少翻一番4.设13511,log ,3057c a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,则 （ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a c b <<5.已知经过点(0,2)F -且与直线2y =相切的动圆圆心的轨迹为C ,点()()1122,,,A x y B x y 是曲线C 上两点.若1210y y +=-,则AB 的最大值为 （ ）A. 10B. 12C. 14D. 16 6.已知点P 为ABC 所在平面内一点,且0PA PB PC ++=,点Q 是线段BP 的中点,则 AQ =（ ） A.1263AB AC + B. 2133AB AC +C.1166AB AC - D. 2136AB AC + 7.若2411sin cos 12αα+=,则1tan 24tan 24παπα⎛⎫++= ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭ （ ）A. 6B. 6-C. 3D. 3- 8.已知函数2()()422x xxxf xg x -==-,若方程()g x a =有两个不同的正根 ()1212,x x x x <,则()()11f x g x +()()22f x g x 的取值范围是 （ ）A. 122⎛ ⎝⎭B. 2⎫⎪⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 2⎫+∞⎪⎪⎝⎭二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小題给出的选项中,有多项符合题目要求.（山东新高考：全部选对的 5分,有选错的 0分,部分选对的得3 分.其他八省新高考：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分） 9.已知450,0,log 2log 216a b a b >>+,则下列结论正确的是 （ ） A.45a b += B.542a b += C.ab 的最大值为2564 D.11a b+的最小值为18510.函数32,1,()ln ,1,x x x f x a x x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩则下列说法正确的为 （ ）A.当(,1)x ∈-∞时,函数()f x 图像的切线的斜率最大值为13B.23x =为函数()f x 的一个极小值点 C.若函数()f x 在[1,e]-上的最大值为 2,则(,2]a ∈-∞D.当0a ≠时,函数()f x 只有两个零点11.如图,在四棱雉P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,侧棱PD ⊥底面 ,,ABCD AD PD E =是PC 的中点,EF PB ⊥于点.F 则下列结论正确的是 （ ） A.PB DF ⊥B.AB 与DE 所成角的大小为60︒C.PA 与平面ABCD 所成角的大小为45︒,D.BC ⊥平面PBD12.已知双曲线22:1(0,0)x y E m n m n -=>>的右焦点为(,0)F c ,5,过点 35c Q ⎫⎪⎪⎝⎭的直线交双曲线E 于M ,N 两点.若线段MN 的中点H 的坐标为(4,1), 则 （ ）A.双曲线E 的焦距为5B.双曲线E 的右顶点到直线MN 的距离为2C.双曲线E 的方程为2214x y -= D.||||MF NF =三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.把7个相同的小球放入编号分别为1,2,3的3个盒子中，使每个盒子中至少有1个小球. 记不同的放入方法数为n ,则15(1)n x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中,x 项的系数为_____________.14.能说明“存在0x ,使得()()00,()f x f x f x -=-不是奇函数”为真命题的一个函数 为______________.15.已知函数()23cos 4(0)f x x ωω=+>的导函数为()f x ',若存在实数t ,使至少有6个不同的实数[]1,1i x t t ∈-+,且()0i f x '=,则ω的取值范围是_______________.16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点,M N 分别是棱111,A D BB 上的动点(可与端点重合)若DMN 在平面ABCD 、平面11CC D D 和平面11AA D D 上的正投影的面积分别为123,,S S S (当投影为点或线段时,面积记为0),则123S S S ++的最大值为____________.四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步趣. 17.(10 分)已知ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,cos cos 2cos 0, 4.a C c A b B a c +-=+=(1)求角B 的值.(2)ABC 的面积是否存在最大值?若存在,求此时ABC 的三边长；若不存在,请说明理由.18.(12 分)已知数列{}n a 的前n 项和为21,2n n n S S n a -= （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）若21(21)n n n n b a a ++=,求数列{}n b 的前n 项和n T .19.(12 分)如图,ABC 是边长为2的等边三角形,平面ACDE ⊥平面,,A B C ,且,60AC DC DE AE ACD ︒===∠=,//, 1.DF BC DF =（1）求证：EF ∥平面.ABC（2）求平面ABC 与平面BEF 所成角的余弦值.20.(12 分)2020年11月24日,我国使用长征五号运载火箭将嫦娥五号探测器顺利送入地月转移轨道,发射取得圆满成功.从发射入轨到返回器再入回收,嫦娥五号探测器经过11个飞行阶段共计20余天的工作,采集月球样品后返回地球.某高校航天爱好者学生社团在校团委的支持下,举行了一次社团活动,社团把所有成员分为A,B,C,D,E 5 组,进行答题.活动分2轮举行,第1轮通过抽签回答4道与嫦娥一号到五号探测器有关的问题,每道题目每组最多有2次回答机会,每组选取1人作为组长先回答问题,回答正确得5分,首次回答错误有1次机会求助同组成员,若求助同组成员回答正确，则得3分,若求助同组成员回答错误,则该组停止回答本轮问题.假设每道题每组组长回答正确的概率均为34,求助同组成员回答正确的概率均为23,各组回答问题是否正确相互独立.第2轮采用笔试,根据各小组笔试成绩分为5个等级,从高到低得分依次为25,20,15,10,5,假设每组获得每个等级的概率均为15. (1)求A 组在第1轮得18分的概率. (2)求B 组2轮共得40分的概率.(3)若小组2轮得分不低于40分可获得价值2560元的奖品,求该次活动发放奖品价值的期望值.21.(12分)已知定点3(2,0),,0,(2,0)2A B D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭及动点(0,)(0)E t t ≠,点G 是直线AE 上的动点,且.DG BE ⊥(1)求点G 的轨迹C 的方程.(2)过点(1,0)F -的直线与曲线C 交于点,P Q ,求APQ 的面积的最大值.22.(12 分)已知函数()ex xf x ax =-. (1)若16a =-,判断()f x 的单调性.(2)若222()e ln (1)x x f x x x a x a -->---+,求实数a 的取值范围.参考答案及深度解析数学（二）一、1. B 【命题意图】本题考查点集的表示、集合的交集,体现了数学运算的核心素荣. 【解析】()}()()()}{{,4,,1,4,2,2,4,1A x y xy x N y N ==∈∈=143,220,41 3.-=--=-=若A ⋂B ≠∅,则n 的值可能是-3,0,3,不可能是-1.故选 B.2.A 【命题意图】本题考查复数的概念、复数的运算,体现了数学运鼎的核心素养. 【解题】方法一 因为3i z =+，所以333a a z i i z i+=++=+++ (3i)331i.(3i)(3i)1010a a a -⎛⎫=++- ⎪+-⎝⎭因为()a z a z +∈R 为实数,所以1010a-=,解得10.a = 故选A.方法二 因为()a z a z +∈R 为实数,所以a a z z z z z +=+=+a a z z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以 ()10.a z z zz ⎛⎫--= ⎪⎝⎭因为0z z -≠,所以1azz-=0 ,所以(3i)(3i)10.a zz ==+-= 故选A .3.C 【命题意图】本题考查统计图表的应用,体现了数据分析的核心素养. 【解析】由折线图可知A 正确.由10159869908652%990865->可得B 正确.由图中的递增速度可知C不正确.2012年中国GDP 首次突破50万亿元,则2010年中国GDP 低于50 万亿元,而2020年中国GDP 超过100万亿元,则D 正确.故选C .4.C 【命题意图】本题考查利用指数函数、对数函数的性质比较大小,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.【解析】由题意得1311111101,log log 1.555755a b ⎛⎫⎛⎫<=<==>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由30c ︒+=及30c >, 得0c <,所以.c a b <<故选C.5.C 【命题意图】本题考查抛物线的定义、圆的性质,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养： 【解析】由题意,得动圆圆心到点(0,2)F -与到直线2y =的距离相等.由抛物线的定义可得曲线C 是以点F 为焦点的拋物线,其方程为28x y =-,所以 12||||||22AB AF BF y y +=-+-=()12414.y y -+=故选C .6.D 【命题意图】本题考查向量的线性运算，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养. 【解析】 由,,0PB PA AB PC PA AC PA PB PC =+=+++=,得PA PB ++30PC PA AB AC =++=,所以1().3AP AB AC =+因为点Q 是线段BP 的中点,所以21.236AB AP AQ AB AC +==+故选D . 7.A 【命题意图】本题考查同三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.【解析】因为24242sin cos 1cos cos 1cos ααααα+=-+=-()222211cos4111cos 1sincos 1sin 214812ααααα--=-=-=-=, 所以sin 214tan 24tan 2cos 244παπαππαα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++=+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2124sin 2cos 2sin 2sin 44442παππππαααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2 6.cos4α=故选A .8. B 【命题意图】本题考查指数运算、函数的图像与性质、方程的根,考查转化与化归思想,体现了数学运算、邀辑推理、直观想象等核心素养.【解析】易得()g x 的图像关于直线12x =对称,所以121x x +=,所以 ()()()()11112111x x f x f x f x f x -+=+-==1151 1.x x =+==由()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,且1(0)1,2g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 1.a <<又 ()()()112f x g x f x +•()()()()212g x a f x f x a =+=,()()()112f x g x f x <+•()2 1.g x <故选B . 二、9.BCD 【命题意图】本题考查指数、对数运算，基本不等式的应用，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.【解析】由已知,得644164444log 2log log 2log 2log 22b aa ab ++=⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭445log 2,16b a +== 所以51645242,8b a +==所以5,48b a +=所以542a b +=,所以A 错误,B 正确.因为 54242a b ab =+=,所以2564ab,当且仅当4a b =,即55,164a b ==时,等号成立, 所以C 正确.11211(4)5a b a b a b ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭24221841595555b a a b ⎛⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝,当且仅当4b a a b =, 即55,126a b ==时,等号成立,所以D 正确.故选 BCD. 10.ACD 【命题意图】本题考查分段函数，导数的几何意义，函数的极值点、最值及零点，考查转化与化归思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.【解析】对于A ,当1x <时322(),()32f x x x f x x x '=-+∴=-+=21113,333x ⎛⎫--+∴ ⎪⎝⎭函数 ()f x 图像的切线的斜率最大值为1,3A 正确.对于B ,当1x <时,2()32.f x x x '=-+令 ()f x '=0,得0x =或23x =.当(,0)x ∈-∞时,函数()f x 单调递减,当20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数 ()f x 单调递增,当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数()f x 单调递减,23x ∴=为函数()f x 的极大值点,B 错误.对于C ,由题意得函数()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)2f -=,∴当(1,e]x ∈时ln 2a x 恒成立.min2,ln x a ⎛⎫∴ ⎪⎭∴⎝2a ，C 正确.对于D ,当1x <时32()f x x x =-+.令 ()0f x =,得0x =或1x =(不合题意,舍去).当1x 时()ln .f x a x =令()0f x =,得 1.x = 综上可知,函数()f x 只有两个零点,D 正确.故选ACD .11. AC 【命题意图】本题考查空间中线与线、线与而的位置关系以及空间角的计算,考查转化与化归思想,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.【解析】因为PD ⊥底面,ABCD BC ⊂平面ABCD ,所以PD BC ⊥.又底面ABCD 是正方形,所以.CD BC ⊥又CD ⋂ PD D =,所以BC ⊥平面PDC .又 DE PDC ⊂平面,所以 BC DE ⊥.因为,DC AD PD E ==是PC 的中点,所以.DE PC ⊥又BC ⋂PC C =,所以 DE ⊥平面PBC .因为 PB PBC ⊂平面,所以.DE PB ⊥又,EF PB DE ⊥⋂EF E =，所以 PB ⊥平面DEF .因为DF ⊂平面DEF ,所以PB DF ⊥,所以A 正确.因为//AB DC ,所以AB 与DE 所成的角即为DC 与DE 所成的角.而45EDC ︒∠=,所以B 不正确.由题意,知 PAD ∠即为PA 与平面ABCD 所成的角.因为PD AD =且PD AD ⊥,所以45PAD ︒∠=,所以C 正确.因为BC ⊥平面PDC ,所以BC 与平面PBD 不垂直,所以D 不正确. 故选 AC.12. BC 【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质、中点弦问题,考查转化与化归思想,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.【解析】设,M N 两点的坐标分别为()()()112212,,,x y x y x x ≠.将点,M N 的坐标分别代入双曲线E 的方程可得221122221 1. x y m n x y mn ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①，②又线段MN 的中点H 的坐标为()4,1，所以①-②并整 理,得()()121212124.n x x y y n x x m yy m +-==-+由离心率e =,得c a ==,所以14n m =,所以直线MN 的斜率为1,所以直线MN 的方程为14y x -=-,即30.x y --=令0y =,得x =3=,解得c =,所以焦距2c ==1,所以双曲线E 的方程为 2214x y -=,所以A 错误,C 正确.因为双曲线22:14x E y -=的右顶点为(2,0),所以右顶点(2,0)到直线MN 的距离d =所以B 正确.因为直线MN 的斜率为 1 ,由双曲线的对称性可得||||MF NF ≠,所以D 错误.故选 BC.三、13.30【命题意图】本题考查组合、二项式定理,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养. 【解析】把7个相同的小球放入编号分别为1,2,3的3个盒子中,使每个盒子中至少有1 个小球,由隔板法可得不同的放入方法数26C 15n ==,所以1515(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中, x 项的系数为13141515C 5C 30.-=14.22,0,()1,0x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩ （答案不唯一）【命题意图】本题考查存在量词命题,体现了逻辑推理、数学运算等核心素养.【解析】令22,0,()1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩则存在02x =,使得2f ⎛= ⎝⎭2f -⎝⎭,但()f x 不是奇函数. 15. 5,8π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【命题意图】本题考查三角函数的图像与性质, 体现了数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养.【解析】()f x 的最小正周期为242ππωω=.由题意可知(1,2,i x i =,3,,6)是()f x 的6个极值点,所以51(1)222t t πω⨯+--=,解得58πω,所以ω的取值范围是5,8π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 16.32【命题意图】本题考查正方体中多边形的正投影问题,体现了数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养. 【解析】如图,设1(01)D M x x =,(01).BN y y =点M 在平面ABCD 上的正投影在棱AD 上,点N 在平 面ABCD 上的正投影为点B ,DMN ∴在平面ABCD上的正投影面积 1111.22S x x =⋅=点M 在平面11CC D D上的正投影为点1D ,点N 在平面11CC D D 上的正投影在棱1CC 上,DMN ∴在平面11CC D D 上的正投影面积2S 为定1,2点N 在平面 11AA D D 上的正投影在棱1AA 上,DMN ∴在平面11AA D D 上的正投影面积S 111111111(1)(1),22222x y x y xy S =-⋅-⋅--⋅-=-∴+ 2311111(1).01,01222S S x xy x y y y +=+-=+-∴- 1.01,x ∴当1x =且0y =时,123S S S ++取得最大值,为32. 四、17.【命题意图】本题考查正弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换、基本不等式的应用,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养. 【解】（1）在ABC 中，由正弦定理及cos cos 2cos a C c A b B +-=0, 得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=,sin()2sin cos .A C B B ∴+= （2分） 又,sin 2sin cos .A B C B B B π++=∴=1sin 0,cos .2B B ≠∴=0,3B B ππ<<∴=. （5分）（2）ABC 的面积存在最大值.24,42a c a c ac +⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭当且仅当2a c ==时,等号成立. max ()4ac ∴=. （7分） ()max max11()sin 4sin 3223ABC Sac B π∴=⋅=⨯⨯， 此时ABC 为等边三角形,则 2.a b c === （10分）18.【命题意图】本题考查n a 与n S 的关系、用裂项相消法求和,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.【解】（1）由212n n S n a -=,得2111(1)2n n S n a ++-+=. （1分） 两式相减,得1112122n n a n a +=+-,即142n n a n a +=+-,即()12(1)2n n a n a n +-+=--. （4分） 在212n n S n a -=中,令1n =,得12a =,所以120a -=, 所以20n a n -=,所以2n a n =. （6分）（2）因为2(21)1111114(1)4(1)41n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭,所以11111111114223141n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭24544n nn ++. （12分）19.【命题意图】本题考查线面平行的判定、面面角的余弦值的求解,考查转化与划归思想,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养. （1）【证明】,AC DC DE AE ===∴四边形ACDE 是菱形,//AC DE ∴. 又DE ⊂/平而,ABC AC ⊂平面ABC ,//DE ∴平面ABC . （1分） //,DF BC DF ⊂/平面,ABC BC ⊂平而ABC ,//DF ∴平面ABC . （2分） 又DF ⋂,DE D =∴平面DEF ∥平面.ABC （3分） ,//EF DEF EF ⊂∴平面平面.ABC （4分）（2）【解】如图,取AC 的中点O ,连接,OB OD . ABC 是等边三角形,O 为AC 的中点，OB AC ∴⊥.又平面ACDE ⊥平面ABC ,平面ACDE ⋂平面,ABC AC OB ABC =⊂平面,OB ∴⊥平面ACDE .OD ⊂平面,.ACDE OB OD ∴⊥连接.,60,AD AC DC ACD ACD ︒=∠=∴是等边三角形,OD AC ∴⊥.以O 为坐标原点,分别以,,OB OC OD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， （6分）则(0,1,0),(0,B C D E -, (3,1,0),(3,CB BE ∴=-=--.由题意易知131,,022DF CB DF ⎛⎫=∴=- ⎪ ⎪⎝⎭,133,0.22F EF ⎛⎫-⋯= ⎪ ⎪⎝⎝⎭（8分）设平面BEF的法向量为(,,)nx y z =,则0,0,BE n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,30.2y x y⎧-=+= 令x =则1,.y z n =-=∴=-⎭（9分） 易知平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =, （10分）|||cos,|||||m n m n m n ⋅∴〈〉=== 故平面ABC 与平面BEF . （12分） 20.【命题意图】本题考查概率的计算、离散型随机变量的数学期望,休现了数学运算、数学建模、数据分析等核心素养.【解】（1）A 组在第1轮得18分,则组长回答正确3个问题,求助同组成员回答正确1 个问题,所以所求概率为3343329C 1.44332⎛⎫⎛⎫-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3分） （2）B 组2 轮共得40分,则第1轮得20分、第2轮得20分或第1轮得15分、第2 轮得25分，所以所求概率为4331332111454435⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9.128 （7分） （3）由（2）知,每组2轮得40分的概率为9.128又每组2轮得45分的概率为43181451280⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭,得43分的概率为 33433219C 14435160⎛⎫⎛⎫-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以每组2轮得分不低于40分的概率为98191281280160++=2431280. （10分） 设5个小组中获得价值2560元奖品的组数为X ,则243~5,1280X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则243243()5.1280256E X =⨯= 所以该活动发放奖品价值的期望值为2432560=2430256⨯（元）. （12分） 21.【命题意图】本题考查动点的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系、三角形面积的最值、利用函数的单调性求最值,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.【解】(1) 由(2,0),(0,)A E t -可得直线AE 的斜率为2t , 故直线AE 的方程为(2)2t y x =+.① （1分） 由3,0,(0,)2B E t ⎛⎫- ⎪⎝⎭可得直线BE 的斜率为23t .因为DG BE ⊥,所以直线DG 的斜率为 32t -, 所以直线DG 的方程为3(2).2y x t=-- ② （2分） 即22143x y +=. ①×②得()22344y x =--, 因为0t ≠,所以0y ≠,所以点G 的轨迹C 的方程为221(0).43x y y +=≠ （5分） （2）设直线PQ 的方程为()()11221,,,,.x my P x y Q x y =-由 221,143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并整理,得()2234690m y my +--=, 则()21212226914410,,.3434m m y y y y m m ∆=+>+==-++ （7分） 所 以12y y -=34m + 所以APQ的面积121||2S y y AF =⨯-⨯==61. （9分）设p 则 1.p 设1()3(1)f p p p p =+,则21()30f p p'=->, 所以当1p 时()f p 是增函数,所以()(1)4f p f =,即4,所以663142=， 所以APQ 的面积的最大值为32. （12分） 22.【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性及不等式恒成立问题中的应用，考查转化与化归思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.【解】（1）因为16a =-,所以1()6ex x f x x =+, 所以11()6ex x f x '-=+. （2分） 设()()g x f x '=,则x 2()e x g x '-=. 当(,2)x ∈-∞时,()0g x '<,所以()f x '是减函数；当(2,)x ∈+∞时,()0g x '>,所以()f x '是增函数.所以211()(2)06e f x f ''=-+>, 所以()f x 在(,)-∞+∞上是增函数. （5分） （2）222()e ln (1)x x f x x x a x a -->---+,即222ln e ex x x x x x x a --+->+. 设222()ln ,()e e x x x x h x x x x m x a --=+-=+,则1()ln e x x h x x '-=+. 设()()n x h x '=,则222212(1)()0x z x x e x x x x x n x xe xe xe '+-+--=>=，所以()h x '在(0,)+∞上是增函数. （8分） 又(1)0h '=,所以当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '<是增函数；当(1,)x ∈+∞时,()0,()h x h x '> 是增函数.所以1()(1) 1.e h x h =- （10分） 又2222(1)11()e e ex x x m x a a a -----=+=++,当1x =时取等号, 所以111a e e->+,得1a <-,即实数a 的取值范围是 (),1-∞-. （12分）。
2021年全国高考数学(文)押题试卷含答案解析(10套).doc
OA1 OA5 (1,0) (1,1) 1
OA2 OA3 (1, 1) (0, 1) 1
OA2 OA4 (1, 1) (0,1) 1
OA2 OA5 (1, 1) (1,1) 2
OA3 OA4 (0, 1) (0,1) 1
OA3 OA5 (0, 1) (1,1) 1
OA4 OA5 (0,1) (1,1) 1
（Ⅱ） bn an
2n1, bn
an 2n1
(2n 1) 2n1 ………………7 分
Tn 3 20 5 21 7 22 (2n 1) 2n1 ①
2Tn 3 21 5 22 7 23 (2n 1) 2n1 (2n 1) 2n
②…………9 分
两式相减得： Tn
3
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15．两千多年前，古希腊毕达哥
拉斯学派的数学家曾经在沙滩
上研究数学问题，他们在沙滩上
画点或用小石子来表示数，按照
点或小石子能排列的形状对数
第 15 题图
进行分类，如下图中的实心点个 数 1，5，12，22，…， 被称
为五角形数，其中第 1 个五角形数记作 a1 1，第 2 个五角形数记作 a2 5 ，第 3 个五
(Ⅱ)设 A x1, y1 ,则 Bx1, y1
（i）当直线 AB 的斜率为 0 时， AB 的垂直平分线就是 y 轴，
y 轴与直线 l : x y 3 0 的交点为 P(0,3) ,
又 AO 3, PO 3 | AB || PA || PB | 2 3 ， 所以 PAB 是等边三角形,所以 k 0 满足条件；………………6 分 (ii)当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设 AB 的方程为 y kx
则 PO
9k 2 9 ……………… 10 分 (k 1)2
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考模拟押题卷及答案解析
最新高考压轴卷数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
满分150分。
考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合M 满足｛1，2｝｛1，2，3，4｝，则满足条件的集合M 的个数为 A.1 B ．2 C ．3. D. 4 2．下列四个结论：①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“若sin 0,0x x x -==则”的逆命题为“若0sin 0x x x ≠-≠，则”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“,ln 0x R x x +∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x +∃∈-≤”． 其中正确结论的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.执行右图所示的程序框图，则输出s 的值为 A 、43 B 、54 C 、65D 、54．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是 A ．24π+B ．20π+C ． 224π+D ． 220π+5.函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的值域为（ ）A 、[)+∞,0B 、()1,0C 、[)1,0D 、[]1,06．定义：在数列{}n a 中，若满足d a a a a nn n n =-+++112（+∈N n ，d 为常数），称{}n a 为“等差比数列”。
已知在“等差比数列”{}n a 中，,3,1321===a a a 则=20132015a a A ．2420151⨯-B ．2420141⨯-C ．2420131⨯-D ．242013⨯7．已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且0222=-++a bc c b ，则cb C a --︒)30sin(的值为A ．21 B ．23C ．21- D ．23-9．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。
2020年全国普通高等学校统一招生考试(新课标II卷)押题猜想卷 文科数学(解析版)
2020年全国普通高等学校统一招生考试（新课标II 卷）押题猜想卷数 学（文）第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}16,M x x x N =<<∈，{}1,2,3N =-，那么M N =I （ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}2,3D ．{}2,3,4 【答案】C【解析】 {}{}16,2,3,4,5M x x x N =<<∈=Q ，因此，{}2,3M N =I ，故选：C.2. 复数i i 1z =-的虚部为（ ） A ．12 B ．12- C ．1i 2 D ．1i 2- 【答案】B【解析】i i 1z =-(1)(1)(1)i i i i --=-+--111222i i -==-, 所以复数z 的虚部为12-. 故选：B3．函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()33()()()cos cos()x x x x f x f x x x x x ----==-=--+-+- 又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B 和D. 又21124f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故排除C . 故选：A.4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．则田忌获胜的概率为（ ）A ．13B ．16C ．19D ．136【答案】B【解析】设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ，B ，C ，设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ，b ，c ，每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜．基本事件有：(Aa ，Bb ，)Cc ，(Aa ，Bc ，)Cb ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ab ，Bc ，)Ca ，(Ac ，Bb ，)Ca ，(Ac ，Ba ，)Cb ，共6个，田忌获胜包含的基本事件有：(Ac ，Ba ，)Cb ，只有1个，∴田忌获胜的概率为16p =． 故选：B. 5.已知向量,a b v v 满足5,4,61a b b a ==-=v v v v ,则a v 与b v 的夹角θ=( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】B【解析】由||b a -=r r ()2226126125254cos 1661b a a a b b θ-=⇒-⋅+=⇒-⨯⨯+=r r r r r r . 解得1cos 2θ=-.因为[]0,180θ∈︒,故θ=120°. 故选：B6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为y =，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2 C D 【答案】D【解析】∵双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为y =，∴b a=∴双曲线的离心率为e c a === 故选：D ．7．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，则ABC ∆的最大边长为（ ）A ．2B ．3CD ．【答案】B【解析】ABC ∆的外接圆的面积为23R R ππ=∴=222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+则2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C --++-=+222sin sin sin sin sin 0A B C A C -++=，根据正弦定理：2220a c b ac +-+=根据余弦定理：22212cos cos 1202a c b ac B ac B B +-==-∴=-∴∠=︒故b 为最长边：2sin 3b R B ==故选B .8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．i>5B ．i<5C ．i>4D ．i<4【答案】D【解析】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，；第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，；第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A ．22 B 3C 5D ．72【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =， 则55tan 22BE a EAB AB a ∠===.故选C.点睛：求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.10．关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是周期函数；②()f x 的最小值为2-；③()f x 的图象关于y 轴对称；④()f x 在区间42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①()()()2sin 2cos 2sin cos f x x x x x πππ+=+++=+ ()()2f x f x π∴+=，()f x ∴是周期为2π的周期函数，故①正确；②()f x Q 的周期是2π，所以分析[]0,2x π∈时函数的值域，当[)0,x Îp 时，()sin cos 24f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ，5,444x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Q ，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ()f x ∴的值域是(-，当[],2x ππ∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，59,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，cos 42x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ()f x ∴的值域是⎡-⎣，综上可知函数()f x 的值域是⎡-⎣，最小值是-1，故②不正确；③()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=()f x ∴是偶函数，关于y 轴对称，故③正确；④由②知，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ， 3,424x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ，而sin y x =在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④不正确. 综上可知，正确编号是①③.故选：B11．已知1F ，2F 为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，在椭圆E 上存在点P ，满足212PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于b ，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】 由已知得2122PF F F c ==，根据椭圆的定义可得121222PF PF a PF a c +=⇒=-，又2F 到直线1PF 的距离等于b ，即2F H b =，由等腰三角形三线合一的性质可得：21F H PF ⊥，可列方程：()()22222220a c b c a ac c -+=⇒--=()()120202a c a c a c e ⇒-+=⇒-=⇒=，故选：B. 12.已知是定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，且当[)0,1x ∈时，()1x f x x =-，则函数()()2sin g x f x x π=+在区间()3,5-上的所有零点之和为（ ）A ．13B ．18C ．15D ．17【答案】C【解析】由()()20f x f x -+=知()f x 关于()1,0成中心对称.又()f x Q 为奇函数，则()f x 周期为2.易知，()()()()10,350,10===-=f f f f作出函数()f x 在区间()3,5-图像如图所示.所以()2sin x x ϕπ=-在()3,5-间，所有零点之和为()()()8404210123415+++-+-+-+++++=.故选C第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．【答案】320x y --=【解析】 由题可得：1'()2f x x x =+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y-1=3（x-1） 即320x y --=，故答案为：320x y --=14．已知实数,x y 满足1,20,1,x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则y x 的最小值为（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】C【解析】如图所示：画出可行域 00y y k x x -==-，看作点到原点的斜率 根据图像知，当31,22x y ==-时，有最小值为13-15．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且4tan 23α=，则tan 4tan 4παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于________. 【答案】9-【解析】由(0,)2πα∈，且4tan 23α=， 得22tan 413tan αα=-，解得tan 2α=-（舍)，1tan 2α=． ∴22tan 11tan()1tan 11tan 42()()9tan 111tan tan()141tan 2απαααπαααα++++-==-=-=-----+． 故答案为：9-．16．已知长方体1111ABCD A B C D -中，11132AA AB AD ===，，，则直线1AA 与平面1A BD 所成的角为______.【答案】60o【解析】设A 到平面1A BD 的距离为h ，在长方体1111ABCD A B C D -中，11132AA AB AD ===，， 则()221113322A D ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，312BD =+=，115142AB =+= 在1A BD ∆中，由余弦定理15134cos 22BA D +-∠==，所以1sin BA D ∠=所以111sin 1222A BD S BA D =⋅∠= 因为11A ABD A A BD V V --=，即111133ABD A BD S AA S h ∆⋅⋅=⋅⋅，解得h = 设直线1AA 与平面1A BD 所成的角为θ，则1sin h AA θ== 所以60θ=o .故答案为：60o 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{n S n}的前10项和． 【答案】（1）6n a n =-；（2）552-. 【解析】（1）由a 2、a 4、a 5成等比数列得：()()2111(3)4a d a d a d +=++，即5d 2=-a 1d ， 又∵d ≠0，可得a 1=-5d ； 而51545152S a d ⨯=+=-，解得d =1，所以a n =a 1+（n -1）d =n -6， 即数列{a n }的通项公式为a n =n -6． （2）因为()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=，所以112n S n n -=， 令n n S c n =，则112n n c c +-=为常数，∴{c n }是首项为-5，公差为12的等差数列，所以n S n⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-． 18．2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年~2018年，我国GDP 从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均CDP 从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.特别是党的十八大以来，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，党和国家事业取得历史性成就、发生历史性变革，中国特色社会主义进入新时代.如图是全国2012年至2018年GDP 总量y （万亿元）的折线图. 注：年份代码1~7分别对应年份2012~2018.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与年份代码t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2019年全国GDP 的总量. 附注：参考数据：71492.01i i y ==∑，70.29y =，712131.99i i i t y ==∑()()271172165.15iii i t t y y ==--≈∑∑.参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑回归方程y a bt =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，$ay bt =-$. 【答案】（1）详见解析（2）y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+;预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元【解析】（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得4t =，()72128ii tt=-=∑，()()777111iii iii i i t t y y t y t y===--=-∑∑∑2131.994492.01163.95=-⨯=，所以163.950.99165.15r =≈，因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.（2）由70.29y =及（1）得()()()71721163.955.8628iii ii tty y btt===≈--=-∑∑$， $70.29 5.86446.85ay bt ≈-⨯==-$， 所以y 关于t 的回归方程为$46.85 5.86y t =+.将2019年对应的代码8t =代入回归方程得$46.85 5.86893.73y =+⨯=. 所以预测2019年全国GDP 总量约为93.73万亿元. 19. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，平面，分别是的中点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求线段的长.【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）连接交与，连接.因为为的中点，，所以.又因为，所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，因为为的中点， 所以. 又因为，，所以平面.（Ⅱ）由四边形为平行四边形，知，所以为等边三角形，所以， 所以，即，即.因为平面，所以. 又因为，所以平面，所以为与平面所成的角，即，所以.20．已知抛物线22(0)y px p =>，过点(2,0)C -的直线l 交抛物线于,A B 两点，坐标原点为O ，12OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求抛物线的方程；（2）当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程. 【答案】（1）24y x =；（2）320x y ++=或320x += 【解析】（Ⅰ）设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0．（*）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则221212244y y x x p==． 因为12OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ． …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y 2－4my ＋8＝0． y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8． …6分设AB 的中点为M ，则|AB|＝2x m ＝x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ① 又222121(1)(1632)AB m y m m =+-=+- ② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32) ＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m =所以，直线l 的方程为20x ++=，或20x -+=． …12分21．已知函数3211()1(,)32f x x ax bx a b =+++∈R ，其导函数设为()g x . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，试用,a b 表示()()12f x f x +；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若()g x 的极值点恰为()f x 的零点，试求()f x ，()g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()()31226a f x f x ab +=-+；（Ⅲ）(,0)-∞ . 【解析】（Ⅰ）()2g x x ax b =++，24a b ∆=-.若0∆≤，()0g x ≥，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；若>0∆，方程()0g x =有两个不等实根12a x -=，22a x -=()f x 在()1,x -∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增 ；（Ⅱ）因()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（Ⅰ）知240a b ∆=->，且12x x a +=-，222122x x a b +=-，()()120g x g x ==.于是，()()()()()()221212121212223363x x a b f x f x g x g x x x x x +=++++++ ()()322222636a b a a b a ab =-+-+=-+. （Ⅲ）由()22224a a g x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，则()g x 的极值点为2a x =-.于是，02a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即33102482a a ab -+-+=.显然，0a ≠，则226a b a=+.由（Ⅱ）知，240a b ∆=->，24a b <，则22264a a a +<，解得0a <或a > 于是，()()321222066a a f x f x a a ⎛⎫+=-++= ⎪⎝⎭. 故()f x ，()g x 的所有极值之和为()22222246412a a a a b h a a a-=+-=-+=，因()226a h a a-'=-，若a >()0h a '<，()h a在)+∞上单调递减，故()0h a h<=.若0a <，知a >时有()0h a '<，则()h a在(,-∞上单调递增，在()上单调递减，故()(h a h ≤=. 因此，当0a <时，所求的取值范围为,2⎛-∞- ⎝⎦.当a >时，所求的取值范围为(),0-∞， 综上，()f x ，()g x 这两个函数的所有极值之和的取值范围是(),0-∞ .（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），将直线621=0x y --上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13倍得到直线l '. （1）求直线l '的普通方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l '的距离的最小值及此时点P 的坐标. 【答案】（1）直线l '的普通方程为7x y -=； （2）点P 到直线l '的距离的最小值为2，此时点P 的坐标为(3,1)-. 【解析】(1)设直线l '上的点为(,)x y '',由题可知212133x x x x y y y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨''⎨='⎪=⎩'⎪⎩,又621=0x y --,所以33210x y ''--=,即70x y ''--=, 因此直线l '的普通方程为:70x y --=;(2)点,2sin )P αα到直线l '的距离d ==, 所以当2()6k k Z παπ=-+∈时,min 2d ==,此时(3,1)P -. 23．已知函数()|3|2f x x =+-. （1）解不等式|()|4f x <；（2）若x R ∀∈，2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】(1)()9,3-;(2)[1,3] 【解析】(1)函数()|3|2f x x =+-,不等式||()4f x ＜即为()44f x -<< 即4324x -<+-<,即有2|3|6x -<+<.因为|3|0x +>恒成立 所以|3|6x +<,即636x +﹣＜＜,可得93x ﹣＜＜ 则原不等式的解集为()9,3-.(2)若x R ∀∈,2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立,可得2|3||1|41x x t t +--≤-++恒成立 由|3||1||(3)(1)|4x x x x +--≤+--=,可得2414t t -++≥,即2430t t -+≤. 解得13t ≤≤.则实数t 的取值范围是[1,3].。
2020年全国统一高考押题预测卷02(新课标Ⅱ卷)-文科数学(参考答案)
4
1 6
2 3
.当且仅当 n
1 时取得最大值
2 3
.
所以存在 k 1，使得对任意 n N ， anbn akbk 恒成立.
文科数学 第 1 页（共 8 页）
若选择③，则由 bn bn1 2 （ n 2 ）知数列bn 是公差为 2 的等差数列.
又 b1 1，所以 bn 2n 1.
设 cn
2
3 3.
（2）设直线 l
的极坐标方程
,
0
2
,
R
由
2
cos
，得 |
OA
|
2 cos
，
由
2
，得| OB | 2 3 cos
3 sin
故 OA OB 2cos+2
3
sin
4 sin
6
当 时， OA OB 取得最大值 3
此时直线的极坐标方程为： R ，
3
其直角坐标方程为： y 3x .
∴有 90%的把握认为该学科成绩优良与性别有关系．
20．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）设椭圆
E
的方程为
x2 a2
y2 b2
（1 a b 0），
F1F2
2c ．
∵
BF1O
PF1F2
，
F1OB
F1PF2
2
，
∴ F1BO∽ F1F2P ．
∴
F1B F1F2
F1O F1P
，即 F1P F1B
2020 年高考押题预测卷 02【新课标Ⅱ卷】
文科数学·参考答案
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