恒力做功和变力做功专题

§5.1功、功率
2020/3/17
一、功
• 1.定义： 在科学上，如果物体受到力的作 用，并且在这个力的方向上通过一段距离， 我们就说这个力对物体做了功。
• 2.功的两个不可缺少的因素： （1）作用在 物体上的力（2）物体在力的方向上通过的 位移
• 3.计算公式： W = F x COSα
• 4.功是标量
【点评】把汽车在匀加速运动过程中的末速度当成汽车运动过
程中可能达到的最大速度是解答本题时易犯的错误.
1、机车以恒定功率起动
2、机车以恒定牵引力起动
v a
f
F
变式： 课练：P51 页 10、11题
• 2010年4月份青海玉树发生7.1级大地震，破坏性 巨大，山崩地裂，房屋倒塌，道路中断，给抗灾 抢险工作带来很大难度，大型机械一旦进入现场， 其作用非常巨大.一起重机由静止开始匀加速竖直 提重起机质的量 功为 率m达的到重最物大，值当P，重以物后的起速重度机为保v1持时该，功起率 不变，继续提升重物，直到以最大速度匀速上升 为止，重力加速度为g,空气阻力不计.
设汽车匀加速运动过程的末速度为v,
由P=Fv得 vP40103m /s10m /s
F 4.0103
根据运动学公式v=at,有 t v 10 s20s a 0.5
当汽车加速度为零时，汽车有最大速度vmax, 此时，牵引力F′=F
阻，则
vm a xF P F P 阻 2 4 .0 0 1 1 0 0 3 3 m /s2 0m /s.
• （1）试对重物上升的整个过程进行运动性质分析. • （2）求钢绳的最大拉力为多大？ • （3）求重物的最大速度为多大？
的速率v水平抛出、竖直上抛、竖直下抛， 则从抛出到落地，下列说法正确的是
• A重力做功相同
（AC）
• B重力的平均功率相同
• C竖直下抛的小球的重力平均功率最大
• D落地时重力的瞬时功率相同
功率的几种表示
• 平均功率：P=F·v （ 是表示在某一段时 间内输出的功率） 即 P=W/t=F·s/t 表示平 均功率。
对相互作用的静摩擦力做功之和恒为零， 而一对相互作用的滑动摩擦力做功之和恒
例.如图，在匀加速向左运动的车厢中，
一人用力向前推车厢。若人与车厢始终保持相
对静止，则下列说法正确的是： A.人对车厢做正功
(B
)
B.人对车厢做负功
C.人对车厢不做功 D.无法确定
a
三、功的计算方法
• 1.恒力的功： WFcsos
思考题:质量为m的物体A置于粗糙的斜面上,斜面位于
水平面上,用力推斜面向左匀速移动位移x时,斜面对物
体A的弹力做功是 mgx sinθcosθ ，斜面对物体A的
摩擦力做功是 - mgx sinθcosθ ，重力对物体A做的
功是 0 ，合力对物体做的功是 0 。
N
f
x
A
Gx
mg Gy
F
θ
x
五、功 率
a F 1 m m g 3 1 0 4 0 5 . 1 1 0 5 3 1 0 3 1 0 m /s 2 5 m /s 2 .
【点评】机车以额定功率启动时，其运动可分为两个过程： 第一个过程是加速度逐渐减小的变加速直线运动，第二个 过程就是匀速直线运动.
2.以恒定牵引力的起动
各个根力据正对交分物解体法求所得做物体功所的受的代合数力 和为： Ｗ=ＦＷ=Ｆ1+coＷsα－2=f，(Ｆ合力co方s向α向－右f，）与s位移同向；
根据正交分解法求得物体所受的合力 Ｆ合=Ｆcosα－f，合力方向向右，与位移同向；
合力所做合的力所功做为的功：为：ＷＷ＝＝ＦＦsc合oss0c0o＝s（0Ｆ0＝cos（α－Ｆf）scosα－f）s
• 5.正负功的含义：正功使能量增F加，负功使
能量减少
S
正功和负功
对功的公式：W=FSCOSα的讨论
(1)当α=0时，COS α=1，W =F S 和我们在初中学过的 功的公式相同。
(2)当α=π/2 时，COS α=0，W =0 , 这时我们就说力对
讨 物体没做功。举例。
(3)当α<π/2时，COS α>0，W>0,这时我们就说力对物
【思路点拨】汽车从静止开始的加速运动可以分 为两个阶段. 第一阶段中，汽车从静止开始，以恒定加速度a 作匀加速直线运动.在这一个阶段中，汽车发动机 的牵引力为恒力，即F=ma+F阻，这里F阻为运动 中受到的大小恒定的阻力.由于发动机功率 P=Fv=(ma+F阻)v,汽车的速度从零逐渐增大，所以 发动机的功率是从零逐渐增大到额定功率.
不变，为什么必须加大油门 呢？ • 分析：当速度v一定时，P、F成正比。 • （3）起重机吊同一物体匀速上升，速度
越大，起重机输出功率越大。 • 分析：当力F一定时，P、v成正比。
思考
• 在公式P=Fv中，P保持不变时，是否可将 作用力无限地减小，以使运动动机的功率已经达到最大值， 随着运动速度不断增大，牵引力逐渐变小，汽车 的加速度也随之变小.这一阶段中汽车加速度逐渐 减小而速度仍不断增大.当发动机的牵引力等于阻 力时，汽车有最大速度.
【解析】设汽车匀加速行驶时，汽车发动机牵引力为F，则根据 牛顿第二定律F-F阻=ma 得F=ma+F阻=4.0×103×0.5 N+2.0×103 N=4.0×103 N，
• 1.功率是反映力对物体作功快慢的物理量。
• 2.功与完成这些功所用时间的比叫做功率。
• 3.定义式：P=W/t • 4.单位：瓦特(w) • 5.换算关系： 1w=1 J/S
功率的另一种计算
• P=W/t=F·s·cosθ/t =Fvcosθ
当F、v同向时，P=Fv 注意瞬时功率中夹角的问题
例：在空中某点将三个相同小球以相同
• 2.平均力法：若变力大小随位移是线性变化， 且方向不变时，可将变力的平均值求出后 用公式计算。如弹簧的弹力做功就可以用 此法计算。
WFscosF1F2scos
2
• 3. 微元法：无限分小法来求, 过程无限分小 后， 可认为每小段是恒力做功。
4.利用Ｆ－Ｓ图像，Ｆ－Ｓ图线与坐标轴所包围的面 积即是力Ｆ做功的数值。 5.已知变力做功的平均功率Ｐ，则功Ｗ＝Ｐｔ。 6.用动能定理进行求解：
由动能定理Ｗ＝ΔＥＫ可知，将变力的功转换为物 体动能的变化量，可将问题轻易解决。 7.用功能关系进行求解。
8.重力、电场力做功与路径无关。
9.压力功：W=Fd=PSd=PV(输送血液)。
举例：人的心脏每跳一次大约输送8×10-5m3的血液，正常人血 压(可看作压送血液的压强)的平均值约为1.5×104Pa，心跳约每分钟 70次，据此估测心脏工作的平均功率约为多少?
• 分析：
• 根据 a=(F-f)/m 而f 不可能很小，当F=f时, 加速度a=0，速度v不再增加，即达到最 大速度，从而以此速度做匀速运动。
• 所以速度不可能无限地增大。
六、汽车的两种起动方式
1.以恒定功率起动
由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随着v的增大， F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的 加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值.
【解析】（1）由P=Fv=F阻vmax得：
v m a x F P 阻 0 .1 P m g 0 .1 6 5 0 1 1 0 0 3 3 1 0 m /s 1 2m /s.
（2）当v1=2 m/s时，设此时牵引力为F1
P 60103 F1v1 2
N3104
N,
由牛顿第二定律得F1-F阻=ma,所以
四、多个力功的计算方法
求解物体在几个力的共同作用下发生 一段位移时，这几个力对物体所做的总功 可以用以下两种方法来求解。
(1) 分别求出每个力所做的功，然后求出所有功 的代数和。即：
W总=W1+W2+……+Wn
(2) 先求出物体所受的合力，然后再求出合力的 功，即：W总=F合S cosα
例：如图，一个物体在拉力F的作用下，水平向右 移动位移为s，求各个力对物体做的功是多少；各 个力对物体所做功的代数和如何 ；物体所受的合 力是多少；合力所做的功是多少。
瞬时功率：P=F·v （ 是表示在某一时刻 所输出的功率）v表示瞬时速度。
额定功率：是机器在正常工作情况下 的最大输出功率。
关于P=F牵v的讨论
• （1）为什么同样一辆机动车，在满载时 的行驶速度一般比空载时小得多？
• 分析：当功率P一定时，F、v成反比。 • （2）汽车从平路到上坡，若要保持速度
当F=F阻时，
a＝0 ，v达到
最大
vm＝
P F阻
保持
vm
匀速
加速度逐渐减小的 变加速直线运动
匀速直 线运动
机车以恒定功率启动的v－ t 图
先做加速度逐渐减小的变加速直线运动，
最终以速度
做vm匀＝速FP阻直线运动。
v
vm
0
t
例1 质量为m=5×103 kg的汽车在水平公路 上行驶，阻力是车重的0.1倍.让车保持额定功率 为60 kW,从静止开始行驶，求（g取10 m/s2）： （1）汽车达到的最大速度vmax; （2）汽车车速v1=2 m/s时的加速度.
析与解：设血管的横截面积为S，心脏跳动一次使血液流过的距 离为d = V/S（血管直径很小，S 可视为均匀不变的），
则心跳一次做的功大约为：W = Fd = pSd = pV
心脏每分钟跳动70次，故心脏工作的平均功率为： P = 70 W/t = 70 pV/t =70×1.5×104×8×10-5/60W=1.4W
先做匀加速直线运动，再做加速度逐 渐减小的变加速直线运动，最终以速度
做匀vm速＝ 直FP额阻线v 运动。