变力做功的几个典型例题
动能定理在变力做功情况下的应用
在匀加速运动过程中加速度为
a=
F m
mg
120
810
m/s2=5
m/s2，
m
8
末速度
vt
P m
1 200
m/s=10
m/s
F 120
m
上升的时间
t1=
v t
10
s=2
s，
a5
上升高度为
h1=
v t
2
102
m=10 m
2a 2 5
在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为
vm=
P m
P m
1 200
类型四: 动 能定理在变 力做功情况 下的应用
例1.如图所示，AB为1/4圆弧轨道，半 径为R=0.8m，BC是水平轨道，长x=3m， BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量 m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的 阻力对物体做的功。
例 2.如图所示，质量为 m 的物体被细绳经过光滑小孔而牵引，
m/s=15
m/s
F mg 810
外力对物体做的总功 W=Pmt2－mgh2， h1+h2=90 m
动能变化量为 ΔEk= 1 mvm2－ 1 mvt2
2
2
由动能定理得 Pmt2－mgh2= 1 mvm2－ 1 mvt2
2
2
代入数据后解得 t2=5.75 s，所以 t=t1+t2=7.75 s
所需时间至少为 7.75 s.
A R
D R
在光滑的水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值 F 时转动
半径为 R，当外力逐渐增大到 6F 时，物体仍做匀速圆周运动，
半径为 R/2.则外力对物体所做的功为（ ）
变力做功问题-高一物理举一反三系列(人教版2019必修第二册)(解析版)
变力做功问题【人教版】【题型1 微元法】 ....................................................................................................................................................... 【题型2 功能关系法】 ............................................................................................................................................... 【题型3 图像法】 ....................................................................................................................................................... 【题型4 等效替代法】 ............................................................................................................................................... 【题型5 P -t 法】 ......................................................................................................................................................... 【题型6 联系实际】 ................................................................................................................................................... 【题型7 变化的摩擦力做功问题】 ........................................................................................................................... 【题型8 涉及弹簧的变力做功问题】 .......................................................................................................................【题型1 微元法】【例1】在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R2和R 的两个半圆构成。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。
方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。
解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。
此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。
理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。
方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。
例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
专题变力做功问题
图象法
适用各种变力做功
假如我们已知F-S图象或根据题意能够作出F-S
图象（用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表
示物体在力的方向上的位移S ），我们就可以利用
“面积法”来求此变力做的功，因此F-S图象也叫示
功图
例４、静置于光滑水平面上坐标原点处的小物
块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动
（如图2甲所示），拉力F随物块所在位置坐
F 2R
平均力法
适用力的方向不变
如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律 变化时，即力满足Ｆ＝ｋｓ＋ｂ的形式时，我们可用 平均力替代这个变力而恒力做功的公式计算。
例３、一辆汽车质量为 1105 kg，从静止开始
运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大 小与车前进的距离是线性关系且， 其中 是车所受阻力，当该车前进100m时， 求牵引力对汽车做了多少功？
由于力的大小不变而方向时刻改变，我们可以将
圆弧无限分割成n小段分别为 S1、S２、Sn，
在每一小段位移中力F可以看作恒力，而弧长也可以 看作直线长，因此，力F在整个过程中做的功等于力F 在各小段位移过程中做功的代数和，故有：
W F S1 F S2 F Sn F (S1 S2 Sn )
标x的变化关系（如图乙所示），图线为半
圆．则小物块运动到x0的过程中拉力F做的功
为（
）
例题分析
F
O
x0
x
F
图2－甲
Fm
O
A0
C 4 Fm x0
图2乙
x0
x
B
1 2
Fm
x0
D
4
x0 2
答案：C
例５、长度为 l ，质量为m的均匀绳，一段置于水
1-1变力做功
变力做功一、微元求和法变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和，化曲为直的思想在物理学研究中有很重要的应用，研究平抛运动和单摆的运动时，都用到了这种思想。
1. 如图所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。
答案：W=F2πR解析：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π2. 如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F ，与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r ，磨盘绕轴缓慢转动．则在转动一周的过程中推力F 做的功为( )A ．0B ．2πrFC ．2FrD ．－2πrF 答案：B解析：磨盘转动一周，力的作用点的位移为03. 【典型例题】将放在地上的木板绕其一端沿地面转动角α，求摩擦力所做的功.已知木板长度为L ，质量为M ，木板与地面间的摩擦因数为μ. 答案：αμMgL 214. 在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，由半径分别为和R 的两个半圆构成．如图所示，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点拉至B 点，若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )A ．零B ．FRC ．3πFR /2D ．2πFR 答案：C解析：本题中小球受的拉力F 在整个过程中大小不变、方向时刻变化，是变力．但是，如果把圆周分成无数微小的段，每一小段可近似看成直线，拉力F 在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后将各段累加起来．设每一小段的长度分别为l1、l2、l3…ln，拉力在每一段上做的功W1＝Fl1，W2＝Fl2…Wn＝Fln ，拉力在整个过程中所做的功W ＝W1＋W2＋…＋Wn ＝F(l1＋l2＋…＋ln)＝F(π•R2＋πR)＝32πFR.5. 如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O 点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中( ) A ．斜面对小球的支持力做功 B ．重力对小球不做功C ．绳的张力对小球不做功D ．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量 答案：C解析：斜面的支持力、绳的张力总是与小球的运动方向垂直，故不做功，A 错，C 对；摩擦力总与速度方向相反，做负功；小球在重力方向上有位移，因而做功，B 错；小球动能的变化量等于合外力做的功，即重力与摩擦力做功的和，D 错6. [多选](2018·安庆模拟)如图所示，摆球质量为m ，悬线长度为L ，把悬线拉到水平位置后放手。
变力做功问题的求法集锦
变力的功求法集锦第一.平均力法1.基本依据：如果一个过程，若F 是位移l 的线性函数时，即F=k l +b 时，可以用F 的平均值 =F (F 1 +F 2)/2来代替F 的作用效果来计算。
2.基本方法：先判断変力F 与位移l 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F ，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由αcos l F W =求其功。
【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。
在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等） 解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。
， 可用平均阻力来代替。
如图所示，第一次击入深度为，平均阻力为， 做功为：第二次击入深度为到，平均阻力为：位移为做功为：两次做功相等：解后有：练习1：要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力 与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。
问此钉子全部进入木板需要打击几次？分析：钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F k l k l =+=022钉子克服阻力做的功为：W F l k l F ==122设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：E n E k l 总==0212所以n k l E =202【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上。
弹簧劲度系数为k ，开始时处于自然长度。
现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x ，求拉力对木块做了多少功？解析：可用平均力 kx F 1=求功，故21kx x F W =⋅=。
思考：1.若是恒力F 向右拉动木块，拉力的功是否仍为上述的解？2.若是物块轻轻放置于如右图所示的竖直轻弹簧上并最终静止在平衡位置。
弹簧压缩了x ，则重力做的功是否完全转化成了弹簧的弹性势能（mgx=1/2kx 2）？【例3】如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h ，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h ，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。
(完整)求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（ ）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。
那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。
解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。
小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。
二。
微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。
解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
(完整版)五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
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变力做功的几个典型例题
河南省信阳高级中学陈庆威2016.11.04
变力做功的问题，一直是高中物理中学生最头痛的问题之一，它有没有规律可循呢？相信，通过以下几个例题的学习，你一定能打开思维，豁然开朗。
一、力随位移均匀变化的情况
典例1．如图所示，质量分布均匀的长方体木板放置在水平面上，M、N 分别是木板的左、右两个端点，水平面的A、C 之间粗糙，与木板的动摩擦因数处处相等，水平面其余部分光滑，AC 的距离等于木板的长度，B 为AC 的中点．某时刻开始木板具有水平向右的初速度v 0，当M 端运动到C 点时速度刚好为0，则（）
A．木板N 端运动到B 点时速度为
B．木板N 端运动到C 点时速度为v 0
C．木板N 端从A 到B 摩擦力做的功等于木板N 端从B 到C 摩擦力做的功
D．木板N 端从A 到C 摩擦力做的功等于木板M 端从A 到C 摩擦力做的功
【考点】动能定理的应用；功的计算．
【分析】将木板分为n 等分（n 足够大），故从开始到M 端运动到C 点过程，每个部分克服摩擦力做功均为，然后对全程和各个分过程运用动能定理列式分析即可．
【解析】：将木板分为n 等分（n 足够大），每个部分的质量为
n m ；从开始到M 端运动到C 点过程，每个部分克服摩擦力做功均为
，
根据动能定理，有：
n（﹣）=0﹣①A、从开始到木板N 端运动到B 点过程，有：
（﹣）×=﹣②
联立①②解得：
v 1=v
故A错误；
B、从开始到木板N端运动到C点过程，有：
n（﹣）×=0﹣③
联立①③解得：
v
2
=
故B正确；
C、木板N端从A到B过程摩擦力做功：W
1
=（﹣）×=﹣
木板N端从B到C过程摩擦力做功：W
2
=n（﹣）×﹣（﹣）=﹣
故C错误；
D、木板N端从A到C摩擦力做的功：W
3
=n（﹣）×=﹣
木板M端从A到C摩擦力做的功：W
4
=n（﹣）×=﹣
故D正确；
故选：BD．
【点评】本题关键是采用微元法并结合动能定理列式分析，较难．
因为摩擦力是随位移均匀增加的，所以该题还可以用平均值法和F-x图像来解。
典例2．如图所示，倾角为θ的斜面与足够大的光滑水平面在D处平滑连接，斜面上有A、B、C三点，AB间距为2L，BC、CD间距为4L，斜面上BC部分粗糙，其余部分光滑，4块完全相同、质量均匀分布的长方形薄片，紧挨在一起排在斜面上，从下往上编号依次为1、2、3、4，第1块的下边缘恰好在A处．现将4块薄片一起由静止释放，薄片经过D处时无能量损失且相互之间无碰撞．已知每块薄片的质量为m、长为L，薄片与斜面BC间的动摩擦因数为tanθ，重力加速度为g．求：
（1）第1块薄片下边缘刚运动到B时的速度大小v
1
；
（2）第1块薄片刚好完全滑上粗糙面时的加速度大小a和此时第3、4块间的作用力大小F；（3）4块薄片全部滑上水平面后，相邻滑片间的距离d．
【解析】：（1）研究4块薄片整体，根据机械能守恒定律有
21)4(21sin 24v m L mg =
⋅θ（3分）解得θ
sin 21gL v =（2分）（2）根据牛顿第二定律有ma mg mg 4cos sin 4=-θμθ（2分）解得θsin 43g a =（1分）
研究第4块薄片，根据牛顿第二定律有
ma
F mg =-θsin （1分）解得θsin 4
1mg F =（1分）（3）设4块滑片刚好全部滑上粗糙面时的速度为v 2，研究整体下端由A 到C 的过程，根据动能定理有
22)4(2142cos 4sin 64v m L mg L mg =⋅-⋅θμθ（2分）
设每块滑片滑到水平面时的速度为v 3，对每块滑片运用动能定理有
22
329sin cos 112222
L mg mg L mv mv θμθ⋅-=-（1分）相邻滑片到达水平面的时间差2v L
t =（1分）
由于3d v t
=（1分）
解得L d 2=（1分）
二、力随速度变化的情况
典例3．如图，在竖直平面内，滑道ABC 关于B 点对称，且A、B、C 三点在同一水平线上。
若小滑块第一次由A 滑到C，所用的时间为t 1，第二次由C 滑到A，所用时间为t 2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则
()
A．t 1＜t 2B．t 1=t 2C．t 1＞t 2D．无法比较t 1、t 2的大小
【解析】：在AB 段，根据牛顿第二定律r
v m F mg N 2
=-，速度越大，滑块受支持力越小，摩擦力就越小，在BC 段，根据牛顿第二定律r
v m F mg N 2
=-，速度越大，滑块受支持力越大，摩擦力就越大，由题意知从A 运动到C 相比从C 到A ，在AB 段速度较大，在BC 段速度较小，所以从A 到C 运动过程受摩擦力较小，用时短，故A 选项正确。
典例4．如图所示，一个小球（视为质点）从H=12m 高处由静止开始通过光滑弧形轨道ab 进入半径R=4m 的竖直圆环，圆环轨道部分的动摩擦因数处处相等，当小球到达顶c 时对轨道的压力刚好为零；沿ab 滑下后进入光滑弧形轨道bd，且到达高度为h 的d 点时速度为零，则h 值可能为（g 取10m/s 2）（
）A．9m B．8m C．10m D．7m ，解得：，所以有：
开始小球从H="12m"高处，由静止开始通过光滑弧形轨道ab，因此在小球上升到顶点时，
根据动能定理得：，之后小球沿轨道下滑，由于机械能有损失，所以下滑速度比上升速度小，因此对轨道压力变小，所受摩擦力变小，所以下滑时，摩
擦力做功大小小于W
f ，所以全过程摩擦力做功大于W
f
，小于2W
f
，对全过程，用动能定理：
所以高度范围为8m＜h＜10m，故选A。