求变力做功的几种方法
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。
方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。
解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。
此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。
理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。
方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。
例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况
F 做的功．“面积”有正负，在x 轴上方的“面积”为正，在x 轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v - t 图象求位移的原理相同．【典例2】 用质量为5 kg 的均匀铁索，从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g 取10 m/s 2)【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值：F －＝250＋2002N ＝225 N 故该过程中拉力做功：W ＝F －h ＝2 250 J.方法二 由F - h 图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：W ＝250＋2002×10 J ＝2 250 J. 【答案】 2 250 J法3.用微元法求变力做功圆周运动中，若质点所受力F 的方向始终与速度的方向相同，要求F 做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了．【典例3】如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽运动一周．若F的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F对质点做的功．【解析】质点在运动的过程中，F的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl1、Δl2、Δl3、…、Δln，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W ＝W1＋W2＋…＋W n＝F(Δl1＋Δl2＋…＋Δl n)＝2πRF.【答案】2πRF.变式训练1如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k＝200 N/m的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m，求上述过程中拉力所做的功．解析：木块刚要滑动时，拉力的大小F＝kx1＝200×0.2 N＝40 N，从开始到木块刚要滑动的过程，拉力做的功W1＝0＋F 2x1＝402×0.2 J＝4 J；木块缓慢移动的过程，拉力做的功W2＝Fx2＝40×0.4 J＝16 J．故拉力所做的总功W＝W1＋W2＝20 J.答案：20 J变式训练2如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m 的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB如图所示，水平传送带正以v ＝2 m/s 的速度运行，两端水平距离l ＝8 m ，把一质量m ＝2 kg 的物块轻轻放到传送带的A 端，物块在传送带的带动下向右运动．若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，不计物块的大小，g 取10 m/s 2，则把这个物块从A 端传送到B 端的过程中．求：(1)摩擦力对物块做的功．(2)摩擦力对传送带做的功．【解析】 (1)物块刚放到传送带上时，由于与传送带有相对运动，物块受向右的滑动摩擦力，物块做加速运动，摩擦力对物块做功．物块受向右的摩擦力为F f ＝μmg ＝0.1×2×10 N ＝2 N加速度为a ＝F f m ＝μg ＝0.1×10 m/s 2＝1 m/s 2当物块与传送带相对静止时的位移为x ＝v 22a ＝222×1m ＝2 m 摩擦力对物块做功为W ＝F f x ＝2×2 J ＝4 J.(2)把这个物块从A 端传送到B 端的过程中，摩擦力对传送带做功为：W ′＝－μmgx ′＝－μmg ·v ·v a ＝－8 J.【答案】 (1)4 J (2)－8 J变式训练3 以初速度v 0竖直向上抛出质量为m 的小球，上升的最大高度是h ，如果空气阻力f 的大小恒定，从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为( )A ．0B ．－fhC ．－2mghD ．－2fh解析：阻力做功跟物体的运动轨迹有关，所以阻力做功为W f ＝－2fh .答案：D。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法变力做功是指当力的大小和方向随着对象运动的位置而变化时，力对物体所做的功。
下面将介绍六种常见的计算变力做功的方法。
1.通过力的曲线面积计算功：当力的大小和方向随着位置的变化而变化时，可以通过绘制力与位置的曲线图，然后计算曲线下的面积来求得所做的功。
2.利用求和法计算功：将运动过程划分成若干个小的位移段，对每个位移段内力的大小和方向保持不变，然后通过求和法计算每个位移段上力所做的功，最后将所有位移段上力所做的功相加得到总功。
3.应用积分法计算功：对力和位移变化连续的问题，可以利用微积分中的积分法来计算变力做功。
通过计算力在位移方向上的积分，即对力关于位移的函数进行积分，来得到变力做功的结果。
4.利用功率和时间计算功：如果已知物体在一段时间内所受到的平均力和物体的平均速度，可以利用功率和时间的关系来计算功。
功率定义为单位时间内做功的大小，根据功率公式P=W/t，其中W是做功的大小，t是时间，可以通过已知的其它量来计算功。
5.利用速度和质量计算功：在一些特定的情况下，可以利用物体的速度和质量来计算变力做功。
根据力学中的动能定理，物体的动能变化等于外力所做的功，其中动能定义为 K=1/2 mv^2，其中 m 是质量， v 是速度。
6.利用万有引力计算功：当物体受到的力是万有引力时，可以利用万有引力公式来计算变力做功。
万有引力公式为F=GmM/r^2，其中F是力，m和M是物体的质量，G 是万有引力常数，r是两物体之间的距离。
通过将力乘以物体的位移并将结果进行积分，可以得到变力做功的计算结果。
这些是常见的计算变力做功的方法，根据具体问题的条件和要求，选择适合的方法来计算变力做功。
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法变力做功是物理学中的一个重要概念，指的是通过施加力使物体移动，并且力的方向与物体的位移方向相同，从而产生功。
在物理学中，变力做功的几种常见的方式包括：1.恒力做功：恒力做功是指当施加于物体上的力保持恒定，并且力的方向与物体的位移方向相同时所产生的功。
例如，当将物体按直线方向推动时，施加力的大小和方向始终保持不变，这时产生的功就是恒力做的功。
2.弹力做功：弹力做功是指当施加于弹性物体上的力使其发生形变，并且力的方向与变形的方向相同时所产生的功。
例如，当将弹簧压缩或拉伸时，弹簧将会产生弹力，并且完成对外做功的过程。
3.重力做功：重力做功是指当物体受到重力的作用时所产生的功。
例如，将物体从高处抬升到低处，重力将会对物体做功，使物体下降。
此时，重力与物体的下降方向相同，从而产生重力做的功。
4.摩擦力做功：摩擦力做功是指当物体在摩擦力的作用下移动时所产生的功。
例如，当将物体沿水平面上的表面推动时，摩擦力将与物体的运动方向相反，并且产生摩擦力做的功，将物体减速或停止。
5.推力做功：推力做功是指当物体受到推力的作用时所产生的功。
例如，当用力将物体沿斜面推动时，推力将与物体的位移方向一致，并且产生推力做的功，使物体上升或下降。
除了上述几种方式之外，还有其他一些特殊情况下的功。
例如，当物体围绕固定点旋转时，所受到的转动力矩将使物体围绕轴旋转，并且产生转动功。
而当应力作用下的材料发生变形时，所施加的应力将会对材料做功，称为弹性势能的转化。
总之，变力做功具有多种方式，这些方式在物理学中都有着重要的应用。
通过研究和理解这些不同的方式，可以更好地理解和应用物理学的知识，并且在实际生活中解释和分析各种物理现象。
变力做功的四种类型
变力做功的四种类型①利用平均值法求变力做功（或示功图） ②分过程求变力做功。
③微元法求变力作功。
④转移法（将变力转做为恒力做功）例1：质量为1kg 的物体在变力作用下，自静止起加速运动，已知作用F 随位移S 变化的规律是：F=（10+3S ）N ，则该物体经4m 位移后力F 做的功为多少焦？解法一：因变力F 随位移S 线性变化，则变力F 的平均F 为：12(1030)(1034)1622F F F N ++⨯++⨯=== 变力F 所做的功为：16464W FS J ==⨯= 解法二：力F 随位移S 是均匀增大的，据此做出F=S 图象，因为功是力在空间积累的效果，所以力F 所做的功等于图形中梯形的面积。
“即”121(1022)42 =64JW =+⨯（a+b ）h=巩固练习一、劲度系数为k 的弹簧，用力拉它，当它伸长x 时，所用的拉力为F ，求此力所做的功。
解：由于力F 的大小与位移成正比，所以变力F 可以用平均力来替代，也就是说，变力F 做的功等于它的平均力F 做的功即：2122o kx W FS x kx +=== 示功图为： S 面=例2：以一定初速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力的大小恒为（）A 、零B 、fh -C 、2fh -D 、4fh -分析：整个过程，小球所受阻力的方向变化了，所以是变力，如何求这一变力做的功，可分段处理，上升和下降阶段，阻力均做负功，且均为fh -，故总功为2fh -.例3：沿着半径为R 的圆周做匀速运动的汽车，运行一周回到原出发点的过程中，牵引力和摩擦力各做功为多少？已知摩擦力f解析：做圆周运动的物体，速度方向总沿其切线方向，故牵引力也沿其切线议长阻力与牵引力方向相反，故这两个力都是变力，则采用微元法解决。
把圆周分成无数小段，在第一小段里可以看成作直线运动：则牵引力做功 123n WF F S F S F S F S =∆+∆+∆++∆ 123=F(S +S +)n S S ∆∆∆++∆=f.2R π 同理摩擦力做功为： wf=-f.2R π巩固练习：水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R/2和R 的两个半圆构成，现有大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向同时与小球的运动方向一致，则此过程中，拉力做功为 （ ）A 、0B 、FRC 、23RF π D 、2FR π例4：在光滑的水平面上，物体在恒力F=100N 作用下F 从A 点运动到B 点，不计滑轮的大小，不计绳滑轮的质量，及滑轮与绳间的摩擦：已知002.4 37 53H m a β===求拉力F 对物体做的功。
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法变力做功是物理学中一个重要的概念，它描述了当一个力作用于一个物体时，这个力对物体所做的功是如何随时间变化的。
在实际应用中，我们经常需要求解变力做功，例如研究机械的运动特性、计算机械工作所需的能量等。
求解变力做功的方法有多种，下面将介绍三种常用的方法：通过力的分解法、积分法和图像法。
第一种方法是力的分解法。
当一个力是一个常量力的合力时，我们可以将这个力分解成多个方向上的分力，然后对每个方向的分力进行求解，最后将各个方向上的分力的功相加即可得到合力所做的功。
在实际应用中，当一个力是不常量力时，我们可以将这个力进行一定的分段处理，将不同的部分的力分别进行分解，然后分别求解，最后将各个部分的功相加即可得到总的功。
第二种方法是积分法。
当一个力是一个函数关系时，我们可以通过对这个函数进行积分得到力的功函数，然后计算积分上下限之间的功值。
具体而言，假设一个力F随时间t的变化，那么力在时间t1和t2之间做的功可以表示为：W = ∫(F(t))dt其中，W表示力所做的功，∫表示积分符号，F(t)表示力随时间的变化。
在实际计算中，我们可以根据给定的力函数F(t)进行积分运算，然后计算上下限之间的功值。
第三种方法是图像法。
当一个力是已知的、离散的数据时，我们可以通过绘制力与时间之间的图像来求解力所做的功。
具体而言，我们可以将给定的力数据以时间为横坐标、力值为纵坐标绘制成折线图，然后计算每个时间段内力与时间之间的面积，最后将各个时间段内的面积相加即可得到力所做的功。
综上所述，求解变力做功的方法有很多种，其中常用的方法有力的分解法、积分法和图像法。
不同的方法适用于不同的情况，具体选择哪种方法进行求解，需要根据具体的问题来决定。
无论使用哪种方法，都需要对力与时间的关系进行分析，然后进行适当的求解，最终得到力所做的功的结果。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法第一种方法是曲线切线式。
在物体沿曲线运动的情况下，可以通过计算力的切线分量与物体速度的乘积来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定物体在其中一时刻的速度，然后取该时刻的力的切线分量（即与物体速度方向相同的力的分量），最后将该切线分量与物体速度的乘积相乘，即可得到变力做功的大小。
第二种方法是常力法。
在物体受到一定的恒定力作用下，可以通过计算力与物体位移方向的夹角的余弦值再乘上力的大小来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力的大小，然后确定物体的位移方向与力的方向之间的夹角，最后将位移方向与力的方向之间夹角的余弦值乘以力的大小，即可得到变力做功的大小。
第三种方法是分力法。
当物体受到多个力的作用时，可以通过计算各个力的分力与物体位移方向之间的夹角的余弦值再分别乘上各个分力的大小来确定变力做功的大小，然后将各个分力的做功求和即可得到变力做功的总大小。
第四种方法是连续变力法。
在物体受到连续变化的力作用下，可以通过将力的大小关于物体位移的函数表示出来，然后对该函数进行积分来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力对物体位移的函数关系式，然后对该函数进行积分，最后得到的积分值即为变力做功的大小。
第五种方法是有功做功法。
在物体受到非保守力作用下，可以通过计算力的非保守分量与物体位移的乘积再加上势能变化的大小来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定力的保守分量与非保守分量，然后将非保守分量与位移的乘积相加，再加上势能变化的大小，即可得到变力做功的大小。
第六种方法是负功做功法。
在物体受到反向力作用下，可以通过计算该反向力的绝对值与物体位移的乘积再乘上负一来确定变力做功的大小。
具体计算方法是，首先需要确定反向力的大小，然后将反向力的绝对值与位移的乘积相乘，并将结果乘以负一，即可得到变力做功的大小。
综上所述，变力做功的六种常见计算方法分别是曲线切线式、常力法、分力法、连续变力法、有功做功法和负功做功法。
(完整)求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（ ）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。
那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。
解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。
小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。
二。
微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。
解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
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求变力做功的几种方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：一、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。
而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。
例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。
求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。
T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。
但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。
而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。
由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：二、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：A0焦耳B20π焦耳C 10焦耳D20焦耳分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故B正确。
三、平均力法如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
例3、一辆汽车质量为105千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。
其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。
当车前进100米时，牵引力做的功是多少？分析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。
由题意可知f0＝0.05×105×10N＝5×104N,所以前进100米过程中的平均牵引力＝N＝1×105N,∴W＝S＝1×105×100J＝1×107J。
四、图象法如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，可在平面直角坐标系内画出F—x图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表示功。
例如：对于例3除可用平均力法计算外也可用图象法。
由F=103x+f0可知，当x变化时，F也随着变化，故本题是属于变力做功问题，下面用图象求解。
牵引力表达式为F=103x+0.5×105，其函数表达图象如图3。
根据F-x图象所围的面积表示牵引力所做的功，故牵引力所做的功等于梯形OABD的“面积”。
所以。
五、能量转化法求变力做功功是能量转化的量度，已知外力做功情况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。
因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。
1、用动能定理求变力做功动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
它的表达式是W外=ΔE K，W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多个力中，只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
例4、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。
求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。
分析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，W G=mgR，f BC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。
根据动能定理可知：W外=0，所以mgR-umg-W AB=0即W AB=mgR-umg=1×10×0.8-×1×10×3=6(J)2、用机械能守恒定律求变力做功如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。
如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。
例5、如图5所示，质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5米/秒的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功。
分析：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。
取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A：E A= mgh+mv02/2对状态B：E B=－W弹簧+0由机械能守恒定律得：W弹簧=－（mgh+mv02/2）=－125（J）。
3、用功能原理求变力做功功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。
例6、质量为2千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v=6米/秒，求该链条全部被提起时拉力F所做的功。
分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。
根据功能原理，上提过程拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。
当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了L/2=1米，故机械能动变化量为：ΔE=mg L/2=2×10×1=20（J）根据功能原理力F所做的功为：W=20J4、用公式W=Pt求变力做功例7、质量为4000千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3秒的时间前进425米，这时候它达到最大速度15米/秒。
假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大。
分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值。
汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。
由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=Fv求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=Fv m=fv m，所以汽车的牵引力做的功为W汽车=Pt=fv m t根据动能定理有：W汽车—fs=mv m2/2，即fv m t－fs= mv m2/2代入数值解得：f=6000N。
变力做功的问题是一教学难点，在上述实例中，从不同的角度、用不同的方法阐述了求解变力做功的问题．在教学中，通过对变力做功问题的归类讨论，有利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有利于培养学生的创造性思维，开阔学生解题的思路．课后训练题1、如图所示，质量为2ｋｇ的物体从Ａ点沿半径为Ｒ的粗糙半球内表面以10ｍ／ｓ的速度开始下滑，到达Ｂ点时的速度变为2ｍ／ｓ，求物体从Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力所做的功是多少?2、一条长链的长度为ａ，置于足够高的光滑桌面上，如图所示．链的下垂部分长度为ｂ，并由静止开始从桌上滑下，问：当链的最后一节离开桌面时，链的速度及在这一过程中重力所做的功为多少?3、如图所示，一人用定滑轮吊起一个质量为Ｍ的物体，绳子每单位长的质量为ρ，试求人将物体从地面吊起高度为Ｌ的过程中所做的最小功．4、质量为5×105ｋｇ的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0．06倍，机车经过5ｍｉｎ速度达到最大值108ｋｍ／ｈ，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功．5、用锤子把铁钉打入木块中，设每次打击锤子时给铁钉的动能相同，铁钉进入木块所受的阻力跟打入的深度成正比．如果钉子第一次被打入木块的深度为2ｃｍ，求第二次打入的深度和需要几次打击才能将铁钉打入4ｃｍ深处．6、将一根水平放置在地面上的长为6ｍ、质量为200ｋｇ的粗细均匀的金属棒竖立起来，至少要做多少功（设所施加的力始终垂直于棒）?课后训练题解答1、分析物体由Ａ滑到Ｂ的过程中，受重力Ｇ、弹力Ｎ和摩擦力ｆ三个力的作用，因而有ｆ＝μＮ，Ｎ－ｍｇｃｏｓθ＝ｍｖ2／Ｒ，即Ｎ＝ｍ（ｖ2／Ｒ）＋ｍｇｃｏｓθ．式中μ为动摩擦因素，ｖ为物体在某点的速度．分析上式可知，在物体由Ａ到Ｃ运动的过程中，θ由大到变小，ｃｏｓθ变大，因而Ｎ变大，ｆ也变大．在物体由Ｃ到Ｂ运动的过程中，θ由小到变大，ｃｏｓθ变小，因而Ｎ变小，ｆ也变小．由以上可知，物体由Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力ｆ是变力，是变力做功问题．解根据动能定理有Ｗ外＝ΔＥｋ．在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中，弹力N不做功；重力在物体由Ａ运动到Ｃ的过程中对物体所做的正功与物体从Ｃ运动到Ｂ的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零．因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量．则有Ｗ外＝Ｗｆ＝ΔＥｋ，即Ｗｆ＝（1／2）ｍｖＢ2－（1／2）ｍｖＡ2＝（（1／2）×2×22－（1／2）×2×102）＝－96Ｊ．式中负号表示摩擦力对物体做负功．可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的．2、分析长链在下落过程中，下垂部分不断增长，因此，该部分的质量也在不断增大，即这部分所受的重力是变力，整个长链的运动也是在该变力作用下的运动，是变力做功问题．图2解取桌面为零势能面，设整个链条质量为ｍ，桌面高度为ｈ，下垂部分质量为ｍ０．则有ｍ０／ｍ＝ｂ／ａ，ｍ０＝（ｂ／ａ）ｍ，开始下滑时链条的初动能Ｅｋ1＝0，初势能Ｅｐ1＝－ｍ０ｇ·（ｂ／2）＝－ｍｇ·（ｂ2／2ａ），机械能Ｅ1＝Ｅｋ1＋Ｅｐ1＝－（ｂ2／2ａ）ｍｇ．设链条全部离开桌面的瞬时速度为ｖ，此时链条的势能Ｅｐ2＝－（ａ／2）ｍｇ，动能Ｅｋ2＝（1／2）ｍｖ2，机械能Ｅ2＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，根据机械能守恒定律有Ｅ1＝Ｅ2，即－（ｂ2／2ａ）ｍｇ＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，解得ｖ＝．因此，在这一过程中重力所做的功为ＷＧ＝ΔＥｋ＝（1／2）ｍｖ2－0＝（ｍｇ／2ａ）（ａ2－ｂ2）．3、分析假定物体被匀速吊起，人将物体从地面吊起的过程中，人的拉力可表示为Ｔ＝Ｍｇ＋ρｘｇ，式中ｘ为竖直方向绳的余长．当物体上升时，绳的余长ｘ减小，Ｔ减小，因而Ｔ为变力，故本题属变力做功问题．解设绳的重量全面集中在它的重心上，物体升高高度为Ｌ时，绳的重心上升Ｌ／2，则系统机械能的增量为ΔＥ＝ΔＥ1＋ΔＥ2＝ΔＥｐ1＋ΔＥｋ1＋ΔＥｐ2＋ΔＥｋ2，式中ΔＥ1、ΔＥ2分别为物体和绳的机械能增量．由功能原理知，人的拉力所做的功为Ｗ＝ΔＥ＝ΔＥｐ1＋ΔＥｋ1＋ΔＥｐ2＋ΔＥｋ2，当ΔＥｋ1＝ΔＥｋ2＝0时，即缓慢提升物体时Ｗ最小，即Ｗｍｉｎ＝ΔＥｐ1＋ΔＥｐ2＝ＭｇＬ＋（Ｌ／2）ρＬｇ＝［Ｍ＋（1／2）ρＬ］ｇＬ．可见，在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较方便．4、分析因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等．在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用Ｗ＝Ｆｓｃｏｓａ来求解，但可用公式Ｗ＝Ｐｔ来计算．解根据题意，机车所受阻力ｆ＝ｋｍｇ，当机车速度达到最大值时，机车功率为Ｐ＝Ｆｖｍａｘ＝ｆｖｍａｘ＝ｋｍｇｖｍａｘ＝0．06×5×105×10×（108×103／3600）＝9×106Ｗ．根据Ｐ＝Ｗｔ，该时间内阻力做功为Ｗｆ＝Ｐ／ｔ＝9×106／300＝3×104Ｊ．根据动能定理Ｗ外＝ΔＥｋ得牵引力做功ＷＦ＝ΔＥｋ＋Ｗｆ＝（1／2）ｍｖｍａｘ2＋Ｗｆ＝（1／2）×5×105×302＋3×104＝2．25×108Ｊ．5、分析铁钉进入木块所受的阻力ｆ跟铁钉进入木块的深度ｘ之间的关系为ｆ＝ｋｘ，由此可知，阻力是一个变力．铁钉得到锤子给予的动能后，克服木块对它的阻力做功的问题，是一个变力做功的问题．解（1）依据题意做出ｆ－ｘ关系图线如图4所示．图4第一次打击时铁钉克服阻力所做的功Ｗ1等于图4中三角形ＡＯＣ的面积的值．设第二次打击时铁钉被打入的深度为ｘ0，第二次打击时铁钉克服阻力所做的功Ｗ2等于图4中梯形ＡＢＤＣ的面积的值．因ｆ＝ｋｘ，由图可得＝2ｋ，＝（2＋ｘ0）ｋ，则Ｗ1＝（1／2）·＝（1／2）×2ｋ×2＝2ｋ，Ｗ2＝（（＋）／2）×＝（（2ｋ＋（2＋ｘ0）ｋ）／2）×ｘ0＝（ｋｘ02＋4ｋｘ0）／2，因每次打击时给铁钉的动能相等，故Ｗ1＝Ｗ2，则2ｋ＝（ｋｘ02＋4ｋｘ0）／2，解得ｘ0＝2（－1）ｃｍ．（2）设打击ｎ次可将铁钉打入4ｃｍ深处，此时克服阻力做功为Ｗ3，即图4中三角形ＯＥＦ的面积的值．由图可知，当ｘ＝4ｃｍ时，＝4ｋ，则Ｗ3＝（1／2）··＝（1／2）×4×4ｋ＝8ｋ．每次打击时克服阻力做功（即给铁钉的动能）为Ｗ1＝2ｋ，所以ｎ＝Ｗ3／Ｗ1＝8ｋ／2ｋ＝4次．一个看似复杂的变力做功问题，通过图象变换，使得解题过程简单、明了．6、分析如图5所示，用一始终垂直于棒的力将棒的一端匀速提起，由于力的方向和大小时刻在发生变化，因而也不能直接用公式Ｗ＝Ｆｓ来求解，但如果能求出变力Ｆ在棒竖起的过程中的平均值，就可用Ｗ＝ｓ来求解这一变力做功的问题．图5解如图5所示，在棒转动到与地面成θ角时，以Ｂ为转轴，可列力矩平衡方程ＦＬ＝Ｇ（Ｌ／2）ｃｏｓθ，即Ｆ＝（1／2）ｍｇｃｏｓθ，由数学知识可知，当θ由0°到90°的变化过程中，Ｆ的平均值为＝（2／π）Ｆｍａｘ＝（2／π）·（1／2）ｍｇ＝（1／π）ｍｇ，因此，变力Ｆ所做的功为Ｗ＝ｓ＝（1／π）ｍｇ·（1／4）（2πＬ）＝（1／2）×200×10×6＝6×103Ｊ．。