高等数学教案4
高等数学第四章不定积分教案
第四章 不定积分知识结构图： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧分部积分法第二换元积分法第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质几何意义定义不定积分原函数教学目的要求：1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。
2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。
3．了解不定积分在经济问题中的应用。
教学重点：1．原函数与不定积分的概念2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点：1．不定积分的几何意义2．凑微分法、分部积分法求不定积分第一节 不定积分的概念与基本公式【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。
直接积分法求函数的不定积分。
【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。
【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。
【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。
【教学时数】2学时 【教学进程】一、原函数与不定积分的概念(一)原函数的概念前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题，如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。
②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =． １．原函数定义定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
《高等数学教案》
《高等数学教案》word版第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）1.2 极限的概念与性质引入极限的概念探讨极限的性质与运算1.3 无穷小与无穷大定义无穷小与无穷大的概念比较无穷小与无穷大的大小关系1.4 极限的运算法则极限的加减乘除法则极限的复合函数法则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质引入导数的概念探讨导数的性质（单调性、极值等）2.2 导数的计算法则基本导数公式和、差、积、商的导数法则2.3 微分的方法与应用微分的概念与方法微分在近似计算与优化问题中的应用第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与性质引入泰勒公式的概念探讨泰勒公式的性质与应用3.2 微分中值定理的概念与证明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理微分中值定理的应用（导数与函数的极值关系等）第四章：积分与微分方程4.1 积分的基本概念与方法引入积分的概念探讨积分的方法（牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等）4.2 微分方程的基本概念与方法引入微分方程的概念探讨微分方程的解法（常微分方程、线性微分方程等）第五章：线性代数基础5.1 向量的概念与运算定义向量的概念探讨向量的运算（加减、数乘、点积、叉积等）5.2 矩阵的概念与运算定义矩阵的概念探讨矩阵的运算（加减、数乘、转置、逆矩阵等）5.3 线性方程组的概念与解法引入线性方程组的概念探讨线性方程组的解法（高斯消元法、矩阵求逆法等）5.4 行列式的概念与性质定义行列式的概念探讨行列式的性质与计算方法第六章：概率论基础6.1 随机事件与概率定义随机事件与概率的概念探讨概率的计算（古典概率、条件概率、独立事件等）6.2 随机变量及其分布引入随机变量的概念探讨离散型随机变量与连续型随机变量的分布律6.3 期望与方差定义期望与方差的概念探讨期望与方差的计算及其性质第七章：线性代数进阶7.1 特征值与特征向量定义特征值与特征向量的概念探讨特征值与特征向量的计算及其应用7.2 二次型定义二次型的概念探讨二次型的标准型与判定定理7.3 线性空间与线性变换引入线性空间与线性变换的概念探讨线性变换的性质与计算第八章：常微分方程与应用8.1 常微分方程的基本概念定义常微分方程的概念探讨常微分方程的解法（分离变量法、积分因子法等）8.2 常微分方程的应用探讨常微分方程在物理、生物学等领域的应用8.3 线性微分方程组引入线性微分方程组的概念探讨线性微分方程组的解法与应用第九章：复变函数基础9.1 复数的基本概念与运算定义复数的概念探讨复数的运算（加减、乘除、共轭等）9.2 复变函数的概念与性质引入复变函数的概念探讨复变函数的性质（解析性、奇偶性等）9.3 复变函数的积分与级数探讨复变函数的积分（柯西积分定理、柯西积分公式等）探讨复变函数的级数（泰勒级数、洛朗级数等）第十章：实变函数与泛函分析初步10.1 实函数的基本概念与性质定义实函数的概念探讨实函数的性质（单调性、有界性等）10.2 泛函分析的基本概念引入泛函分析的概念探讨赋范线性空间与希尔伯特空间的基本概念10.3 赋范线性空间的基本定理探讨赋范线性空间中的基本定理（闭区间上的有界线性算子等）重点解析第一章：函数与极限重点：函数的概念与性质、极限的概念与性质、无穷小与无穷大、极限的运算法则。
高等数学教案第四章
第四章 微分中值定理和导数的应用本章知识◆ 微分中值定理 ◆ 洛必达法则◆ 函数单调性的判定 ◆ 函数的极值及其求法 ◆ 函数的最值及其应用 ◆ 曲线的凹凸性和拐点 ◆ 曲线的渐近线◆ 导数在经济分析中的应用本章重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数极值、最值的求法和实际应用本章难点：函数最值的应用，弹性函数 4.1微分中值定理 4.1.1罗尔定理定理（罗尔（Rolle ）中值定理）：若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续， （2）在(a, b)内可导， （3）f (a) = f (b)，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0.f ξ'=罗尔中值定理的几何意义两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x 轴.4.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理定理：拉格朗日(Lagrange)中值定理若 f (x)满足： （1）在[a, b]上连续，（2）在(a, b)内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()().f b f a f b a ξ-'=-拉格朗日(Lagrange)中值定理的几何意义在曲线弧AB 上，至少存在一点C ，该点的切线平行于AB 。
拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.'(,),()0,()()x a b f x f x c c ∈==推论：如果对于任意有则为常数()()(,)()()()x a b f x g x f x g x c c ''∈=+/推论：如果对于任意，有=则为常数4.2洛必达法则洛必达法则型型及基本不定式:001.2.4∞∞()(),()(),()0lim .()0x a x x a x f x g x f x g x →→∞→→∞∞∞如果当或时两个函数与都趋于零或都趋于无穷大那么极限称为或型未定式 定理 (洛必达法则)：(),()(1),()();(2)(),()()()0;()(3)lim ();()()()lim lim .()(),.()().x a x a x a f x g x x a f x g x a a f x g x g x f x g x f x f x g x g x x f x g x →→→→'''≠'''='→∞设满足：当时函数及都趋于零在点的某领域内点本身可以除外及都存在且存在或为无穷大那么当时该法则仍然成立当及都趋于无穷大时，该法则仍注1：注2然成立：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，与其它求极限方法结合使用，效果更好.()()()()()()()()()()()()x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x x x x x x x x x x ''''=''=''∞∞''∞∞→→→→→00000lim lim lim 00lim 200lim1续使用洛必达法则，即仍满足定理，则可以继，”型不定式，且函数”或“还是“）若”型不定式”或“必须是“）注意使用洛必达法则是必须4.2.2其他不定式000,,0,1,∞⋅∞∞-∞∞型未定式解法关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型。
《高等数学》课程教案
《高等数学》课程教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对高等数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，引导学生认识高等数学在自然科学和社会科学中的重要地位。
二、教学内容1. 第一章：极限与连续教学重点：极限的定义、性质，函数的连续性，无穷小比较，洛必达法则。
2. 第二章：导数与微分教学重点：导数的定义，求导法则，高阶导数，隐函数求导，微分方程。
3. 第三章：积分与面积教学重点：不定积分，定积分，积分计算方法，面积计算，弧长与曲线长度。
4. 第四章：级数教学重点：数项级数的概念，收敛性判断，功率级数，泰勒级数，傅里叶级数。
5. 第五章：常微分方程教学重点：微分方程的基本概念，一阶线性微分方程，可分离变量的微分方程，齐次方程，线性微分方程组。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解高等数学的基本概念、理论和方法。
2. 运用示例法，通过典型例题展示解题思路和技巧。
3. 组织练习法，让学生在课堂上和课后进行数学练习，巩固所学知识。
四、教学评价1. 过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思维品质和问题解决能力。
2. 终结性评价：通过课后作业、单元测试、期中考试等方式，检验学生掌握高等数学知识的情况。
五、教学资源1. 教材：《高等数学》及相关辅助教材。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助课堂教学。
3. 习题库：提供丰富的习题，供学生课后练习。
4. 网络资源：利用网络平台，提供相关的高等数学学习资料和在线答疑。
5. 辅导资料：为学生提供补充讲解和拓展知识点的辅导资料。
六、第六章：多元函数微分学教学重点：多元函数的极限与连续，偏导数，全微分，高阶偏导数，方向导数，雅可比矩阵与行列式。
七、第七章：重积分教学重点：二重积分，三重积分，线积分，面积分，体积积分，重积分的计算方法，对称性原理。
八、第八章：常微分方程的应用教学重点：常微分方程在物理、生物学、经济学等领域的应用，求解方法，数值解法，稳定性分析。
高一数学必修四教案(6篇)
高一数学必修四教案(6篇)高一数学必修四教案(6篇)高一数学必修四教案1 教学准备教学目的1·掌握平面向量的数量积及其几何意义；2·掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3·理解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4·掌握向量垂直的条件·教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1·向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结〔1〕请学生回忆本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？〔2〕在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
〔3〕你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、课后作业P107习题2·4 A组2、7题课后小结〔1〕请学生回忆本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？〔2〕在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
〔3〕你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业P107习题2·4 A组2、7题板书高一数学必修四教案2 教学准备教学目的o理解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量·o通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别·o通过学生对向量与数量的识别才能的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的才能·教学重难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量·教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联络·教学过程〔一〕向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
高中数学必修4教案6篇
高中数学必修4教案6篇教学目标1、把握平面对量的数量积及其几何意义；2、把握平面对量数量积的重要性质及运算律；3、了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4、把握向量垂直的条件。
教学重难点教学重点：平面对量的数量积定义教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1、向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、课后作业P107习题2.4A组2、7题课后小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业P107习题2.4A组2、7题高中数学必修4优秀教案篇二教学预备教学目标一、学问与技能（1）理解并把握弧度制的定义；(2)领悟弧度制定义的合理性；(3)把握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4)娴熟地进展角度制与弧度制的换算；(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系。
(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并把握弧度制的定义，领悟定义的合理性。
依据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。
以详细的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器。
三、情态与价值通过本节的学习，使同学们把握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
《高等数学》标准教案
《高等数学》标准教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：了解函数的定义，掌握函数的性质及常见函数类型。
教学内容：函数的定义，函数的单调性、奇偶性、周期性。
教学方法：通过实例讲解，引导学生理解函数的概念，运用性质进行分析。
1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质及求解方法。
教学内容：极限的定义，极限的性质，无穷小与无穷大，极限的求解方法。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解极限的概念，运用性质及方法求解极限。
第二章：微积分基本概念2.1 导数与微分教学目标：理解导数的定义，掌握基本导数公式及微分方法。
教学内容：导数的定义，基本导数公式，微分的方法及应用。
教学方法：通过实际例子，引导学生理解导数的概念，运用公式及方法进行微分。
2.2 积分与微分方程教学目标：理解积分的概念，掌握基本积分公式及解微分方程的方法。
教学内容：积分的定义，基本积分公式，微分方程的解法。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解积分的概念，运用公式及方法解微分方程。
第三章：多元函数微分学3.1 多元函数的概念与性质教学目标：了解多元函数的定义，掌握多元函数的性质及常见类型。
教学内容：多元函数的定义，多元函数的性质，常见多元函数类型。
教学方法：通过实例讲解，引导学生理解多元函数的概念，运用性质进行分析。
3.2 多元函数的求导法则教学目标：理解多元函数求导法则，掌握多元函数的求导方法。
教学内容：多元函数的求导法则，多元函数的求导方法。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解多元函数求导法则，运用方法进行求导。
第四章：重积分与曲线积分4.1 二重积分及其应用教学目标：理解二重积分的定义，掌握二重积分的计算方法及应用。
教学内容：二重积分的定义，二重积分的计算方法，二重积分在几何及物理中的应用。
教学方法：通过具体例子，引导学生理解二重积分的概念，运用计算方法进行计算。
4.2 曲线积分的概念与应用教学目标：理解曲线积分的定义，掌握曲线积分的计算方法及应用。
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第四章不定积分§4.1 不定积分的概念与性质1.如果在区间I上，可导函数(xf，即对任一F的导数为))(xx∈，都有I'或xF=f(x())((=，)dF)dxxfx那么函数)(xF称为)(xf在区间I上的一个原函数.2.连续函数一定有原函数，即如果函数)(xf在区间I上连续，那么在区间I上存在一个可导函数)(xx∈都有F，使对任一I '.xfF=())(x3.如果在区间I上)(xF是f )(x f的一个原函数，那么) (x有无限多个原函数，且C(F+)x 是)(xf的全体原函数(其中C是任意常数).4.不定积分: 如果在区间I 上)(xf的一个原函数，F是)(x那么C x F +)(称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，即⎰dx x f )(C x F +=)(. 例1.⎰dx x 2C x +=331. 例2.⎰dx x 1C x +=ln . 5.积分与导数(或微分)的关系:① []⎰dx x f dx d )()(x f =. ② []⎰dx x f d )(dx x f )(=. ③ ⎰'dx x F )(C x F +=)(.④ ⎰)(x dF C x F +=)(.6.基本积分表: ⑴⎰kdx C kx += (k 是常数). ⑵⎰dx x μC x ++=+11μμ )1(-≠μ. ⑶⎰dx x 1C x +=ln . ⑷⎰+dx x211C x +=arctan . ⑸⎰-dx x211C x +=arcsin . ⑹⎰xdx cos C x +=sin . ⑺⎰xdx sin C x +-=cos .⑻⎰dx x 2cos 1⎰=xdx 2secC x +=tan . ⑼⎰dx x 2sin 1⎰=xdx 2cscC x +-=cot .⑽⎰⋅xdx x tan sec C x +=sec . ⑾⎰⋅xdx x cot csc C x +-=csc . ⑿⎰dx e x C e x +=. ⒀⎰dx a x C a ax +=ln .例3.⎰dx x 31C x +-=-221.例4.⎰⋅dx x x 2⎰=dx x 25 C x +=2772.7.不定积分的性质: ① ⎰±dx x g x f )]()([⎰±⎰=dx x g dx x f )()(. ② ⎰⋅dx x f k )( )0( )(≠⎰=k dx x f k . 例5.⎰-⋅dx x x )5(2 ⎰-=dx x x )5(2125 C x x +-=232731072.例6.⎰-dx x e x )cos 3(⎰=dx e x ⎰-xdx cos 3 C x e x+-=sin 3. 例7.⎰dx e x x 2⎰=dx e x)2( C e e x+=)2ln()2( C e xx ++⋅=2ln 12. 例8.⎰+++dx x x x x )1(122⎰+++=dx x x x x )1()1(22 ⎰++=dx x x)111(2C x x ++=ln arctan .例9.⎰+dx x x 241⎰++--+=dx xx x x 2224111 ⎰++-=dx x x )111(22C x x x ++-=arctan 313. 例10.⎰xdx 2tan ⎰-=dx x )1(sec 2C x x +-=tan .例11.⎰⋅dx x x x22cos sin 2cos⎰⋅-=dx x x x x 2222cos sin sin cos ⎰-=dx x x )sec (csc 22 C x x +--=tan cot . 例12.⎰⋅dx x x 2cos 2sin 122⎰=dx x 2sin 14 ⎰=xdx 2csc 4 C x +-=cot 4. §4.2 换元积分法1.第一换元法: 设)(u f 具有原函数，)(x u φ=可导，则⎰'⋅dx x x f )()]([ϕϕ ⎰=du u f x u )( )( ϕ. 例1.⎰xdx 2cos 2⎰'⋅=dx x x )2(2cos⎰=udu x u cos 2 C u +=sin C x +=2sin . 例2.⎰+dx x521 ⎰'++=dx x x )52(52151 ⎰++=)52(52151x d xC x ++=52ln 51. 例3.⎰⋅dx ex x22⎰=22dxe xC e x +=2.例4.⎰-⋅dx x x 21⎰---=)1(12122x d x C x +-⋅-=232)1(3221C x +--=232)1(31. 例5.⎰xdx tan ⎰-=x d xcos cos 1 C x +-=cos ln .例6.求⎰+dx x a 221 (0≠a ). 解: 原式⎰+=dx ax a 22)(111 ⎰+=ax d a x a 2)(111 C a x a +=arctan 1. 例7.求⎰-dx x a 221(0>a ).解: 原式⎰-=dx ax a 2)(111⎰-=a x d a x 2)(11C ax +=arcsin . 例8.求⎰-dx ax 221 (0≠a ). 解:原式⎰+--=dx a x a x a )11(21 )11(21⎰+-⎰-=dx a x dx a x a -⎰--=)(1[21a x d ax a ])(1⎰++a x d axC a x a x a++--=)ln (ln 21. 例9.⎰+dx x x )ln 21(1 ⎰++=)ln 21(ln 21121x d x C x ++=ln 21ln 21. 例10.⎰dx xe x 3 ⎰=)3(323x d e x C e x+=332.例11.⎰xdx3sin⎰--=x d x cos )cos 1(2⎰+⎰-=x xd x d cos cos cos 2C x x ++-=3cos 31cos . 例12.⎰⋅xdx x 52cos sin⎰-⋅=x d x x sin )sin 1(sin 222⎰-⎰=x xd x xd sin sin 2sin sin 42⎰+x xd sin sin 6x x 53sin 52sin 31-= C x ++7sin 71. 例13.⎰xdx 2cos⎰+=dx x )2cos 1(21)22cos 21(21⎰+⎰=x xd dx C x x ++=)2sin 21(21. 例14.⎰xdx csc ⎰=dx xsin 1⎰⋅=dx xx 2cos2sin 121 ⎰⋅=dx x x2cos2tan 1212 ⎰=dx xx 2tan2sec 212⎰=2tan2tan1xd xC x+=2tan ln .因为x x x x x sin 2sin22cos2sin 2tan 2==x x xx cot csc sin cos 1-=-=，所以C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc .例15.⎰xdx sec ⎰=dx xcos 1 ⎰+=dx x )2sin(1π ⎰++=)2()2sin(1ππx d x C x x ++-+=)2cot()2csc(ln ππC x x ++=tan sec ln .例16.⎰xdx6sec⎰+=xdxx 222sec )tan 1(⎰++=x d x x tan )tan tan 21(42C x x x +++=53tan 51tan 32tan . 例17.⎰⋅xdx x 2cos 3cos⎰+=dx x x )5cos (cos 21 ⎰+⎰=)5cos cos (21xdx xdx C x x ++=)5sin 51(sin 21 C x x ++=5sin 101sin 21. 2.第二换元法: 设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，且0)(≠'t ψ. 又设)]([t f ψ)(t ψ'具有原函数，则⎰dx x f )(⎰'=dt t t f t x )()]([ )( ψψψ. 例18.求)0( 22>⎰-a dx x a .解: 令)22( sin ππ≤≤-=t t a x .⎰-dx x a 22⎰⋅=tdta t a cos cos⎰+=dt t a )2cos 1(22C t t a ++=)2sin 21(22C t t a t a +⋅+=cos sin 2222C x a x a x a +-+=22221arcsin 2.例19.求)0( 122>⎰+a dx ax . 解: 令)22( tan ππ<<-=t t a x .⎰+dx ax 221⎰=dt t a t a sec sec 2⎰=tdt sec 1tan sec ln C t t ++=122)ln(C ax a a x +++=C a x x +++=)ln(22)ln (1a C C -=.例20.求)0( 122>⎰-a dx ax .解: 当a x >时，令t a x sec =)20(π<<t .⎰-dx ax 221⎰⋅=dt t a t t a tan tan sec ⎰=tdt sec1)tan ln(sec C t t ++=122)ln(C ax a a x ++-=C a x x +-+=)ln(22)ln (1a C C -=.当a x -<时，令t a x sec -=)02(<<-t π.⎰-dx ax 221⎰-⋅-=dt t a t t a tan tan sec ⎰=tdt sec1tan sec ln C t t ++=122)ln(C aa x a x +---=C a x x +---=)ln(22)ln (1a C C -=.综上所述，⎰-dx ax 221C a x x +-+=22ln . 例21.求⎰-dx x x 52)1(. 解: 令t x -=1.)1(52⎰-dx x x⎰--=)()1(52dt t t ⎰+--=dt t t t 5221 ⎰+--=---dt t t t )2(345C t t t ++-=---234213241 34)1(32)1(41x x ---= C x +-+2)1(41. 例22.求13⎰-dx x x .解: 令12+=tx .13⎰-dx x x ⎰+=tdt t t 2)1(32 ⎰+++=dt t t t )133(2246C t t t t ++++=)5371(2357C t t t t ++++=)15371(224623)1(53)1(71[12-+--=x x xC x ++-+]1)1(.§4.3 分部积分法1.分部积分公式: 设)(x u u =及)(x v v =具有连续导数.⎰'dx v u ⎰'-=vdx u uv .或 ⎰udv ⎰-=vdu uv . 例1. cos ⎰⋅xdx x⎰-⋅=xdx x x sin sinC x x x ++⋅=cos sin .例2. ⎰⋅dx e x x⎰-⋅=dx e e x xxC e e x xx+-⋅=.例3. 2⎰⋅dx e xx⎰-⋅=dx xe e x xx22C e xe e x xxx+--⋅=)(22C x x e x++-=)22(2.例4.求 ln⎰⋅xdx x⎰-⋅=xdx x x 21ln 212C x x x +-⋅=2241ln 21. 例5. arccos⎰xdx⎰-+=dx xx x x 21arccos x d x x x +⎰---=)1()1(121arccos 2212C x x x +--=21)1(21arccos 212C xx x +--=21arccos .例6. arctan⎰xdx x⎰+-=dx xx x x 222121arctan 21 ⎰+--=dx x x x )111(21arctan 2122 C x x x x +--=)arctan (21arctan 212 C x x x +-+=21arctan )1(212. 例7.求 sin ⎰xdx e x.解: sin ⎰xdx ex⎰+-=xdxe x e xx cos cos⎰-+-=xdxe x e x e xxxsin sin cos解得sin ⎰xdx e xC x x e x +-=)cos (sin 21. 例8.求 sec 3⎰xdx . 解: sec 3⎰xdx⎰-=xdx x x x 2tan sec tan sec⎰--=dx x x x x )1(secsec tan sec 2⎰+⎰-=xdx xdx x x sec sec tan sec 3xx x x tan sec ln tan sec ++=⎰-xdx 3sec解得sec 3⎰xdx x x x x tan sec ln tan (sec 21++=C +.例9.求 sin ⎰dx x . 解: 令2t x =，则 sin ⎰dx x ⎰=tdt t sin 2⎰+-=tdt t t cos 2cos 2 C t t t ++=sin 2cos 2 C x x x ++=)sincos(2.§4.4 有理函数的积分 1.任一多项式)(x Q 在实数范围内能分解成一次因式和二次因式的乘积:βα)()()(0b x a x b x Q --=μλ)()(22s rx x q px x ++++ 其中042<-q p， (042)<-s r .2.任一有理真分式)()(x Q x P 可分解成部分分式之和:a x A a x A x Q x P -++-=αα)()()(1……………………bx B b x B -++-+ββ)(1λ)(211q px x N x M ++++)(2q px x N x M ++++λλ………………………………μ)(211s rx x S x R ++++)(2s rx x S x R ++++μμ例如. ①2541232++++x x x x )2()1(122+++=x x x 21)1(2+++++=x C x B x A ，右边分母通分，分子相加后比较等式两边分子同次幂的系数得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+1220231C B A C B A C B解得2=A ，4-=B ，5=C，则2541232++++x x x x 2514)1(22+++-++=x x x .②3243-++x x x )3)(1(42++-+=x x x x312++++-=x x C Bx x A ， 右边分母通分，分子相加后比较等式两边分子同次幂的系数得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=+4310C A C B A B A解得1=A ，1-=B ，1-=C，则3243-++x x x 31112++--+-=x x x x . 3.几个有理函数的积分：① 25⎰-dx x )2(215⎰--=x d x C 2ln 5+-=x . ② )2(33⎰-dx x )2()2(133⎰--=x d x C )2(232+--=-x .③ 52232⎰+-+dx x x x52342232⎰+-+=dx x x x5231022232⎰+-+-=dx x x x ⎰+--=dx x x x 5222232⎰+-+dx x x 52152 ⎰+-+-=)52(5212322x x d x x ⎰+-+dx x 222)1(15 )52ln(232+-=x x ⎰-+-+)1(2)1(1522x d x )52ln(232+-=x xC x +-+21arctan 25. 218P15.令2tanx u =，则u x arctan 2=，⎰+dx xcos 31 ⎰+⋅+-+=du u u u 222121131 ⎰+=du u 22412 ⎰+=du u 2211121 C u +=21arctan 21C x +=)2tan 21arctan(21. 218P 22.令4xu =，则4u x =，⎰+dx xx 41 ⎰⋅+=du u uu 3241 ⎰++-=du u u )111(4 C u u u +++-=)1ln(4422C x x x +++-=)1ln(44244.218P 23.令xx u +-=11，则2211uu x +-=.⎰+-xdx x x 11 ⎰+-⋅-+⋅=du u u u u u ])1(4[112222⎰+--=du u u u )1)(1(4222 ⎰+-=du u 11⎰--du u11 ⎰++du u212 uu -++-=1ln )1ln(C u ++arctan 2xx x x ++-+--=1111lnC xx ++-+11arctan2.。