求解变力做功的四种方法
有关变力做功问题的求解
有关变力做功问题的求解在整个高中物理教学和学习中，力学问题是高中物理学习的基础，是重点，也是难点。
而在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。
那么变力做功的情况有那些？又如何来求解呢？下面就根据本人在高中物理教学中一点所得进行简单的总结。
1，运用等值法求变力做功求某个过程中的变力做功，可以通过等效法把求该变力做功转换成求与该变力做功相同的恒力的功，即该变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。
等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。
一般在某一恒力F 通过轻绳或轻杆在不受任何摩擦的情况下给某一物体的变力做功就等于该恒力做的功。
此时可用功定义式W ＝ cos Fs 求恒力的功，从而可知该变力的功。
这里要特别提醒的是，这种方法一般只用于求解大小恒定方向变化的变力做功问题。
例1、如图1所示，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为恒定F ，滑块沿水平面由A 点前进s 米至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。
求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 大小也等于T 。
T 在对物体做功的过程中大小不变，但其方向在时刻改变，因此该问题是变力做功的问题。
但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。
而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。
解：由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中拉力F 的作用点位移大小为：△S=S 1-S 2=h/sin α-h/sin β所以：W T =W F =F △S=Fh(1/ sin α-1/ sin β)2，运用微元法求解变力做功当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角或者说力的方向与速度方向的夹角不变，且力与速度的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可以认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
变力做功的计算
变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020变力做功的计算公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。
一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。
但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。
求此过程中摩擦力所做的功。
图1思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。
图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。
误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。
必须注意本题中的F是变力。
小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。
如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。
［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。
则转动半圆，这个力F做功多少图3答案：。
二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。
如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。
小专题复习课(变力做功求解四法)
答案:-125 J
3.利用W=Pt求解 在功率给出且保持不变的情况下，利用W=Pt可求出变力所 做的功. 【典例6】质量为5 t的汽车以恒定的输出功率75 kW在一条平直
的公路上由静止开始行驶，在10 s内速度达到10 m/s，求摩擦
阻力在这段时间内所做的功.
【深度剖析】汽车的功率不变，根据P=Fv知，随着速度v的增大， 牵引力将变小，不能用W=Fl求功，但已知汽车的功率恒定，所 以牵引力在这段时间内所做的功WF=Pt=75×103× 10 J=7.5×105 J
轴及x=5 m所围面积,即 W1 10 5 5 J 37.5 J; W2为F2做的功,数
值等于F2图线跟坐标轴及x=5 m所围面积,即 W2 5 5 J 12.5 J, 所以Ekm=37.5 J-12.5 J=25 J. 答案:25 J
2 2
W外=ΔEp=mgΔh= 1 mg
答案: 1 mg
2
2
a 2 b2 b .
a 2 b2 b
1.(化变力为恒力)如图所示,质量为2 kg的木块套在光滑的竖
直杆上,用60 N的恒力F通过轻绳拉木块,木块在A点的速度vA=
3 m/s,则木块运动到B点的速度vB是多少?(木块可视为质点,g 取10 m/s2)
【典例4】如图所示，质量m=1 kg的物体从轨道上的A点由静止 下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点h=0.8 m.物体到达B点时 的速度为2 m/s，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功.
【深度剖析】物体由A运动到B的过程中共受到三个力作用:重力 G、支持力FN和摩擦力Ff.由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力 均为变力．但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做功，
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法变力做功是物理学中的一个重要概念。
力可以改变物体的状态，让物体移动、加速或减速。
做功就是施加力使物体移动的过程中能量的转移。
以下将介绍几种常见的变力做功的方法。
1.推力做功：将物体推向前方时，施加的力与物体的位移方向一致，即力和位移向量的夹角为0度。
例如，我们推车子或推行李箱时，就是通过推力来做功。
2.拉力做功：这种方式与推力做功相反，即施加的力与物体的位移方向相反，力和位移向量的夹角为180度。
例如，我们拉拽一根绳子或拉弓发射箭矢时，施加的力与物体的运动方向相反。
3.重力做功：重力是地球吸引物体向地心运动的力。
当一个物体从高处下落时，重力对物体做功。
在这种情况下，重力与物体的位移方向相同，力和位移向量的夹角为0度。
4.弹力做功：当有弹簧或橡皮带等弹性物体被拉伸或压缩时，会产生弹力。
弹力做功是将弹性势能转化为动能的过程。
例如，我们拉伸弓弦时，弓的张力对箭矢做功，让它飞行。
5.摩擦力做功：当物体在表面上移动时，与表面接触的粒子之间会产生摩擦力。
摩擦力做功是将机械能转化为热能的过程。
例如，我们用力推动一个滑动在地面上的物体时，摩擦力会做功，使物体停下来。
6.磁力做功：磁力是磁体之间的相互作用力。
当磁场改变时，施加在物体上的磁力会做功。
例如，我们用电磁铁吸起一个金属球时，磁力会做功，将物体从地面抬起。
7.电力做功：电力是在电子之间产生的相互作用力。
当电流通过电阻产生的电阻力与电子的移动方向相对立时，电力会做功。
例如，电流通过电灯丝时，电力会转化为热能和光能，使灯泡发亮。
总结起来，变力做功的方法主要包括推力做功、拉力做功、重力做功、弹力做功、摩擦力做功、磁力做功和电力做功。
通过施加不同的力，我们可以改变物体的状态和能量的转移，从而实现各种实际应用。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。
方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。
解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。
此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。
理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。
方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。
例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
变力做功(微元法、平均力法、图像法)
第一次击入深度为x1，平均阻力F1= 1/2× kx1，
做功为W1= F1 x1=1/2×kx21.
第二次击入深度为x1到x2，
平均阻力F2=1/2× k(x2+x1), 位移为x2-x1，
做功为W2= F2(x2-x1)=1/2× k(x22-x21).
两次做功相等：W1=W2.
解后有：x2＝ 2 x2=1.41cm.
例一 一辆马车在恒定大小摩擦力力f=100N的作用下 绕半径为50m的圆形轨道做匀速圆周运动，当车运 动一周回到原位置时，摩擦力所做的功为多少？
解： 阻力的方向时刻在变，是变力做功的问题，不 能直接由功的公式计算。
采用微元法解之，将圆分成很多很多小段，在这些小 段中，力可以看作恒力，于是
ΔW1=-fΔl1
③恒力做功多少只与Ｆ、L及二者夹角余弦有关，而 与物体的加速度大小、速度大小、运动时间长短等都 无关，即与物体的运动性质无关，同时与有无其它力 做功也无关。
二.变力做功
对于变力做功不能依定义式
W Flcos
直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。
基本原则——过程分割与代数累积
1.可用（微元法）无限分小法来求, 过程无限分小后， 可认为每小段是恒力做功。
7.2《功》 变力做功的几种求法
一、复习引入
1.定义：物体受到力的作用，并在力方向上发生一段 位移，就说力对物体做了功.
2.公式：W=Flcosα，其中α为F与l的夹角，F是力的大 小，l一般是物体相对地面的位移，而不是相对于和它 接触的物体的位移.
3.应用中的注意点
①公式只适用于恒力做功
② F和S是对应同一个物体的；
例3. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法变力做功是物理学中的一个重要概念，指的是通过施加力使物体移动，并且力的方向与物体的位移方向相同，从而产生功。
在物理学中，变力做功的几种常见的方式包括：1.恒力做功：恒力做功是指当施加于物体上的力保持恒定，并且力的方向与物体的位移方向相同时所产生的功。
例如，当将物体按直线方向推动时，施加力的大小和方向始终保持不变，这时产生的功就是恒力做的功。
2.弹力做功：弹力做功是指当施加于弹性物体上的力使其发生形变，并且力的方向与变形的方向相同时所产生的功。
例如，当将弹簧压缩或拉伸时，弹簧将会产生弹力，并且完成对外做功的过程。
3.重力做功：重力做功是指当物体受到重力的作用时所产生的功。
例如，将物体从高处抬升到低处，重力将会对物体做功，使物体下降。
此时，重力与物体的下降方向相同，从而产生重力做的功。
4.摩擦力做功：摩擦力做功是指当物体在摩擦力的作用下移动时所产生的功。
例如，当将物体沿水平面上的表面推动时，摩擦力将与物体的运动方向相反，并且产生摩擦力做的功，将物体减速或停止。
5.推力做功：推力做功是指当物体受到推力的作用时所产生的功。
例如，当用力将物体沿斜面推动时，推力将与物体的位移方向一致，并且产生推力做的功，使物体上升或下降。
除了上述几种方式之外，还有其他一些特殊情况下的功。
例如，当物体围绕固定点旋转时，所受到的转动力矩将使物体围绕轴旋转，并且产生转动功。
而当应力作用下的材料发生变形时，所施加的应力将会对材料做功，称为弹性势能的转化。
总之，变力做功具有多种方式，这些方式在物理学中都有着重要的应用。
通过研究和理解这些不同的方式，可以更好地理解和应用物理学的知识，并且在实际生活中解释和分析各种物理现象。
变力做功的四种类型
变力做功的四种类型①利用平均值法求变力做功（或示功图） ②分过程求变力做功。
③微元法求变力作功。
④转移法（将变力转做为恒力做功）例1：质量为1kg 的物体在变力作用下，自静止起加速运动，已知作用F 随位移S 变化的规律是：F=（10+3S ）N ，则该物体经4m 位移后力F 做的功为多少焦？解法一：因变力F 随位移S 线性变化，则变力F 的平均F 为：12(1030)(1034)1622F F F N ++⨯++⨯=== 变力F 所做的功为：16464W FS J ==⨯= 解法二：力F 随位移S 是均匀增大的，据此做出F=S 图象，因为功是力在空间积累的效果，所以力F 所做的功等于图形中梯形的面积。
“即”121(1022)42 =64JW =+⨯（a+b ）h=巩固练习一、劲度系数为k 的弹簧，用力拉它，当它伸长x 时，所用的拉力为F ，求此力所做的功。
解：由于力F 的大小与位移成正比，所以变力F 可以用平均力来替代，也就是说，变力F 做的功等于它的平均力F 做的功即：2122o kx W FS x kx +=== 示功图为： S 面=例2：以一定初速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力的大小恒为（）A 、零B 、fh -C 、2fh -D 、4fh -分析：整个过程，小球所受阻力的方向变化了，所以是变力，如何求这一变力做的功，可分段处理，上升和下降阶段，阻力均做负功，且均为fh -，故总功为2fh -.例3：沿着半径为R 的圆周做匀速运动的汽车，运行一周回到原出发点的过程中，牵引力和摩擦力各做功为多少？已知摩擦力f解析：做圆周运动的物体，速度方向总沿其切线方向，故牵引力也沿其切线议长阻力与牵引力方向相反，故这两个力都是变力，则采用微元法解决。
把圆周分成无数小段，在第一小段里可以看成作直线运动：则牵引力做功 123n WF F S F S F S F S =∆+∆+∆++∆ 123=F(S +S +)n S S ∆∆∆++∆=f.2R π 同理摩擦力做功为： wf=-f.2R π巩固练习：水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R/2和R 的两个半圆构成，现有大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向同时与小球的运动方向一致，则此过程中，拉力做功为 （ ）A 、0B 、FRC 、23RF π D 、2FR π例4：在光滑的水平面上，物体在恒力F=100N 作用下F 从A 点运动到B 点，不计滑轮的大小，不计绳滑轮的质量，及滑轮与绳间的摩擦：已知002.4 37 53H m a β===求拉力F 对物体做的功。
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10:07
栏目 导引
第七章
机械能守恒定律10:07
•
(2015· 西安八校高一联考)某人利用如图所 示的装置，用 100 N 的恒力 F 作用于不计质量的 细绳的一端，将物体从水平面上的 A 点移到 B 点 ．已知α1＝30°，α2＝37°，h＝1．5 m，不计 滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦．求绳的拉力对 物体所做的功．
导引
第七章
机械能守恒定律10:07
[ 解析] (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1 、l2、…、 ln，拉力在每 小段上做的功为 W1、 W2、…、 Wn，因拉力 F 大小不变，方向 始终与物体所在位置的切线方向成 37° 角，所以： W1 ＝ Fl1 cos 37° ， W2 ＝ Fl2 cos 37° ，…， Wn＝ Flncos 37° ， 所以 WF＝ W1 ＋ W2＋…＋ Wn ＝ Fcos 37° ( l1＋ l2＋…＋ ln) π ＝ Fcos 37° ·R＝ 20π J＝ 62.8 J. 3 (2)重力 mg 做的功 WG＝－mgR(1－ cos 60° )＝－ 50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运动方向垂直，所以 WFN ＝ 0.
第七章
机械能守恒定律10:07
• • • •
1．做功的两个必要因素 (1)作用在物体上的力． (2)物体在力方向上的位移． 2．功的表达式：W＝Flcos α，α为力F与位移l的 夹角． • (1)α<90°时，W>0. • (2)α>90°时，W<0. • (3)α＝90°时，W＝0.
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只能用于 F 与位移 l 成线性关系的情况，不能用于 F 与时间 t 成线性关系的情况．
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第七章
机械能守恒定律10:07
图象法求变力做功
• 变力做的功W可用F－l图线与l轴所围成的面积 表示．l轴上方的面积表示力对物体做正功的多 少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少 ．
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第七章
机械能守恒定律10:07
法二：平均力法 拉力 F＝ ks′， 力与位移成正比， 力 F 为线性力， 则平均力为 F 0＋ ks 1 ＝ ＝ ks. 2 2 1 W＝ F s＝ ks2 . 2 1 2 [答案] ks 2
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第七章
机械能守恒定律10:07
微元法求变力做功
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第七章
机械能守恒定律10:07
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• 如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R ＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力F作用下沿圆弧缓慢运 动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始 终为15 N，方向始终与物体所在位置的切线成37° 角．圆弧所对应的圆心角为60°, • BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中： • (1)拉力F做的功； • (2)重力mg做的功； • (3)圆弧面对物体的支持力FN做的功． 栏目
• [答案] (1)62.8 J (2)－50 J
(3)0
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第七章
机械能守恒定律10:07
转换法求变力做功
• 1．分段转换法：力在全程是变力，但在每一个 阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功 ，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的 功． • 2．等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的 功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力 的功．
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第七章
机械能守恒定律10:07
• 如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接 ，另一端与一个质量为m的木块连接，放在光滑的水平 面上，弹簧的劲度系数为k，处于自然状态．现用一 水平力F缓慢拉动木块,使木块向右移动s，求这一过 程中拉力对木块做的功．
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第七章
机械能守恒定律10:07
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第七章
机械能守恒定律10:07
平均值法求变力做功
当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力 F1 ＋ F2 对位移的平均值 F ＝ ，再由 W＝ F lcos 2 α 计算功．
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第七章
机械能守恒定律10:07
用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进 木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进 d，如果铁锤 第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉 子进入木板的深度是( B A． ( 3－ 1)d B． ( 2－ 1) d 5－ 1 d C. 2 2 D. d 2 )
• [答案] 50 J • [ 易错提醒 ] F 做功的位移等于左边绳的变短的部分，而 不等于物体的位移． 10:07
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第七章
机械能守恒定律10:07
[ 解析 ] 在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力 成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比， 可将变力等效为恒力来处理． 根据题意可得 kd 第一次做功： W＝ F1 d＝ d. 2 d′ 第二次做功： W＝ F2 d′＝ kd＋ d′ . 2 联立解得 d′＝ ( 2－ 1) d. F1 ＋ F2 [ 归纳提升 ] 当力为变力，应用平均值法求功时， F ＝ 2
栏目 导引
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第七章
机械能守恒定律10:07
[ 解析 ] 绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所 以不能直接根据 W＝ Flcos α 求绳的拉力对物体做的功． 由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力 F 做的功和绳对物 体的拉力做的功相等．本题可以通过求恒力 F 所做的功求出绳 对物体的拉力所做的功．由于恒力 F 作用在绳的端点，故需先 求出绳的端点的位移 l，再求恒力 F 的功． 由几何关系知，绳的端点的位移为 h h 1 l＝ － ＝ h＝ 0.5 m sin 30° sin 37° 3 在物体从 A 移到 B 的过程中，恒力 F 做的功为 W＝ Fl＝ 100× 0.5 J＝ 50 J. 故绳的拉力对物体所做的功为 50 J.
• 当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或 反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这 样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段 上的功，再求和即可．
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第七章
机械能守恒定律10:07
• 例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着圆 周的切线方向的一个力F的作用下绕圆周运动了一圈 ，又回到出发点．已知圆周的半径为R，求力F做的功 时，可把整个圆周分成很短的间隔Δs1、Δs2、Δs3…在 每一段上，可近似认为F和位移Δs在同一直线上并且 同向，故 • W＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝2πRF. • 因此功等于力F与物体实际路径长度的乘积．即 • W＝Fs. • 对于滑动摩擦力、空气阻力，方向总是与v反向，故 • W＝－Ff· s.
[解析 ] 缓慢拉动木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力 等于弹力的大小 F＝ ks′，是变力． 法一：图象法 力 F 随位移 s′变化的关系如图所示，则力 F 所做的功在数值 上等于图线 OA 与所对应的横轴所包围的面积，即等于△ OAs 的面积．则：
1 1 W＝ s· ks＝ ks2 . 2 2