(完整版)三角换元(高二)
高二数学 简单的三角恒等变换(3个课时)教案
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P - 14T T -。
公开高中复习三角换元法
解：由题可知 0，, ] 2
则原式变为：y sin t cost 2 sin(t ， )
4
t ，[0, ] 2
所以：t
4
4
, 34，所以：
1 y ，2
即 y的值域是 [1, 2.]
小结：本题中令 x sin2 t 的形式，主要发现值域 的联系，又有去根号的需要。
关系进行转换。
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四、总结
1.三角换元法适用的题型是应用于去根号，或者是 变换三角函数形式易求时。注意“两种情形”.
2.当用三角换元时，换元之后一定要带上“新的自变 量”的取值范围(注：是等量代换).
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五、暑期课程安排
1. 重点复习高一所学习的四本必修中的重点、 难点以及易错点；
2. 在查缺补漏的基础上 注重方法的教学，使 各个知识点有机的结合，从而使学生能够 将所学知识系统的联系在一起；
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谢谢大家！
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注意两种情形当用三角换元时换元之后一定要带上新的自变量的取值范围重点复习高一所学习的四本必修中的重点难点以及易错点
一、引入
换元法： 又称变量代换法。通过引进新的变量，把分
散的条件联系起来，把条件与结论联系起来，变 为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
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二、三角换元法
三角换元法： 是换元法的一种，应用于去根号，或者
解：y sin x cosx sin x cosx
令 sin x cosx t，则 t [ 2, 2] ，
则由 (sin x cos x)2 sin2 x cos2 x 2sin x cos x 得：
t2 1 sin x cos x
不定积分三角换元公式
不定积分三角换元公式
在求解一些三角函数的不定积分时，可以采用三角换元公式来简化计算。
以下是几种常见的三角换元公式：
1. $int sin x mathrm{d}x=-cos x+C$
2. $int cos x mathrm{d}x=sin x+C$
3. $int tan x mathrm{d}x=-ln|cos x|+C$
4. $int cot x mathrm{d}x=ln|sin x|+C$
5. $int sec x mathrm{d}x=ln|sec x+tan x|+C$
6. $int csc x mathrm{d}x=-ln|csc x+cot x|+C$
这些公式可以通过三角恒等式和逆三角函数的性质得到。
在应用这些公式时，需要注意三角函数的定义域和值域，避免出现定义域外或除数为零的情况。
使用三角换元公式可以将复杂的三角函数不定积分转化为简单的代数式不定积分，极大地方便了计算。
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(完整版)三角换元(高二)
三角换元（一）三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题．x=cos θ2,y=tanθ, 其中θ∈[0,π2)，则|x|−|y|=cos θ2−tan θ=cos θsin θ-2, 表示点(0,2)与单位圆2x +2y =1,x ∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，如下图：因此，可计算得斜率的范围为(−∞,−3]，故题中所求代数式的最小值为3．例2 设 x,y 为实数，若2x −xy+2y =1，求x+2y 的取值范围． 分析 联想到θsin 2+θcos 2=1，考虑将题中2x −xy+2y =1变形，然后用三角换元进行求解．解 题中等式可化为22y -x ）（+2y 43=1, 进行三角换元，令x=2y +cos θ,y=sin θ32, 其中θ∈[0,2π)，解得x=31sin θ+cosθ,y=sin θ32,, 所以x+2y=35sinθ+cosθ=328sin(θ+φ),其中sinφ=1421,cosφ=1475． 因此，x+2y 的取值范围为[−3212,3212]． 总结(1)常用于三角换元的三角恒等式有sin 2θ+cos 2θ=1,αcos 12−tan 2α=1, (2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可．(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；练习由(x −3)2+(4−x)2=1，可令x -4=cos θ, 其中θ∈[0,2π]，此时题中函数化为 f(θ)=sinθ+3cosθ,其中θ∈[0,2π]，结合辅助角公式，得 f(θ)=2sin(θ+3π), 其中 θ∈[0,2π]，因此，f(θ)的取值范围为[1,2]，故原函数的值域为[1,2]．总结(1)当题中出现两个无理式相加减的形式，且其“平方和”或“平方差”为定值时，可根据三角恒等式进行换元；(2)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也。
三角换元解解析几何
三角换元解解析几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角换元解解析几何，是指利用换元法对三角形相关问题进行求解的方法。
在解析几何中，三角形是一个非常重要且常见的几何形状，其性质和定理牵涉广泛，因此掌握三角换元解解析几何方法对于解析几何的学习具有重要意义。
首先，我们需要了解什么是三角换元。
三角换元是指将一个三角形中的一些变量用其他变量表示出来，通过代入新的变量并整理方程，解决三角形相关问题的方法。
在解析几何中，常见的换元方法有正弦定理换元、余弦定理换元、海伦公式换元等。
举个例子来说明三角换元解解析几何的应用。
假设我们需要求解一个三角形的面积，但是已知的条件只有三边的长度a、b、c，这时可以利用海伦公式进行换元。
海伦公式可以表示为：\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]其中，\(s = \frac{a+b+c}{2}\)为半周长。
我们可以将海伦公式中的\(s\)用\(s = \frac{a+b+c}{2}\)进行替换，代入a、b、c的值，最终求得三角形的面积。
另一个例子是通过正弦定理换元求解三角形的高。
正弦定理可以表示为：\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]如果我们需要求解三角形的高h，可以先假设三角形的高为h，那么h与三角形的底边a、对边A之间存在如下关系：\[h = a \sin A = b \sin B = c \sin C\]通过正弦定理换元，我们可以将三角形的底边a、对边A用高h表示出来，从而求解出三角形的高。
三角换元解解析几何的方法还可以应用在诸如三角形内切圆、外接圆、高角线等相关问题的求解中。
例如，在研究三角形的内切圆时，我们可以利用三角换元方法将内切圆的半径r与三角形的周长P、半周长s之间建立联系，然后通过代入、整理方程求解出内切圆的半径r。
总的来说，三角换元解解析几何是解析几何中一种重要的解题方法，通过将三角形中的各种变量进行换元，可以将问题简化并得到解答。
三角换元(高二)
三角换元(一) 三角换元就是一种用三角函数中得角度θ代替问题中得字母参数,然后利用三角函数之间得关系而达到解题目得得一种换元方法,此方法应用非常广泛,本文主要介绍利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1及其变形形式,来处理多元代数式得最值或取值范围问题.例1 已知实数x,y 满足2x −42y =4,则|x|−|y|得最小值就是______.分析 题中代数式2x −42y =4就是平方差为常数得形式,可以考虑利用三角代换处理.解 题中代数式可变形为22x）（−2y =1,令 x=cos θ2,y=tan θ, 其中θ∈[0,π2),则|x|−|y|=cos θ2−tan θ=cos θsin θ-2, 表示点(0,2)与单位圆2x +2y =1,x ∈(0,1]上得点连线得斜率得相反数,如下图:因此,可计算得斜率得范围为(−∞,−3],故题中所求代数式得最小值为3.例2 设 x,y 为实数,若2x −xy+2y =1,求x+2y 得取值范围.分析 联想到θsin 2+θcos 2=1,考虑将题中2x −xy+2y =1变形,然后用三角换元进行求解.解 题中等式可化为22y -x ）（+2y 43=1, 进行三角换元,令x=2y +cos θ,y=sin θ32, 其中θ∈[0,2π),解得 x=31sin θ+cos θ,y=sin θ32,, 所以 x+2y=35sin θ+cos θ=328sin(θ+φ), 其中sin φ=1421,cos φ=1475. 因此,x+2y 得取值范围为[−3212,3212]. 总结(1)常用于三角换元得三角恒等式有sin 2θ+cos 2θ=1,αcos 12−tan 2α=1, (2) 利用三角恒等式,可将多元代数式得变元用θ代替,进而使变元减少,然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可.(3)三角换元就是换元法得一种,换元后一定注意新变元得范围,也就就是需要根据题意给出θ得合理范围;练习1.设x,y 为实数,若42x +2y +xy=1,则2x+y 得最大值就是______.由(x −3)2+(4−x)2=1,可令θ,x -4=cos θ,其中θ∈[0,2π],此时题中函数化为 f(θ)=sin θ+3cos θ,其中θ∈[0,2π],结合辅助角公式,得 f(θ)=2sin(θ+3π),其中 θ∈[0,2π],因此,f(θ)得取值范围为[1,2],故原函数得值域为[1,2].。
三角函数换元法求积分
三角函数换元法求积分
三角函数换元法是一个常用的数学积分方法，可以将一般的积分变换为三角函数的积分，从而更容易求解。
在三角函数换元法中，给定函数f(x)，可以使用换元积分公式将积分F(x) = ∫f(x)dx 转化为另一个三角函数积分G(θ) = ∫g(θ)dθ，例如，将 f(x) = x^2 转化为g(θ) = sin^2θ，从而F(x) = ∫x^2dx 就可以转化为G(θ) = ∫sin^2θdθ 。
此外，换元积分公式也可以用来求解带限因式的多元积分，例如，设 F(x,y) = ∫_Rf(x,y)dx dy，其中R是区域，f(x,y)为R上的某函数，根据换元积分的思想，可以将F(x,y) = ∫_Rf(x,y)dx dy 换元到G(x,θ) = ∫_Sg(x,θ)dS，其中S是另一域，g(x,θ)为S上的某函数。
在这种情况下，将R范围的积分变换到S范围的积分就容易多了。
同样，将三元积分F(x,y,z) = ∫_Rf(x,y,z)dx dy dz 换元得到G(x,y,θ,φ) = ∫_Sg(x,y,θ,φ)dS也很容易。
因此，三角函数换元法是解决积分问题的一种有用方法。
它可以轻松地将一般的积分变换为三角函数的积分，也可以把限定的多元积分变换为更易于计算的新积分。
不过，换元积分公式也存在一定的风险，尤其是在使用混合坐标时。
并且，在进行换元转换之前，应该认真研究所给函数，以保证转换的准确性。
高中数学复习指导：三角函数中常见的三种换元类型
π
2
+
π
4
)
= sin( 2θ +
π
4
)=
2 (sin 2θ + cos 2θ ) 2
=
2 (2 sin θ cosθ + cos 2 θ − sin 2 θ ) 2
=
2 4 3 3 4 31 2 [2 × (− ) × + ( ) 2 − (− ) 2 ] = − . 2 5 5 5 5 50
二、三角式换元： 三角式换元： 例 3、已知 f ( x) = −2a sin(2 x +
sin x + cos x = a + b 是关于 a、b 的一次式，而 sin x cos x = ab 是关于 a、b 的二次式，根
据用“低次”表示“高次”的思想，可设 sin x + cos x 为一个新元. 解：设 sin x + cos x = t ，两边平方得：1 + 2sin x ⋅ cos x = t 2 ，
sin x ⋅ cos x =
t2 −1 π ，又 t = sin x + cos x = 2 sin(x + ), 2 4
∴ t ∈ [ − 2, 2] .
f ( x) = t +
t 2 − 1 t 2 + 2t − 1 (t + 1)2 − 2 = = ， 2 2 2
(t + 1) 2 − 2 g(t) = 的对称轴为 t = −1 ， 2
y 3 x y = cos θ， = sin θ ， 5 3
解： C即 : ( ) 2 + ( ) 2 = 1 ，因此令
x 5
于是 C 上一点可以设为 P(5cosθ ,3sinθ ) ， P 到 l : 4 x − 5 y + 40 = 0 的距离
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三角换元（一）
三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2θ+cos2θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题．
x=cos θ2,y=tanθ, 其中θ∈[0,π2)，则
|x|−|y|=
cos θ2−tan θ=cos θsin θ-2, 表示点(0,2)与单位圆2x +2y =1,x ∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，如下图：
因此，可计算得斜率的范围为(−∞,−3]，故题中所求
代数式的最小值为3．
例2 设 x,y 为实数，若2
x −xy+2y =1，求x+2y 的取值范围． 分析 联想到θsin 2+θcos 2=1，考虑将题中2
x −xy+2y =1变形，然后用三角换元进行求解．
解 题中等式可化为
22y -x ）（+2y 4
3=1, 进行三角换元，令
x=2y +cos θ,y=sin θ3
2, 其中θ∈[0,2π)，解得
x=31sin θ+cosθ,y=sin θ3
2,, 所以
x+2y=
35sinθ+cosθ=328sin(θ+φ),
其中sinφ=1421,cosφ=14
75． 因此，x+2y 的取值范围为[−3212,3
212]． 总结
(1)常用于三角换元的三角恒等式有
sin 2θ+cos 2θ=1,
αcos 12−tan 2α=1, (2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可．
(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；
练习
由(x −3)2+(4−x)2=1，可令
x -4=cos θ, 其中θ∈[0,2
π]，此时题中函数化为 f(θ)=sinθ+3cosθ,
其中θ∈[0,2
π]，结合辅助角公式，得 f(θ)=2sin(θ+3
π), 其中 θ∈[0,2
π]，因此，f(θ)的取值范围为[1,2]，故原函数的值域为[1,2]．
总结
(1)当题中出现两个无理式相加减的形式，且其“平方和”或“平方差”为定值时，可根据三角恒等式进行换元；
(2)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也。