北大附中高三数学第三次调研试卷

北大附中2008第三次调研试卷第Ⅰ卷 （选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P ＝{x ∈N|1≤x ≤10}，集合Q ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，则P ∩Q 等于A ．{－2，3}B ．{－3，2}C ．{3}D ．{2}2．函数f (x )＝11＋x 2（x ∈R ）的值域是A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1]D ．(0，1)3．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列前9项和S 9等于A ．45B ．36C ．27D ．184．设函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0，a ≠1)的图象过点（0，0），其反函数过点（1，2），则a +b 等于A ．3B ．4C ．5D ．65．设直线过点（0，a ），其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，则a 的值为A ．±4B ．±2 2C ．±2D ．± 26．“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．设x 、y 为正数，则有(x+y)(1x ＋4y )的最小值为A ．15B ．12C ．9D ．68．已知非零向量AB 与AC 满足，则△ABC 为A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形9．已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a ＞0)。

若x 1＜x 2，x 1＋x 2=0，则 A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)=f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定10．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为A ．233B ．263C ． 3D ．211．已知平面α外不共线的三点A ，B ，C 到α的距离相等，则正确的结论是 A ．平面ABC 必不垂直于α B ．平面ABC 必平行于αC ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）。

已知加密规则为：明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d 。

例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。

当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 A ．1，6，4，7B ．4，6，1，7C ．7，6，1，4D ．6，4，1，7第Ⅱ卷 （非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.在等比数列{a n }中，前n 项和S n =2n +c ，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于_______________. 14在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是_________（结果用分数表示）15. 水平桌面α上放有4个半径为2R 的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)。

在这4个球的上面放1个半径为R 的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .16. 已知实数x ，y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≥-+.0,0,052,03y x y x y x 则y-2x 的最大值是------------三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95.(Ⅰ)从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率(用数字作答)； (Ⅱ)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率(用数字作答).18.(本小题满分12分)已知向量a =(1，1)，b =(1，0)，c 满足a ·c =0，且|a |=|c |，b ·c >0. (1)求向量c ；(2)若映射f ：(x ，y)→(x ′，y ′)=x a +y c ； ①求映射f 下(1，2)的原象；②若将(x ，y)作点的坐标，问是否存在直线l 使得直线l 上任一点在映射f 的作用下，仍在直线上，若存在求出l 的方程，若不存在说明理由.19.(本小题满分12分)如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC ，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC=90°，AB=AC ，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6. (1)求证：平面ABD ⊥平面ACD ；(2)求二面角A-CD-B 的平面角的正切值；(3)设过直线AD 且与BC 平行的平面为α，求点B 到平面α的距离.20.(本小题满分12分)在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-. （Ⅰ）求sinB 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.21.(本小题满分12分)已知椭圆的焦点是F 1(-4，0)、F 2(4，0)，过F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B|+|F 2B|=10，椭圆上的不同两点A(x 1,y 1)、C(x 2,y 2)满足条件|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列.(1)求椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y=kx+m,求m 的取值范围.22.(本小题满分14分) 已知函数f(x)=31x 3+21(b-1)x 2+cx(b,c 为常数). (1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b,c 的值;(2)若f(x)在x ∈(-∞,x 1)和x ∈(x 2,+∞)上单调递增，且在x ∈(x 1,x 2)上单调递减，又满足x 2-x 1＞1.求证：b 2>2(b+2c).参考答案第Ⅰ卷 （选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.D2.C3.B4.B5.C6.B7.C8.A9.C 10.A 11.D 12.D第Ⅱ卷 （非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上) 13. (4n -1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=2n-1，∵{a n }是等比数列，∴a 1=1，公比q=2. ∴{a n 2}也是等比数列，首项为1，公比为4， ∴a 12+a 22+a 32+…+a n 2=4141--n =31(4n-1). 14..3314, 15. 3R, 16. 0 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17. (Ⅰ)解：任取甲机床的3件产品中恰有2件正品的概率为 P 3(2)=C 23×0.92×0.1=0.243。

(Ⅱ)解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A ，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B 。

则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为 P(A ·B)+P(A ·B )+P(A ·B)=0.9×0.95+0.9×0.05+0.1×0.95 =0.995.解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为 1-P(A ·B )=1-0.1×0.05=0.995.12分18.解：(1)设c=(x ，y)，则⎪⎩⎪⎨⎧>=+=+,0.2022x y x y x∴⎩⎨⎧-==.1,1y x ∴c=(1，-1). 3分(2)①x(1,1)+y(1,-1)=(1,2),∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,23y x∴原象是(23,-21). 6分 ②假设l 存在，设其方程为y=kx+b(k ≠0), 又x a +y c =(x+y ，x-y). ∵点(x+y,x-y)在直线上, ∴x-y=k(x+y)+b,即(1+k)y=(1-k)x-b 与y=kx+b 表示同一直线. ∴b=0,k=-1±2.∴直线l 存在，其方程为y=(-1±2)x. 12分 19.解法一：(1)证明:平面BCD ⊥平面ABC ，BD ⊥BC ，平面BCD ∩平面ABC=BC ， ∴BD ⊥平面ABC.∵AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BD ， 2分 又AC ⊥AB ，BD ∩AB=B ，∴AC ⊥平面ABD ， 又AC ⊂平面ACD ，∴平面ABD ⊥平面ACD. 4分 (2)设BC 中点为E ，连结AE ，过E 作EF ⊥CD 于F ，连结AF.由三垂线定理得∠EFA 为二面角的平面角. 6分 由△EFC ∽△DBC 可求得EF=1.5，又AE=3，所以tan ∠EFA=2，即二面角的平面角的正切值为2. 9分 (3)过点D 作DG ∥BC ，且CB=DG ，连结AG.设平面ADG 为平面α.∵BC ∥平面ADG ，所以B 到平面ADG 的距离等于C 到平面ADG 的距离，设为h ，10分 ∵V C —ADG =V A —DGC =V A —BCD ， ∴31S △ADG ·h=31S △BCD ·AE ， 11分 ∴h=776. ∴点B 到平面α的距离为776. 12分 解法二：如图，以BC 的中点O 为原点，BC 的中垂线为x 轴，OB 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系,则A(0，0，3)，B(0，3，0)，C(0，-3，0)，D(32，3，0).(1)证明:∵CA ·BD =(0，3，3)·(23，0，0)=0，∴CA ⊥BD. 2分又CA ⊥AB ，∴CA ⊥平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面ACD. 4分 (2)设平面ACD 的法向量为S =(a,b,c). ∵S ·AC =0,S ·CD =0.∴⎩⎨⎧=∙=--∙,0)0,6,32(),,(,0)3,3,0(),,(c b a c b a 即⎩⎨⎧=+=--,0632,033b a c b 得⎩⎨⎧-=-=.3,b a b c 取b=-1，得S =(3,-1,1). 7分 又平面CBD 的法向量为OA =(0,0,3)， ∴cos 〈OA ,S 〉=||||S OA SOA ∙=55533=⨯. 8分 ∴tan 〈OA ,S 〉=2.∴二面角A-CD-B 的平面角的正切值为2. 9分 (3)作DEBC ，则平面α就是平面ADE ，且E(23，-3，0).设平面ADE 的法向量n =(p,q,r)，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0DE n AD n 即⎩⎨⎧=-∙=-∙,0)0,6,0(),,(,0)3,3,32(),,(r q p r q p解得⎪⎩⎪⎨⎧==.332,0p r q取p=3，得n =(3,0,2). 11分 ∴B 到平面α的距离d 为d=||n n ∙=77643332=+⨯. 12分20. （Ⅰ）解：在ABC △中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC ACA B=. 所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=.（Ⅱ）解：因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===，217cos 22cos 121525B B =-=⨯-=，2sin 22sin cos 25515B B B ==⨯⨯=.sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=+⨯1750=.12分21.解：(1)由椭圆定义及已知条件知2a=|F 1B|+|F 2B|=10，∴a=5. 又c=4，∴b 2=a 2-c 2=9.故椭圆方程为252x +92y =1. 4分(2)由点B 在椭圆上，可知|F 2B|=|y B |=59，而椭圆的右准线方程为x=425，离心率为54， 由椭圆定义有|F 2A|=54(425-x 1)，|F 2C|=54(425-x 2).依题意|F 2A|+|F 2C|=2|F 2B|. 则54(425-x 1)+54(425-x 2)=2×59. ∴x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为P(x 0，y 0)，则x 0=221x x +=4, 即弦AC 的中点的横坐标为4. 8分 (3)由A(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)在椭圆上得9x 12+25y 12=9×25，9x 22+25y 22=9×25.两式相减整理得9(221x x +)+25(221y y +)(2121x x y y --)=0(x 1≠x 2).将221x x +=x 0=4，221y y +=y 0，2121x x y y --=-k 1(k ≠0)代入得9×4+25y 0(-k1)=0,即k=3625y 0.由于P(4,y 0)在弦AC 的垂直平分线上， ∴y 0=4k+m,于是m=y 0-4k=y 0-925y 0=-916y 0.而-59<y 0<59，∴-516<m<516. 12分 22.解：(1)f ′(x)=x 2+(b-1)x+c ，据题意知x=1和3是方程x 2+(b-1)x+c=0的两根，∴1-b=4，c=3，即b=-3，c=3. 6分 (2)∵f(x)在x ∈(-∞,x 1)和x ∈(x 2,+∞)上单调递增，∴f ′(x)>0， 又f(x)在(x 1,x 2)上单调递减，∴f ′(x)<0.∴f ′(x 1)=f ′(x 2)=0,∴x 1,x 2是方程x 2+(b-1)x+c=0的两根，故有⎩⎨⎧=-=+.,12121c x x b x x 10分∵x 2-x 1>1，∴(x 2-x 1)2>1,∴(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(b-1)2-4c=b 2-2(b+2c)+1>1,∴b 2>2(b+2c). 14分。