2010.1海淀高三期末试卷分析(数学)
届北京市海淀区第一学期高三年级期末练习(文)
2010届北京市海淀区第一学期高三年级期末练习数学试卷（文科）1．225sin =（ ）A ．1B ．—1C ．22D ．—22 2．下面给出四个点中，位于⎩⎨⎧>+-<-+0101y x y x 所表示的平面区域内的点是（ ）A ．（0，2）B ．（—2，0）C ．（0，—2）D ．（2，0） 3．双曲线222=-x y 的渐近线方程是（ ）A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 3±=D ．x y 2±=4．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（ ）A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样， 系统抽样5．已知n m ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面.下列命题中不．正确的是 （ ）A ．若n m n m //,,//则=βααB ．若αα⊥⊥n m n m 则,,//C ．若βαβα//,,则⊥⊥m mD ．若βαβα⊥⊂⊥则,,m m6．如图，向量b a -等于（ ）A ．2142e e --B ．2124e e --C ．213e e -D ．2133e e +7．若直线l 与直线7,1==x y 分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为（1，—1），则直线l 的斜率为 （ ）A ．31B ．—31 C ．—23 D ．32 8．已知椭圆C ：1422=+y x 的焦点为F 1，F 2，若点P 在椭圆上，且满足|PO|2=|PF 1|·|PF 2| （其中O 为坐标原点），则称点P 为“★点”.那么下列结论正确的是 （ ）A ．椭圆C 上的所有点都是“★点”B ．椭圆C 上仅有有限个点是“★点” C ．椭圆C 上的所有点都不是“★点”D ．椭圆C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★点”第Ⅱ卷（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．抛物线x y 42=的准线方程是____________10．某程序的框图如图所示，则执行该程序，输出的S=11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为__________________.12．在区间[—2，2]上，随机地取一个数x ，则2x 位于0到1之间的概率是____________.13．已知F 1为椭圆12:22=+y x C 的左焦点，直线1:-=x y l 椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A|的+|F 1B|值为_______.14．对于函数)(x f ，若存在区间M M x x f y y b a b a M =∈=<=}),(|{),(],,[使得，则称区间M 为函数)(x f 的一个“稳定区间”.请你写出一个具有“稳定区间”的函数__________;（只要写出一个即可） 给出下列4个函数：①xe xf =)(；②3)(x x f =，③x x f 2cos)(π= ④1ln )(+=x x f其中存在“稳定区间”的函数有_______（填上正确的序号） 15．（本小题共12分）已知集合}1521|{},052|{+<<+=<-+=a x a x P x x x S （I ）求集合S ；（II ）若P S ⊆，求实数a 的取值范围. 16．（本小题共13分）某校高三年级进行了一次数学测验，随机从甲乙两班各抽取6名同学，所得分数的茎叶图如下图所示：（I ）根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高，并说明理由;（II ）现从甲班这6名同学中随机抽取两名同学，求他们的分数之和大于165分的概率.17．（本小题共14分）长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中AB=1，AA 1=AD=2.点E 为AB 中点. （I ）求三棱锥A 1—ADE 的体积； （II ）求证：A 1D ⊥平面ABC 1D 1；（III ）求证：BD 1//平面A 1DE.18．（本小题共13分）函数).(1)(2R a x ax x f ∈++=. （I ）若))1(,1()(f x f 在点处的切线斜率为21，求实数a 的值； （II ）若1)(=x x f 在处取得极值，求函数)(x f 的单调区间. 19．（本小题共14分）已知圆C 经过点)2,0(),0,2(B A -，且圆心在直线x y =上，且，又直线l ：1+=kx y 与圆C 相交于P 、Q 两点. （I ）求圆C 的方程；（II ）若⋅=—2，求实数k 的值；（III ）过点（0，1）作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN面积的最大值.20．（本小题共14分）已知函数.),(,0:}{.,)(*112N n a f a a a R m m x x f n n n ∈==∈+=+如下定义数列其中 （I ）当m=1时，求432,,a a a 的值；（II ）是否存在实数m ，使432,,a a a 构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m 的值，若不存在，请说明理由；（III ）求证：当41>m 时，总能找到.2010,>∈k a N k 使得。
北京市海淀区2010-2011高三数学文科期末考试答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文）答案及评分参考 2011．1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.240x y +-= 10. 19 11.(3,0) 212y x = 12.25π13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（共13分） 解：（I ） x x x f cos 23sin 21)(+=)3sin(π+=x ， ............................... 3分)(x f ∴的周期为π2 （或答:0,,2≠∈k Z k k π）. ................................4分 因为x R ∈，所以3x R π+∈,所以)(x f 值域为]1,1[- . ...............................5分（II ）由（I ）可知，)3sin()(π+=A A f , ...............................6分23)3s i n (=+∴πA, ...............................7分 π<<A 0 , 3433πππ<+<∴A , ..................................8分 2,33A ππ∴+=得到3A π= . ...............................9分,23b a =且B b A a sin sin = , ....................................10分s i n b B =, ∴1sin =B , ....................................11分π<<B 0 ， 2π=∴B . ....................................12分6ππ=--=∴B A C . ....................................13分16. （共13分）解：（I ）围棋社共有60人， ...................................1分 由150301260=⨯可知三个社团一共有150人. ...................................3分 （II ）设初中的两名同学为21,a a ，高中的3名同学为321,,b b b , ...................................5分 随机选出2人参加书法展示所有可能的结果:1211121321{,},{,},{,},{,},{,},a a a b a b a b a b 222312132{,}, {,},{,},{,},{,}a b a bb b b b b b ，共10个基本事件. ..................................8分 设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9分 则事件A 共有111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,}a b a b a b a b a b a b 6个基本事件. ...................................11分 ∴53106)(==A P . 故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35. ................................13分 17. （共13分）解：（I ） 四边形ABCD 为菱形且ACBD O =，O ∴是BD 的中点 . ...................................2分 又点F 为1DC 的中点,∴在1DBC ∆中，1//BC OF , ...................................4分 ⊄OF 平面11BCC B ，⊂1BC 平面11BCC B ,∴//OF 平面11BCC B . ...................................6分 （II ） 四边形ABCD 为菱形,AC BD ⊥∴, ...................................8分 又⊥BD 1AA ，1,AA AC A =且1,AA AC ⊂平面11ACC A ,.................................10分⊥∴BD 平面11ACC A , ................................11分 ⊂BD 平面1DBC ,∴平面1DBC ⊥平面11ACC A . ................................13分 18. （共13分）解：3332222()()2a x a f x x x x -'=-=，0x ≠. .........................................2分（I ）由题意可得3(1)2(1)0f a '=-=，解得1a =， ........................................3分此时(1)4f =，在点(1,(1))f 处的切线为4y =，与直线1y =平行.故所求a 值为1. ........................................4分 （II ）由()0f x '=可得x a =，0a >， ........................................ 5分 ①当01a <≤时，()0f x '>在(1,2]上恒成立 ，所以()y f x =在[1,2]上递增， .....................................6分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+ . ........................................7分 ②当12a <<时，由上表可得()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+ . ......................................11分 ③当2a ≥时，()0f x '<在[1,2)上恒成立，所以()y f x =在[1,2]上递减 . ......................................12分 所以()f x 在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+ . .....................................13分 综上讨论，可知：当01a <≤时， ()y f x =在[1,2]上的最小值为3(1)22f a =+；....................................10分当12a <<时，()y f x =在[1,2]上的最小值为2()31f a a =+； 当2a ≥时，()y f x =在[1,2]上的最小值为3(2)5f a =+. 19. （共14分）解：根据题意，设(4,)P t . (I)设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，由题意可知222||||||,PO OC PC =+即222242t +=+ ， ............................................2分 解得0t =，所以点P 坐标为(4,0). ...........................................3分 在Rt POC ∆中，易得60POC ∠=，所以120DOC ∠=. ............................................4分 所以两切线所夹劣弧长为24233ππ⨯=. ...........................................5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(1,0)Q ， 依题意，直线PA 经过点(2,0),(4,)A P t -，可以设:(2)6tAP y x =+， ............................................6分和圆224x y +=联立，得到22(2)64t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到，2222(36)441440t x t x t +++-= ， ......................................7分 因为直线AP 经过点11(2,0),(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有2124144236t x t --=+， 21272236t x t -=+ ， ..................................... 8分代入直线方程(2)6t y x =+得，212272224(2)63636t t ty t t -=+=++. ..................................9分 同理，设:(2)2tBP y x =-，联立方程有 22(2)24t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩， 代入消元得到2222(4)44160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点22(2,0),(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，22241624t x t -=+， 222284t x t -=+ ，代入(2)2t y x =-得到2222288(2)244t t ty t t --=-=++ . .....................11分 若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点Q (1,0)............................12分 若11x ≠，则212t ≠，21x ≠，所以有212212240836722112136MQt y t t k t x t t -+===----+， 22222280842811214NQt y t t k t x t t ---+===----+................13分 所以MQ NQ k k =， 所以,,M N Q 三点共线，即直线MN 经过定点Q (1,0).综上所述，直线MN 经过定点Q (1,0). .......................................14分20. （共14分）解：（Ⅰ）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=不具有性质P . ...................................1分因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到集合B 中两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m -=成立 . ...................................3分 集合{}*31,C x A x k k N =∈=-∈具有性质P . ....................................4分 因为可取110m =<，对于该集合中任意一对元素112231,31c k c k =-=-，*12,k k N ∈ 都有121231c c k k -=-≠ . ............................................6分 （Ⅱ）若集合S 具有性质P ，那么集合{}(21)T n x x S =+-∈一定具有性质P . ..........7分 首先因为{}(21)T n x x S =+-∈，任取0(21),t n x T =+-∈ 其中0x S ∈， 因为S A ⊆，所以0{1,2,3,...,2}x n ∈，从而01(21)2n x n ≤+-≤，即,t A ∈所以T A ⊆ ...........................8分由S 具有性质P ，可知存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素12,s s ，都有 12s s m -≠， ..................................9分 对上述取定的不大于n 的正整数m ，从集合{}(21)T n x x S =+-∈中任取元素112221,21t n x t n x =+-=+-， 其中12,x x S ∈， 都有1212t t x x -=- ； 因为12,x x S ∈，所以有12x x m -≠，即 12t t m -≠ 所以集合{}(21)T n x x S =+-∈具有性质P ． .............................14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京海淀区2010届高三二模试卷分析(文数)
北京海淀区2010届高三二模试卷分析(文数)2010年高三“二模”试题，因为和新课改接轨所以与往年相比变化很大，然而试题的难度特点和往年比没有大的变化，整份试题一般是形成一个坡度或两个坡度，最多在选择题和填空题中各设置一道较难的题。
而今年的特点是选择题中和填空题各有两道难度较大的题。
另外一个不同点是解答题20题前两问难度适当，特别是文科试卷使得较优秀的考生都能取得较好的成绩(我校的考生最高得分145)。
理科试卷要去的很优秀的成绩就不那么容易了。
于是，客观地说今年的“二模”数学试题理科比往年难度增加很多，文科试题基本上没有太大的变化。
从知识内容来讲，和往年相比变化较大，不仅仅新课改的内容增加了，代数、几何的分值由原来的各占一半到现在的代数大于几何的分值，六个解答题分别考察了三角函数(文科)、概率统计、立体几何导数与不等式、平面解析几何、、数列与函数六个部分的数学知识。
从题型看：今年的试题出现了更多的新题。
因此考试过后，理科考生对试题的评价普遍反映很难。
应该承认对绝大部分考生来说，“新”就是“难”，没有见过的就是难的，既然都见过，当然觉得比较容易。
我们认为今年的数学试题不仅出现了更多的新题型，而且许多题目从解题方法上是非常灵活的。
如理科的第3小题还考察了平面几何的知识(弦切角定理)、第4小题考察了数形结合法比较灵活，给优秀生提供了发挥能力的平台。
第8小题新颖考察出学生的运用图形解决问题的理解深度。
第14小题. 是考核学生阅读数学文章的能力，一旦学生们在读题时失去信心就很难得分了。
(实际上很多优秀生本题都失分了)况且这些题基本上都安排在试卷的前面，这将对考生的心里承受能力是一个严峻的考验。
综上种种原因，这样一套试卷对于优秀生能考出信心，对中等偏下的学生也有发挥的空间。
作为“二模”试卷应该说是一套难得的。
此外，我认为在今年的试题中也出现了一些优秀试题，值得我们在今后的数学教学中给予关注。
例如文科的15、17的第二问、18、20题和理科的第18、19、20题。
北京市海淀区高三第一学期期末考试数学(理科)共10页word资料
北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U ，A B ⊆，那么下列结论中可能不成立的是（ ）（A ）AB A = （B ）A B B =（C ）()U A B ≠∅ð （D ）()U B A =∅ð（2）抛物线22y x =的准线方程为（ ） （A ）18y =-（B ）14y =- （C ）12y =- （D ）1y =- （3）将函数cos 2y x =的图象按向量(,1)4a π=平移后得到函数()f x 的图象，那么（ ）（A ）()sin 21f x x =-+ （B ）()sin 21f x x =+ （C ）()sin 21f x x =-- （D ）()sin 21f x x =- （4）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a c 3=，30B =?，那么角C 等于（ ）（A ）120° （B ）105° （C ）90° （D ）75° （5）位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90︒，且A 、B 两地间的球面距离为3R π（R 为地球半径），那么x 等于（ ）（A ）30 （B ） 45 （C ） 60 （D ）75 （6）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的R x Î都有1(1)()22f x f x +=-+恒成立，且1()12f =，则(62)f 等于 （ ） （A ）1 （B ） 62 （C ） 64 （D ）83（7）已知{},1,2,3,4,5αβÎ，那么使得sin cos 0αβ?的数对(),αβ共有（ ）(A) 9个 (B) 11个 (C) 12个 (D) 13个（8）如果对于空间任意()2n n ³条直线总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n （ ）（A ）最大值为3 （B ）最大值为4 （C ）最大值为5 （D ）不存在最大值 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. （9）22462limnnn ++++= .（10）如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî，， 那么()2f f 轾=臌 ；不等式()1212f x -?的解集是 .（11）已知点1F 、2F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，若12PF F ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为_____________.（12）若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .（13）已知直线0=++m y x 与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，||||OA OB AB +?，那么实数m 的取值范围是 .（14）已知：对于给定的*q N Î及映射*:,N f AB B．若集合C A Í，且C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集． ① 对于2q =，{},,A a b c =，映射:1,f x x A ，那么集合A 的所有好子集的个数为 ；② 对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,A π=，映射:f A B ®的对应关系如下表：x12 3 4 5 6π()f x1 1 1 1 1yz若当且仅当C 中含有π和至少A 中2个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的数组(),,q y z ： ． 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知函数22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++---. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在25,1236ππ轾犏-犏臌上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值. （16）（本小题共12分）已知函数)(x g 是2()(0)f x x x =>的反函数，点),(00y x M 、),(00x y N 分别是)(x f 、)(x g 图象上的点，1l 、2l 分别是函数)(x f 、)(x g 的图象在N M ,两点处的切线，且1l ∥2l ． （Ⅰ）求M 、N 两点的坐标；（Ⅱ）求经过原点O 及M 、N 的圆的方程． （17）（本小题共14分）已知正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱AB的中点，11,BC AA ==.（Ⅰ）求证：//1BC 平面DC A 1； （Ⅱ）求1C 到平面1A DC 的距离； （Ⅲ）求二面角1D AC A --的大小.（18）（本小题共14分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关. 若1≤T ，则销售利润为0元；若31≤<T ，则销售利润为100元；若3>T ，则销售利润为200元. 设每台该种电器的无故障使用时间1≤T ，31≤<T 及3>T 这三种情况发生的概率分别为321,,p p p ，又知21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根，且32p p =.（Ⅰ）求321,,p p p 的值；（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列； （Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值. （19）（本小题共14分）已知点()0,1A 、()0,1B -，P 是一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设()2,0Q ，过点()1,0-的直线l 交C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式tan S MQN λ≤恒成立，求λ的最小值. （20）（本小题共14分）如果正数数列{}n a 满足：对任意的正数M ，都存在正整数0n ，使得0n a M >，则称数列{}n a 是一个无界正数列．（Ⅰ）若()32s i n ()1,2,3,n a n n =+=， 1, 1,3,5,,1, 2,4,6,,2n n nb n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎩分别判断数列{}n a 、{}n b 是D C 1B 1A 1CBA否为无界正数列，并说明理由；（Ⅱ）若2n a n =+，是否存在正整数k ，使得对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立； （Ⅲ）若数列{}n a 是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m ，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<． 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科）参考答案及评分标准 2009.01一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）CABAB DDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） （9）1 （10）1，[0,1] （111（12）94（13）(2,[2,2)- （14） 4，(5,1,3) 三、解答题（本大题共6小题,共80分） (15)（本小题共12分）解：（Ⅰ）22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++-- 2sin(2)6x π=- ………………………………………………4分所以22T ππ==. ………………………………………………5分 由()3222262Z k x k k πππππ+???得所以函数)(x f 的最小正周期为π，单调递减区间为5[,]36k k ππππ++()k ∈Z .………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有()2sin(2)6f x x π=-.因为25,1236x ππ轾犏?犏臌， 所以112,639x πππ轾犏-?犏臌. 因为411sin()sin sin 339πππ-=<，所以当12x π=-时，函数)(x f取得最小值-3x π=时，函数)(x f 取得最大值2.………………………………………………12分（16）（本小题共12分） 解：（Ⅰ）因为2()(0)f x x x =>，所以()0)g x x =>.从而,2)(x x f ='()g x ¢=. ………………………………………………3分所以切线21,l l 的斜率分别为,2)(001x x f k ='=00221)(y y g k ='=.又2000(0)y x x =>，所以2012k x =. ………………………………………………4分 因为两切线21,l l 平行，所以21k k =. ………………………………………………5分从而20(2)1x =.因为00x >， 所以012x =. 所以N M ,两点的坐标分别为)21,41(),41,21(. ………………………………………7分 （Ⅱ）设过O 、M 、N 三点的圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.因为圆过原点，所以0F =.因为M 、N 关于直线y x =对称，所以圆心在直线y x =上. 所以D E =.又因为11(,)24M 在圆上， 所以512D E ==-. 所以过O 、M 、N 三点的圆的方程为：225501212x y x y +--=. ………………12分 （17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG .在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形， ∴DG ∥1BC . ………………………………………2分∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC .………………………………………4分解法一：（Ⅱ）连结1DC ，设1C 到平面1A DC 的距离为h .∵四边形11ACC A 是平行四边形，∴1118C A CD V -=. ………………………………………6分在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点， ∵AD 是1A D 在平面ABC 内的射影，∴1CD A D ^. ………………………………………8分∴111313C A DC A DCV h S -∆==. ………………………………………9分 （Ⅲ）过点D 作DE AC ⊥交AC 于E ，过点D 作1DF A C ⊥交1A C 于F ，连结EF .∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，DE ⊂平面ABC ，平面ABC平面11ACC A AC =，∴DE ⊥平面11ACC A .∴EF 是DF 在平面11ACC A 内的射影.∴DFE Ð是二面角1D AC A --的平面角. ………………………………………12分 在直角三角形ADC中，AD DC DE AC ×==同理可求：118A D DC DF AC ×==.∴DFE ?………………………………………14分解法二：过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作F ED C 1B 1A 1CBAOE BC ⊥交11B C 于E .因为平面ABC ⊥平面11CBB C ，所以AO ⊥平面11CBB C .分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为11,BC AA ==，ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC 的中点.则()0,0,0O ，A ⎛ ⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1A ⎛ ⎝⎭，1(4D ，112C ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………6分 （Ⅱ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则取x =1A DC 的一个法向量为()3,1,3n =-. ………………………………………8分∴1C 到平面1A DC 的距离为：13913CC n n⋅=………………………………………10分 (Ⅲ)解：同（Ⅱ）可求平面1ACA 的一个法向量为()13,0,1n =-. …………………………12分设二面角1D AC A --的大小为θ，则1cos cos ,n n θ=<>=∴θ=. ………………………………………14分 （18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知得1321=++p p p .21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根, ∴511=p ,5232==p p . ………………………………………3分 （Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400. ………………………………………4分()400=ξP =2545252=⨯. ………………………………………9分随机变量ξ的分布列为：ξ 0 100 200 300 400P251 254 258 258 254………………………………………11分 （Ⅲ）销售利润总和的平均值为E ξ=2544002583002582002541002510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=240. ∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.………………………………………14分注：只求出E ξ，没有说明平均值为240元，扣1分. （19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(),x y ，则直线,PA PB 的斜率分别是11,y y x x-+. 由条件得1112y y x x-+?-. 即()22102x y x +=?. 所以动点P 的轨迹C 的方程为()22102x y x +=?. ………………………………………5分 注：无0x ¹扣1分. （Ⅱ）设点,M N 的坐标分别是()()1122,,,x y x y .当直线l 垂直于x 轴时，21212111,,2x x y y y ==-=-=. 所以()()()1122112,,2,2,QM x y QN x y x y =-=-=--. 所以()22111722QM QNx y ?--=. ………………………………………7分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为()1y k x =+,由221,2(1)x y y k x ìïï+=ïíïï=+ïî得()2222124220k x k x k +++-=. 所以 2122, 21422212221k k x x k k x x +-=+-=+. ………………………………………9分 所以()()()12121212122224QM QNx x y y x x x x y y ?--+=-+++.因为()()11221,1y k x y k x =+=+， 所以()()()()2221212217131712422212QM QNk x x k x x k k ?++-+++=-<+.综上所述⋅的最大值是217. ………………………………………11分 因为tan S MQN λ≤恒成立,即1sin ||||sin 2cos MQN QM QN MQN MQNλ⋅≤恒成立. 由于()2171302212QM QNk ?->+. 所以cos 0MQN >.所以2QM QN λ⋅≤恒成立. ………………………………………13分 所以λ的最小值为174. ………………………………………14分 注：没有判断MQN Ð为锐角，扣1分. （20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）{}n a 不是无界正数列．理由如下：取M = 5，显然32sin()5n a n =+≤，不存在正整数0n 满足05n a >；{}n b 是无界正数列．理由如下：对任意的正数M ，取0n 为大于2M 的一个偶数，有0012122n n M b M ++=>>，所以{}n b 是无界正数列． ………………………………………4分（Ⅱ）存在满足题意的正整数k .理由如下： 当3n ³时， 因为12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即取3k =，对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立. ……………………9分 注：k 为大于或等于3的整数即可.（Ⅲ）证明：因为数列{}n a 是单调递增的正数列，所以12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即12123111n n n a a a a n a a a a +++++<-+. 因为{}n a 是无界正数列，取12M a =，由定义知存在正整数1n ，使1112n a a +>. 所以1112123112n n a a a n a a a ++++<-.由定义可知{}n a 是无穷数列，考察数列11n a +，12n a +，13n a +，…，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数2n ，使得()112112122123112n n n n n n a a a n n a a a ++++++++<--.重复上述操作，直到确定相应的正整数4018n .则401840181212140184017231111222n n a a a n n n n n a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<-+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即存在正整数4018m n =，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<成立. ………………………………………14分。
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高三上学期期末练习数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则()A. B. C. D.2.如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为()A. B. C. D.3.已知直线，直线，且，则()A.1B.C.4D.4.已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，O为坐标原点，则()A. B.4 C.5 D.5.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为()A.4B.2C.D.6.已知圆，直线与圆C交于A，B两点.若为直角三角形，则()A. B. C. D.7.若关于x的方程且有实数解，则a的值可以为()A.10B.eC.2D.8.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知是公比为的等比数列，为其前n项和.若对任意的，恒成立，则()A.是递增数列B.是递减数列C.是递增数列D.是递减数列10.蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF是正六边形，棱AG，BH，CI，DJ，EK，FL均垂直于底面ABCDEF，上顶由三个全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG构成.设，，则上顶的面积为()参考数据：，A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，x的系数为__________.12.已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为__________.13.已知点A，B，C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点C到直线AB的距离为__________.14.已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为d，则能使得为某一个等差数列的前n项和的一组，d的值为__________，__________.15.已知函数给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数x，；④当时，存在，，使得对任意，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。
2010年北京海淀区高考二模数学理科试题(word版含解析)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2010．5审核：陈亮 校对：张浩一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则A ．AB ⊂≠B ．B A ⊂≠C ．A B B =D ．A B =∅2．函数()sin(2)3f x x π=+图象的对称轴方程可以为A ．12x π=B ．512x π=C ．3x π=D ．6x π=3．如图，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，连接DB ，若20D ∠=︒，则DBE ∠的大小为A ． 20︒B ． 40︒C ． 60︒D ． 70︒ 4．函数()2ln f x x x =--在定义域内零点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．35．已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为A ．1B ．3-C ．1或3-D ．06．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能 使n α⊥成立的是A ．αβ⊥，m β⊂B ．//αβ，m β⊥C ．αβ⊥，//n βD ．//m α，n m ⊥7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为 A ．16k ≥ B ．8k < C ．16k < D ．8k ≥8．已知动圆C 经过点F (0，1)，并且与直线1y =-相切，若直线34200x y -+=与圆C 有公共点，则圆C 的面积 A ．有最大值为π B ．有最小值为πC ．有最大值为4πD ．有最小值为4π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．在极坐标系中，若点0(,)3A πρ(00ρ≠)是曲线2cos ρθ=上的一点，则0ρ= ．10．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的 标准差，则1s 2s ．（填“>”、“<”或“＝”）11．已知向量a =)0,1(，b =)1,(x ，若a b 2=，则x = ；a b += ． 12． 已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（n ∈N *），则910a a +的值为 ． 13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin a c A =，则a bc+的最大值为 ．14．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，映射:n n f A A →满足： ①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈．．则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．表1 表2（1）已知表2表示的映射f ： 44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16．（本小题满分14分）已知四棱锥P A B C D -，底面A B C D 为矩形，侧棱P A A B C D ⊥底面，其中226B C A B P A ===，M N ,为侧棱PC 上的两个三等分点，如图所示． （Ⅰ）求证：//AN MBD 平面；（Ⅱ）求异面直线AN 与PD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求二面角M BD C --的余弦值．17．（本小题满分13分）为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立． （Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率； （Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望． 18．（本小题满分13分）已知函数2()(2)e ax f x ax x =-，其中a 为常数，且0a ≥． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）若函数()f x在区间上单调递减，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分13分）已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点F (1，0)， 1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点M （4，0）的直线l 与抛物线2C 分别相交于A ，B 两点．（Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；（Ⅱ）若12AM MB =，求直线l 的方程；（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．20．（本小题满分14分）已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈， 2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（Ⅱ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围．海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2010．5说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．1 10．<11．212．48 1314．；84．三、解答题(本大题共6小题，共80分)15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为d，由2446,10a a S+==，可得11246434102a da d+=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，………………………2分即1123235a da d+=⎧⎨+=⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，………………………4分∴()111(1)na a n d n n=+-=+-=，故所求等差数列{}n a 的通项公式为n a n =． ………………………5分 （Ⅱ）依题意，22n n n n b a n =⋅=⋅，∴12n n T b b b =+++231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，………………………7分 又2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，………………9分两式相减得2311(22222)2n n n n T n -+-=+++++-⋅ ………………………11分()1212212n n n +-=-⋅-1(1)22n n +=-⋅-， ………………………12分∴1(1)22n n T n +=-⋅+．………………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结OM ，ABCD 底面为矩形， O AC ∴为中点， ………… 1分 M N PC 、为侧棱的三等分点， CM MN ∴=， //OM AN ∴ ， ………… 3分 ,OM MBD AN MBD ⊂⊄ 平面平面，//AN MBD ∴平面． ………… 4分（Ⅱ）如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(3,6,0)C ，(0,6,0)D ，(0,0,3)P ，(2,4,1)M ，(1,2,2)N ， (1,2,2),(0,6,3)AN PD ==-，………………………5分cos ,AN PD AN PD AN PD⋅∴<>==，………………………7分∴异面直线AN 与PD．………………………8分（Ⅲ） 侧棱PA ABCD ⊥底面，(0,0,3)BCD AP ∴=平面的一个法向量为， ………………………9分设MBD 平面的法向量为(,,)x y z =m ，D(3,6,0),(1,4,1)BD BM =-=-，并且,BD BM ⊥⊥ m m ， 36040x y x y z -+=⎧∴⎨-++=⎩，令1y =得2x =，2z =-， ∴MBD 平面的一个法向量为(2,1,2)=-m ． ………………………11分 2cos ,3AP AP AP ⋅<>==-m m m，………………………13分由图可知二面角M BD C --的大小是锐角，∴二面角M BD C --大小的余弦值为23． ………………………14分17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A ． ………………1分每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有43种等可能的情况…………………2分 事件A 所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分 所以，()431327P A ==． 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为127． ………………5分（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则()13P C =． ………………………6分4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数，因此，随机变量X 服从二项分布．X 可取的值为0，1，2，3，4．………………………8分 ()4412()()33i i iP X i C -==， 0,1,2,3,4i =．．………………………10分分X 的期望为()14433E X =⨯=．……………………13分18．（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）依题意得2()(2)e x f x x x =-，所以2()(2)e x f x x '=-，……………………1分令()0f x '=，得x =………………………2分()f x '，()f x 随x 的变化情况入下表：………………………4分由上表可知，x =函数()f x 的极小值点，x =()f x 的极大值点．………………………5分（Ⅱ） 22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+，………………………6分由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立，……7分当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意,2)x ∈恒成立；．…………………8分当0a >时，()0f x '≤等价于22(22)20ax a x a ---≥，因为x ∈，不等式22(22)20ax a x a ---≥等价于2222a x x a--≥，………………………9分令2(),g x x x x=-∈，则22()1g x x '=+，在上显然有()0g x '>恒成立，所以函数()g x 在单调递增，所以()g x 在上的最小值为0g =， ………………………11分由于()0f x '≤对任意x ∈恒成立等价于2222a x x a--≥对任意x ∈恒成立，需且只需2min22()a g x a -≥，即2220a a-≥，解得11a -≤≤，因为0a >，所以01a <≤．综合上述，若函数()f x 在区间2)上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤． ………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）22()[(22)2]e ax f x ax a x a '=-+-+，………………………6分由函数()f x 在区间上单调递减可知：()0f x '≤对任意x ∈恒成立，即22(22)20ax a x a ---≥对任意x ∈恒成立， …………………7分当0a =时，()2f x x '=-，显然()0f x '≤对任意,2)x ∈恒成立；…………………8分当0a >时，令22()(22)2h x ax a x a =---，则函数()h x 图象的对称轴为21a x a-=，．……………9分 若210a a-≤，即01a <≤时，函数()h x 在(0,)+∞单调递增，要使()0h x ≥对任意x ∈恒成立，需且只需0h ≥，解得11a -≤≤，所以01a <≤；．．………………………11分若210a a->，即1a >时，由于函数()h x 的图象是连续不间断的，假如()0h x ≥对任意x ∈恒成立，则有0h ≥，解得11a -≤≤，与1a >矛盾，所以()0h x ≥不能对任意x ∈恒成立．综合上述，若函数()f x在区间2)上单调递减，则实数a 的取值范围为01a ≤≤． ……13分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，抛物线2C 的方程为：24y x =，…………2分（Ⅱ）设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k k =-≠存在且． 联立2(4)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得 24160ky y k --=，………………3分显然216640k ∆=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则 124y y k+=① 1216y y ⋅=- ②…………………4分 又12AM MB = ，所以 1212y y =- ③…………………5分由①② ③消去12,y y ，得 22k =， 故直线l的方程为y -或y =+ ．…………………6分（Ⅲ）设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n， 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)221nm k n k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m k k n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， …………………8分将其代入抛物线方程，得：222288()411k k k k-=⋅++，所以，21k =． ………………………9分联立 2222(4)1y k x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222222()8160b a k x k a x a k a b +-+-=． ………………………10分由2222222222(8)4()(16)0k a b a k a k a b ∆=--+-≥，得 242222216()(16)0a k b a k k b -+-≥，即222216a k b k +≥，…………………12分将21k =，221b a =-代入上式并化简，得 2217a ≥，所以a ≥，即2a ≥ 因此，椭圆1C． ………………………13分20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得：1()cos ,[0,]f x x x π=∈ ， ………………………1分 2()1,[0,]f x x π=∈ ．………………………2分（Ⅱ）21,[1,0)()0,[0,4]x x f x x ⎧∈-=⎨∈⎩，………………………3分221,[1,1)(),[1,4]x f x x x ∈-⎧=⎨∈⎩ ， ………………………4分22121,[1,0)()()1,[0,1),[1,4]x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩， ………………………5分当[1,0]x ∈-时，21(1)x k x -≤+1k x ∴≥-，2k ≥；当(0,1)x ∈时，1(1)k x ≤+11k x ∴≥+1k ∴≥； 当[1,4]x ∈时，2(1)x k x ≤+21x k x ∴≥+165k ∴≥． 综上所述，165k ∴≥ ………………………6分 即存在4k =，使得()f x 是[1,4]-上的4阶收缩函数． ………………………7分（Ⅲ）()2()3632f x x x x x '=-+=--，令'()0f x =得0x =或2x =．函数()f x 的变化情况如下：令()0f x =，解得0x =或3． ………………………8分 ⅰ）2b ≤时，()f x 在[0,]b 上单调递增，因此，()322()3f x f x x x ==-+，()1()00f x f ==．因为32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，所以，①()()21()20f x f x x -≤-对[0,]x b ∈恒成立；②存在[]0,x b ∈，使得()()21()0f x f x x ->-成立． ………………………9分①即：3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，由3232x x x -+≤，解得：01x ≤≤或2x ≥，要使3232x x x -+≤对[0,]x b ∈恒成立，需且只需01b <≤．…………………10分②即：存在[0,]x b ∈，使得()2310x x x -+<成立．由()2310x x x -+<得：0x <x <<，所以，需且只需b >．综合①②1b <≤． ………………………11分ⅱ）当2b >时，显然有3[0,]2b ∈，由于()f x 在[0,2]上单调递增，根据定义可得： 2327()28f =，13()02f =， 可得 2133273()232282f f ⎛⎫-=>⨯= ⎪⎝⎭，此时，()()21()20f x f x x -≤-不成立． ………………………13分综合ⅰ）ⅱ1b <≤．注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用32只是因为简单而已．。
北京海淀高三文科数学第一学期期末试题及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准2013．1说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A A C B C B D B二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．1 10． 11．12． 13． 14．0；三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I）因为………………6分又，，………………7分所以，………………9分（Ⅱ）由余弦定理得到，所以………………11分解得（舍）或………………13分所以16. （本小题满分13分）解：（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大………………3分（Ⅱ）这辆汽车是A类型车的概率约为这辆汽车是A类型车的概率为………………7分（Ⅲ）50辆A类型车出租的天数的平均数为………………9分50辆B类型车出租的天数的平均数为………………11分答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大,应该购买B型车………………13分答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为 4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以选择A型车………………13分17. （本小题满分14分）解：(I) 连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点又为中点，所以为的中位线，所以………………3分又平面，平面所以平面………………6分(Ⅱ)因为，又为中点，所以………………8分又因为在直三棱柱中，底面，又底面, 所以,又因为，所以平面，又平面，所以………………10分在矩形中, ,所以，所以，即………………12分又，所以平面………………14分18. （本小题满分13分）解：（I）因为所以在函数的图象上又，所以所以………………3分（Ⅱ）因为，其定义域为………………5分当时，，所以在上单调递增，所以在上最小值为………………7分当时，令，得到(舍)当时，即时，对恒成立，所以在上单调递增,其最小值为………………9分当时，即时, 对成立，所以在上单调递减，其最小值为………………11分当,即时, 对成立, 对成立所以在单调递减,在上单调递增其最小值为………13分综上，当时，在上的最小值为当时，在上的最小值为当时, 在上的最小值为.19. （本小题满分14分）解：（I）因为为椭圆的焦点,所以又所以所以椭圆方程为………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到………………5分所以所以………………7分（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,此时, 面积相等，………………8分当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,设和椭圆方程联立得到,消掉得显然，方程有根，且………………10分此时………………12分因为,上式，（时等号成立）所以的最大值为………………14分20. （本小题满分13分）解：（I）由题在是增函数，由一次函数性质知当时，在上是增函数，所以………………3分（Ⅱ）因为是“一阶比增函数”，即在上是增函数，又，有，所以，………………5分所以，所以所以………………8分（Ⅲ）设，其中.因为是“一阶比增函数”，所以当时，法一：取，满足，记由（Ⅱ）知，同理，所以一定存在，使得，所以一定有解………………13分法二：取，满足，记因为当时，，所以对成立只要，则有，所以一定有解………………13分。
北京市海淀区高三数学上学期期末考试试题 理(扫描版)新人教A版
北京市海淀区2014届高三数学上学期期末考试试题理（扫描版）新人教A版海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准2014．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k≠-∈Z . 因为cos2()2sin sin cos xf x x x x =++22cos sin 2sin sin cos x x x x x-=++-----------------------------------2分cos sin x x =+π)4x+，-------------------------------------4分因为在ABC ∆中，3cos 05A =-<，所以ππ2A <<，-------------------------------------5分 所以4sin 5A ==,------------------------------------7分所以431()sin cos 555f A A A =+=-=.-----------------------------------8分9． 2 10．4511. (0,1)；412． 13 14．43；①②③（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π())4f x x +,所以()f x 的最小正周期2πT =. -----------------------------------10分 因为函数sin y x =的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z,-----------------------------------11分又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z , 所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =.--------------------------------3分（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为0.450.290.010.75++=----------------------------------4分由题意可知随机变量X 的取值为：0,1,2,3.----------------------------------5分事件“X k =”的含义是在3次射击中，恰有k 次击中目标靶的环数不低于8环.3333()1(0,1,2,3)44kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----------------------------------8分 即X 的分布列为所以X 的期望是1927279()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.------------------------10分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.---------------------------------13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，AC BD O =,所以O 为,AC BD 中点.-------------------------------------1分又因为,PA PC PB PD ==,所以,P O A ⊥⊥,---------------------------------------3分所以PO ⊥底面A.----------------------------------------4分 （Ⅱ）由底面ABCD 是菱形可得AC BD ⊥,又由（Ⅰ）可知,PO AC PO BD ⊥⊥. 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -.由PAC ∆是边长为2的等边三角形，PB PD ==，可得PO OB OD ===所以(1A C-.---------------------------------------5分所以(1CP =,(1AP =-.由已知可得13(,0,44O FOA A =+= -----------------------------------------6分设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,OB OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.4x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则z =，所以(1,0,=n .----------------------------------------8分因为1cos 2||||CP CP CP ⋅<⋅>==-⋅n n n ，----------------------------------------9分所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12， 所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30.-----------------------------------------10分 （Ⅲ）设BMBPλ=(01)λ≤≤，则(1)CM CB BM CB BP λλ=+=+=-.---------------------------------11分若使CM ∥平面B D F ，需且仅需0CM ⋅=n 且CM ⊄平面B D F ，---------------------12分解得1[0,1]3λ=∈,----------------------------------------13分 所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF .此时BMBP=13.-----------------------------------14分 18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）2e (2)(2)'()(e )e x x xa x a x f x ----==，x ∈R .------------------------------------------2分当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2e --.-----------------------------------------6分 （Ⅱ）(2)'()'()e xa x F x f x --==. ①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------------------------------7分因为(F =>,------------------------------8分若使函数()F x 没有零点，需且仅需2(2)10eaF =+>，解得2e a >-,-------------------9分所以此时2e 0a -<<；-----------------------------------------------10分 ②当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------11分 因为(2F F >>,且10110101110e 10e 10(1)0eea aaF a------=<<,---------------------------12分所以此时函数()F x 总存在零点.--------------------------------------------13分 综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<. 19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得1c =,---------------------------------------1分 由12c a =可得2a =,------------------------------------------2分 所以23b a c =-=,-------------------------------------------3分所以椭圆的方程为22143x y +=. ---------------------------------------------4分 （Ⅱ）由题意可得点3(2,0),(1,)2A M -, ------------------------------------------6分 所以由题意可设直线1:2l y x n =+,1n ≠.------------------------------------------7分 设1122(,),(,)B x y C x y ， 由221,4312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x nx n ++-=.由题意可得2224(3)1230n n n ∆=--=->,即(2,2)n ∈-且1n ≠.-------------------------8分21212,3x x n x x n +=-=-.-------------------------------------9分 因为1212332211MB MCy y k k x x --+=+-------------------------------------10分 121212121212131311222211111(1)(2)1()1x n x n n n x x x x n x x x x x x +-+---=+=++-----+-=+-++2(1)(2)102n n n n -+=-=+-， ---------------------------------13分 所以直线,MB MC 关于直线m 对称. ---------------------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数. -----------------------------------3分（Ⅱ）函数()2x f x =+不是等比源函数. ------------------------------------4分证明如下：假设存在正整数,,m n k 且m n k <<，使得(),(),()f m f n f k 成等比数列， 2(21)(21)(21)n m k +=++，整理得2122222n n m k m k +++=++，-------------------------5分等式两边同除以2,m 得2122221n m n m k k m --+-+=++.因为1,2n m k m -≥-≥，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以等式2122221n m n m k k m --+-+=++不可能成立，所以假设不成立，说明函数()21x f x =+不是等比源函数.-----------------------------8分（Ⅲ）法1：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列. *,d b ∀∈N ，2(1),(1)(1),(1)(1)g g d g d ++成等比数列，因为(1)(1)(1)((1)11)[(1)1]g d g g d g g +=++-=+，2(1)(1)(1)(2(1)(1)11)[2(1)(1)1]g d g g g d d g g g d +=+++-=++，所以(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++*{()|}g n n ∈∈N ，所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分（Ⅲ）法2：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列. 由2()(1)()g m g g k =⋅，（其中1m k <<）可得2[(1)(1)](1)[(1)(1)]g m d g g k d +-=⋅+-，整理得(1)[2(1)(1)](1)(1)m g m d g k -+-=-，令(1)1m g =+，则(1)[2(1)(1)](1)(1)g g g d g k +=-，所以2(1)(1)1k g g d =++，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 中总存在三项(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++成等比数列.所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分。
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• 3、强调中低档题比例不低于70%。 • 4、综合力度加大，文科试题更切合学生实际。
展望2011年高考数学的试题特点
• 1、加强基础知识的考查，突出教学重点 • 2、在多种解法的基础上，注重思想方法创新能
力的考查，变化试题结构和形式 • 3、综合力度加大 • 4、卷面风格的稳定、延续与创新 • 5、注重考查思维与能力
总结
注重考查中学数学的基础知识、基本技 能、基本思想方法。由以往的重视“学科 ”转变为重视考生的“终身学习和发展” 。
解读2011年高考《考试说明》
• 1、考点、整体内容变化很大。 （知识点、考点 增加，增加、修改部分见《考试说明》）
• 2、在多种解法的基础上，注重思想方法创新能力 的培养；通过考查学生对数学知识的认知情感、 态度和价值观，培养学生应用数学知识的实践能 力和创新意识。 （考查空间想象能力、推理论证 能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问 题和解决问题的能力。）
解答题评论
整体的解答题考查的题型还是十分接近高考 常考的知识点的。除了最后两题有一点点 难度，其他的基本纯考查知识应用，只要 弄清题意，复习基本过关，是比较容易拿 下的。最后两题其实也不是特别难，但是 有一些设问同学们比较少接触，导致同学 们对这类题不是特别适应。
试卷整体评论
本次考试总体而言，分析、理解等能力、图表分析、数学思 想等占据考试的主要内容。知识点综合的非常紧密，题目 的考查方式比较新颖，需要学生自行分析考查知识点的成 分较多。即把知识点放在一个较为陌生的环境中去。如填 空题、解答题的一些命题或以图表、或以生活案例来表达 。还有立体几何部分也脱离传统，通过不规则图形来考查 学生的空间想象能力，以及作图能力，大家平时做多了正 规的图形，对这类题应当要引起注意。一般来说，这份卷 子体现在“新”、“综合”上，导致同学们不注意就出错 ，或者花费大量时间，导致考试时间紧张。尤其是选择填 空部分，是拉开分数的关样，以往考查的三 视图多是六面立方体变形，本题考查的是不规则多面体变形，很多考 生缺乏空间想象能力，导致不会做题。选D，图形三个角度如下，分 成2个块以后大家都会了。
本题有一定难度，表面考查立体几何，但还是综合了平面几何、集合定 义、正余弦定理等，如果不能读懂题意，本题无法下手。但如果能真 正理解题意的，题目就变得很简单。只要理解F点所在的范围，就能 立马做题。确立F点的范围的方法就是做平行平面。本题选C。
此基础上，适当强化建构在排列组合基础知识上的其他概率的求法及分布列、数学期 望等。至于条件概率是为了深刻理解互斥事件、独立事件的概率。 • 如：海16、市17 • （3）立体几何：从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公 理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律 ——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以 提高逻辑思维能力和空间想象能力。理科应注重利用空间向量在解题上的运用，特别 是异面直线所成角、线面所成角和二面角的求法。 • 如：海17、西16，市16、东17题 • （4）函数与导数：从函数的定义域切入，关注函数的基本性质和数学方法。请注意在 知识点交汇上予以适当训练。这部分内容包括所有数学方法与全部数学思想。 • 如：海18、西18，市18、东18题 • （5）解析几何：从曲线方程与轨迹切入关注参数取值范围。继续作为较综合的问题。 • 如：海19、西19，市19、东19题 • （6）数列：综合运用函数的思想、方程和不等式的思想研究数列问题；强化双基训练 与化归与转化的思想。
高三数学期末试卷分析 海淀
题目特点：灵活性、新颖性增强 贴近考试大纲对能力考查的要求
• 选择题
本题考查基本公式，利用三角函数的周期性，比较简单，选B
本题没法通过计算，考查的是学生对三个函数图像的意义， 这道题考查学生的辩思能力和数学图像。题目综合了指数 函数、对数函数等知识点，对图像不熟悉的、不会分析的 ，容易答错。选D
选择题评论
海淀期末试卷选择题数学部分，题目比较灵活，有 多种思路都可以解答。总体计算量较少，计算难 度也低。但是题型新颖，重点以考查能力为主， 结合课本定义。考查基础重在理解应用，十分符 合今年新出台的《考试说明》。
题目难度：综合性强，容易出错，或第一时间不好 下手。只要弄清题目关键，基本上都能做对。但 是对课本定义理解不透彻，缺乏空间想象能力、 对数学图形能力不足的同学就比较头疼。
• 2011年北京市、东城、西城、海淀期末考试试卷分析
• 各主要板块内容要求： • （1）三角函数：以中、低档题为主，强化双基训练，通性通法的考查。注重三角函数
的工具作用和灵活变形的特点。 • 如：西城、东、海、市第15题 • （2）概率统计问题：新增内容及要求很多，文科重点是古典概型与几何概型，理科在