北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题(Word版含答案)

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）复数12ii+= A.2i -B.2i + C. 2i --D. 2i -+（2）在极坐标系中Ox ，方程2sin ρθ=表示的圆为（3（4A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为 A.B. C. 或 D. （6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A. 15B. 25C. 35D. 45（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为16②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是2所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③（8）已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p = 的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 A.使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 B.使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个C. 使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个D. 使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 .（10）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 .（11）设抛物线2:4C y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于,A B 两点，则OA OB +=.（12）已知(51)n x -的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n = .（13）已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11AC 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为.（14）对任意实数k ，定义集合20(,)20,0k x y D x y x y x y R kx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭.①若集合k D 表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是 ； ②当0k =时，若对任意的(,)k x y D ∈，有(3)1y a x ≥+-恒成立，且存在(,)k x y D ∈，使得x y a -≤成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3,,36AD BC AB ADB C ππ==∠=∠=.（Ⅰ）求DC 的值；（Ⅱ）求tan ABC ∠的值.（16）（本小题13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。

为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，速．度越快，单位是MIPS ）（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.（17）（本小题14分）如题1，梯形ABCD 中，//,,1,2,AD BC CD BC BC CD AD E ⊥===为AD 中点.将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆的位置，如图2. （Ⅰ）求证：平面1A DE ∆⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求直线1A B 与平面1ACD 所成角的正弦值； （Ⅲ）设,M N 分别为1A E 和BC 的中点，试比较三棱锥1M ACD -和三棱锥1N A CD -（图中未画出）的体积大小，并说明理由.（18）（本小题13分）已知椭圆22:29C x y +=，点(2,0)P （Ⅰ）求椭圆C 的短轴长和离心率；（Ⅱ）过(1,0)的直线l 与椭圆C 相交于两点,M N ，设MN 的中点为T ，判断TP 与TM 的大小，并证明你的结论.（19）（本小题14分）已知函数2()222x f x e ax x =---.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且仅有一个零点；（Ⅲ）当0a 时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）（20）（本小题13分）无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a ，2a ， ，n a 中等于n a 的项的个数.（Ⅰ）若12a =，请写出数列{}n a 的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M ，必存在*k N ∈，使得k a M ；（Ⅲ）求证:“11a =”是“存在*m N ∈，当n m ≥时，恒有2n a +≥n a 成立”的充要条件。

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案2018.1数学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)（9（10）5050 （11）2 （12）6（13（14）①(1,1)-②1[2,]5-三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15.（本小题13分）解：（Ⅰ）如图所示，366DBC ADB C πππ∠=∠-∠=-=，…………………….1分故DBC C ∠=∠，DB DC =……………………….2分设DC x =，则DB x =，3DA x =. 在ADB ∆中，由余弦定理2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠……………………….3分即22217(3)2372x x x x x =+-⋅⋅⋅=，……………………….4分解得1x =，即1DC =.……………………….5分（Ⅱ）方法一.在ADB ∆中，由AD AB >，得60ABD ADB ∠>∠=︒，故362ABC ABD DBC πππ∠=∠+∠>+=……………………….6分在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AC ABABC ACB=∠∠ ……………………….7分即4sin 2ABC =∠，故sin ABC ∠=，……………………….9分 由(,)2ABC ππ∠∈，得cos ABC ∠=，……………………….11分tan ABC ∠==分方法二. 在ADB ∆中，由余弦定理222cos 2AB BD AD ABD AB BD +-∠===⋅ ……………………….7分由(0,)ABD π∠∈，故sin ABD ∠=……………………….9分故tan ABD ∠=- ……………………….11分故tan tan6tan tan()61tan tan 6ABD ABC ABD ABD πππ-∠+∠=∠+===-∠⋅………………………13分 16. （本小题13分）（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次设该测试结果打开速度小于7为事件A ，因此7()12P A =……………………….3分 （Ⅱ）12次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次随机变量X 所有可能的取值为：0，1，2，330663121(0)11C C P X C ===21663129(1)22C C P X C ===12663129(2)22C C P X C ===03663121(3)11C C P X C === ……………………….7分随机变量X 的分布列为……………………….8分19913()0123112222112E X =⨯+⨯+⨯+⨯=……………………….10分（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.…………………13分.标准1: 会用前6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值与后6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2: 会用前6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的方差与后6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A 前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 前6次测试结果的平均值大于品牌B 前6次测试结果的平均值，品牌A 后6次测试结果的平均值小于品牌B 后6次测试结果的平均值，品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B ，品牌A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B ）标准4：会用品牌A 前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B 前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A 前6次测试结果的方差大于品牌B 前6次测试结果的方差，品牌A 后6次测试结果的方差小于品牌B 后6次测试结果的方差，品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B ，品牌A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B ）标准5：会用品牌A 这12次测试结果的平均值与品牌B 这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 这12次测试结果的平均值小于品牌B 这12次测试结果的平均值，品牌A 打开文件的平均速度快于B ）标准6：会用品牌A 这12次测试结果的方差与品牌B 这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A 这12次测试结果的方差小于品牌B 这12次测试结果的方差，品牌A 打开文件速度的波动小于B）标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B 打开文件的速度相当）参考数据17. （本小题14分）（Ⅰ）证明：因为1BE A E ⊥，BE DE ⊥，1A E DE E =I ，1A E ，DE ⊂平面1A DE ……………..1分 所以BE ⊥平面1A DE ……………..2分因为BE ⊂平面BCDE ，所以平面1A DE ⊥平面BCDE ……………..3分（Ⅱ）解：在平面1A DE 内作EF ED ⊥， 由BE ⊥平面1A DE ，建系如图. ……………..4分则11(0,,22A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,0)E .11(1,,2A B =-uuu r11(0,,2A D =uuu r ，(1,0,0)DC =u u u r ， ……………..7分设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则100n A D n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r，即1020y z x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y =所以n =r是平面1ACD 的一个方向量. ……………..9分111cos ,||||A B n A B n A B n ⋅<>===⋅uuu r ruuu r r uuu r r 分所以1A B 与平面1A CD所成角的正弦值为4……………..11分 （Ⅲ）解：三棱锥1M ACD -和三棱锥1N ACD -的体积相等.……………..12分 理由如:方法一：由1(0,4M ，1(1,,0)2N，知1(1,,4MN =uuu r ，则0MN n ⋅=uuu r r因为MN ⊂平面1ACD ，所以//MN 平面1ACD . ……………..13分xy故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分方法二：如图，取DE 中点P ，连接MP ，NP ，MN .因为在1A DE ∆中，M ，P 分别是1A E ，DE 的中点，所以1//MP A D 因为在正方形BCDE 中，N ，P 分别是BC ，DE 的中点，所以//NP CD 因为MP NP P = ，MP ，NP ⊂平面MNP ，1A D ，CD ⊂平面1ACD 所以平面MNP //平面1ACD因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面1ACD ……………..13分 故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分DD法二法三方法三：如图，取1A D 中点Q ，连接MN ，MQ ，CQ .因为在1A DE ∆中，M ，Q 分别是1A E ，1A D 的中点，所以//MQ ED 且12MQ ED = 因为在正方形BCDE 中，N 是BC 的中点，所以//NC ED 且12NC ED =所以//MQ NC 且MQ NC =，故四边形MNCQ 是平行四边形，故//MN CQ 因为CQ ⊂平面1ACD ，MN ⊂平面1ACD ，所以//MN 平面1ACD . ……………..13分 故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分18. （本小题13分）解：（Ⅰ）C ：221992x y +=，故29a =，292b =，292c =，有3a =，b c ==……………..3分椭圆C的短轴长为2b =，离心率为c e a ==.……………..5分 （Ⅱ）结论是：||||TP TM <. ……………..6分设直线l ：1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y22291x y x my ⎧+=⎨=+⎩，整理得：22(2)280m y my ++-=……………..8分 222(2)32(2)36640m m m ∆=++=+>故12222m y y m +=-+，12282y y m =-+ ……………..10分 PM PN ⋅uuu r uuu r1212(2)(2)x x y y =--+……………..11分 1212(1)(1)my my y y =--+21212(1)()1m y y m y y =+-++22282(1)()122mm m m m =-+⋅-⋅-+++ 22562m m +=-+0<……………..12分故90MPN ∠>︒，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM < ……………..13分19. （本小题14分）（Ⅰ）因为函数2()222xf x ax x =---e所以'()222xf x ax =--e ……………..2分 故(0)0f =，'(0)0f = ……………..4分曲线()y f x =在0x =处的切线方程为0y = ……………..5分（Ⅱ）当0a ≤时，令()'()222xg x f x ax ==--e ，则'()220xg x a =->e ……………..6分故()g x 是R 上的增函数. ……………..7分 由(0)0g =，故当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >.即当0x <时，'()0f x <，当0x >时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.……………..9分 函数()f x 的最小值为(0)f …………….10分由(0)0f =，故()f x 有且仅有一个零点. …………….12分（Ⅲ）当1a =时，()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点. ……………..14分 20. （本小题13分） 解：（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1 ……………..3分（Ⅱ）假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤. 由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈ 考虑数列{}n a 的前21M +项：1a ，2a ，3a ，…，21M a +其中至少有1M +项的取值相同，不妨设121M i i i a a a +==⋅⋅⋅=此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >. ………….. 8分（Ⅲ）充分性：当11a =时，数列{}n a 为1，1，2，1，3，1，4，…，1，1k -，1，k ，…特别地，21k a k -=，21k a =故对任意的*n ∈N（1）若n 为偶数，则21n n a a +== （2）若n 为奇数，则23122n n n n a a +++=>= 综上，2n n a a +≥恒成立，特别地，取1m =有当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立………….11分必要性：方法一:假设存在1a k =（1k >），使得“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”则数列{}n a 的前21k +项为k ，1，1，2，1，3，1，4，…，1，1k -，1，k 2，2，3，2，4，…，2，1k -，2，k 3，3，4，…，3，1k -，3，k ⋅⋅⋅2k -，2k -，1k -，2k -，k 1k -，1k -，k k后面的项顺次为1k +，1，1k +，2，…，1k +，k 2k +，1，2k +，2，…，2k +，k 3k +，1，3k +，2，…，3k +，k ……对任意的m ，总存在n m ≥，使得n a k =，21n a +=，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a =………….. 13分方法二：若存在m N *∈，当n m ≥时，2n n a a +≥恒成立，记{}12max ,,,m a a a s = . 由第（2）问的结论可知：存在k N *∈，使得k a s >（由s 的定义知1k m ≥+） 不妨设k a 是数列{}n a 中第一个．．．大于等于1s +的项，即121,,,k a a a - 均小于等于s . 则11k a +=.因为1k m -≥，所以11k k a a +-≥，即11k a -≥且1k a -为正整数，所以11k a -=.记1k a t s =≥+，由数列{}n a 的定义可知，在121,,,k a a a - 中恰有t 项等于1.假设11a ≠，则可设121t i i i a a a ==== ，其中1211t i i i k <<<<=- ， 考虑这t 个1的前一项，即12111,,,t i i i a a a --- ，因为它们均为不超过s 的正整数，且1t s ≥+，所以12111,,,t i i i a a a --- 中一定存在两项相等， 将其记为a ，则数列{}n a 中相邻两项恰好为（a ，1）的情况至少出现2次，但根据数列{}n a 的定义可知：第二个a 的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！ 故假设11a ≠不成立，所以11a =，即必要性得证！………….. 13分 综上，“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.。