cad cam实验报告 贝齐尔(Bezier)曲线曲面的生成方法

CAD / CAM 技术实验报告
实验三贝齐尔（Bezier）曲线曲面的生成方法
实验类型：综合型
一、目的与任务
目的：通过学生上机，了解贝齐尔（Bezier）曲线德卡斯特里奥的递推算法和贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。

任务：熟悉线框建模、表面建模的基本方法。

二、内容、要求与安排方式
1、实验内容与要求：
贝齐尔（Bezier）曲线曲面的德卡斯特里奥的递推算法P（t）=∑Bi,n(t)Q(i)和几何作图法；
要求用熟悉的编程语言编制、调试和运行程序，并打印程序清单和输出结果。

2、实验安排方式：课外编写好程序清单，按自然班统一安排上机。

三、实验步骤
1、熟悉贝齐尔（Bezier）的贝齐尔基函数和贝齐尔的性质
2、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；
3、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法；
4、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；
5、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。

6、对几何作图法绘制出图，对德卡斯特里奥的递推算法编出程序。

四、实验要求
1．在规定的时间内完成上机任务。

2．必须实验前进行复习和预习实验内容。

3．在熟悉命令过程中，注意相似命令在操作中的区别。

4．指定图形完成后，需经指导教师认可后，方可关闭计算机。

5．完成实验报告一份。

五、试验具体内容
1，Bezier 曲线的描述
在空间给定n + 1 个点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn ,称下列参数曲线为n 次的Bezier 曲线。

P(t) = 6n
t = 0
PiJ i ,n (t) , 0 ≤t ≤1
其中J i ,n (t) 是Bernstein 基函数,即
B i ,n (t) = n !／i !(n - i) *t(1-t);
i = 0 , ⋯⋯,n
一般称折线P0P1P2 ⋯Pn 为曲线P(t) 的控制多边形;称点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn 为P(t) 的控制顶点。

在空间曲线的情况下,曲线P(t) = (x(t) ,y(t) ,z (t) ) 和控制顶点Pi = (Xi ,Yi ,Zi) 的关系用分量写出即为:
X(t) = 6n
i = 0
XiJ i ,n (t)
Y(t) = 6
n
i = 0
YiJ i ,n (t)
Z(t) = 6n
i = 0
ZiJ i ,n (t)
当t 在区间[0 ,1 ] 上变动时,就产生了Bezier 曲线。

若只考虑x和y ,就是平面上的Bezier 曲线。

以三次Bezier 曲线为例,它可用矩阵形式表示如下:
P(t) = [t3 t2 t 1]
- 1 3 - 3 1
3 - 6 3 0
- 3 3 0 0
1 0 0 0
Q(0)
Q(1)
Q(2)
Q(3)
0 ≤t ≤1
2, Bezier 曲线的性质
Bezier 曲线具有以下性质:
当t = 0 时,P(0) = P0 ,故P0 决定曲线的起点,当t = 1 时,P(1) = Pn ,故Pn 决定曲线的终点。

Bezier 曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。

Bezier 曲线P(t) 在P0 点与边P0P1 相切,在Pn点与边Pn- 1Pn 相切。

Bezier 曲线P(t) 位于其控制顶点P0 ,P1 ,P2 ,⋯,Pn 的凸包之内。

Bezier 曲线P(t) 具有几何不变性。

Bezier 曲线P(t) 具有变差缩减性。

3, Bezier曲线的de Casteljau算法
Paul de Casteljau 发现了一个Bezier 曲线非常有趣的特性,任何的Bezier 曲线都能很容易地分成两个同样阶次的Bezier 曲线。

图1 定比分割
如图1 所示,当P0 ,P2 固定,引入参数t ,令
P0P10
P10
P1
=
P1P11
P11
P2
=
P10
P20
P20
P11
的比值为t : (1 - t) ,即有:
P10= (1 - t) P0 + tP1P11= (1 - t) P1 + tP2P20= (1 - t) P10+ tP11t 从0变到1 ,第一、二式是两条一次Bezier 曲线。

将一、二式代入第三式得:
P20= (1 - t) 2P0 + 2t (1 - t) P1 + t2P2
当t 从0 变到1 时,它表示了由P0 、P1 、P2 三个控制顶点形成的一条二次Bezier 曲线。

并且表明:这个二次Bezier 曲线P02 可以定义为分别由前两个顶点(P0 ,P1) 和后两个顶点(P1 ,P2) 决定的一次Bezier 曲线的线性组合。

依次类推,由四个控制点定义的三次Bezier 曲线P03 可被定义为分别由(P0 ,P1 ,P2) 和(P1 ,P2 ,P3) 确定的二条二次Bezier曲线的线性组合,由(n + 1) 个控制点Pi (i = 0 ,1 ,⋯,n) 定义的n 次Bezier 曲线P0n 可被定义为分别由前、后n 个控制点定义的两条(n - 1) 次Bezier曲线P0n- 1 与P1n- 1 的线性组合:
Pn0 = (1 - t) Pn- 10 + tPn- 11 t ∈[0 ,1 ]
由此得到Bezier 曲线的递推计算公式:
Pki =Pi k = 0
(1 - t)Pk- 1
i + tPk- 1
i+1 k = 1 ,2 , ⋯,n ,i = 0 ,1 , ⋯,n - k
这便是de Casteljau 算法。

用这一递推公式,在给定参数下,求Bezier 曲线上一点P (t) 非常有效。

上式中:Pi0 = Pi 是定义Bezier 曲线的控制点,P0n 即为曲线P(t) 上具有参数t 的点。

这一算法可通过简单的几何作图来实现,给定参数t ∈[0 ,1 ] ,把定义域分成长度为t : (1 - t)的两段。

依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割,所得分点就是第一级递推生成的中间顶点Pi1 (i = 0 ,1 , ⋯,n - 1) ,对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割,得第二级中间顶点Pi2 (i = 0 ,1 , ⋯,n - 2) 。

重复进行下去,直到n 级递推得到一个中间顶点P0n 即为
所求曲线上的点P(t) 。

当t = 1/ 2 时,从(2) 式可知,求Pik 只需进行加法和除2 运算,在计算机内除2 运算只需右移1位,计算速度快。

所以通常取t = 1/ 2 最方便,
即每次求得Bezier
曲线的中点。

如图2 所示,有0 ,1 ,2 ,3 四个控制点,计算每条线的中点01 ,12 ,23 ,再得中点012 ,123 ,最后得到的中点0123 即在曲线上。

四个控制点0 ,01 ,012 ,0123 又定义
了左边的曲线, 四个控
制点0123 ,123 ,23 ,3 又定义了右边的曲线,重复对左右的两条曲线再进行定比分
割,多次进
行定比分割后,就可以用直线段代替曲线段[3 ] 。

图2 de Casteljau 算法的几何作图(t = 1/ 2)
六、贝齐尔（Bezier）曲线德卡斯特里奥的递推算法程序清单
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{
int i,j,k,f,u,d,n,m,w,g,h;
char c1;
i=0;j=1;k=1;w=1;g=1;h=1;f=1;u=1;d=1;
printf(" please input n number:\n");
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<=n;i++)
{
{ for(g=1;g<=n;g++)
f=f*g;
for(h=1;h<=i;h++)
u=u*h;
for(w=1;w<=(n-i);w++)
d=d*w;
m=f/u/d;
printf("%d",m);
f=1;u=1;d=1;
}
for(j=1;j<=i;j++)
printf("t");
for(k=1;k<=(n-i);k++)
printf("(1-t)");
printf("Q(%d)",i);
if(i==n)break;else printf("+");
}
}
七、运行结果
八，MATLAB曲面生成程序：
[th,r]=meshgrid((0:5:360)*pi/180,0:.05:1); %在极坐标系下设置一个73×21的网格矩阵，
[X,Y]=pol2cart(th,r); %转化为笛卡儿坐标系%
Z=X+i.*Y;
F=abs((Z.^4-1).^(1/4));
surf(X,Y,F); %显示曲面的立体图形%
S=[X(:) Y(:) F(:)]; %把X、Y、F 3个矩阵中的数据存储到矩阵S中%
b=size(S);
S=[floor(1:b(1,1));S']';
save flcxq.ibl S –ascii
图像为：。