数字信号处理第一章习题答案
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第一章
数字信号处理基本概念
习
题
1-1 有一个连续信号 x a (t ) cos(2ft ) ，式中 f 20 Hz ， （１） （２） （３） 求出 x a (t ) 的周期；
2
，
ˆ a (t ) 的表达式； 用采样间隔 T 0.02s 对 x a (t ) 进行采样，写出采样信号 x ˆ a (t ) 的时域离散信号（序列） x (n) 的波形，并求出 x(n) 的周期。 画出对应 x
n 0
n
an z n
1 an z n 1 1 az n 1
1 1 1 z (1 a 2 ) n n a z 1 1 1 az 1 n 0 1 az 1 1 az (1 az )( z a )
x(n) a ， 0 a 1 是一个双边序列，其收敛域为 a z 1 a 表示极点，极点为
n 0 n
e j (0 n ) e j (0 n ) n z 2
A cos Arz 1 cos(0 ) A j 1 A j 1 e e 2 (1 re j0 z 1 ) 2 (1 re j0 z 1 ) 1 2rz 1 cos 0 r 2 z 2
m0
x(m n )
0
n
而 y ( n n0 )
x(m) Y (n) ，所以系统是时变的。
MATLAB 验证： 令 x( n) ( n 1) 2 ( n) ( n 1) ， n0 1 程序如下： x=[1 2 1];n0=1;n=-1:1; x0=[2 1];%x0为x横坐标非负的值 y=cumsum(x0); Y=cumsum(x); subplot(3,2,1);stem(n,x); xlabel('n');ylabel('x(n)');title('输入');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y); xlabel('n');ylabel('y(n)');title('输出');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x); xlabel('n');ylabel('x(n-n0)');title('输入');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y); xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('输出');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,4);n=1:2;stem(n,y); xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('输出');axis([-1,3,0,4]);
n
z a ，1 a ，零点为 z 0 。其极点、零点图如图所示，图中 表示极点，○表示零点。
利用 MATLAB 画出其零极点，如题 1-6 图(a)所示： a=3; y=1-a*a; b=[0 y 0]; a=[-a y -a]; zplane(b,a);
题 1-6 图(a) 零极点图 （2） x(n) Ar n cos( 0 n )u (n) Ar n
k 0
N 1
an
1 aN 1 a 1
(
1 a n n N 1 )a 1 a
所以
0 , n0 1 a n 1 y ( n) , 0 n N 1 1 a n N 1 1 a n ( ) , N 1 n a 1 a
n 0 n
1
1
1
1 az 1 bz z ( 2 z a b) ，a z b ( z a )( z b)
1
1
z z z a z b
MATLAB 求解程序如下： F=ztrans(sym('a^k+b^k')) 结果为：F =- z/(a - z) - z/(b - z) 1-8 求 X ( z )
3 7
8
) ， A 为常数；
1-1
第一章
1 j ( n ) 8 。
数字信号处理基本概念
（2） x ( n) e 解： （1）
2 14 3 ， ，这是有理数，因此是周期序列，周期是 T 14 ； 7 3 1 2 16 ，这是无理数，因此是非周期序列。 （2） ， 8
（１）双边指数序列 x(n) a
n
， 0 a 1；
（２）正弦调制序列 x(n) Ar n cos( 0 n )u (n) ， 0 r 1 。 解： （1）双边指数序列可写为
a n x ( n) n a
其 Z 变换为
1
,n 0 ,n 0
X ( z) an z n
k 0
n
an
（３）
1 a n1 1 a 1
1 a n1 1 a
当 n N 1 时，h(n k ) 和 x ( k ) 重叠的非零取样值从 k 0 到 k N 1 ，因此
y ( n)
N 1 k 0
x ( k ) h( n k ) a n k
当 n 0 时，由于 h(n k ) 和 x ( k ) 的非零取样互不重叠，因此 y ( n) 0 。 当 0 n N 1 时，从 k 0 到 k n ， h(n k ) 和 x ( k ) 的非零取样值有重叠， 因此
y ( n) Baidu Nhomakorabea
k
x ( k ) h( n k ) a n k
1-5
第一章
数字信号处理基本概念
得收敛域为 z r 。
题 1-6 图 零极点示意图 1-7 已知 x( n)
an b
n
,n 0 ， 求其 Z 变换及其收敛域。并用 MATLAB 求解。 , n 1
解：这是一个双边序列，其 Z 变换为
X ( z)
n
x ( n) z n a n z n b n z n
题 1-6 图(b) 零极点图 讨论 通常将正弦序列信号展开为两个基本复指数序列和或差的形式，然后按照 Z 变 换定义式求起对应的 Z 变换和收敛域。对于 Z 变换表达式可表示为等比级数和的形式 的序列，其 Z 变换的收敛域是保证等比小于 1，如本例中要保证 q z re
1 j0
1 ，可
e j (0 n ) e j (0 n ) u ( n) ， 0 r 1 2
1-4
第一章
数字信号处理基本概念
我们将其分解为标准的指数序列形式，然后根据 Z 变换的求和定义式求得其对应的 Z 变换、收敛域并画出零极点图。 其 Z 变换为
1
X ( z ) Ar n cos(0 n ) z n A r n
X ( z)
所以， 其 Z 反变换为
z ，z a za z a za H ( z) ，z b z b z b z b z Y ( z) X ( z) H ( z) ， z b z b
y ( n) x ( n) h( n) 1[Y ( z )] b n u ( n)
解： （1） x a (t ) 的周期是
Ta
1 0.05s f
ˆ a (t ) （2） x
n
cos(2fnT ) (t nT )
n
cos(40nT ) (t nT )
2
（3） x ( n) 的数字频率为
0.8 ，
显然，在 z a 处， X ( z ) 的极点被 H ( z ) 的零点所抵消，如果 b a ，则 Y ( z ) 的收敛域 比 X ( z ) 与 H ( z ) 收敛域的重叠部分要大。 1-6 求下列序列的 Z 变换及其收敛域，并用 MATLAB 画出零极点示意图。
1-3
第一章
数字信号处理基本概念
1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列 h( n) a n u ( n) ， 0 a 1 。 对于矩阵输入序列，
1 , 0 n N 1 RN (n) ,其他 0
求出输出序列，并用 MATLAB 计算，比较其结果。 分析：输入 x ( n) R N ( n) ，线性时不变系统的输出等于输入序列与单位脉冲响应的卷 积，用公式表示为 y ( n) x ( n) h( n)
5 z 1 , 2 z 3 的逆 Z 变换，并用 MATLAB 求解。 1 z 1 6 z 2
X ( z) 1 1 , 1 1 2z 1 3 z 1
解：由部分分式展开可得
因为 2 z 3 。所以得 x ( n ) MATLAB 求解： 程序如下： syms k z; Fz=5*z/(z^2+z-6); fk=iztrans(Fz,k) 运行结果： fk =2^k - (-3)^k 1-9 判断系统（1） y (n)
收敛区域为 z r ，极点为 z re
j0
， re
j 0
，零点为 z 0 ， r cos( 0 ) cos 。
其对应的零极点图如题 1-6 图所示。 利用 MATLAB 画出其零极点,如题 1-6 图(b)所示： A=1; r=1; w0=4*pi; w=2*pi; x=2*r*cos(w0); y=A*r*cos(w0-w); b=[A*cos(w) -y ]; a=[1 -x r*r]; zplane(b,a);
周期 N 5 。
5 2
题 1-1 图
x(n) cos(0.8n 2) ，画出其波形如题 1-1 图所示。
1-2 设 x a (t ) sin(t ) ， x( n) xa ( nTs ) sin( nTs ) ，其中 Ts 为采样周期。 （1） x a (t ) 信号的模拟频率 为多少？ （2） 和 的关系是什么？ （3）当 Ts 0.5s 时， x ( n) 的数字频率 为多少？ 解： （1） x a (t ) 的模拟频率 rad / s 。 （2） 和 的关系是： Ts 。 （3）当 Ts 0.5s 时， 0.5rad 。 1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1） x(n) A cos( n
2n n ( 3)
n0 n0
m0
（2） y (n) nx(n) 是否为时不变系统，并利用 MATLAB x ( m) ，
n
1-6
第一章
数字信号处理基本概念
验证。 解： （1）令输入为 x(n n0 ) ，输出为 Y ( n) T [ x( n n0 )]
n n0 m0
k
x ( k ) h( n k )
为了计算输出序列的第 n 个值，必须计算出乘积 x(k ) h(n k ) ，并将所得到的序列值 相加。 解：输出序列 y ( n) x ( n) h( n) （１） （２）
k
x(k ) h(n k ) 可以分成三种情况来求解：
1-2
第一章
数字信号处理基本概念
利用 MATLAB 求其响应,程序如下： a=1/2; N=20; n=0:N-1; c=[1]; d=[1 -a]; x=ones(1,N); y=filter(c,d,x); stem(n,y); ylabel('y(n)');
题 1-4 图 输出相应序列 y ( n) 1-5 设 x ( n) a n u ( n) ， h( n) b n u ( n) ab n 1u ( n 1) ，求 y (n) x(n) h(n) 。 解：
数字信号处理基本概念
习
题
1-1 有一个连续信号 x a (t ) cos(2ft ) ，式中 f 20 Hz ， （１） （２） （３） 求出 x a (t ) 的周期；
2
，
ˆ a (t ) 的表达式； 用采样间隔 T 0.02s 对 x a (t ) 进行采样，写出采样信号 x ˆ a (t ) 的时域离散信号（序列） x (n) 的波形，并求出 x(n) 的周期。 画出对应 x
n 0
n
an z n
1 an z n 1 1 az n 1
1 1 1 z (1 a 2 ) n n a z 1 1 1 az 1 n 0 1 az 1 1 az (1 az )( z a )
x(n) a ， 0 a 1 是一个双边序列，其收敛域为 a z 1 a 表示极点，极点为
n 0 n
e j (0 n ) e j (0 n ) n z 2
A cos Arz 1 cos(0 ) A j 1 A j 1 e e 2 (1 re j0 z 1 ) 2 (1 re j0 z 1 ) 1 2rz 1 cos 0 r 2 z 2
m0
x(m n )
0
n
而 y ( n n0 )
x(m) Y (n) ，所以系统是时变的。
MATLAB 验证： 令 x( n) ( n 1) 2 ( n) ( n 1) ， n0 1 程序如下： x=[1 2 1];n0=1;n=-1:1; x0=[2 1];%x0为x横坐标非负的值 y=cumsum(x0); Y=cumsum(x); subplot(3,2,1);stem(n,x); xlabel('n');ylabel('x(n)');title('输入');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y); xlabel('n');ylabel('y(n)');title('输出');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x); xlabel('n');ylabel('x(n-n0)');title('输入');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y); xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('输出');axis([-1,3,0,4]); subplot(3,2,4);n=1:2;stem(n,y); xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('输出');axis([-1,3,0,4]);
n
z a ，1 a ，零点为 z 0 。其极点、零点图如图所示，图中 表示极点，○表示零点。
利用 MATLAB 画出其零极点，如题 1-6 图(a)所示： a=3; y=1-a*a; b=[0 y 0]; a=[-a y -a]; zplane(b,a);
题 1-6 图(a) 零极点图 （2） x(n) Ar n cos( 0 n )u (n) Ar n
k 0
N 1
an
1 aN 1 a 1
(
1 a n n N 1 )a 1 a
所以
0 , n0 1 a n 1 y ( n) , 0 n N 1 1 a n N 1 1 a n ( ) , N 1 n a 1 a
n 0 n
1
1
1
1 az 1 bz z ( 2 z a b) ，a z b ( z a )( z b)
1
1
z z z a z b
MATLAB 求解程序如下： F=ztrans(sym('a^k+b^k')) 结果为：F =- z/(a - z) - z/(b - z) 1-8 求 X ( z )
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) ， A 为常数；
1-1
第一章
1 j ( n ) 8 。
数字信号处理基本概念
（2） x ( n) e 解： （1）
2 14 3 ， ，这是有理数，因此是周期序列，周期是 T 14 ； 7 3 1 2 16 ，这是无理数，因此是非周期序列。 （2） ， 8
（１）双边指数序列 x(n) a
n
， 0 a 1；
（２）正弦调制序列 x(n) Ar n cos( 0 n )u (n) ， 0 r 1 。 解： （1）双边指数序列可写为
a n x ( n) n a
其 Z 变换为
1
,n 0 ,n 0
X ( z) an z n
k 0
n
an
（３）
1 a n1 1 a 1
1 a n1 1 a
当 n N 1 时，h(n k ) 和 x ( k ) 重叠的非零取样值从 k 0 到 k N 1 ，因此
y ( n)
N 1 k 0
x ( k ) h( n k ) a n k
当 n 0 时，由于 h(n k ) 和 x ( k ) 的非零取样互不重叠，因此 y ( n) 0 。 当 0 n N 1 时，从 k 0 到 k n ， h(n k ) 和 x ( k ) 的非零取样值有重叠， 因此
y ( n) Baidu Nhomakorabea
k
x ( k ) h( n k ) a n k
1-5
第一章
数字信号处理基本概念
得收敛域为 z r 。
题 1-6 图 零极点示意图 1-7 已知 x( n)
an b
n
,n 0 ， 求其 Z 变换及其收敛域。并用 MATLAB 求解。 , n 1
解：这是一个双边序列，其 Z 变换为
X ( z)
n
x ( n) z n a n z n b n z n
题 1-6 图(b) 零极点图 讨论 通常将正弦序列信号展开为两个基本复指数序列和或差的形式，然后按照 Z 变 换定义式求起对应的 Z 变换和收敛域。对于 Z 变换表达式可表示为等比级数和的形式 的序列，其 Z 变换的收敛域是保证等比小于 1，如本例中要保证 q z re
1 j0
1 ，可
e j (0 n ) e j (0 n ) u ( n) ， 0 r 1 2
1-4
第一章
数字信号处理基本概念
我们将其分解为标准的指数序列形式，然后根据 Z 变换的求和定义式求得其对应的 Z 变换、收敛域并画出零极点图。 其 Z 变换为
1
X ( z ) Ar n cos(0 n ) z n A r n
X ( z)
所以， 其 Z 反变换为
z ，z a za z a za H ( z) ，z b z b z b z b z Y ( z) X ( z) H ( z) ， z b z b
y ( n) x ( n) h( n) 1[Y ( z )] b n u ( n)
解： （1） x a (t ) 的周期是
Ta
1 0.05s f
ˆ a (t ) （2） x
n
cos(2fnT ) (t nT )
n
cos(40nT ) (t nT )
2
（3） x ( n) 的数字频率为
0.8 ，
显然，在 z a 处， X ( z ) 的极点被 H ( z ) 的零点所抵消，如果 b a ，则 Y ( z ) 的收敛域 比 X ( z ) 与 H ( z ) 收敛域的重叠部分要大。 1-6 求下列序列的 Z 变换及其收敛域，并用 MATLAB 画出零极点示意图。
1-3
第一章
数字信号处理基本概念
1-4 研究一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为指数序列 h( n) a n u ( n) ， 0 a 1 。 对于矩阵输入序列，
1 , 0 n N 1 RN (n) ,其他 0
求出输出序列，并用 MATLAB 计算，比较其结果。 分析：输入 x ( n) R N ( n) ，线性时不变系统的输出等于输入序列与单位脉冲响应的卷 积，用公式表示为 y ( n) x ( n) h( n)
5 z 1 , 2 z 3 的逆 Z 变换，并用 MATLAB 求解。 1 z 1 6 z 2
X ( z) 1 1 , 1 1 2z 1 3 z 1
解：由部分分式展开可得
因为 2 z 3 。所以得 x ( n ) MATLAB 求解： 程序如下： syms k z; Fz=5*z/(z^2+z-6); fk=iztrans(Fz,k) 运行结果： fk =2^k - (-3)^k 1-9 判断系统（1） y (n)
收敛区域为 z r ，极点为 z re
j0
， re
j 0
，零点为 z 0 ， r cos( 0 ) cos 。
其对应的零极点图如题 1-6 图所示。 利用 MATLAB 画出其零极点,如题 1-6 图(b)所示： A=1; r=1; w0=4*pi; w=2*pi; x=2*r*cos(w0); y=A*r*cos(w0-w); b=[A*cos(w) -y ]; a=[1 -x r*r]; zplane(b,a);
周期 N 5 。
5 2
题 1-1 图
x(n) cos(0.8n 2) ，画出其波形如题 1-1 图所示。
1-2 设 x a (t ) sin(t ) ， x( n) xa ( nTs ) sin( nTs ) ，其中 Ts 为采样周期。 （1） x a (t ) 信号的模拟频率 为多少？ （2） 和 的关系是什么？ （3）当 Ts 0.5s 时， x ( n) 的数字频率 为多少？ 解： （1） x a (t ) 的模拟频率 rad / s 。 （2） 和 的关系是： Ts 。 （3）当 Ts 0.5s 时， 0.5rad 。 1-3 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1） x(n) A cos( n
2n n ( 3)
n0 n0
m0
（2） y (n) nx(n) 是否为时不变系统，并利用 MATLAB x ( m) ，
n
1-6
第一章
数字信号处理基本概念
验证。 解： （1）令输入为 x(n n0 ) ，输出为 Y ( n) T [ x( n n0 )]
n n0 m0
k
x ( k ) h( n k )
为了计算输出序列的第 n 个值，必须计算出乘积 x(k ) h(n k ) ，并将所得到的序列值 相加。 解：输出序列 y ( n) x ( n) h( n) （１） （２）
k
x(k ) h(n k ) 可以分成三种情况来求解：
1-2
第一章
数字信号处理基本概念
利用 MATLAB 求其响应,程序如下： a=1/2; N=20; n=0:N-1; c=[1]; d=[1 -a]; x=ones(1,N); y=filter(c,d,x); stem(n,y); ylabel('y(n)');
题 1-4 图 输出相应序列 y ( n) 1-5 设 x ( n) a n u ( n) ， h( n) b n u ( n) ab n 1u ( n 1) ，求 y (n) x(n) h(n) 。 解：