巧用二次函数图象的对称性解题解析

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专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版

专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。

4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2）抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1）抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ）抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2）抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--，新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1）抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图，点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。

二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案

函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。

九年级数学上册专题突破 19《二次函数和反比例函数》二次函数图象变换秘诀 (新版)北京课改版-北京

二次函数图象变换1. 二次函数图象关于x轴对称变换变形：特点：a、b、c符号都改变；依据：点关于x轴对称，该点的横坐标不变，纵坐标变为相反数；图例：2. 二次函数图象关于y轴对称变换变形：特点：a、c符号不变，b符号改变；依据：点关于y轴对称，该点横坐标变为相反数，纵坐标不变；图例：3. 二次函数图象关于原点中心对称变换变形：特点：a、c符号改变，b符号不变；依据：点关于原点对称，该点的横纵坐标都变为相反数；图例：4. 二次函数图象关于顶点中心对称变换变形：特点：变为顶点式后a符号改变；依据：变换后顶点坐标不变，开口大小不变，只改变开口方向；图例：例题1（某某）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，43），M是OA的中点。

（1）求此二次函数的解析式。

（2）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A，B′为B关于x轴的对称点，在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D。

若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由。

解析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）假设存在满足条件的点C ，由△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍，可得点C 纵坐标是点D 纵坐标的3倍，由此列方程求出点C 的坐标。

答案：解：（1）∵抛物线过原点，∴设其解析式为：y ＝ax 2＋bx ∵抛物线经过点A （4，0），B （2 ，43） ∴16a 4b 034a 2b 3+⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝，解得3a 43b 3⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∴二次函数解析式为：2343y x =- （2）依题意，翻折之后的抛物线解析式为：2343y x x 33=-+ 假设存在这样的点C ，∵△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍， ∴CD＝2MD ，∴CM＝3MD如下图所示，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点E 、点F ，则有DE∥CF∴DE ME MDCF MF MC＝＝MD CM 3=∴CF＝3DE ，MF ＝3ME 令0=y ，则x x y 334332-=的图象与x 轴的交点坐标分别为)0,4(A ，)0,0(O ∵M 为OA 中点)0,2(M ∴ 设C2343x -（，），则MF ＝x －2，11ME MF x 233==-（），14OE ME OM x 33=+=+ ∴D2143144314x x x 333333+++（，（）（）） ∵CF＝3DE ， ∴223433144314x x 3[x x ]33333333-=-+++（）（），整理得：x 2－4x －8＝0，解得：12x 223,x 223=+=- ∴128383y y 33== ∴存在满足条件的点C ，点C 的坐标为：838322323+-（，，）点拨：本题为二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、解方程、翻折变换等知识点。

二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版

二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =．（1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围．【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−，即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+，得0422h =−+⨯，解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <，解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <，解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <，解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++．（1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴．（2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴；（2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++，解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯；（2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =；（3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+，整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ．（1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由．【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答；（2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=，解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠．（1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题．（2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可．（3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−，又因为0a <，所以40a <，30a −<，所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点．（2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下．则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大，又因为当1x =−时，0y =，所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)，又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，所以当0a >时，230a a −+<，解得3a >，故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−，故1a <−．综上所述，3a >或1a <−．故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上．（1）求抛物线的顶点(,0)m ；（2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围．【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案；（2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可；（3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −．（1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围．【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可；（2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可．【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=，解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−，当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…，解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−；综上：10b −…或154b ≥−．【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由；（2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题．（2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题．（3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题．【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+，所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=，又因为1522−+=，所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称，故m n =．（2）因为m n =，328m n −=，所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =，所以m ，n ，p 中只能p 为负数．将(0,3)代入函数解析式得，3c =，所以二次函数解析式为243y ax ax =−+．将1x =−代入函数解析式得，53m a =+．将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴；（2）若231y y y <<，求m 的取值范围．【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =；（2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<；当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解；（3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …；（3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…，解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−，当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−，此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意；当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去；若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−，解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上．（1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围．【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…，解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…，解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<．（1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题．（2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++，所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++．令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+．因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−．又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+．因为12PM PN =，所以211(3)22m m m −=−+，解得m =，又因为132m <<，所以m =．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题．【解答】解：（1）令0x =得，8y =，所以点A 的坐标为(0,8)；令0y =得，4x =，所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++．（2）因为//CD x 轴，//CE y 轴，所以AOB ECD ∆∆∽，则CD DEOB AB=．因为38DE AB =，4OB =，所以32CD =．令点C 坐标为2(,28)m m m −++，则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=；当3m =时，2285m m −++=；所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值；（4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值．【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解；（3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−，显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=，解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12；（4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−，设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩，解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ．【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论．题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ．（3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值．【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可．【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−，当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符；当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时，解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===．【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值；（3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值；（3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278；（3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=，解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)，若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，当0k >时，如图所示，则21k−<−，解得02k <<；当0k <时，如图所示：则24k−>，解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标；（2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=，即()(1)0ax b x ++=，解得：1bx a=−，21x =−，令20y =，则2()0bx a b x a +++=，即()(1)0bx a x ++=，解得：1ax b=−，21x =−，又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−，如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−，即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+，即33a =，解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。

中考难点二次函数知识点及例题最强解析

中考难点二次函数例题解析二次函数可谓是初中数学考试中的常客，月考，期中考试，期末考试，模拟考试都会有它的身影，中考每年都会有一道关于二次函数的压轴题。

中考二次函数主要以综合题的形式考察，通过对近几年中考二次函数考察情况的分析，二次函数综合题得分率不高，难度系数在0.45-0.55之间，属于中考压轴题之一。

所以掌握二次函数的考点至关重要。

下面我们通过习题，引出知识点总结归纳，二次函数将不再茫然！基础知识一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2a≠）的函数，叫做二次函数。

y ax bx c=++（a b c，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2=+的性质：（上加下减）y ax c3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y有最【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型第二部分考察重点1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

求二次函数解析式几种常用方法

求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。

现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。

一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。

二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。

例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式．解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。

若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-．解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。

二次函数知识点和解题方法总结

二次函数知识点及解题方法总结、二次函数概念：1．二次函数的概一般地，形如y ax2 bx c（a，b，c 是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax2 bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵ a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y ax2 c 的性质：上加下减3. y a x h 2的性质：左加右减24. y a x h k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 a0向上 h ，kX=h x h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值k ．a0向下h ，kX=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：①将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h 2 k ，确定其顶点坐标 h ，k ；②保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下：方法二：① y ax 2 bx c 沿 y 轴平移: 向上(下)平移m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y ax 2 bx c m (或 y ax 2 bx cm )：② y ax 2 bx c 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变成 y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c )2. 平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y a x h k 与 y ax 2 bx c 的比较从解析式上看， y a x h k 与 y ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b 4ac b 2b 4ac b 2 者，即 y a x，其中 h ，k ．2a 4a 2a 4ay=ax 2y=ax 2+k平移 |k|个单位y=a (x-h) 2向右 (h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位y=a( x-h)2 +k向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位向右( h>0) 【或左 (h<0)】向上 (k>0)【或下 (k<0)】平移 |k|个单位向上 (k>0)【或下 (k <0) 】平移 |k|个单位向右 (h>0)【或左(h<0)】平移 |k| 个单位五、二次函数 y ax 2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2 bx c 化为顶点式 ya(x h)2 k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点 x 1，0 ， x 2，0 (若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y ax 2 bx c 的性质21. 当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b ．当 x b 时，y2a 2a 4a 2a2随 x 的增大而减小；当x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x b 时，y 有最小值 4ac b ．2a 2a 4a2随 x 的增大而增大；当x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 xb时，y 有最大值 4ac b ．2a 2a 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax 2 bx c (a ，b ，c 为常数，a 0)；2. 顶点式：y a(x h)2 k (a ，h ，k 为常数，a 0)；3. 两根式：y a(x x 1)(x x 2)(a 0，x 1， x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然a 0 ．⑴ 当a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 当a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb， 2a ，顶点坐标为b 2a4ac b 2 4a当x 2b a 时，y2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a 0 的前提下，当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵ 在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0时，b 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴x b在2ay 轴左边则ab 0，在y 轴的右侧则ab 0 ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当c 0 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称y ax2 bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；2. 关于y 轴对称y ax2 bx c关于y 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；22y a x h k 关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k ；3. 关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h k 关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）b2y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c b；2a22y a x h k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k ．5. 关于点m ，n 对称22y a x h k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是y a x h 2m 2n k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c 当函数值y 0 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：① 当b2 4ac 0 时，图象与x轴交于两点 A x1，0 ，B x2 ，0 （x1 x2），其中的x1 ，x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2 x1b 4ac.a② 当0时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0．2. 抛物线y ax2 bx c 的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0 ，c）；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c 中a ，b ，c的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c a（ 0）本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：一、二次函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y （m 2）x2 m2 m 2 的图像经过原点，则m的值是2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号.或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置.要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点坐标.或已知与x 轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。

二、抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①. 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1.0)和点B (－3.0).与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P.使△CMP为等腰三角形？若存在.请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在.请说明理由．(3) 如图②.若点E为第二象限抛物线上一动点.连接BE、CE.求四边形BOCE面积的最大值.并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时.以C为圆心CM为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M为顶点时.以M为圆心MC为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P为顶点时.线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

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巧用二次函数图象的对称性解题解析
新盈中学王永升
2010-6-29
二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。

其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。

所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。

比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。

现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。

分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式
来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。

另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。

本道题
目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。

因此
我们可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一
个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的
交点式来求解析式。

设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。

本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。

例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。

我们也可以用二次函数的对称性来解题。

由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数
y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。

相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。

要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。

我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。

下面仅以a>0时为例进行解答。

当a<0时也是成立的。

由二次函数的对称性可知，x1+x2在第一个图中为点D的横坐标，在第二个图中为点F的横坐标，而求当x=x1+x2时的y值也就是求此两点的纵坐标，再由对称性可知，在第一个图中点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，在第二个图中点F的纵坐标与点D的纵坐标相同，均为二次函数与y轴交点的纵坐标。

所以，对于二次函数y= ax2+bx+c（a≠0），当x取x1、x2时，
y值相等（x1≠x2），则当x取－b
2a
时，y值为顶点纵坐标的值，即y=4ac-b2/4a，当x取x1+x2时，y值为二次函数与y轴交点的纵坐标，即y=c。