哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
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哥尼斯堡七桥问题与图论
1736年29《哥尼斯堡的七座桥》的论文，创了数学的一个新的分支—一、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡在俄罗斯境内，现称为加里宁格勒.生和培养过许多伟大人物.格尔河，横贯城中，如图1所示.流，一条称为新河，一条主流，的商业中心.区、北区、东区和南区.桥，两支流上.这一别致的桥群，图1早在18世纪，散步中走过每座桥，发点？”走遍这七座桥共有A77=7!=验，谈何容易.那么在这5040而形成了著名的图2欧拉请他帮助解决这个他似乎看到其中.经过一年的研究，29岁的并于1736年向彼得堡科哥尼斯堡的七座桥》的论文.C（岛区）、A（南区）；七座桥看成这四个点、6、7七个数字表示，如图3所示.“一笔画”问题：否能一笔不.布勒格尔河模型蔡思明58遍历的路径称作欧拉路径（一个环或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路.图论中的欧拉定理（一笔画定理）要分有向图（边有特定方向的图）与无向图（边没有特定方向的图）两种情况进行讨论.1.无向图的情况定理：连通无向图G有欧拉路径的充要条件为：G中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有0个或者2个.证明：必要性.如果图能够被一笔画成，那么对每个顶点，考虑路径中“进入”它的边数与“离开”它的边数（注意前提是无向图，所以我们不能称其为“入边”和“出边”）.很显然这两个值要么相同（说明该顶点度数为偶），要么相差1（说明该顶点度数为奇）.也就是说，如果欧拉路径不是回路，奇度顶点就有2个，即路径的起点和终点；如果是欧拉回路，起点与终点重合，则不存在奇度顶点.必要性得证.证明：充分性.如果图中没有奇度顶点，那么在G中随机取一个顶点v0出发，尝试构造一条回路c0.如果c0就是原路，则结束；如果不是，那么由于图是连通的，c0和图的剩余部分必然存在某公共顶点v1，从v2出发重复尝试构造回路，最终可将整张图分割为多个回路.由于两条相连的回路可以视为一条回路，所以该图必存在欧拉回路.如果图中有2个奇度顶点u和v，那么若是加一条边将u和v连接起来的话，就得到一个没有奇度顶点的连通图，由上文可知该图必存在欧拉回路，去掉这条新加的边，就是一条以u和v为起终点的欧拉路径.充分性得证.可知，哥尼斯堡七桥问题中的图有4个奇度顶点（1个度数为5，3个度数为3），所以不存在欧拉路径.2.有向图的情况定理：底图连通的有向图G有欧拉路径的充要条件为：G的所有顶点入度和出度都相等；或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的入度与出度之差为1.显然，可以通过与无向图情况相似的思路来证明，过程略.当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏.图论这一数学分支诞生后并未得到很好的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了进200年来有关图论的成果，这是图论发展的第一座里程碑.此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成为数学科学的一个独立的重要分支.图论原是组合数学中的一个重要课题.我们用点表示事物，用连接点的边表示事物间的联系，便可得到图论中的图.图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种框架.图论中的理论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻辑学、语言学计算机科学等诸多领域.由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以运用图论方法予以解决.当然，图论也是计算机科学的基础学科之一.值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的欧拉公式V+F=E+2，欧拉公式是拓扑学的第一个定理.哥尼斯堡的七座桥如今只剩下三座，一条新的跨河大桥已经建成，它完全跨过河心岛——内福夫岛，导游们仍向游客讲述哥尼斯堡桥的故事，有的导游甚至仍称“七桥问题”没有被解决，留给游客以遐想.虽然七座哥尼斯堡桥成了历史，但是“七桥问题”留下的“遗产”不像这些桥那样容易破坏，欧拉卓越的解答方式被永载史册.60。
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]
![哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]](https://img.taocdn.com/s3/m/bc5c022cbdd126fff705cc1755270722192e59b0.png)
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]⼀、历史背景1736年，年仅29岁的数学家欧拉来到普鲁⼠的古城哥尼斯堡（哲学家康德的故乡，今俄罗斯加⾥宁格勒）。
普瑞格尔河正好从市中⼼流过，河中⼼有两座⼩岛，岛和两岸之间建筑有七座古桥。
欧拉发现当地居民有⼀项消遣活动，就是试图每座桥恰好⾛过⼀遍并回到原出发点，但从来没⼈成功过。
欧拉证明了这种⾛法是不可能的。
现在看来，欧拉的证明过程⾮常简单，但他对七桥问题的抽象和论证思想，开创了⼀个新的学科：图论(Graph)。
如今，⽆论是数学、物理、化学、天⽂、地理、⽣物等基础科学，还是信息、交通、经济乃⾄社会科学的众多问题，都可以应⽤图论⽅法予以解决。
图论还是计算机科学的数据结构和算法中最重要的框架（没有之⼀）。
⾸先能想到的证明⽅法是把⾛七座桥的⾛法都列出来，⼀个⼀个的试验，但七座桥的所有⾛法共⽤7\！=5040种，逐⼀试验将是很⼤的⼯作量。
欧拉作为数学家，当然没那样想。
欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每⼀座桥抽象成连接顶点的⼀条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下⾯的图：Processing math: 100%假设每座桥都恰好⾛过⼀次，那么对于A、B、C、D四个顶点中的每⼀个顶点，需要从某条边进⼊，同时从另⼀条边离开。
进⼊和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进⼊的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。
⽽上图中A、C、D四个顶点的相连边都是3，顶点B的相连边为5，都为奇数。
因此，这个图⽆法从⼀个顶点出发，遍历每条边各⼀次。
欧拉的证明与其说是数学证明，还不如看作是⼀个逻辑证明。
⼀个曾难住那么多⼈的问题，竟然是这样⼀个简单的出⼈意料的推理，还开创了⼀个新的学科。
欧拉⾮常巧妙的把⼀个实际问题抽象成⼀个合适的数学模型，这种研究⽅法就是我们应该掌握的数学模型⽅法。
这并不需要运⽤多么深奥的理论，但能想到这⼀点，却是解决问题的关键。
第七讲 哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡风景秀美，碧波荡漾的普累 格尔河穿过该城；河中心有一座美丽的小 岛，岛上商业繁荣，普累格尔河及其两条 支流把包含岛在内的全城分为四个区域， 有七座桥横跨普累格尔河及其支流，连接 了这四个区域。这一别致的桥群，古往今 来，吸引着众多的游人。
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当地的居民曾经热衷于下面一个有趣 的问题：能不能找到一条路线了，使得散 步时不重复地走遍这七座桥。
寻找满意路线的问题引起了许多人的 兴趣，但结果却没有一个人能够做到。不 是少走了一座桥，就是重复走了一座桥。
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多次尝试失败后，有人写信求教于当 时的数学家欧拉。欧拉在亲自观察了哥尼 斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能 成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就 无解呢？这位年轻的瑞士数学家独具慧眼， 看出了这个似乎是趣味几何问题的本质。
有人把拓扑学说成是“橡皮几何学”。
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三、拓扑学
平面上的欧拉公式：V+F-E=1。 空间中的欧拉公式：V+F-E=2。 利用多面体的欧拉公式可以证明：正 多面体有且只有五种：正四面体、立方体、 正八面体、正十二面体、正二十面体。
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本讲结束
谢谢！
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笔不重复的画出过此七条线的问题了。
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理论上需要解决的问题是： 找到“一个图形是一笔画” 的充分必要条件，并对是一 笔画的图形给出一笔画的方 法。
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欧拉把图形上的点分成两类：如果以 某点为端点的线有偶数条，就称此点为偶 结点，如果以某点为端点的线有奇数条， 就称此点为奇结点。
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要想不重复地一笔画出某图形，除去 起始点和终止点两个点外，其余每个点， 如果画进去一条线，就一定要画出来一条 线，从而都必须是偶结点。
哥尼斯堡七桥问题
现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
拓扑学应用实例
前面所提的哥尼斯堡七桥问题、四色问题？ 左手套能否在空间掉转位置后变成右手套？ 一条车胎能否从里朝外的把他翻转过来？ 一只有把的茶杯与救生圈更相似，还是与花瓶更相
互相衔接的两两不同的一串“弧”称为“路”。路中弧的端 点称为路的“顶点”。如果起点与终点相同称为“闭路”。 如果闭路的顶点又不相同，称为“圈”。如下所示：
路
闭路
圈
网络与一笔画问题
于是我们可以给出一笔画的理论叙述。
“一笔画”问题相当于给定一个网络。问： “有没有可能把所有的弧排成一条路”。
如果一个网络的全部弧可以排成一条路，那 么我们称这个网络为一个一笔画。
纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后 把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？ 如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一 个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求。 能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈？
莫比乌斯带的发现
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科 学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学 家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验， 也毫无结果。
当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消 遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只 能经过一次而多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相 当长的时间里，始终未能解决。
而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的 走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是 很大的工作量。
哥尼斯堡七桥问题
你 能 画 出 来 吗 ？如 果 你 画 出 来 了 ，那 么
一 请 你 再 看 图 ２能 不 能 一 笔 画 出来 ？ 虽 然 你 动 了脑 筋 ，但 我 相 信 你 肯 定 不 能 一 笔 画 出来 ！
为 什 么 我 的 语 气 这 么 肯 定 ？我 们 来 分 析 一 下 图２．我们 把 图２看 成 是 由 点 和 线 组
（Ｍｏｂｉｕｓ，１７９０～１８６８）和 约翰 ·李 斯 丁 发 现 ： 就 是 说 ，它 的 曲 面 只 有 一个 ．关 于 莫 比乌 斯
把 一 根 纸 条 扭 转 １８０。后 ，两 头 再 粘 接 起 来 带 的 单 侧 性 ，同学 们 可 如 下 直 观 地 了解 ，如
做 成 的纸 带 圈 ，具 有 魔 术 般 的 性 质 ．普 通 纸 果 给 莫 比乌 斯 带 着 色 ，色 笔 始 终 沿 曲 面 移
沿 河 过 桥 散 步 ．渐 渐 地 ，爱 动脑 筋 的 人 们 提 出 了一 个 问题 ：一个 散 步者 能否 一 次 走 遍 ７
座桥 ，而 且 每 座桥 只许 通 过 一 次 ，最 后仍 回
到起 始 地 点 ．这 就 是 七 桥 问题 ，一 个 著 名 的
图 １
图 ２
图 论 问 题 ．
果 有 偶 数 条 边 连 它 ，这 点 就 称 为 偶 点 ；如 猜 想 是 正 确 的 ．欧 拉 是 这 样 解 决 问题 的 ：既
果 有 奇 数 条 边 连 它 ，就 称 它 为 奇 点 ．我 们 知 然 陆地 是 桥 梁 的 连 接 地 点 ，不 妨 把 图 中被 道 ，能 一 笔 画 的 图 形 只 有 两 类 ：一 类 是 所 河 隔 开 的陆 地 看 成４个 点 ，７座 桥 表示 成 ７条
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题一、七桥漫步格尼斯堡城是由条顿骑士团在1308年建立，曾作为东普鲁士的首府。
第二次世界大战后，成为前苏联最大的海军基地。
现在的格尼斯堡位于立陶宛和波兰之间。
在第二次世界大战时，法军经这里入侵波兰。
后来苏军也从这里打进德国，所以格尼斯堡是一座名城。
同时这里也诞生过许多伟大人物，其中包括18世纪著名的唯心主义哲学家康德和19世纪的大数学家希尔伯特。
但是，最早给这座城市带来声誉的横跨布列格尔河，把格尼斯堡连成一体的七座桥梁。
这一别致的桥群，引来了众多的游人，同时还引发了数学史上一项重要的研究。
一天又一天，这七座桥上走过了无数的行人，脚下的七桥触发了人们的灵感，一个有趣的问题在民间传开“能否在一次散步中每座桥都走一次，而且只能走一次，最后又回到原来的出发点？”这个问题看似简单，人人都乐意去测试一下自己的智力，可是把全城人的智力加在一起，也没有找到一条合适的路线。
这个问题传开以后，许多欧洲有学问的人也参与思考，同样是一筹莫展。
就这样，格尼斯堡这个“七桥问题”给人们提供了丰富的乐趣和数学兴味，因而使得这座波罗的海的海滨古城闻名遐迩。
二、欧拉与格尼斯堡七桥问题1735年有几名大学生写信给当时正在俄国彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮助解决。
欧拉并未轻视生活中的小问题，他似乎看到了其中隐藏某种新的数学方法。
事实上，要走遍七座桥的所有走法有7！=5040种，要想一一试验是不可能的，只能另找一种新方法。
欧拉依靠他深厚的数学功底，运用娴熟的变换技巧，经过一年的研究，于1936年，29岁的欧拉向彼得堡科学院提交了一份为《格尼斯堡七桥》的论文，圆满的解决了这一问题。
欧拉不仅解决了七桥问题，而且他提出飞思想导致了一门新的数学分支――“图论”的诞生。
欧拉是如何解决七桥问题的？又是如何证明要想一次走过七座桥是不可能的呢？欧拉的方法十分巧妙：（1）不考虑4个地区的大小、形状，不妨将它们看成是链接桥梁的4个点；（2）不考虑桥梁的曲直、长短，不妨将它们看成连接4个点的7条线。
哥尼斯堡七桥问题与数学抽象
“抽象”是数学的武器，数学的优势 。
我们应该喜欢“抽象”，学会“抽 象”的手段。
为了让大家理解“抽象”的优势， 了解“抽象”的思想、原则、方法和作用
实践“抽象”的过程， 学会“抽象”的手段，喜欢“抽象”。
案例：“哥尼斯堡七桥问题”
一、哥尼斯堡七桥问题
C
A
B
显然要在奇结点间加重复边
如何使所加的边长度最少
归结为求奇结点间的最小
案例
一个邮递员投递信件的街道如图，图上的书 表示各段街道的千米数，他从邮局出发，走 遍各街道，最后回到邮局，走怎样的路线最 短？
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哈密顿环球旅行问题: 十二面体的20个顶点代表世界上20个城市，
能否从某个城市出发在十二面体上依次经过每个 城市恰好一次最后回到出发点？
奇结点少一些好， 少到几个才能“一笔画”呢？
结论
一个点线图是“一笔画”的充分必要条件 它是连通的并且奇结点的个数为0或2。
——（一笔画原理）。 哥尼斯堡七桥问题:“不重复地走过七座桥 ”是不可能的。
欧拉在圣彼得堡科学院发表了有关的论 文，开创了“图论”的先河，也开创了“拓 扑学”的先河
中国邮递员问题
有人把拓扑学说成是“橡皮几何学”，因为橡皮膜 上的图形，随着橡皮膜的拉动，其长度、曲直、面 积等等都将发生变化。此时谈论“有多长”、“有 多大”之类的问题，是毫无意义的，人们感兴趣的 只是图形的位置关系。
不过，在橡皮几何里也有一些图形的性质保持不变 。例如：点变化后仍然是点，线变化后依旧是线， 相交的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交 。
数学方法（手段）—— 数学抽象
欧拉的第一步抽象
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新科学的形成
欧拉对“哥尼斯堡七桥问题”的解决，开创了一个新的 数学分支——图论。他所使用的方法是图论中常用的方法。 图论原是组合数学的一个重要课题，由于发展迅速现已成了 一个独立的数学分支，我们用点表示事物，用连接点的边表 示事物间的联系方式，便可得到图论中的图。图论为研究任 何一类离散事物的关系结构提供了一种本质的框架。他的理 论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻 辑学、语言学、计算机科学等诸多领域。值得一提的是，欧 拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的 欧拉公式V+F=E+2欧拉公式是拓扑学的第一个定理。这个定 理使我们看到了几何问题的一种更具深刻内涵的性质。
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引申推广
（1）过了许多年，河上又架起了第八座桥——铁路桥，如图。这座 桥的建成，使人们又想起了那有趣的问题。显然一次不重复走遍七座桥 不可能，那么，如今八座桥可一次不重复走过吗？从图可知“奇点”只 有两个（A点和B点），所以可以一次不重复走过八座桥。 （2）若有一条河，河中心有两个河心岛，有15座桥把这两个岛和两 岸连接起来，如图。问能否不重复地通过所有的15座桥？按欧拉的方法， 把图抽象成图5的形式，由于图中只有A、B两个“奇点”。故该图 可以一笔（不重复）的画出， 即可以不重复地通过所有的 15座桥。
哥尼斯堡七桥问 题与一笔画
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡曾是东普鲁士的首府，现称加里宁格勒，在俄罗斯境内。 在第二次是世界大战时，的军警哲理入侵波兰。后来，苏军也是从此地 打进德国的。所以哥尼斯堡是一座历史名城。同时，在这里诞生和培养 过许多伟大人物。如著名唯心主义哲学家康德，终生没有离开此城。在 哥尼斯堡城中有一条布勒格尔河，横贯城中。河有两条支流，一条称新 河，一条叫旧河，在城中心汇合成一条主流，在合流的地方中间有一座 河心岛，这是城中繁华的商业中心。由于布勒格尔河的流过，使全城分 成为四个地区： 岛区、北区、东区和南区。在布勒格 尔河上，架了七座桥，其中五座将河 岛与河岸连接起来，另有两座架在二 支流上。这一别致的桥群，吸引了众 多的哥尼斯堡居民和游人来此河边散 步或去岛上买东西。
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早在18世纪，就有人提出这样的问 题：“能否在一次散步中每座桥都走一次， 而且只能走一次，最后又回到原来的出 发点？”这个问题吸引了不少人去思考实 验。事实上，要走遍这七座桥的所有走法 欧拉 共有7！=5040种，要想一一验过，谈何容 易。是否在这5040中走法中存在着一条走遍七座桥而又不重 复的路线呢？谁也回答不了。因而形成了著名的“哥尼斯堡 七桥问题”。 1735年，有几名大学生写信给当时正在俄国彼得堡科 学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决。欧拉并未轻视 生活小题，他似乎看到其中隐藏着某种新的数学方法。经过 一年的研究，29岁的欧拉于1736年向彼得堡科学院递交了 一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文，圆满地解决了这一 问题，同时开创了数学的一个新分支——图论。
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问题的抽象——数学化
欧拉是如何将这生活的趣味问题转化为数学问题的呢？又是如何证明要想一 次走过这七座桥是不可能的呢？欧拉的方法十分巧妙：他用点A、B、C、D表示 哥尼斯堡城的四个地区B（岛区）、C（北区）、A（东区）、D（南区）；七座 桥看成这四个点的连线，用f，d，a，c，b，e，g七个数字表示,如图3-1。 这样“七桥问题”就转化为是否能用一笔不重复地画出过此七点的图形。假 设可以画出来，则图形中必有一个起点和一个终点，如果这两个点不重合，则与 起点或终点相交的线都必是奇数条（称奇点），如果起点与终点重合，则与之相 交的线必是偶数条（称偶点），而除了起点与终点外的点也必是“偶点”。由上 可知，如果一个图形可以一笔画，由上分析，可得如下结论，须满足如下两个条 件： （1）图形必须连通的（图中的任一点通过一些线一定能到达其他任意一点）。 （2）图中的“奇点”数只能是0或2，我们也可依此来检验图形是否可一笔画 出。回头来看看“七桥问题”，图中的4个点全都是“奇点”，可知图不能“一 笔画出”，也就是不可能不重复地通过所有的七座桥。当欧拉将这一结果发表时， 震惊了当时的数学界，人们赞叹这位数学天才的创造能力！
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