高中数学第六章名题赏析6.2哥尼斯堡七桥问题课件北师大版选修3_
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哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件
02
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
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在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
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七桥问题[PPT课件]
![七桥问题[PPT课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/7d28919e7f1922791688e87e.png)
• ②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通 图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点 为起点，另一个奇点为终点。
• ③其他情况的图，都不能一笔画出。 • 下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：
• 例1 观察下面的图形，说明哪些图可以 一笔画完，哪些不能，为什么？对于可 以一笔画的图形，指明画法.
且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先 到达C。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路 程都至少是所有街道路程的总和。仔细观察上图，可 以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以 以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是 说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最 后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程 正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必 定大于这个总和，这样甲先到达C。
• 容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发， 沿箭头 所指方向，经过F、G、E，最后到达奇点F；同理，从奇点F出发 也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点G出发，却不能一笔 画出.
• 事实上，这并不是偶然现象.假定某个图可以一笔画成，且它的 结点X既不是起点，也不是终点，而是中间点，那么X一定是一 个偶点.这是因为无论何时通过一条边到达X，由于不能重复，必 须从另一条边离开X.这样与X连结的边一定成对出现，所以X必 为偶点，也就是说：奇点在一笔画中只能作为起或终点.由此可 以看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
(a)图：可以一笔画，因为只有两个奇点A、B；画法为A→头部 → 翅膀→尾部→翅膀→嘴。
(b)图：不能一笔画，因为此图不是连通图。 (c)图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A、B、C、D。 (d)图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：
• ③其他情况的图，都不能一笔画出。 • 下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：
• 例1 观察下面的图形，说明哪些图可以 一笔画完，哪些不能，为什么？对于可 以一笔画的图形，指明画法.
且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先 到达C。容易知道，在题目的要求下，每个人所走路 程都至少是所有街道路程的总和。仔细观察上图，可 以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以 以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是 说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最 后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程 正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必 定大于这个总和，这样甲先到达C。
• 容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发， 沿箭头 所指方向，经过F、G、E，最后到达奇点F；同理，从奇点F出发 也可以一笔画出，最后到达奇点E.而从偶点G出发，却不能一笔 画出.
• 事实上，这并不是偶然现象.假定某个图可以一笔画成，且它的 结点X既不是起点，也不是终点，而是中间点，那么X一定是一 个偶点.这是因为无论何时通过一条边到达X，由于不能重复，必 须从另一条边离开X.这样与X连结的边一定成对出现，所以X必 为偶点，也就是说：奇点在一笔画中只能作为起或终点.由此可 以看出，在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个。
(a)图：可以一笔画，因为只有两个奇点A、B；画法为A→头部 → 翅膀→尾部→翅膀→嘴。
(b)图：不能一笔画，因为此图不是连通图。 (c)图：不能一笔画，因图中有四个奇点：A、B、C、D。 (d)图：可以一笔画，因为只有两个奇点；画法为：
《格尼斯堡七桥问题》PPT课件
在“一笔画”问题里，长度、角度、面积、体积都没有了， 四大块陆地变成了四个点；连线的长短曲直、交点的方位都无 关紧要，要紧的只是点线之间的相关位置或相互连接的情况， 如下两图都没有改变七桥问题“一笔画”的性质。
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精选PPT
后来布勒格尔河上又架起第八座桥来——铁路桥，这又使人们 想起了那有趣的问题。虽然一次不重复走遍七座桥不可能，那 八座桥呢？从图中可以已看出，“奇点”只有两个（D、C）， 所以可以一次不重复走遍八座桥。
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精选PPT
如果一张图中奇点数大于2，并且是2 的n倍，则该图至少需要n 笔才能画成。如下图所示。
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精选PPT
回头来看邮路图，其中有6个奇点，故至少要3笔才能画成， 重复部分应该选择最短的邮路区间，故以下三种方案中，第 三个方案最好。
最短邮路问题是1960年由我国山东师范大学管梅谷教授提出并 解决的，因此国际上称为“中国邮路问题”。
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精选PPT
于是七桥问题就变成了用笔不重复的（笔不离开纸面）画出这 个几何图形的问题，即“一笔画”问题。如果可以画出来，则 必有一个起点和一个终点，如果这两点不重合，则与起点或终 点相交的线必为奇数条（称为奇点），如果起点与终点重合， 则与之相交的线必为偶数条（称为偶点），而除了起点与终点 外，其他点也必为偶点。据以上分析，如果一个图形可以一笔 画出来，则必须满足两个条件：
图论就是运用直观的图形和数学方法来研究组和关系的一 门新兴学科，原是组和数学的一个重要课题，由于发展迅速， 现已成为一个独立的数学分支。它把被研究系统中的各个元素 作为点，元素之间的关系作为线，然后画成图，通过对图形的 研究，找出解决问题的办法。
11
精选PPT
图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种本质 的框架，在经济、心理、社会、遗传、运筹、计算机、网络、 信息论、控制论、逻辑学、语言学、物理学、化学、微电子技 术、通讯科学、系统科学等方面都有广泛的应用。
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精选PPT
后来布勒格尔河上又架起第八座桥来——铁路桥，这又使人们 想起了那有趣的问题。虽然一次不重复走遍七座桥不可能，那 八座桥呢？从图中可以已看出，“奇点”只有两个（D、C）， 所以可以一次不重复走遍八座桥。
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精选PPT
如果一张图中奇点数大于2，并且是2 的n倍，则该图至少需要n 笔才能画成。如下图所示。
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精选PPT
回头来看邮路图，其中有6个奇点，故至少要3笔才能画成， 重复部分应该选择最短的邮路区间，故以下三种方案中，第 三个方案最好。
最短邮路问题是1960年由我国山东师范大学管梅谷教授提出并 解决的，因此国际上称为“中国邮路问题”。
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精选PPT
于是七桥问题就变成了用笔不重复的（笔不离开纸面）画出这 个几何图形的问题，即“一笔画”问题。如果可以画出来，则 必有一个起点和一个终点，如果这两点不重合，则与起点或终 点相交的线必为奇数条（称为奇点），如果起点与终点重合， 则与之相交的线必为偶数条（称为偶点），而除了起点与终点 外，其他点也必为偶点。据以上分析，如果一个图形可以一笔 画出来，则必须满足两个条件：
图论就是运用直观的图形和数学方法来研究组和关系的一 门新兴学科，原是组和数学的一个重要课题，由于发展迅速， 现已成为一个独立的数学分支。它把被研究系统中的各个元素 作为点，元素之间的关系作为线，然后画成图，通过对图形的 研究，找出解决问题的办法。
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图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种本质 的框架，在经济、心理、社会、遗传、运筹、计算机、网络、 信息论、控制论、逻辑学、语言学、物理学、化学、微电子技 术、通讯科学、系统科学等方面都有广泛的应用。
哥尼斯堡七桥问题的结论
哥尼斯堡七桥问题的结论哥尼斯堡七桥问题，这个名字听起来是不是有点像某个神秘的谜题，或者像是某种古老的传说？但其实它可是数学史上一个相当有趣，也不算特别复杂的问题。
让我们从头说起吧！话说在18世纪，哥尼斯堡（今天是俄罗斯的加尔东，那个地方在一条大河上有七座桥，大家都知道，桥嘛，就是用来跨河的嘛）。
可是问题来了，这七座桥摆得那么乱，怎么才能走过去，一桥不重复，甚至连一次都不漏掉？这可是个难题啊！走过去，过每座桥一次就得了，但不能走重复的，这不就像在玩某种跨河的游戏吗？这问题一度让很多聪明人都摸不着头脑。
特别是当时那位大数学家欧拉，他看到这个问题后，忍不住拿起了笔和纸，开始思考。
你想啊，欧拉这个人，脑袋瓜子灵光，简直能把天上的星星都给数清楚。
于是他就开始琢磨怎么才能解决这个问题。
他不拘一格，想得也很简单。
他说，这问题其实跟图有点像。
你知道，图嘛就是一堆点和连线，而那些桥啊，其实就能看作是图中的“边”，而那些岛屿什么的，就是“点”。
从这个角度来看，欧拉瞬间豁然开朗！他有一个聪明的想法——要走遍这些桥，得看看图里的点到底有多少条边。
说白了，就是要检查一下每个“岛”上面的桥数是奇数还是偶数。
你说欧拉这个人聪不聪明？他发现了一个至关重要的规律——如果一个图中有多个点的连接数是奇数，那么从一个点出发走完所有边的概率基本为零，也就是说，根本就不可能走完所有桥而不重复。
而哥尼斯堡的七座桥，连接数正好是奇数。
想啊，哥尼斯堡的岛屿就像是这些点，而每座桥就像是连接点的边。
想要从一个点出发，走遍所有的边，根本做不到，除非你能拥有神仙的运气。
这个结论真的是一语破天啊！欧拉说了：如果图中有超过两个点的连接数是奇数，那就绝对没有办法走遍所有的桥了！也就是，这个问题没有解。
哦，也有个例外，那就是图中最多只有两个点有奇数条边，或者每个点都只有偶数条边。
那样的话，也许就能有个完美的解法。
但是，哥尼斯堡的问题就是那么不凑巧，七桥问题就是一个典型的“不可能完成的任务”。
趣味数学七桥问题ppt课件
18世纪，在（现俄罗斯）哥尼斯堡 城风景秀美的普莱格尔河上有7座 别致的拱桥，将河中的两个岛和河 岸连结（如左图）。 城中的居民经常沿河过桥散步。城 中有位青年很聪明，爱思考，有一 天，这位青年给大家提出了这样一 个问题：能否一次走遍7座桥，而 每座桥只许通过一次，最后仍回到 起始地点。 这就是数学史上著名的七桥问题。
小热身 七桥问题
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能一笔画的图形必须是连通图。从图的一点出发，笔不离纸，经过每条边恰好一次， 不能重复。 但是，并不是所有的连通图都可以一笔画出。它是由图的奇、偶点的数目来决定的。 ① 有奇数条边相连的点叫奇点。如：
② 有偶数条边相连的点叫偶点。如：
小热身 七桥问题 一笔画
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欧拉定理：
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以任一偶点 为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ②只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画完。画时必须以一个奇点 为起点，另一个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画出。
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
• 一、1979年，美国著名的“百路驰”轮胎公司创 造性地把传送带制成莫比乌斯带形状，这样一来， 整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了原 来单面传送带单面受损的情况，使得其寿命延长 了整整一倍。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
透过现象看本质
• 在把36道简单数学题（加减乘除）做 完后并加以分类的一组学生，比单独 做完这些题目的学生最终在类似数学 题的测验中成绩要好。
及时复习，善于归纳和总结。
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校本教材配套课件—有趣的七桥问题(托起美的数学)
A
B
D
C
A
B
D怎Leabharlann 散步才能一次 不重复的走过每座 桥，并且最后回到 出发点呢？
哥尼斯堡七桥问题
• 故事发生在18 世纪欧洲东普鲁士（现为俄罗斯的加里宁格
勒）有个名叫哥尼斯堡的城市近郊。这里的普雷盖尔河穿城 而过，河中有两个岛，两岸与两岛之间架有七座桥（如图） • • • • 当时城中居民热烈地讨论着这样 一个问题：一个散步者怎样走才 能不重复地走遍所有的七座桥而 回到原出发点？
这个问题初看起来似乎不太难，所以很多人都想试一 试，寻找这种走法，但谁出找不出问题的答案，均以失败
告终。
当时大数学家殴拉从众多人的失败中想到，这样的走
法可能就根本不存在，随后他用数学的方法证实了自己的
猜想是正确的，并于1736 年发表了图论（组合数学的一个
分支）的第一篇论文“哥尼斯堡的七座桥”。
C
《哥尼斯堡七桥问题》微课课件
哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。在
河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁 汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)， 东区(B)，南区(C)和北区(D)。
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于
以下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七
座桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
哥尼斯堡七桥问题
《数学文化》课程组
一笔画游戏
田 串
哥尼斯堡七桥
现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。 在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培 育过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义的创始 人康德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的 数学家之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
关键词：惊人的记忆力 杰出的智慧 顽强的 毅力 孜孜不倦的奋斗精神 高尚的科学道德
公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递 交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论文 的开头是这样写的：
“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热 心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有探索 过的分支。莱布尼兹最先提起过它，称之：“位置 的几何学”。这个几何学分支讨论只与位置有关的 关系，研究位置的性质；它不去考虑长短大小，也 不牵涉到量的计算。但是至今未有过令人满意的定 义，来刻划这门位置几何学的课题和方法……”
欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲 学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领 域，常常见到以欧来命名的公式、定理、和重 要常数。课本上常见的如π、i、e、sin、cos、 tg、△x、Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。 欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论， 创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化 了望远镜、显微镜的设计计算理论。
2017届高中数学第六章名题赏析6.2哥尼斯堡七桥问题课件北师大选修
重ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点拨
思悟升华
1.哥尼斯堡七桥问题被欧拉抽象成数学的几何问题,即能否在 笔不离开纸的情况下,一笔而又不重复地画完这个图形?通过研究, 欧拉得出了关于一笔画的结论,即可以一笔画成的图,或者没有奇数 顶点,或者只有两个奇数顶点,而且只限于这两种情况.根据这个结论, 哥尼斯堡七桥问题迎刃而解. 2.欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成图进行讨论,影响深远.首先, 欧拉的工作推动了图论的诞生;其次,欧拉的工作推动了另一门新的 几何学分支——拓扑学的诞生.
§2 哥尼斯堡七桥问题
激趣诱思
新知预习
欧拉是数学史上著名的数学家,他在数论、几何、天文数学、微 积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就,他小时候一 面读书一面帮助爸爸放羊,他读的书中,有不少数学书. 爸爸的羊渐渐增多了,达到了 100 只,原来的羊圈有点小了,爸爸决定 建造一个新的羊圈.他用尺量出一块长方形的土地,长 40 米,宽 15 米, 他算了一下,面积正好是 600 平方米,平均每一头羊占地 6 平方米,正 打算动工的时候,他发现他的材料只够围 100 米,篱笆不够用,若要围 成长 40 米,宽 15 米的羊圈,其周长将是 110 米,父亲感到很为难,若要 按原计划建造,就要再添 10 米长的材料;要是缩小面积,每头羊的面 积会小于 6 平方米.小欧拉却向父亲说,不用缩小羊圈,也不用担心每 头羊的领地会小于原来的计划,他有办法,父亲不相信小欧拉会有办 法,听了没有理他,小欧拉急了,大声说,只要稍稍移动一下羊圈的桩 子就行了.父亲听了直摇头,心想:“世界上哪有这样便宜的事情?”但 是,小欧拉却坚持说,
二
三
三、关于欧拉
【例 4】 18 世纪,继牛顿之后最伟大的数学家之一,欧洲数学界 的灵魂人物是( ). A.高斯 B.欧拉 C.柯西 D.牛顿 答案:B 【例 5】 以下符号不是欧拉首先引进或创立的是( ). A.用 e 表示自然对数的底 B.用 f(x)表示函数 C.用 i 表示虚数 D.用 dx 表示微分 答案:D
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重难点拨
思悟升华
一
二
三
将昆虫爬行的路线抽象成一笔画问题是解决本题的 关键.
重难点拨
思悟升华
一
二
三
你能否将下图中的图形一笔画成,为什么?
答案:可以一笔画成.因为图中奇数顶点的个数是 2. 欧拉提交给圣彼得堡科学院的论文 关图论的第一篇论文. 答案:《哥尼斯堡的七座桥》 成为了有
重难点拨
思悟升华
一
二
三
三、关于欧拉
【例 4】 18 世纪,继牛顿之后最伟大的数学家之一,欧洲数学界 的灵魂人物是( ). A.高斯 B.欧拉 C.柯西 D.牛顿 答案:B 【例 5】 以下符号不是欧拉首先引进或创立的是( ). A.用 e 表示自然对数的底 B.用 f(x)表示函数 C.用 i 表示虚数 D.用 dx 表示微分 答案:D
§2 哥尼斯堡七桥问题
激趣诱思
新知预习
欧拉是数学史上著名的数学家,他在数论、几何、天文数学、微 积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就,他小时候一 面读书一面帮助爸爸放羊,他读的书中,有不少数学书. 爸爸的羊渐渐增多了,达到了 100 只,原来的羊圈有点小了,爸爸决定 建造一个新的羊圈.他用尺量出一块长方形的土地,长 40 米,宽 15 米, 他算了一下,面积正好是 600 平方米,平均每一头羊占地 6 平方米,正 打算动工的时候,他发现他的材料只够围 100 米,篱笆不够用,若要围 成长 40 米,宽 15 米的羊圈,其周长将是 110 米,父亲感到很为难,若要 按原计划建造,就要再添 10 米长的材料;要是缩小面积,每头羊的面 积会小于 6 平方米.小欧拉却向父亲说,不用缩小羊圈,也不用担心每 头羊的领地会小于原来的计划,他有办法,父亲不相信小欧拉会有办 法,听了没有理他,小欧拉急了,大声说,只要稍稍移动一下羊圈的桩 子就行了.父亲听了直摇头,心想:“世界上哪有这样便宜的事情?”但 是,小欧拉却坚持说,
激趣诱思
新知预习
他一定能两全其美,父亲终于同意让儿子试试看.小欧拉见父亲 同意了,站起来跑到准备动工的羊圈旁,他以一个木桩为中心,将原来 的 40 米边长截短,缩短到 25 米,父亲着急了,说:“那怎么成?那怎么成 呢?这个羊圈太小了,太小了.”小欧拉也不回答,跑到另一条边上,将 原来 15 米的边长延长,又增加了 10 米,变成了 25 米,经这样一改,原 来计划中的羊圈变成了一个边长 25 米的正方形,然后,小欧拉很自信 地对爸爸说:“现在,篱笆也够了,面积也够了.” 父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆,100 米长的篱笆真的 够了,不多不少,全部用光,面积足够了,而且还稍稍大了一些.欧拉的 聪明才智在小时候就得以体现,下面就了解一下欧拉是如何解决哥 尼斯堡七桥的问题.
重难点拨
思悟升华
一
二
三
解决哥尼斯堡七桥问题的数学家是( A.高斯 B.牛顿 C.欧拉 D.伯努利 答案:C
).
欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成下面哪个图形的一笔画问题 加以解决的( ).
答案:B
重难点拨
思悟升华
一
二
三
二、图论
【例 3】 想一想,一只昆虫是否可能从正方体的一个顶点出发, 沿着棱爬行,它爬行过每条棱一次且仅一次,并且最终回到原地?为 什么? ⦾思路分析:画出正方体的直观图,利用一笔画的结论解决. 解:如图,正方体的奇数顶点有 8 个,故不能按 要求最终回到原地.因为昆虫沿正方体的一个顶 点出发,沿着棱爬行,每条棱爬行一次且仅一次,并 且最终回到原地,可把这个问题抽象成一笔能否 画出正方体的问题(图中的虚线在画时也是一笔 画成),而正方体的直观图中有 8 个奇数顶点,由欧拉的结论:可以一 笔画成的图,或者没有奇数顶点,或者只有两个奇数顶点,而且只限于 这两种情况.故有 8 个奇数顶点的正方体不能一笔画成.所以昆虫不 能按要求回到原地.
激趣诱思
新知预习
1.哥尼斯堡七桥问题被数学家欧拉抽象成了一个一笔画的问题 并得以解决. 2.如果在一个顶点处有偶数条边通过,则称这个顶点为偶顶点, 如果在一个顶点处有奇数条边通过,则称这个顶点是奇顶点. 3.欧拉得出了一个关于一笔画的结论,即可以一笔画成的图,或 者没有奇数顶点,或者只有两个奇数顶点,而且只限于这两种情况. 4.欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成图进行讨论,影响深远,推动 了图论的诞生,同时又推动了另一门新的几何学分支——拓扑学的 诞生. 5.1707 年欧拉出生在瑞士;1733 年,欧拉担任了圣彼得堡科学院 数学教授;1766 年欧拉重回圣彼得堡,不料没过多久,他完全失明,且 他的大量研究成果也在一场火灾中全部化为灰烬了.但他仍以惊人 的毅力不懈地与黑暗作斗争,凭着记忆和心算进行研究,以口述的形 式撰写论文长达 17 年之久.
重难点拨
思悟升华
一
二
三
一、哥尼斯堡七桥问题的来源
【例 1】 哥尼斯堡七桥所在的国家即是当今的( A.威尼斯 B.瑞士 C.德国 D.俄罗斯一
二
三
【例 2】 18 世纪哥尼斯堡城的居民热衷于一个游戏,这个游戏 即是哥尼斯堡七桥问题,如图,问题的内容 是 .
答案:一个散步者怎样才能一次走遍 7 座桥,每座桥只走过一次?
重难点拨
思悟升华
1.哥尼斯堡七桥问题被欧拉抽象成数学的几何问题,即能否在 笔不离开纸的情况下,一笔而又不重复地画完这个图形?通过研究, 欧拉得出了关于一笔画的结论,即可以一笔画成的图,或者没有奇数 顶点,或者只有两个奇数顶点,而且只限于这两种情况.根据这个结论, 哥尼斯堡七桥问题迎刃而解. 2.欧拉把哥尼斯堡七桥问题抽象成图进行讨论,影响深远.首先, 欧拉的工作推动了图论的诞生;其次,欧拉的工作推动了另一门新的 几何学分支——拓扑学的诞生.
重难点拨
思悟升华
一
二
三
发现著名公式 eiθ=cos θ+isin θ 的数学家是( ). A.欧拉 B.莱布尼茨 C.高斯 D.牛顿 答案:A 1766 年,欧拉重返圣彼得堡,不久双目失明,1771 年,一场大火使 他的书房和大量研究成果化为灰烬,如此沉重的打击并没有使坚强 的欧拉倒下,他仍然以惊人的毅力与黑暗作斗争.这时的欧拉是如何 进行研究的?又如何撰写论文? 答案:凭着记忆和心算进行研究;以口述的形式撰写论文.