哥尼斯堡七桥问题讲解
哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
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世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。
将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。
他认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如下图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。
格尼斯堡七桥问题解法
格尼斯堡七桥问题解法一、问题背景格尼斯堡七桥问题，是欧拉在1735年提出的一个著名的数学难题。
该问题描述为：有一座连通的城市，其中包含七座桥，如何从任意一个地方出发，经过每座桥恰好一次，最终回到原地。
二、传统解法1.暴力搜索最简单直观的方法是暴力搜索。
遍历所有可能情况，判断是否符合条件。
但是由于状态空间巨大（7个节点有51840种排列方式），这种方法不可行。
2.欧拉回路算法欧拉回路算法是解决格尼斯堡七桥问题最常用的方法之一。
它基于欧拉定理：如果一个图中所有顶点度数均为偶数，则该图存在欧拉回路。
通过构建图模型，并计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉回路。
如果存在，则可以通过遍历欧拉回路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉回路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
三、新解法1.图论与拓扑学结合将图论和拓扑学结合使用，可以更好地解决格尼斯堡七桥问题。
首先，将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
然后，通过计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉通路。
如果存在欧拉通路，则可以通过遍历欧拉通路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉通路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
2.基于网络流的解法基于网络流的解法是一种更高效、更准确的方法。
它基于最大流最小割定理：如果一个网络中所有源点到汇点的路径都满流，则该网络存在一组最大流，并且这组最大流等于所有源点到汇点路径上边权之和。
通过构建网络模型，并计算每个节点之间的容量和费用，可以求出从任意一个节点出发经过每座桥恰好一次回到原地所需的最小费用和路径。
具体步骤如下：（1）将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
（2）对于每个节点i，设其入度为diin，出度为diout，则其容量为min(diin,diout)。
容量表示从该节点出发经过该边的最大流量。
（3）对于每条边(i,j)，其费用为1。
哥尼斯堡七桥问题与图论
1736年29《哥尼斯堡的七座桥》的论文，创了数学的一个新的分支—一、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡在俄罗斯境内，现称为加里宁格勒.生和培养过许多伟大人物.格尔河，横贯城中，如图1所示.流，一条称为新河，一条主流，的商业中心.区、北区、东区和南区.桥，两支流上.这一别致的桥群，图1早在18世纪，散步中走过每座桥，发点？”走遍这七座桥共有A77=7!=验，谈何容易.那么在这5040而形成了著名的图2欧拉请他帮助解决这个他似乎看到其中.经过一年的研究，29岁的并于1736年向彼得堡科哥尼斯堡的七座桥》的论文.C（岛区）、A（南区）；七座桥看成这四个点、6、7七个数字表示，如图3所示.“一笔画”问题：否能一笔不.布勒格尔河模型蔡思明58遍历的路径称作欧拉路径（一个环或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路.图论中的欧拉定理（一笔画定理）要分有向图（边有特定方向的图）与无向图（边没有特定方向的图）两种情况进行讨论.1.无向图的情况定理：连通无向图G有欧拉路径的充要条件为：G中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有0个或者2个.证明：必要性.如果图能够被一笔画成，那么对每个顶点，考虑路径中“进入”它的边数与“离开”它的边数（注意前提是无向图，所以我们不能称其为“入边”和“出边”）.很显然这两个值要么相同（说明该顶点度数为偶），要么相差1（说明该顶点度数为奇）.也就是说，如果欧拉路径不是回路，奇度顶点就有2个，即路径的起点和终点；如果是欧拉回路，起点与终点重合，则不存在奇度顶点.必要性得证.证明：充分性.如果图中没有奇度顶点，那么在G中随机取一个顶点v0出发，尝试构造一条回路c0.如果c0就是原路，则结束；如果不是，那么由于图是连通的，c0和图的剩余部分必然存在某公共顶点v1，从v2出发重复尝试构造回路，最终可将整张图分割为多个回路.由于两条相连的回路可以视为一条回路，所以该图必存在欧拉回路.如果图中有2个奇度顶点u和v，那么若是加一条边将u和v连接起来的话，就得到一个没有奇度顶点的连通图，由上文可知该图必存在欧拉回路，去掉这条新加的边，就是一条以u和v为起终点的欧拉路径.充分性得证.可知，哥尼斯堡七桥问题中的图有4个奇度顶点（1个度数为5，3个度数为3），所以不存在欧拉路径.2.有向图的情况定理：底图连通的有向图G有欧拉路径的充要条件为：G的所有顶点入度和出度都相等；或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的入度与出度之差为1.显然，可以通过与无向图情况相似的思路来证明，过程略.当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏.图论这一数学分支诞生后并未得到很好的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了进200年来有关图论的成果，这是图论发展的第一座里程碑.此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成为数学科学的一个独立的重要分支.图论原是组合数学中的一个重要课题.我们用点表示事物，用连接点的边表示事物间的联系，便可得到图论中的图.图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种框架.图论中的理论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻辑学、语言学计算机科学等诸多领域.由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以运用图论方法予以解决.当然，图论也是计算机科学的基础学科之一.值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的欧拉公式V+F=E+2，欧拉公式是拓扑学的第一个定理.哥尼斯堡的七座桥如今只剩下三座，一条新的跨河大桥已经建成，它完全跨过河心岛——内福夫岛，导游们仍向游客讲述哥尼斯堡桥的故事，有的导游甚至仍称“七桥问题”没有被解决，留给游客以遐想.虽然七座哥尼斯堡桥成了历史，但是“七桥问题”留下的“遗产”不像这些桥那样容易破坏，欧拉卓越的解答方式被永载史册.60。
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]
![哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]](https://img.taocdn.com/s3/m/bc5c022cbdd126fff705cc1755270722192e59b0.png)
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]⼀、历史背景1736年，年仅29岁的数学家欧拉来到普鲁⼠的古城哥尼斯堡（哲学家康德的故乡，今俄罗斯加⾥宁格勒）。
普瑞格尔河正好从市中⼼流过，河中⼼有两座⼩岛，岛和两岸之间建筑有七座古桥。
欧拉发现当地居民有⼀项消遣活动，就是试图每座桥恰好⾛过⼀遍并回到原出发点，但从来没⼈成功过。
欧拉证明了这种⾛法是不可能的。
现在看来，欧拉的证明过程⾮常简单，但他对七桥问题的抽象和论证思想，开创了⼀个新的学科：图论(Graph)。
如今，⽆论是数学、物理、化学、天⽂、地理、⽣物等基础科学，还是信息、交通、经济乃⾄社会科学的众多问题，都可以应⽤图论⽅法予以解决。
图论还是计算机科学的数据结构和算法中最重要的框架（没有之⼀）。
⾸先能想到的证明⽅法是把⾛七座桥的⾛法都列出来，⼀个⼀个的试验，但七座桥的所有⾛法共⽤7\！=5040种，逐⼀试验将是很⼤的⼯作量。
欧拉作为数学家，当然没那样想。
欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每⼀座桥抽象成连接顶点的⼀条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下⾯的图：Processing math: 100%假设每座桥都恰好⾛过⼀次，那么对于A、B、C、D四个顶点中的每⼀个顶点，需要从某条边进⼊，同时从另⼀条边离开。
进⼊和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进⼊的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。
⽽上图中A、C、D四个顶点的相连边都是3，顶点B的相连边为5，都为奇数。
因此，这个图⽆法从⼀个顶点出发，遍历每条边各⼀次。
欧拉的证明与其说是数学证明，还不如看作是⼀个逻辑证明。
⼀个曾难住那么多⼈的问题，竟然是这样⼀个简单的出⼈意料的推理，还开创了⼀个新的学科。
欧拉⾮常巧妙的把⼀个实际问题抽象成⼀个合适的数学模型，这种研究⽅法就是我们应该掌握的数学模型⽅法。
这并不需要运⽤多么深奥的理论，但能想到这⼀点，却是解决问题的关键。
哥尼斯堡7桥问题
３
４
１
５ ２４ ６
４ ７ ５
４
６
７
２
２
命题：“任何一笔画问题，要么没有奇点，要么有两 个
奇点；”（奇点—通过点的曲线为奇数条； 偶点—通过点的曲线为偶数条；）
重要意义：拓扑学和现代图论的发端
陆 地
３
１
３
４
１
岛 ２ ５
陆 地
３
１
４ ３
４
１
２ ４ ５
７
６ ７ 半岛２
２
６
第二步简化：
①岛、半岛、陆地可以简化为４个点；７座桥可以简化为７条线；
②这样就可以抽象为数学问题：点与线的连接问题； ③“哥尼斯堡７桥问题”—“一笔画问题”；
答案：不可能（１７３５年结论，１７３６年发表论文）
３
１
３
１
１
２
３
哥尼斯堡７桥问题
• 时间：１８世纪 • 地点：东普鲁士的哥尼斯堡地区，有一条布勒哥尔河， 新河与旧河汇合而成。河上有７条大桥，中心有一个克 奈劳福岛，有一个哥尼斯堡大学；
陆 地 问题：学生提出走过这７座 桥，能否不重复，又不 漏 掉？即哥尼斯堡７桥问题.
３ 岛 ４ ７
１
３
１
２
陆 地
４
５
６
半岛２
欧拉的思路：①往返的问题—就是陆地与桥的连接问题；—简 化为数学问题； ②第一步简化，如图
哥尼斯堡七桥问题
现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
拓扑学应用实例
前面所提的哥尼斯堡七桥问题、四色问题？ 左手套能否在空间掉转位置后变成右手套？ 一条车胎能否从里朝外的把他翻转过来？ 一只有把的茶杯与救生圈更相似，还是与花瓶更相
互相衔接的两两不同的一串“弧”称为“路”。路中弧的端 点称为路的“顶点”。如果起点与终点相同称为“闭路”。 如果闭路的顶点又不相同，称为“圈”。如下所示：
路
闭路
圈
网络与一笔画问题
于是我们可以给出一笔画的理论叙述。
“一笔画”问题相当于给定一个网络。问： “有没有可能把所有的弧排成一条路”。
如果一个网络的全部弧可以排成一条路，那 么我们称这个网络为一个一笔画。
纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后 把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？ 如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一 个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求。 能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈？
莫比乌斯带的发现
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科 学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学 家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验， 也毫无结果。
当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消 遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只 能经过一次而多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相 当长的时间里，始终未能解决。
而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的 走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是 很大的工作量。
组合数学-七桥
组合数学
葛勇
哥尼斯堡七桥问题
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个 岛及岛与河起点。
哥尼斯堡七桥问题
• 欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的 方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一 座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到 一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题 成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。 欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔 画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点 都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥 问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底 解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
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欧拉
问题抽象
岸，岛 点
桥线
实际问题
一笔画问题
“一笔画”是一个 有趣的数学问题，那么 什么样的图形可以一笔 画成呢？有没有什么规 律可循呢？
问题内容
“一笔画”是指笔不离开纸，而且每条 线都只画一次不准重复而画成的图形。
有奇数条边相连的点叫奇点，如：
有偶数条边相连的点叫偶点，如： Nhomakorabea欧拉一笔画的三条结论
当一个图形只有偶点时可以一笔画； 当图形只有2个奇点的时候，也可以一笔画，但
是只能以这两个奇点作为起点和终点； 当图形的奇点数大于2个的时候就不能一笔画了。
读读欧拉，他是我们大家的老师。 ——拉普拉斯
1736年，著名数学家欧拉证明了这个问题的不可能性。
岸，岛 点
桥线
点号 A B C D
边数 3 5 3 3
哥尼斯堡七桥（一笔画）问题
7（2）班：张宸志
故事发生在18世纪的哥尼斯堡城，流经那里的一条 河中有两个小岛，还有七座桥把这两个小岛与河岸联 系起来。
那里风景优美，游人众多，在这美丽的地方， 人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能 不重复的一次性走完这七座桥呢？
1736年，29岁的著名数学 家欧拉向圣彼得堡科学院递交 了《哥尼斯堡的七座桥》的论 文，证明了这个问题的不可能 性。在解答问题的同时，开创 了数学的一个分支—图论和几 何拓扑，也由此展开了数学史 上的新历程。
奇点 奇点 奇点 奇点
所以，根据定理
三可知：此图形无法 一笔画。