数学小演讲《哥尼斯堡七桥问题》
哥尼斯堡七桥问题简介
哥尼斯堡七桥问题简介在遥远的过去，有个地方叫哥尼斯堡，别看它名字拗口，实际上是个热闹的小镇，嘿，你知道吗？这地方有七座桥，听起来没啥了不起，但故事可精彩了。
想象一下，小镇上那些忙忙碌碌的居民，跨过桥，走过河，日子过得挺滋润。
然而，他们心里总有一个疑问，那就是：有没有办法一次性走遍所有的桥，且不重复走同一座？真是个令人抓狂的谜题！小镇上有个聪明的家伙，名字叫欧拉，他可不是一般人，脑袋瓜子灵活得很。
他就像个侦探，准备深入探讨这个问题。
你说，他是不是特别酷？于是，欧拉开始了他的调查，拿起纸笔，开始在地图上画出这些桥。
他认真得像个孩子在画涂鸦，哈哈。
每当他连接起一座桥，就像在编织一张无形的网。
他发现，哥尼斯堡的桥不只是一座座，它们背后隐藏着复杂的关系。
这就像我们生活中的人际网络，交错着，交织着。
有些桥连接了几个地方，有些则在偏僻的角落，几乎没人去。
这时候，欧拉意识到，桥的数量和走的路线之间的关系，真是错综复杂，就像家庭聚会时，大家都是那么亲近，却又总有那么一点小摩擦，哈哈！欧拉发现了一个神奇的规律，只有在某些情况下，人们才能顺利走完所有的桥而不重复。
简单来说，桥的连接方式就像一个拼图，得拼对了，才能完成这个挑战。
如果有超过两个地方是“单身”状态，意思就是有奇数条桥连着，那你就没办法实现这个目标了。
哇，这真是个有趣的发现，像是在揭开生活中的秘密，神秘又让人兴奋！人们常说“万事开头难”，可这个桥的问题更像是一场脑力游戏，越想越觉得有趣。
可想而知，欧拉的想法引起了小镇的轰动，大家都围着他，期待他的答案。
像是在看一场大型秀，所有人都坐得笔直，屏住呼吸。
欧拉当然不是一个只会摆弄数字的学者，他热爱生活，热爱与人分享知识。
于是，他用简单明了的语言，给大家解释这个复杂的问题。
很多人都瞪大了眼睛，仿佛刚刚发现新大陆，心里那种兴奋劲儿，简直像是在期待一场盛大的节日。
最终，欧拉告诉大家，哥尼斯堡的七桥问题其实是一个数学问题，后来还发展成了图论的基础，这可真是个大新闻！小镇上的人们似乎都明白了些什么，虽然数学对于他们来说，有时候像是一道难以逾越的高墙，但这一次，他们看到了希望。
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。
将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。
经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。
他认为，能一笔画的图形必须是连通图。
连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。
能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。
如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。
画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。
画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
例如下图的线路是：①→②→③→①→④3．其他情况的图都不能一笔画出。
格尼斯堡七桥问题解法
格尼斯堡七桥问题解法一、问题背景格尼斯堡七桥问题，是欧拉在1735年提出的一个著名的数学难题。
该问题描述为：有一座连通的城市，其中包含七座桥，如何从任意一个地方出发，经过每座桥恰好一次，最终回到原地。
二、传统解法1.暴力搜索最简单直观的方法是暴力搜索。
遍历所有可能情况，判断是否符合条件。
但是由于状态空间巨大（7个节点有51840种排列方式），这种方法不可行。
2.欧拉回路算法欧拉回路算法是解决格尼斯堡七桥问题最常用的方法之一。
它基于欧拉定理：如果一个图中所有顶点度数均为偶数，则该图存在欧拉回路。
通过构建图模型，并计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉回路。
如果存在，则可以通过遍历欧拉回路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉回路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
三、新解法1.图论与拓扑学结合将图论和拓扑学结合使用，可以更好地解决格尼斯堡七桥问题。
首先，将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
然后，通过计算每个节点的度数，可以判断是否存在欧拉通路。
如果存在欧拉通路，则可以通过遍历欧拉通路来解决问题。
但是，在实际应用中，并不是所有图都存在欧拉通路。
因此，这种方法并不能完全解决格尼斯堡七桥问题。
2.基于网络流的解法基于网络流的解法是一种更高效、更准确的方法。
它基于最大流最小割定理：如果一个网络中所有源点到汇点的路径都满流，则该网络存在一组最大流，并且这组最大流等于所有源点到汇点路径上边权之和。
通过构建网络模型，并计算每个节点之间的容量和费用，可以求出从任意一个节点出发经过每座桥恰好一次回到原地所需的最小费用和路径。
具体步骤如下：（1）将城市中的桥和岛屿抽象成节点，将桥连接岛屿的关系抽象成边。
（2）对于每个节点i，设其入度为diin，出度为diout，则其容量为min(diin,diout)。
容量表示从该节点出发经过该边的最大流量。
（3）对于每条边(i,j)，其费用为1。
哥尼斯堡七桥问题给我们的启示
哥尼斯堡七桥问题给我们的启示
哥尼斯堡七桥问题是欧洲数学家欧拉在18世纪提出的一个著名的数学问题，这个问题是如何通过哥尼斯堡城市中的七座桥，每座桥只能过一次，将城市中的四块陆地分隔开来。
这个问题最终被欧拉用图论的方法解决了，也成为了现代数学和计算机科学的基础之一。
哥尼斯堡七桥问题给我们的启示是：
创新思维：欧拉在解决这个问题时，采用了新颖的图论方法，这种创新的思维方式对于解决其他问题也同样适用。
抽象思维：欧拉将哥尼斯堡城市的地图抽象成为图形，通过对图形的分析和计算，解决了这个问题。
这种抽象思维方式，对于解决其他问题也同样重要。
多角度思考：欧拉在解决这个问题时，考虑了不同的角度和方法，最终找到了解决问题的突破口。
在日常生活和工作中，也需要多角度思考问题，寻找解决问题的最佳方法。
团队协作：欧拉在研究这个问题时，与其他数学家和科学家进行了交流和合作，共同解决了这个问题。
在工作中也需要团队协作，共同解决问题，取得更好的成果。
总之，哥尼斯堡七桥问题是一个启示我们创新思维、抽象思维、多角度思考和团队协作的经典案例。
哥尼斯堡七桥问题
现在已发展成为研究连续性现象的数学分支。
拓扑学应用实例
前面所提的哥尼斯堡七桥问题、四色问题？ 左手套能否在空间掉转位置后变成右手套？ 一条车胎能否从里朝外的把他翻转过来？ 一只有把的茶杯与救生圈更相似，还是与花瓶更相
互相衔接的两两不同的一串“弧”称为“路”。路中弧的端 点称为路的“顶点”。如果起点与终点相同称为“闭路”。 如果闭路的顶点又不相同，称为“圈”。如下所示：
路
闭路
圈
网络与一笔画问题
于是我们可以给出一笔画的理论叙述。
“一笔画”问题相当于给定一个网络。问： “有没有可能把所有的弧排成一条路”。
如果一个网络的全部弧可以排成一条路，那 么我们称这个网络为一个一笔画。
纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后 把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？ 如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一 个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求。 能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈？
莫比乌斯带的发现
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科 学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学 家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验， 也毫无结果。
当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。这项有趣的消 遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只 能经过一次而多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相 当长的时间里，始终未能解决。
而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的 走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是 很大的工作量。
哥尼斯堡七桥问题的结论
哥尼斯堡七桥问题的结论哥尼斯堡七桥问题，这个名字听起来是不是有点像某个神秘的谜题，或者像是某种古老的传说？但其实它可是数学史上一个相当有趣，也不算特别复杂的问题。
让我们从头说起吧！话说在18世纪，哥尼斯堡（今天是俄罗斯的加尔东，那个地方在一条大河上有七座桥，大家都知道，桥嘛，就是用来跨河的嘛）。
可是问题来了，这七座桥摆得那么乱，怎么才能走过去，一桥不重复，甚至连一次都不漏掉？这可是个难题啊！走过去，过每座桥一次就得了，但不能走重复的，这不就像在玩某种跨河的游戏吗？这问题一度让很多聪明人都摸不着头脑。
特别是当时那位大数学家欧拉，他看到这个问题后，忍不住拿起了笔和纸，开始思考。
你想啊，欧拉这个人，脑袋瓜子灵光，简直能把天上的星星都给数清楚。
于是他就开始琢磨怎么才能解决这个问题。
他不拘一格，想得也很简单。
他说，这问题其实跟图有点像。
你知道，图嘛就是一堆点和连线，而那些桥啊，其实就能看作是图中的“边”，而那些岛屿什么的，就是“点”。
从这个角度来看，欧拉瞬间豁然开朗！他有一个聪明的想法——要走遍这些桥，得看看图里的点到底有多少条边。
说白了，就是要检查一下每个“岛”上面的桥数是奇数还是偶数。
你说欧拉这个人聪不聪明？他发现了一个至关重要的规律——如果一个图中有多个点的连接数是奇数，那么从一个点出发走完所有边的概率基本为零，也就是说，根本就不可能走完所有桥而不重复。
而哥尼斯堡的七座桥，连接数正好是奇数。
想啊，哥尼斯堡的岛屿就像是这些点，而每座桥就像是连接点的边。
想要从一个点出发，走遍所有的边，根本做不到，除非你能拥有神仙的运气。
这个结论真的是一语破天啊！欧拉说了：如果图中有超过两个点的连接数是奇数，那就绝对没有办法走遍所有的桥了！也就是，这个问题没有解。
哦，也有个例外，那就是图中最多只有两个点有奇数条边，或者每个点都只有偶数条边。
那样的话，也许就能有个完美的解法。
但是，哥尼斯堡的问题就是那么不凑巧，七桥问题就是一个典型的“不可能完成的任务”。
七桥问题
哥尼斯堡七桥哥尼斯堡七桥问题也叫做欧拉七桥问题，曾经悬而未解，后得以被数学家欧拉证明。
欧拉曲线也是从七桥问题开始的。
相传在哥尼斯堡这座古老的城市有一个传说，有两条河流在这里交汇，将这座城市分成了四个部分，居民于是在城里造了七座桥将这四个部分连接起来，便利了这里的交通。
但也由此产生了一个疑问，城市里有没有一种路线能一次走完所有的桥，并且每座桥都只走一次。
这个问题难倒了当时所有的市民，同时也引来的欧拉的观注。
欧拉作为一个数学家，以他独有的方式将桥梁跟陆地看成是由点和线连起来的一个图，能不能一次走完七座桥就变成了能不能一笔画完这个图的问题。
如果这个图能够一笔画完，一定存在一个终点和起点，而除去终点和起点，只看中间将会经过的点，欧拉的认为，每通过一条线进入一个点，必定还有一条线能离开这个点，这样进入的线与出去的线肯定相等，也就是说，连接这些点的线必将是偶数。
而在欧拉设想的这个图中，每个点的相邻的线都是奇数，所以不可能一笔画完这个图，一次走完七座桥的路线也就不存在。
欧拉将对此问题的研究化为了一个几何问题，这种几何区别于以前的几何主要是交点的位置、线段的长短甚至它们的面积都不重要，重要的是点、线之间的相关关系，这就是数学上图论的先河。
可见，对数学问题的研究，甚至大到数学学科的开创，也是从生活实践中得来的，生活中何尝又不存在真理呢？反观欧拉曲线，其中每次所画的线都符合上述欧拉的观点，不同的是，曲线不一定是闭合的，甚至就是一条直线也有可能，终点和起点也不一定是同一个点。
事实上，如果能一笔画完一条曲线，那么这条曲线包含奇数条边的点的数目不是0就是2，如果点连接的边都是偶数的话终点与起点肯定在同一个点上，并且可以任选一个点作为终点和起点一笔画完，而如果有两个点连接的边是奇数，那么终点跟起点就在这两个点上，要一笔画完这条曲线，必定是从其中一个奇数点开始，终止于另一个奇数点。
欧拉曲线，你会玩了吗？。
哥尼斯堡七桥问题
一、哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。
欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。
图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.二、四色猜想近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
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为题，在彼得堡科学院作了一个
有趣的报告，把问题归结为如下 图形的“一笔画”问题。即连续
一笔画出这条曲线，既不重复也
不遗漏。
C
A
D
B
在图中，从A、B、C、D中每个点出发时，都有奇数条叉道。所以它 们都不能作为“路过”的点（这是因为“路过”的点，要有进有出，必 是偶数条叉道）。显然，A、B、C、D四点不可能都不是“路过”的点， 所以这个问题是不可能的。
作为一个趣题，已经有了一个确
切的答案，但它的意义远不止于此。 可以看到，“一笔画”问题与图形的
A
大小、形状无关，即图形作了某种变
形，能否一笔画出的答案不变（如七 桥问题画成右图的样子，与答案无 B C
关）。这就是现代“拓扑学”研究的
问题，所以哥尼斯堡七桥问题和欧拉， 成为“拓扑学”的先驱。 D
应当知道，“一笔画”问题对于解决最短邮路问题和其他规划问题是
哥尼斯堡七桥问题
这是一个广泛流传于民间的数学问题。 俄国的加里宁格勒，18世纪称为哥尼斯堡，普雷格尔河贯穿
全市。它有两个支流们建造了七座大桥把河的两岸连接起来。
于是有人提出这样的问题：一个人能不能一次走完这七座 大桥，既不重复也不遗漏？
这个问题使不少人大伤脑筋，
很有实际意义的。
1.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。 2.凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）一定可以一笔画成。 3.其他情况的图都不能一笔画成。