2哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题简介
哥尼斯堡七桥问题简介在遥远的过去，有个地方叫哥尼斯堡，别看它名字拗口，实际上是个热闹的小镇，嘿，你知道吗？这地方有七座桥，听起来没啥了不起，但故事可精彩了。
想象一下，小镇上那些忙忙碌碌的居民，跨过桥，走过河，日子过得挺滋润。
然而，他们心里总有一个疑问，那就是：有没有办法一次性走遍所有的桥，且不重复走同一座？真是个令人抓狂的谜题！小镇上有个聪明的家伙，名字叫欧拉，他可不是一般人，脑袋瓜子灵活得很。
他就像个侦探，准备深入探讨这个问题。
你说，他是不是特别酷？于是，欧拉开始了他的调查，拿起纸笔，开始在地图上画出这些桥。
他认真得像个孩子在画涂鸦，哈哈。
每当他连接起一座桥，就像在编织一张无形的网。
他发现，哥尼斯堡的桥不只是一座座，它们背后隐藏着复杂的关系。
这就像我们生活中的人际网络，交错着，交织着。
有些桥连接了几个地方，有些则在偏僻的角落，几乎没人去。
这时候，欧拉意识到，桥的数量和走的路线之间的关系，真是错综复杂，就像家庭聚会时，大家都是那么亲近，却又总有那么一点小摩擦，哈哈！欧拉发现了一个神奇的规律，只有在某些情况下，人们才能顺利走完所有的桥而不重复。
简单来说，桥的连接方式就像一个拼图，得拼对了，才能完成这个挑战。
如果有超过两个地方是“单身”状态，意思就是有奇数条桥连着，那你就没办法实现这个目标了。
哇，这真是个有趣的发现，像是在揭开生活中的秘密，神秘又让人兴奋！人们常说“万事开头难”，可这个桥的问题更像是一场脑力游戏，越想越觉得有趣。
可想而知，欧拉的想法引起了小镇的轰动，大家都围着他，期待他的答案。
像是在看一场大型秀，所有人都坐得笔直，屏住呼吸。
欧拉当然不是一个只会摆弄数字的学者，他热爱生活，热爱与人分享知识。
于是，他用简单明了的语言，给大家解释这个复杂的问题。
很多人都瞪大了眼睛，仿佛刚刚发现新大陆，心里那种兴奋劲儿，简直像是在期待一场盛大的节日。
最终，欧拉告诉大家，哥尼斯堡的七桥问题其实是一个数学问题，后来还发展成了图论的基础，这可真是个大新闻！小镇上的人们似乎都明白了些什么，虽然数学对于他们来说，有时候像是一道难以逾越的高墙，但这一次，他们看到了希望。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题问题提出18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来。
有个人提出一个问题:一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。
这就是历史上有名的哥尼斯堡七桥问题。
问题进展1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。
欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢?1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。
欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥用线表示。
并由此得到了如图一样的几何图形。
若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。
这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。
DB知识准备连通图：任意两个点都有路径可以连通 奇点：通过此点的线有奇数条 偶点：通过此点的线有偶数条探究一个图形可一笔画的条件及一笔画图形画图方法 1、文字刘 口 中 日 田 目 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 2、图形（ ） （ ） （ ） （ ）一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件： 1. 图形必须是连通的。
2. 图中的“奇点”个数是0或2。
画图方法：全偶点：任一个偶点为起点，最后一定能以这个点为终点两奇点：一个奇点为起点，另一个奇点为终点哥尼斯堡七桥问题结论可以由此来判断“哥尼斯堡七桥问题”，4个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过七桥。
优秀小达人1、这是一个奥运五环标志，你能一笔画成？2、下图不能一笔画成，请你想办法使它变成一笔画。
哥尼斯堡七桥问题与图论
1736年29《哥尼斯堡的七座桥》的论文，创了数学的一个新的分支—一、哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡在俄罗斯境内，现称为加里宁格勒.生和培养过许多伟大人物.格尔河，横贯城中，如图1所示.流，一条称为新河，一条主流，的商业中心.区、北区、东区和南区.桥，两支流上.这一别致的桥群，图1早在18世纪，散步中走过每座桥，发点？”走遍这七座桥共有A77=7!=验，谈何容易.那么在这5040而形成了著名的图2欧拉请他帮助解决这个他似乎看到其中.经过一年的研究，29岁的并于1736年向彼得堡科哥尼斯堡的七座桥》的论文.C（岛区）、A（南区）；七座桥看成这四个点、6、7七个数字表示，如图3所示.“一笔画”问题：否能一笔不.布勒格尔河模型蔡思明58遍历的路径称作欧拉路径（一个环或者一条链），如果路径闭合（一个圈），则称为欧拉回路.图论中的欧拉定理（一笔画定理）要分有向图（边有特定方向的图）与无向图（边没有特定方向的图）两种情况进行讨论.1.无向图的情况定理：连通无向图G有欧拉路径的充要条件为：G中奇度顶点（即与其相连的边数目为奇数的顶点）有0个或者2个.证明：必要性.如果图能够被一笔画成，那么对每个顶点，考虑路径中“进入”它的边数与“离开”它的边数（注意前提是无向图，所以我们不能称其为“入边”和“出边”）.很显然这两个值要么相同（说明该顶点度数为偶），要么相差1（说明该顶点度数为奇）.也就是说，如果欧拉路径不是回路，奇度顶点就有2个，即路径的起点和终点；如果是欧拉回路，起点与终点重合，则不存在奇度顶点.必要性得证.证明：充分性.如果图中没有奇度顶点，那么在G中随机取一个顶点v0出发，尝试构造一条回路c0.如果c0就是原路，则结束；如果不是，那么由于图是连通的，c0和图的剩余部分必然存在某公共顶点v1，从v2出发重复尝试构造回路，最终可将整张图分割为多个回路.由于两条相连的回路可以视为一条回路，所以该图必存在欧拉回路.如果图中有2个奇度顶点u和v，那么若是加一条边将u和v连接起来的话，就得到一个没有奇度顶点的连通图，由上文可知该图必存在欧拉回路，去掉这条新加的边，就是一条以u和v为起终点的欧拉路径.充分性得证.可知，哥尼斯堡七桥问题中的图有4个奇度顶点（1个度数为5，3个度数为3），所以不存在欧拉路径.2.有向图的情况定理：底图连通的有向图G有欧拉路径的充要条件为：G的所有顶点入度和出度都相等；或者只有两个顶点的入度和出度不相等，且其中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的入度与出度之差为1.显然，可以通过与无向图情况相似的思路来证明，过程略.当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏.图论这一数学分支诞生后并未得到很好的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了进200年来有关图论的成果，这是图论发展的第一座里程碑.此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成为数学科学的一个独立的重要分支.图论原是组合数学中的一个重要课题.我们用点表示事物，用连接点的边表示事物间的联系，便可得到图论中的图.图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种框架.图论中的理论已应用于经济学、心理学、社会学、遗传学、运筹学、逻辑学、语言学计算机科学等诸多领域.由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以运用图论方法予以解决.当然，图论也是计算机科学的基础学科之一.值得一提的是，欧拉对七桥问题的研究，后演变成多面体理论，得到了著名的欧拉公式V+F=E+2，欧拉公式是拓扑学的第一个定理.哥尼斯堡的七座桥如今只剩下三座，一条新的跨河大桥已经建成，它完全跨过河心岛——内福夫岛，导游们仍向游客讲述哥尼斯堡桥的故事，有的导游甚至仍称“七桥问题”没有被解决，留给游客以遐想.虽然七座哥尼斯堡桥成了历史，但是“七桥问题”留下的“遗产”不像这些桥那样容易破坏，欧拉卓越的解答方式被永载史册.60。
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]
![哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]](https://img.taocdn.com/s3/m/bc5c022cbdd126fff705cc1755270722192e59b0.png)
哥尼斯堡七桥问题[欧拉图]⼀、历史背景1736年，年仅29岁的数学家欧拉来到普鲁⼠的古城哥尼斯堡（哲学家康德的故乡，今俄罗斯加⾥宁格勒）。
普瑞格尔河正好从市中⼼流过，河中⼼有两座⼩岛，岛和两岸之间建筑有七座古桥。
欧拉发现当地居民有⼀项消遣活动，就是试图每座桥恰好⾛过⼀遍并回到原出发点，但从来没⼈成功过。
欧拉证明了这种⾛法是不可能的。
现在看来，欧拉的证明过程⾮常简单，但他对七桥问题的抽象和论证思想，开创了⼀个新的学科：图论(Graph)。
如今，⽆论是数学、物理、化学、天⽂、地理、⽣物等基础科学，还是信息、交通、经济乃⾄社会科学的众多问题，都可以应⽤图论⽅法予以解决。
图论还是计算机科学的数据结构和算法中最重要的框架（没有之⼀）。
⾸先能想到的证明⽅法是把⾛七座桥的⾛法都列出来，⼀个⼀个的试验，但七座桥的所有⾛法共⽤7\！=5040种，逐⼀试验将是很⼤的⼯作量。
欧拉作为数学家，当然没那样想。
欧拉把两座岛和河两岸抽象成顶点，每⼀座桥抽象成连接顶点的⼀条边，那么哥尼斯堡的七座桥就抽象成下⾯的图：Processing math: 100%假设每座桥都恰好⾛过⼀次，那么对于A、B、C、D四个顶点中的每⼀个顶点，需要从某条边进⼊，同时从另⼀条边离开。
进⼊和离开顶点的次数是相同的，即每个顶点有多少条进⼊的边，就有多少条出去的边，也就是说，每个顶点相连的边是成对出现的，即每个顶点的相连边的数量必须是偶数。
⽽上图中A、C、D四个顶点的相连边都是3，顶点B的相连边为5，都为奇数。
因此，这个图⽆法从⼀个顶点出发，遍历每条边各⼀次。
欧拉的证明与其说是数学证明，还不如看作是⼀个逻辑证明。
⼀个曾难住那么多⼈的问题，竟然是这样⼀个简单的出⼈意料的推理，还开创了⼀个新的学科。
欧拉⾮常巧妙的把⼀个实际问题抽象成⼀个合适的数学模型，这种研究⽅法就是我们应该掌握的数学模型⽅法。
这并不需要运⽤多么深奥的理论，但能想到这⼀点，却是解决问题的关键。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题一、七桥漫步格尼斯堡城是由条顿骑士团在1308年建立，曾作为东普鲁士的首府。
第二次世界大战后，成为前苏联最大的海军基地。
现在的格尼斯堡位于立陶宛和波兰之间。
在第二次世界大战时，法军经这里入侵波兰。
后来苏军也从这里打进德国，所以格尼斯堡是一座名城。
同时这里也诞生过许多伟大人物，其中包括18世纪著名的唯心主义哲学家康德和19世纪的大数学家希尔伯特。
但是，最早给这座城市带来声誉的横跨布列格尔河，把格尼斯堡连成一体的七座桥梁。
这一别致的桥群，引来了众多的游人，同时还引发了数学史上一项重要的研究。
一天又一天，这七座桥上走过了无数的行人，脚下的七桥触发了人们的灵感，一个有趣的问题在民间传开“能否在一次散步中每座桥都走一次，而且只能走一次，最后又回到原来的出发点？”这个问题看似简单，人人都乐意去测试一下自己的智力，可是把全城人的智力加在一起，也没有找到一条合适的路线。
这个问题传开以后，许多欧洲有学问的人也参与思考，同样是一筹莫展。
就这样，格尼斯堡这个“七桥问题”给人们提供了丰富的乐趣和数学兴味，因而使得这座波罗的海的海滨古城闻名遐迩。
二、欧拉与格尼斯堡七桥问题1735年有几名大学生写信给当时正在俄国彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮助解决。
欧拉并未轻视生活中的小问题，他似乎看到了其中隐藏某种新的数学方法。
事实上，要走遍七座桥的所有走法有7！=5040种，要想一一试验是不可能的，只能另找一种新方法。
欧拉依靠他深厚的数学功底，运用娴熟的变换技巧，经过一年的研究，于1936年，29岁的欧拉向彼得堡科学院提交了一份为《格尼斯堡七桥》的论文，圆满的解决了这一问题。
欧拉不仅解决了七桥问题，而且他提出飞思想导致了一门新的数学分支――“图论”的诞生。
欧拉是如何解决七桥问题的？又是如何证明要想一次走过七座桥是不可能的呢？欧拉的方法十分巧妙：（1）不考虑4个地区的大小、形状，不妨将它们看成是链接桥梁的4个点；（2）不考虑桥梁的曲直、长短，不妨将它们看成连接4个点的7条线。
哥尼斯堡的“七桥问题”
数据结构课程设计题目：哥尼斯堡的“七桥问题”院系：班级：学号：姓名：2014-2015年度第1学期哥尼斯堡的“七桥问题”一．题目：哥尼斯堡的“七桥问题”二．设计目标帮助学生熟练掌握图和邻接表的使用，了解利用图能够解决生活中的那些实际问题。
三．问题描述在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。
问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?四．概要设计1>构建用邻接表存储的图结构体：2> 图的初始化3> 读入并存储一个图G4>图G的深度优先搜索5>检查边的度是否全为偶数五．详细设计（给出算法的伪码描述和流程图）总体操作步骤：流程图设计：主流程图：1>构建用邻接表存储的图结构体：typedef struct {int Visited[MAXV]; /* 顶点标记*/int Edges[MAXV][MAXV]; /* 邻接表*/int VertexN, EdgeN; /* 顶点和边数*/} Graph;2>图的初始化：3>读入并存储一个图G4>图G的深度优先搜索:5>检查边的度是否全为偶数:6>主函数：代码分析：1>图的初始化：void InitializeG ( Graph *G ){int i, j;for (i=0; i<MAXV; i++){for (j=0; j<MAXV; j++)G->Edges[i][j] = 0;G->Visited[i] = 0;}G->VertexN = G->EdgeN = 0;}2>读入并存储一个图G:void ReadG ( Graph *G ){ /* 读入并存储一个图G */int i, V1, V2;scanf("%d %d", &G->VertexN, &G->EdgeN);for (i=0; i<G->EdgeN; i++){scanf("%d %d", &V1, &V2);G->Edges[V1-1][V2-1] = G->Edges[V2-1][V1-1] = 1;}}3>图G的深度优先搜索:void DFS ( Graph *G, int V ){ /* 图G的深度优先搜索*/int W;G->Visited[V] = 1; /* 将访问到的结点进行标记*/for (W=0; W<G->VertexN; W++)if (G->Edges[V][W] && !G->Visited[W])DFS(G, W);}4>检查边的度是否全为偶数:int CheckG ( Graph *G ){ /* 检查边的度是否全为偶数*/int r, i, j;for (i=0; i<G->VertexN; i++){r = 0;for (j=0; j<G->VertexN; j++)r += G->Edges[i][j];if (r%2) return 0; /* 发现奇数度的边则返回0 */}return 1; /* 全是偶数度的边则返回1 */}5>主函数：int main(){int i;Graph *G = malloc( sizeof(Graph) );InitializeG( G );ReadG( G );DFS( G, 0 ); /* 检查连通性*/for (i=0; i<G->VertexN; i++)if (!G->Visited[i])break;if (i<G->VertexN) /* 若有结点没被DFS访问到*/printf("0\n"); /* 则图不连通*/else /* 若图连通*/printf("%d\n", CheckG(G));return 0;}六．测试分析白盒：查看代码完整性黑盒：测试是否可以正确的创建，删除，插入，打印，查找等操作七．使用说明插入删除语句：删除1条内容插入语句：插入一条信息自动打印：打印内容八．测试数据注：学生在测试数据时，需要写出测试用例和截图十．课程设计总结通过“哥尼斯堡的“七桥问题””这个题目，我认识到了图的使用，以及邻接表存储。
第二章 第二节 哥尼斯堡七桥问题
第二节哥尼斯堡七桥问题教学目标1.了解哥尼斯堡七桥问题的由来2.理解欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法3.掌握一笔画问题的步骤教学重点掌握一笔画问题的技巧教学过程一、导入哥尼斯堡七桥问题的由来哥尼斯堡曾是东普鲁士的首府，现称加里宁格勒，在俄罗斯境内。
在第二次是世界大战时，的军警哲理入侵波兰。
后来，苏军也是从此地打进德国的。
所以哥尼斯堡是一座历史名城。
同时，在这里诞生和培养过许多伟大人物。
如著名唯心主义哲学家康德，终生没有离开此城。
在哥尼斯堡城中有一条布勒格尔河，横贯城中。
河有两条支流，一条称新河，一条叫旧河，在城中心汇合成一条主流，在合流的地方中间有一座河心岛，这是城中繁华的商业中心。
由于布勒格尔河的流过，使全城分成为四个地区：岛区、北区、东区和南区。
在布勒格尔河上，架了七座桥，其中五座将河岛与河岸连接起来，另有两座架在二支流上。
这一别致的桥群，吸引了众多的哥尼斯堡居民和游人来此河边散步或去岛上买东西。
早在18世纪，就有人提出这样的问题：“能否在一次散步中每座桥都走一次，而且只能走一次，最后又回到原来的出发点？”这个问题吸引了不少人去思考实验。
事实上，要走遍这七座桥的所有走法共有7！=5040种，要想一一验过，谈何容易。
是否在这5040中走法中存在着一条走遍七座桥而又不重复的路线呢？谁也回答不了。
因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
二、新授哥尼斯堡七桥问题的解决1735年，有几名大学生写信给当时正在俄国彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决。
欧拉并未轻视生活小题，他似乎看到其中隐藏着某种新的数学方法。
经过一年的研究，29岁的欧拉于1736年向彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文，圆满地解决了这一问题，同时开创了数学的一个新分支——图论。
问题的抽象——数学化欧拉是如何将这生活的趣味问题转化为数学问题的呢？又是如何证明要想一次走过这七座桥是不可能的呢？欧拉的方法十分巧妙：他用点A、B、C、D表示哥尼斯堡城的四个地区B（岛区）、C（北区）、A（东区）、D（南区）；七座桥看成这四个点的连线，用f，d，a，c，b，e，g七个数字表示,如图3-1。
高中数学知识点精讲精析 哥尼斯堡七桥问题
2 哥尼斯堡七桥问题十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。
由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。
渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
图1这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。
因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。
欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。
欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
图2 图3于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。
欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。
图上其它的点是“过路点”——画的时候要经过它。
现在看“过路点”具有什么性质。
它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。
因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。
如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须是偶点，这样图上全体点都是偶点。
如果起点和终点不是同一点，那么它们必须是奇点，因此这个图最多只能有二个奇点。
现在对照七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，所以这个图肯定不能一笔画成。
欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。
事实上，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，从长期实践的经验，人们知道如果图的点全部是偶点，可以任意选择一个点做起点，一笔画成。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不过，在橡皮膜几何里也有一些图形的性质保持不变。 例如点变化后仍然是点；线变化后依旧为线；相交的图形 绝不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交!
拓扑学正是研究诸如此类，使图形在橡皮膜上
保持不变性质的几何学
请大家思考：“串”、“田”两字， 在橡皮膜上可变为什么图形
拓扑学是在19世纪末兴起并在20世纪蓬勃发 展的数学分支，与近世代数、近代分析共同成为 数学的三大支柱。
拓扑学已在物理、化学、生物一些工程技术 中得到越来越广泛的应用。拓扑学主要研究几何 图形在一对一的双方连续变换下不同的性质，这 种性质称为“拓扑性质”。
以下我们将复杂的拓扑学知识应用到简单的 游戏中，使观众在游戏中了解拓扑学的特性，并 学习到相关知识。
“内部”与“外部”
一条头尾相连且自身
不相交的封闭曲线，把橡皮 膜分成两个部分。如果我们 把其中有限的部分称为闭曲 线的“内部”，那么另一部 分便是闭曲线的“外部”。 从闭曲线的内部走到闭曲线 的外部，不可能不通过该闭 曲线。因此，无论你怎样拉 扯橡皮膜，只要不切割、不 撕裂、不折叠、不穿孔，那 么闭曲线的内部和外部总是 保持不变的!
接着，欧拉运用他那娴熟的变换技巧，如同
下图，把哥尼斯堡七桥问题变为读者所熟悉的， 简单的几何图形的“一笔画”问题：即能否笔不 离纸，一笔画但又不重复地画完以下的图形？
不难发现：右图中的点A、B、C、D，相当于 七桥问题中的四块区域；而图中的弧线，则相当
于连接各区域的桥。
想不到轰动一时的哥尼斯堡七桥问 题，竟然与孩子们的游戏，想用一笔画画 出“串”字和“田”字这类问题一样。
P72
如果有兴趣，完全可以照样子画一张地图， 亲自尝试尝试。不过，要告诉大家的是,想把所 有 各种的可可能能的线线路路都有试过一=5遍P0774是0种极。为要困想难一的一！试因过为， 真是谈何容易。正因为如此，七桥问题的解答 便众说纷纭：有人在屡遭失败之后，倾向于否 定满足条件的解答的存在；另一些人则认为， 巧妙的答案是存在的，只是人们尚未发现而已，
“内部”与“外部”是拓扑 学中很重要的一组概念
以下有趣的故事，将增加你 对这两个概念的理解：
传说古波斯穆罕默德的继承人哈里
发，有一位才貌双全的女儿。姑娘的智 慧和美貌，使许多聪明英俊的小伙子为 之倾倒，致使求婚者的车马络绎不绝。 哈里发决定从中挑选一位才智超群的青 年为婿。于是便出了一道题目，声明说： 谁能解出这道题，便将女儿嫁给谁！
哈里发的题目是这样的：请用线把下图
中写有相同数字的小圆圈连接起来，但所 连的线不许相交，也不许与图中的线相交
上述问题的解决，似乎不费吹灰之
橡皮膜பைடு நூலகம்的几何学
在《哥尼斯堡七桥》问题中，读者 已经看到了一种只研究图形各部分位置 的相对次序，而不考虑它们尺寸大小的 新几何学。莱布尼兹(Leibniz，1646～ 1716)和欧拉为这种“位置几何学”的发 展奠定了基础。如今这一新的几何学， 已经发展成一门重要的数学分支
——拓扑学
拓扑学研究的课题是极为有趣的。 在拓扑学中人们感兴趣的只是图形的位置而不是它的
早在十八世纪以前，当地的居民便热衷于以
下有趣的问题：能不能设计一次散步，使得七座 桥中的每一座都走过一次，而且只走过一次?
这便是著名的哥尼斯堡七桥问题。
这个问题后来变得有点惊心动魄：说是有一
队工兵，因战略上的需要，奉命要炸掉这七座桥。 命令要求当载着炸药的卡车驶过某座桥时，就得 炸毁这座桥，不许遗漏一座！
聪明的欧拉，正是在此基础上，经过 悉心研究，确立了著名的“一笔画原理”， 从而成功地解决了哥尼斯堡七桥问题。
一笔画原理：
一个图如果可以一笔画成，那么这个图 中奇数顶点的个数不是0就是2。
下图画的两只动物世界的庞然大物，都
可以用一笔画完成。它们的奇点个数分别为0 和2。这两张图选自《智力世界》一刊，也算 一种别有风趣的例子。
“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们
热心地研究着。但是还有一个至今几乎完全没有 探索过的分支。莱布尼兹最先提起过它，称之： “位置的几何学”。这个几何学分支讨论只与位 置有关的关系，研究位置的性质；它不去考虑长 短大小，也不牵涉到量的计算。但是至今未有过 令人满意的定义，来刻划这门位置几何学的课题 和方法……”
这在人类智慧所未及的领域，是很常见的事！
科技馆里的模型
问题的魔力，
竟然吸引了天才的 欧拉(Euler。1707--1783)。这位年轻的 瑞士数学家，以其 独具的慧眼，看出 了这个似乎是趣味 几何问题的潜在意 义。
公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递
交了一份题为《哥尼斯堡的七座桥》的论文。论 文的开头是这样写的：
河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其旁 汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区(A)， 东区(B)，南区(C)和北区(D)。
著名的哥尼斯堡大学，傍倚于两条支流的河旁，
使这一秀色怡人的区域，又增添了几分庄重的韵 味!有七座桥横跨普累格河及其支流，其中五座把 河岸和河心岛连接起来。这一别致的桥群，古往 今来，吸引了众多的游人来此散步。
需要顺便提到的是：既然可由
一笔画画成的脉络，其奇点个数应 不多于两个，那么，两笔划或多笔 划能够画成的脉络，其奇点个数应 有怎样的限制呢？我想，聪明的读 者完全能自行回答这个问题。
一般地，我们有： 含有2n(n>0)个奇点的脉络，需 要n笔划画成。
问题
在哥尼斯堡 七桥问题中 再加进去一 座桥，会怎 么样？
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。 在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育 过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义的创始人康 德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家 之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。在