C-代数的广义迹秩

( ) (3)
n [1 −
p1 ]
≤
[
p1
]
，
n
f σ1
σ2
(1 −
p1 ) a (1−
p1 )
≤
f σ3
σ4
( p1ap1 ) ；
( ) (4)
n [1 −
p2
]
≤
[
p2
]
，
n
f σ1
σ2
(1 −
p2 )b (1−
p2 )
≤
f σ3
σ4
( p2bp2 ) 。
令 B= B1 ⊕ B2 ，下证 B ∈ 0 。 因为存在有限维代数 F1 ， F2 及同态 φ0 ， φ1 : F1 → F2 使得
Abstract
In this paper, the properties of generalized tracial rank are studied. We prove equivalence of generalized tracial rank and weak generalized tracial rank, and also prove that generalized tracial rank is closed with respect to direct sum, and unital subalgebra. Finally, the generalized tracial rank of the ideal of compact operators on a Hilbert module is given.
(2) 任给 x ∈ ， pxp ∈ε 3 C ；
，则
GTR
⊕in=1 Ai
≤ 1 。特殊
DOI: 10.12677/pm.2020.104039
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理论数学
刘晨晨
( ) 的，当 A 是 unital C*-代数时，因为 A ≅ A ⊕ ，所以 GTR ( A) ≤ 1 当且仅当 GTR A ≤ 1 。
定理 3.5. 令 A 是 unital C*-代数，若任意 ε > 0 ，任意有限集 ⊂ A ，存在 unital C*-子代数 B ⊂ A 满
(3) 令 D 为 E 的子集，如果 D 中元素的有限 A-线性组合构成的子模在 E 中稠密，则称 D 是 E 的生
成集。如果 E 有有限或可数生成集，则称 E 是可数生成的。
{ } (4) 记= H A
(
xk
)
∈
∏∞A 1
:
∑
xk*
xk
在A中范数下收敛
，则 H A 是 Hilbert A-模。
3. 主要结果
令 E=1 F1 ⊕ G1 ， E=2 F2 ⊕ G2 则 E1 ， E2 是有限维代数，ψ=0 φ0 ⊕ ϕ0 ，ψ1= φ1 ⊕ ϕ1 ，是ψ 0 ，ψ1 从 E1
{ } 到 E2 的 同 态 且 C= (h, e) ∈ C ([0,1], F2 ⊕ G2 ) ⊕ ( F1 ⊕ G1 ) : h (0=) ψ 0 (e), h (1=) ψ1 ， 则 C= B1 ⊕ B2 ， 且
足 GTR ( B) ≤ 1 且 ⊂ε B ， IB = I A ，则 GTR ( A) ≤ 1 。
特殊的，对 A = lim→ An ，其中 GTR ( An ) ≤ 1，则 GTR ( A) ≤ 1 。
证明.
任意 ε
> 0，0 <σ4
<σ3 <σ2
< σ1 < 1 ， n ∈ N + ，任意有限集
=p (= p1, p2 ) IB ，所以
(1) 任给 x ∈ ， px − xp = p1ai − ai p1 + p2bi − bi p2 < 2ε ；
(2) 因为存在 ci , c ∈ B1 ， di , d ∈ B2
(i
=
1, ,
t
)
使得
p1ai p1 − ci < ε , p2bi p2 − di < ε , p1ap1 − c < ε , p2bp2 − d < ε
Keywords
Tracial Rank, Generalized Tracial Rank, Weak Generalized Tracial Rank
C*-代数的广义迹秩
刘晨晨 中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛
收稿日期：2020年3月21日；录用日期：2020年4月9日；发布日期：2020年4月16日
+
f σ1
σ2
1A2 − p2 b 1A2 − p2
≤
f σ3
σ4
(
p1ap1
)
+
f σ3
σ4
(
p2bp2
)
=
f σ3
σ4
(
p
(
a, b )
p )
综上得 GTR ( A1 ⊕ A2 ) ≤ 1 。
□
( ) 注 3.4.
设
{
A1
,,
An
}
是任意有限个
C*-代数，若对于任意
i，GTR
(
Ai
)
≤
1
设 E 是 C*-代数 A 上的 Hilbert C*-模。
(1) 对任意的 x, y ∈ E ，对任意的 z ∈ E ，定义θx,y ( z ) = x y, z 。
{ } = (2) 令 K ( E ) span θx,y : x, y ∈ E ，称 K ( E ) 中的元素为 E 上的紧算子。
The Generalized Tracial Rank of C*-Algebra
Chenchen Liu School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao Shandong
Received: Mar. 21st, 2020; accepted: Apr. 9th, 2020; published: Apr. 16th, 2020
{ } B1 =( f , a) ∈ C ([0,1], F2 ) ⊕ F1 : f (0) =φ0 (a), f (1) =φ1 (a) 及有限维代数 G1 ，G2 及同态ϕ0 ，ϕ1 : G1 → G2 使
{ } 得 B2 =( g,b) ∈ C ([0,1],G2 ) ⊕ G1 : g (0) =ϕ0 (b), g (1) =ϕ1 (b) 。
注 3.2. 若 X 是有限维紧的 Hausdorff 空间则 C ( X ) 亦为有限维空间，所以 C ( X ) ∈ 0 ，因此
GTR (C ( X )) ≤ 1。
定理 3.3. 设 A1, A2 是 unital C*-代数，若 GTR ( Ai ) ≤ 1 (i = 1, 2) ，则 GTR ( A1 ⊕ A2 ) ≤ 1 。
定义 3.1. A 是 unital 的 C*-代数，若对于任意 ε > 0 ， 0 < σ 4 < σ3 < σ 2 < σ1 < 1 ，任意有限集 ⊂ A 包 含非零正元 a，任意 n ∈ + ，存在 C*-子代数 B ∈ 0 以及投射 p ∈ A ， p = IB 满足：
(1) 任给 x ∈ ， px − xp ≤ ε ；
刘晨晨
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
=
{a1
,
,
at
,
a}
，其中
a
≥
0
。令
σ3 < d4 < d3 < d2 < d1 < σ 2 ，则由[3]引理 2.8 知存在 δ1 = δ (d1, d2 ) ， δ2 = δ (σ3 ,σ 4 ) 满足引理 2.8 不妨设
ε < min{δ1,δ2} ，对于η = ε 3 由条件知存在 unital C*-子代数 B ⊂ A ， GTR ( B) ≤ 1 且 ⊂η B ，所以对于
(2) 任给 x ∈ ， pxp ∈ε B ；
(3)
n [1 −
p]
≤
[
p]
，
n
f σ1
σ2
( (1 −
p)aBiblioteka (1 −p ) )
≤
f σ3
σ4
(
pap )
。
则称 GTR ( A) ≤ 1 。
DOI: 10.12677/pm.2020.104039
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理论数学
刘晨晨
( ) 当 A 是 non-unital 的 C*-代数时，若 GTR A ≤ 1 ，则称 GTR ( A) ≤ 1 。
(4)
设0 <σ2
< σ1
< 1 ，定义函数
f σ1
σ2
为
= fσσ21 (t )
1, linear, 0,
t ≥ σ1; σ2 ≤ t ≤ σ1; 0 ≤ t ≤σ2.
(5) 令 a,b ∈ A+ ，若存部分等距 u ∈ A′′ 满足对任意的 c ∈ Her (a) ，有 u*c, cu ∈ A ，uu* = pa ，其中 pa 是 a 的值投影，且 u*cu ∈ Her (b) ，则记 [a] ≤ [b] 。
Open Access
1. 引言
2001 年林华新教授因核 C*-代数分类的需要[1]首次提出迹秩的概念。迹秩类似于拓扑空间的维数， 是非交换代数的一种拓扑秩。它是 C*-代数同构的不变量，在 C*-代数分类研究中起着重要的作用。