布尔代数的计算公式
布尔代数
P( A), , , ~, , A
定义8.2 具有有限个元素的布尔代数称为有限布 尔代数. 定义8.3 设布尔代数 < B, ∨, ∧, ’, 0, 1 >, 若A是B 的子集, 且< A, ∨, ∧ , ’, 0, 1 > 也是布尔代数, 则 称 < A, ∨, ∧, ’, 0, 1 > 为 <B, ∨, ∧, ’, 0, 1 > 的子 布尔代数. 定理8.1 设 <B, ∨, ∧, ’, 0, 1 >为布尔代数, 若 A B 且A含有元素0和1, 并对∨, ∧, ’ 运算封闭, 那么 < A, ∨, ∧, ’, 0, 1 >为 < B, ∨, ∧, ’, 0, 1 > 的子布尔代数. 证明: 只需验证< A, ∨, ∧, ’, 0, 1 >为布尔代数.
定理8.8 (等幂律) 对于B中每个元素a，都有 a∨a＝a，a∧a＝a
证明: a∨a＝(a∨a)∧1 ＝(a∨a)∧ (a∨a’) ＝ a∨ (a∧a’) (分配律) ＝ a∨ 0 ＝a 同理可证第二式.
定理8.9 （零一律）对于B中每个元素a，有 a∨1＝1，a∧0＝0 证明：a∨1＝(a∨1)∧ 1 ＝(a∨1)∧ (a∨a’) ＝a∨ ( 1∧a’) ＝ a∨a’ ＝1 同理可证第二式.
定理11.2(对偶原理) 在任一个由布尔代数定义 中的基本性质所导出的等式中, 同时交换∨与∧ 以及0与1所得到的式子也可以从相应的性质导出.
8.1.3 布尔代数的基本性质 定理8.3 零元素是唯一的. 证明: 设B中有两个零元素01和02，则对任意元 素 a, b∈B 有：a∨01＝a，b∨02＝b, 令a＝02，b＝01，得 02∨01＝02和 01∨02＝01 由交换律02∨01＝01∨02 得 01＝02， 故零元是唯一的. 定理8.4 单位元1是唯一的. 证明方法类似.
第3章 布尔代数与逻辑函数化简
布尔代数与逻辑函数化简
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A
A + AB = A (1 + B) = A
布尔代数与逻辑函数化简
(二) 逻辑代数的特殊定理
吸收律 A + AB = A 推广公式：
摩根定律(又称反演律) 推广公式： A+B A B A· B A B A+B A · B 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 A 0 0 思考：(1) 若已知 A + B = 1 + C，则 B = C 吗？ 1 0 1 1 1 0 0 0 (2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？ 1 1 0 0 1 1 0 0
逻辑变量与常量的运算公式
0–1律 0+A=A 1+A=1 1· =A A 0· =0 A
重叠律
A+A=A A· =A A
互补律
还原律
布尔代数与逻辑函数化简
二、基本定律
(一) 与普通代数相似的定律
交换律 结合律 分配律 A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) A (B + C) = AB + AC A· =B· B A (A · · = A · · B) C (B C) A + BC = (A + B) (A + C) 普通代数没有！ 逻辑等式的 证明方法 利用真值表
例如 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 1 0 0 0 0 0 0 1
逻辑式为
ABC
布尔代数与逻辑函数化简
电子计算公式范文
电子计算公式范文1. 电流公式（Ohm's Law）：I = V / R其中，I是电流，V是电压，R是电阻。
根据这个公式，可以计算给定电压和电阻时的电流。
2. 功率公式（Power Formula）：P = IV其中，P是功率，I是电流，V是电压。
这个公式用于计算给定电流和电压时的功率。
3. 电容公式（Capacitance Formula）：C = Q / V其中，C是电容，Q是电荷，V是电压。
这个公式用于计算给定电荷和电压时的电容。
4. 电感公式（Inductance Formula）：L = Φ / I其中，L是电感，Φ是磁通量，I是电流。
这个公式用于计算给定磁通量和电流时的电感。
5. 欧姆功率公式（Joule's Law）：P = I^2 * R其中，P是功率，I是电流，R是电阻。
根据这个公式，可以计算给定电流和电阻时的功率。
6. 电能公式（Electrical Energy Formula）：E = P * t其中，E是电能，P是功率，t是时间。
这个公式用于计算给定功率和时间时的电能。
7. 位移电流公式（Displacement Current Formula）：I_d = ε_0 * A * dV / dt其中，I_d是位移电流，ε_0是真空中的介电常数，A是截面积，dV/dt是电场的变化率。
这个公式用于计算位移电流。
8. 集成器输出电压公式（Op-Amp Output Voltage Formula）：V_out = (V_2 - V_1) * (1 + R_f / R_i)其中，V_out是集成器的输出电压，V_2是正输入电压，V_1是负输入电压，R_f是反馈电阻，R_i是输入电阻。
这个公式用于计算集成器的输出电压。
9. 增益公式（Gain Formula）：A_v = V_out / V_in其中，A_v是电压增益，V_out是输出电压，V_in是输入电压。
这个公式用于计算电路的电压增益。
布尔与逻辑运算
乔治·布尔1815年11月于英格兰的林肯，19世纪最重要的数学家之一，出版了《逻辑的数学分析》，这是它对符号逻辑诸多贡献中的第一次。
1854年，他出版了《思维规律》，这是他最著名的著作，在这本书中布尔介绍了现在以他的名字命名的布尔代数。
由于其在符号逻辑运算中的特殊贡献，很多计算机语言中将逻辑运算称为布尔运算，将其结果称为布尔值。
1835年，20岁的乔治·布尔开办了一所私人授课学校。
为了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数学知识的教科书。
不久，他就感到惊讶，这些东西就是数学吗？实在令人难以置信。
于是，这位只受过初步数学训练的青年自学了艰深的《天体力学》和很抽象的《分析力学》。
由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成果写成论文发表。
这篇高质量的论文发表后，布尔仍然留在小学教书，但是他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德·摩根。
摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。
这本书是他6年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。
布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。
他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。
在这种代数中，适当的材料上的“推理”，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。
这样，就使逻辑本身受数学的支配。
为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时间里，又付出了不同寻常的努力。
1854年，他发表了《思维规律》这部杰作，当时他已39岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里程碑。
几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后没有受到人们的重视。
欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的、哲学上稀奇古怪的东西，他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。
09-格与布尔代数-8.2
第三节 子布尔代数、积布尔代数、布尔代数同态
定义：给定布尔代数<B, , *, ’ , 0, 1>，≠T B
2015年6月6日星期六
若T对 、* 和 ’ 是封闭的，且：0, 1 T
称<T, , *, ’ , 0, 1>是<B, , *, ’ , 0, 1>的子布尔代 数 显然：<{0, 1}, , *, ’ , 0, 1>和<B, , *, ’ , 0, 1> 都是<B, , *, ’ , 0, 1>的(平凡)子布尔代数
则：<f(B),∨,∧, , f(0), f(1)>是布尔代数 （证明参见教材P170 —— 利用布尔代数的定义证明）
布尔代数同态
结论：
2015年6月6日星期六
若 f 是从布尔代数<B, , *, ’ , 0, 1>到格<S,∨,∧>的 格同态映射，且f是满射的，
则：<S,∨,∧>是布尔代数
并且可以用基本公式来定义布尔代数
布尔代数的定义 从这4个定律，可以推出所有布尔代数的公式
有兴趣的同学可以参阅 R. L. 古德斯坦因 著的
对于a, b B ， 有 定义：设<B, , *, ’ >是一个代数结构，其中：
2015年6月6日星期六
和 * 是B上的二元运算，’ 是B上的一元运算，且 0, 1 B
例9.15：设Bn是由0和1形成的n元组集合，且
2015年6月6日星期六
a = <a1, a2, …, an>，b = <b1, b2, …, bn> 0n = <0, 0, …, 0> ， 1n = <1, 1, …, 1> 对任意 a, b Bn，定义： a b = < a1∨b1, a2∨b2 , …, an∨bn > a * b = < a1∧b1, a2∧b2 , …, an∧bn > a’ = < a1, a2, …, an> < Bn,∨,∧, , F, T>是布尔代数（开关代数）
德摩根公式的解释
德摩根公式的解释
德摩根公式，也称为德摩根定律，是布尔代数中的基本定理之一。
它描述了与逻辑运算符（与、或、非）相关的关系：对于任意两个布尔变量A和B，德摩根公式说明了逻辑与运算和逻辑或运算的补运算之间的关系。
德摩根公式有两种形式：
1. 逻辑与的德摩根公式：¬(A∧B) = ¬A∨¬B
这个式子说明了逻辑与运算的补运算是逻辑或运算，即两个变量同时为真的补运算等价于至少一个变量为假。
2. 逻辑或的德摩根公式：¬(A∨B) = ¬A∧¬B
这个式子说明了逻辑或运算的补运算是逻辑与运算，即两个变量至少有一个为真的补运算等价于两个变量都为假。
德摩根公式的实用意义在于将复杂的逻辑表达式转化为更简单的形式，从而便于理解和分析。
通过应用德摩根公式，我们可以将复杂的逻辑运算简化为更简单的形式，同时也有助于发现逻辑推理中的错误或矛盾。
逻辑代数的运算法则
逻辑代数的运算法则逻辑代数又称布尔代数。
逻辑代数与普通代数有着不同概念，逻辑代数表示的不是数的大小之间的关系，而是逻辑的关系，它仅有0、1两种状态。
逻辑代数有哪些基本公式和常用公式呢？1.变量与常量的关系与运算公式 一、基本公式A·1=AA·0=0或运算公式A+0=A A+1=101律2.与普通代数相似的定律与运算公式A·B=B·A 或运算公式A+B=B+A交换律A·(B·C)=(A·B)·C A+(B+C)=(A+B)+C 结合律A·(B+C)=A·B+A·C A+(B·C)=(A+B)(A+C)分配律3.逻辑代数特有的定律与运算公式或运算公式互补律重叠律（同一律） 反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+ 非非律（还原律）AA =A A A =⋅A A A =+真值表证明摩根定律0001101111111100结论：BA B A +=⋅ 以上定律的证明，最直接的办法就是通过真值表证明。
若等式两边逻辑函数的真值表相同，则等式成立。
【证明】公式1AB A AB =+B A AB +）（B B A += 互补律1⋅=A 01律A= 合并互为反变量的因子【证明】公式2AAB A =+AB A +）（B A +=1 01律A= 吸收多余项【证明】公式3BA B A A +=+B A A +BA AB A ++=B A A A ）（++= 互补律BA += 消去含有另一项的反变量的因子【证明】CA AB BC C A AB +=++BC A A C A AB ）（+++=BC C A AB ++ 分配律BC A ABC C A AB +++= 吸收多余项公式2互补律CA AB += 公式2逻辑代数的运算法则一、基本公式二、常用公式A·1=AA·0=0A+0=A A+1=1 1.变量与常量的关系01律2.与普通代数相似的定律交换律A·B=B·A A+B=B+A结合律 分配律3.逻辑代数特有的定律互补律A·A=A A+A=A 重叠律（同一律）反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+非非律（还原律）AA =AB A AB =+.1AAB A =+.2BA B A A +=+.3CA AB BC C A AB +=++.4A·(B·C )=(A·B )·C A+(B+C )=(A+B )+C A·(B+C )=A·B+A·CA +(B·C )=(A+B )(A+C )谢谢！。
第十章 布尔代数
10 布尔代数 Boolean Algebra
实数集上加法运算， 是单位元； 例 ： 实数集上加法运算 ， 0 是单位元 ； 乘 法运算则1是单位元。 法运算则1是单位元。 实数集R 上定义运算∀ a,b∈ a*b=a， 例 ： 实数集 R 上定义运算 ∀ a,b∈R ， a*b=a ， 不存在左单位 单位元 使得∀ *b=b; 不存在左单位元，使得∀b∈R，el*b=b; 对一切a b*a=b， 对一切a∈R，∀b∈R，有b*a=b， 该代数系统不存在左单位 单位元 ∴该代数系统不存在左单位元。 但是R中的每一个元素a都是右单位 单位元 但是R中的每一个元素a都是右单位元。
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10.1 布尔函数 Boolean Functions
设B={0, 1}, 则Bn={(x1,x2,…,xn)|, xi∈B, 1≤i≤n}是由 和1构成的所有 元有序列 是由0和 构成的所有 构成的所有n元有序列 是由 的集合。 的函数称为n元 的集合。从Bn到B的函数称为 元布尔函 的函数称为 数。 例：F(x,y)=x+y
单位元=1,零元=0, 单位元= 零元=
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10.1 布尔函数 Boolean Functions
布尔代数抽象的定义： 上的二元运算， 布尔代数抽象的定义：∧,∨是B上的二元运算， 是一元运算，如果∀a,b,c∈B,满足如下 满足如下： 是一元运算，如果∀a,b,c∈B,满足如下： H1:a (交换律 交换律) H1:a∧b=b∧a,a∨b=b∨a (交换律) H2:a H2:a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) (分配律 分配律) a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) (分配律) H3:B中有元素0 :B中有元素 H3:B中有元素0和1, (同一律 同一律) 对∀a∈B,a∧1=a,a∨0=a (同一律) H4: B,有 B,使 (互补律 互补律) H4:∀a∈B,有a∈B,使a∨a=1,a∧a=0 (互补律) ,0,1>是布尔代数 是布尔代数。 则<B,∧,∨ , ,0,1>是布尔代数。 B,