例子:
1) 设有集合U={a, b, c}, U 的幂集P(U)上的包含关系⊆是一个偏序关系, 根据
它的哈斯图(图9.5(a))可见, {a, b, c}是{a, b}和{b, c}的上界, 它也是{a, b}和{b, c} 的最小上界, {b}和∅均是{a, b}和{b, c}的下界, 其中{b}是它们的最大下界。 {a, b, c} 和{a, b}是{a, b}和{b}的上界, 其中{a, b}是最小上界。
2) 集合A={2, 3, 4, 6, 8, 12, 36, 60}上的整除关系“｜”是一个偏序, 由它的哈斯
图可以看出, 2 和3 没有下界, 因而没有最大下界；8 和12 没有上界, 因而也没有最小上界。
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由上述例子可以看出：对任意一个偏序集来说, 其中每一对元素不一定都有最大下界或
最小上界。对于其中每一对元素有最大下界和最小上界的一类偏序集, 就是这里所要讨论
的格。
二、格的定义和例子
定义1：设是一个偏序集, 如果A 中任意两个元素均有最小上界和最大下界, 那么就说A 关于偏序“≤”作成一个格(Lattice), 有时直接称A 为格。
当一个格A 中的元素是有限时, 称格A 是个有限格。对于一个有限格来说, A
中的偏序关系可以通过偏序集A 的哈斯图表示, 这个图也称为格A 的次序图。
例子
1) 偏序集, 对于任意 S1, S2∈P(U), S1, S2⊆U, 有S1⊆S1∪S2,S2⊆S1∪S2, 并
且若有子集S⊆U, 使得S1⊆S, S2⊆S, 必有S1∪S2⊆S。因此, 对于任意 S1, S2∈P(U),
lub(S1, S2)=S1∪S2；同理可得, 对于任意 S1, S2∈P(U), glb(S1, S2)=S1∩S2, 于是是一个格。
2) 设n 是一个正整数, S n 是n 的所有因子的集合。例如, 当n=30 时, S30={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}。设“|”是整除关系, 则由偏序集的哈斯图易知它是格。类似地, 也容易判断, , 也是格。其实, 对于偏序关系“|”, S n 中子集{i,j}
的最小上界就是i, j 的最小公倍数, 最大下界就是i,j 的最大公因数。
3) 设P 是所有的命题集合, “→”为蕴涵关系, 则对任意P1, P2∈P, glb(P1, P2)=P1
∧P2,lub(P1, P2)=P1∨P2, 因此是一个格。
注意, 如果偏序集是格, 则任意两个元素a、b 在格内存在唯一的最小上界和最
大下界。于是, 求最小上界和最大下界是格中的两个二元运算。这两个运算可分别用符号“∨”、“∧”表示。即在格中, 任意a, b ∈ S, lub(a,b)=a∨b,
glb(a,b)=a∧b。
三、格的对偶原理及基本性质。
格的对偶原理是格的一个主要性质, 它与数理逻辑部分介绍的对偶定理是类似的, 这将有利于处理“对一切格都成立”的这一类成对出现的命题。这里不对格的对偶原理作具体证明。
集合S 的偏序关系≤的逆关系≥也是偏序关系, 若A⊆S,其中≤的glb(A)对应于≥的lub(A),≤的lub(A)对应于≥的glb(A),所以, 若是格, 则也是格, 称这两个格互为对偶。
定理一（格的对偶原理）因为的∧是的∨, 的∨是 的∧, 所以, 关
于格的一般性质的任意命题P, 如用≥替换≤, 用∨替换∧, 用∧替换∨, 所得到的命题P′仍成立, 这称为格的对偶原理。
下面定理给出了格的基本性质。
定理二（格的基本性质）：设是一个格, ∨, ∧为求任意二元素最小上界和最大下界的二元运算,则对于任意a, b, c, d∈L, 满足
1) 自反性 a≤a, 对偶命题 a≥a。
2) 反对称性 a≤b 且a≥b⇒a=b 对偶命题 a≥b 且a≤b⇒a=b。
3) 传递性 a≤b 且b≤c⇒a≤c 对偶命题 a≥b 且 b≥c ⇒a≥c
4) 幂等律 a∧a=a 对偶命题 a∨a=a
5) 交换律 a∧b=b∧a 对偶命题 a∨b=b∨a
6) 最大下界描述
a∧b≤a,a∧b≤b 对偶命题 a∨b≥a,a∨b≥b
c≤a,c≤b⇒c≤a∧b 对偶命题 c≥a,c≥b⇒c≥a∨b
7) 结合律 a∧(b∧c)=(a∧b)∧c 对偶命题 a∨(b∨c)=(a∨b)∨c
8) 吸收律 a∧(a∨b)=a 对偶命题 a∨(a∧b)=a
9) a≤b⇔a∧b=a⇔a∨b=b 对偶命题 a≥b⇔a∨b=a⇔a∧b=b
10) a≤c,b≤d⇒a∧b≤c∧d 且a∨b≤c∨d
11) 保序性 b≤c⇒a∧b≤a∧c 且a∨b≤a∨c
12) 分配不等式 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c) 对偶命题 a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c)
四、格的第二定义：
定义2 设有代数结构，其中是集合, ∧,∨是L 上两个二元运算, 若∧,
∨均满足结合律、交换律、∧和∨吸收律, 则称是格, 称该代数结构为格代数。
例如，幂集格也可以认为是
要证明这两个定义等价，只须证明由这两个二元运算可以唯一的确定一个偏序关系即可，这里从略。
