离散数学结构 第十三章 格与布尔代数
第十三章格与布尔代数
13.1 格的定义与性质
一、格作为偏序集的定义
1．格的定义
定义13.1设
由于最小上界和最大下界的唯一性,可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧,即求x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界。
这里要说明一点，本章中出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其它的含义。
2．格的实例
例13.1设n是正整数,S n是n的正因子的集合。D为整除关系,则偏序集构成格。x,y∈S n,x∨y是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数。x∧y是gcd(x,y),即x与y的最大公约数。图13.1给出了格
图13.1
例13.2 判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。
(1)
(2)
(3) 偏序集的哈斯图分别在图13.2中给出。
二．格的性质
1．对偶原理
定义13.2设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧的命题。令f*是将f中的替换成,替换成,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题。称f*为f的对偶命题。
例如,在格中令f是(a∨b)∧c c, 则f*是(a∧b)∨c c .
格的对偶原理设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧等的命题。若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真。
例如,对一切格L都有
a,b∈L,a∧b a
那么对一切格L都有
a,b∈L,a∨b a
许多格的性质都是互为对偶命题的。有了格的对偶原理,在证明格的性质时,只须证明其中的一个命题就可以了。
2. 运算性质
定理13.1设
(1) a,b ∈L 有
a∨b=b∨a, a∧b=b∧a
(2) a,b,c∈L 有
(a∨b)∨c=a∨(b∨c), (a∧b)∧c=a∧(b∧c)
(3) a∈L 有
a∨a=a, a∧a=a
(4) a,b∈L 有
a∨(a∧b)=a, a∧(a∨b)=a
证(1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。由于{a,b}={b,a},所以a∨b=b∨a.
由对偶原理,a∧b=b∧a得证。
(2) 由最小上界的定义有
(a∨b)∨c a∨b a (13.1)
(a∨b)∨c a∨b b (13.2)
(a∨b)∨c c (13.3)
由式13.2和13.3有
(a∨b)∨c b∨c (13.4)
再由式13.1和13.4有
(a∨b)∨c a∨(b∨c)
同理可证(a∨b)∨c a∨(b∨c)
根据偏序关系的反对称性有(a∨b)∨c=a∨(b∨c)
由对偶原理,(a∧b)∧c=a∧(b∧c)得证。
(3)显然a a∨a,又由a a可得a∨a a。根据反对称性有a∨a=a，
由对偶原理,a∧a=a得证。
(4)显然
a∨(a∧b) a (13.5)
又由a a,a∧b a可得
a∨(a∧b) a (13.6)
由式13.5和13.6可得a∨(a∧b)=a，
根据对偶原理,a∧(a∨b)=a得证。
3. 关于序的性质
定理13.2设L是格,则a,b ∈L有
a b a∧b=a a∨b=b
证先证a b a∧b=a.
由a a和a b可知a是{a,b}的下界,故a a∧b.显然有a∧b a.由反对称性得a∧b=a.
再证a∧b=a a∨b=b.根据吸收律有
b=b∨(b∧a)
由a∧b=a和上面的等式得b=b∨a, 即a∨b=b.
最后证a∨b=b a b.由a a∨b得a a∨b=b.
定理13.3设L是格,a,b,c,d∈L.若a b且c d,则a∧c b∧d, a∨c b∨d.
证a∧c a b
a∧c c d
因此a∧c b∧d. 同理可证a∨c b∨d.
例13.4设L是格,证明a,b,c∈L有a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c).
证由a a, b∧c b 得a∨(b∧c)a∨b
由a a, b∧c c 得a∨(b∧c)a∨c
从而得到
a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)
例13.4说明在格中分配不等式成立。一般说来,格中的∨和∧运算并不是满足分配律的。
三．格作为代数系统的定义
定理13.4设
证明省略.
根据定理13.4,可以给出格的另一个等价定义。
定义13.3 设 >是代数系统,*和是二元运算,如果*和满足交换律,结合律 和吸收律,则 >构成一个格。 读者可能会注意到,格中运算满足四条算律,还有一条幂等律( 见定理13.1),但幂等律可以由吸收律推出,所以定义13.3中只须满足三条算律即可。 以后我们不再区别是偏序集定义的格,还是代数系统定义的格, 而统称为格L. 主要内容 1． 偏序集构成格的条件：任意二元子集都有最大下界和最小上界。 2. 格的实例：正整数的因子格，幂集格，子群格。 3. 格的性质：对偶原理，格中算律（交换、结合、幂等、吸收），保序性，分配不等式。 4. 格作为代数系统的定义。 学习要求 1. 能够判断给定偏序集是否构成格。 2. 能够确定一个命题的对偶命题。 3. 能够证明格中的等式和不等式。 4. 了解格作为代数系统的等价定义。 1. 判断下述偏序集是否构成格？如果不是说明理由。 （1） 可以构成格 不能构成格 （2） 可以构成格 不能构成格 （3） 可以构成格 不能构成格 提示 参看定义13.1和例13.1，13.2。 答案只有第一个图不是格，因为最下面的两个元素没有最大下界。 2.求下述命题的对偶命题。 （1）(a∧b)∨b = b （2）b∨(c∧a)(b∨c)∧a 提示参看定义13.2。 答案 (1) (a∨b)∧b = b (2) b∧(c∨a) (b∧c)∨a 3.证明题 （1）证明题2（1）中的命题，即(a∧b)∨b=b （2）证明(a∧b)∨(c∧d)(a∨c)∧(b∨d) 提示利用定理13.1，定理13.2，定理13.3。 答案证明： （1）(a∧b)∨b是a∧b与b的最小上界，根据最小上界的定义有(a∧b)∨b b。又b是a∧b与b的上界，故有(a∧b)∨b b，由于偏序的反对称性，等式得证。 （2）a∧b a a∨c，a∧b b b∨d，所以(a∧b)(a∨c)∧(b∨d)， 同理(c∧d)(a∨c)∧(b∨d) 从而得到(a∧b)∨(c∧d)(a∨c)∧(b∨d) 13.2 子格与格同态 一、子格定义及其判别方法 定义13.4设 例13.5设格L如图13.3所示。令 S1={a,e,f,g}，S2={a,b,e,g} 则S1不是L的子格,S2是L的子格。因为对于e和f,有e∧f=c,但c S1. 图13.3 二．格同态的定义及其性质 1．格同态的定义 定义13.5设L1和L2是格,f: L1→L2,若a,b∈L1有 f(a∧b)=f(a)∧f(b), f(a∨b)=f(a)∨f(b) 成立，则称f为格L1到L2的同态映射,简称格同态。 例13.6 (1)设 L1={2n|n∈Z+}，L2={2n+1|n∈Z+} 则L1和L2关于通常数的小于或等于关系构成格。令 f: L1→L2,f(x)=x-1 不难验证f是L1到L2的同态映射,因为对任意的x,y∈L1有 f(x∨y)=f(max(x,y))=max(x,y)-1 f(x)∨f(y)=(x-1)∨(y-1)=max(x-1,y-1)=max(x,y)-1 f(x∧y)=f(min(x,y))=min(x,y)-1 f(x)∧f(y)=(x-1)∧(y-1)=min(x-1,y-1)=min(x,y)-1 即 f(x∨y)=f(x)∨f(y), f(x∧y)=f(x)∧f(y) 成立。 (2) 如图13.4中的格L1,L2和L3，若定义 图13.4 f1: L1→L2 f1(a)=f1(b)=f1(c)=a1,f1(d)=d1 f2: L1→L3 f2(a)=a2,f2(b)=b2,f2(c)=c2,f2(d)=d2 则f1和f2都不是格同态，因为 f1(b∨c)=f1(d)=d1 f1(b)∨f1(c)=a1∨a1=a1 f2(b∨c)=f2(d)=d2 f2(b)∨f2(c)=b2∨c2=c2 从而 f1(b∨c)≠f1(b)∨f1(c) f2(b∨c)≠f2(b)∨f2(c) 2. 格同态的性质 定理13.5设f是格L1到L2的映射, (1)若f是格同态映射,则f是保序映射,即x,y∈L1,有 x y f(x)f(y) (2)若f是双射,则f是格同态映射当且仅当x,y∈L1,有 x y f(x)f(y) 证(1)任取x,y∈L1,x y 由格的性质知x∨y=y. 又由于f是格同态映射,必有 f(y)=f(x∨y)=f(x)∨f(y) 从而得到f(x)f(y). (2)充分性.只须证明f是L1到L2的同态映射即可。 任取x,y∈L1,令x∨y=z,由x z和y z知 f(x)f(z), f(y)f(z) 从而有 f(x)∨f(y)f(z)=f(x∨y) 另一方面,由f(x)∨f(y)∈L2和f的满射性可知,必存在u∈L1使得 f(u)=f(x)∨f(y) 因此有f(x)f(u), f(y)f(u). 由已知条件可得x u,y u. 从而推出x∨y u. 再次使用已知条件得f(x∨y)f(u)=f(x)∨f(y). 综合上述有f(x∨y)=f(x)∨f(y). 同理可证f(x∧y)=f(x)∧f(y). 必要性.由(1)的结论必有 x y f(x)f(y) 反之,若f(x)f(y),由于f是同构映射,则 f(x∨y)=f(x)∨f(y)=f(y) 又由于f 是双射,必有x∨y=y.从而证明了x y. 例13.7设L1= f:S12→S12,f(x)= x 则f是双射,但f不是格L1到L2的同构映射.因为f(2)≤f(3),但2不整除3.根据定理13.5可知f不是同构映射。 三．格的直积 类似于半群,群和环,也可以定义格的直积。 定义13.6设L1和L2是格,定义L1×L2上的运算∩,∪: 称 可以证明 = 及 ( =<(a1∧a2)∧a3,(b1∧b2)∧b3>= 以及 = 这就证明∩运算满足交换律和结合律,同理可证∪运算也满足交换律和结合律。此外, = 同理有 这就证明了∩和∪运算满足吸收律。从而证明L1×L2仍是格。 例如格L=<{0,1},≤>,≤为通常的小于或等于关系,则L×L={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>},其中<0,0>是最小元,<1,1>是最大元,且<0,0>≤<0,1>≤<1,1>,<0,0>≤<1,0>≤<1,1>,而<0,1>与<1,0>是不可比的。易见L×L与图13.4的L1同构。 主要内容 1．格L的非空子集S构成L的子格的条件：S对L的两个运算封闭。 2.函数f构成格同态的条件：f(a∧b)=f(a)∧f(b), f(a∨b)=f(a)∨f(b) 3.格同态的保序性。 学习要求 1. 能判别格L的子集S是否构成子格。 2. 了解格的同态的定义和种类：满同态、单同态、同构。 3. 了解格同态的保序性。 1.求格L的所有子格。 提示根据子格的元素数分别为1，2，3，4，5进行枚举。 答案 1元子格：{a},{b},{c},{d},{e}； 2元子格：{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,e},{d,e}； 3元子格：{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,e},{b,d,e}； 4元子格：{a,b,c,e},{a,b,d,e},{b,c,d,e}； 5元子格：{a,b,c,d,e}。 2.任取格L的元素a, 令S = {x | x∈L且x a}, 证明S是L的子格。 提示参看定义13.4。 答案证明： 显然S非空。 任取x,y∈S, 必有x a 和y a ,从而有 x∧y a 和x∨y a , 因而x∧y和x∨y∈S。 根据子格定义,S是L的子格。 13.3 分配格与有补格 一、分配格的定义、判别与性质 1．分配格的定义及实例 一般说来,格中运算∨对∧满足分配不等式,即a,b,c∈L,有 a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c) 但是不一定满足分配律.满足分配律的格称为分配格。 定义13.7设 a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) 则称L为分配格。 易见上面两个等式互为对偶式。在证明L为分配格时,只须证明其中的一个等式即可。 例13.8参见图13.5 图13.5 L1和L2是分配格,L3和L4不是分配格。因为在L3中, b∧(c∨d)=b∧e=b (b∧c)∨(b∧d)=a∨a=a 而在L4中, c∨(b∧d)=c∨a=c (c∨b)∧(c∨d)=e∧d=d 称L3为钻石格,L4为五角格。 2. 分配格的判别及性质 定理13.6设L是格,则L是分配格当且仅当L中不含有与钻石格或五角格同构的子格。 由于该定理的证明比较繁,故此略去,读者只要掌握它的应用就行了。 推论(1)小于五元的格都是分配格。 (2)任何一条链都是分配格。 例13.9说明图13.6中的格是否为分配格,为什么？ 图13.6 解L , L2和L3都不是分配格。因为{a,b,c,d,e}是L1的子格,并且同构于钻石 1 格,{a,b,c,e,f}是L2的子格,并且同构于五角格。{a,c,b,e,f}是L3的子格,也同构于钻石格。定理13.7格L是分配格当且仅当a,b,c∈L,a∧b=a∧c且a∨b=a∨c b=c. 证必要性。a,b,c∈L,有 b=b∨(a∧b) (吸收律,交换律) =b∨(a∧c) (已知条件代入) =(b∨a)∧(b∨c) (分配律) =(a∨c)∧(b∨c) (已知条件代入,交换律) =(a∧b)∨c (分配律) =(a∧c)∨c (已知条件代入) =c (交换律,吸收律) 充分性。假若a,b,c∈L,有 a∧b=a∧c且a∨b=a∨c b=c 成立，而L不是分配格.根据定理13.6，L中必含有与钻石格或五角格同构的子格。假设L中含有与钻石格同构的子格,且该子格为{u,v,x,y,z},其中u为它的最小元,v为它的最大元。从而推出 x∧y=x∧z=u, x∨y=x∨z=v 但y≠z,与已知矛盾。对五角格的情况同理可证。 使用定理13.7也可以判别一个格是否为分配格。例如图13.6中的三个格都不是分配格。 在L1中有b∨c=b∨d, b∧c=b∧d, 但c≠d 在L2中有b∧c=b∧e, b∨c=b∨e, 但c≠e 在L3中有c∧b=c∧d, c∨b=c∨d, 但b≠d 二．有补格的定义与性质 1．有界格及其性质 定义13.8设L是格,若存在a∈L使得x∈L有a x,则称a为L的全下界；若存在b∈L使得x∈L有x b,则称b为L的全上界。 可以证明,格L若存在全下界或全上界,一定是唯一的。以全下界为例,假若a1和a2都是格L的全下界,则有a1a2和a2a1.根据偏序关系的反对称性必有a1=a2.由于全下界和全上界的唯一性,一般将格L的全下界记为0,全上界记为1. 定义13.9设L是格,若L存在全下界和全上界,则称L为有界格,并将L记为 ∨,0,1>. 不难看出,有限格L一定是有界格。设L是n元格,且L={a1,a2,…,a n},那么a1∧a2∧…∧a n是L的全下界,而a1∨a2∨…∨a n是L的全上界。因此L是有界格。对于无限格L来说,有的是有界格,有的不是有界格。如集合B的幂集格 关于有界格有下面的定理。 定理13.8设 a∧0=0, a∨0=a，a∧1=a, a∨1=1 证明留作练习。 从以上定理可以看到,在有界格中,全下界0是关于∧运算的零元,∨运算的单位元。而全上界1是关于∨运算的零元,∧运算的单位元。 对于涉及到有界格的命题,如果其中含有全下界0或全上界1,在求该命题的对偶命题时,必须将0替换成1,而将1替换成0.例如,a∧0=0 和a∨1=1 互为对偶命题,而a∨0=a 和a∧1=a 也互为对偶命题。 定义13.10设 a∧b=0 和a∨b=1 成立,则称b是a的补元。 由这个定义不难看出,若b是a的补元,那么a也是b的补元。换句话说,a和b互为补元。 例13.10考虑下图中的四个格。 L1中的a与c互为补元,其中a为全下界,c为全上界,b没有补元。 L2中的a与d互为补元,其中a为全下界,d为全上界,b与c 也互为补元。 L3中的a与e互为补元,其中a为全下界,e为全上界,b的补元是c和d,c的补元是b 和d,d的补元是b和c.b,c,d每个元素都有两个补元。 L4中的a与e互为补元,其中a为全下界,e为全上界,b的补元是c和d,c的补元是b,d 的补元是b。 不难证明，在任何有界格中，全下界0与全上界1互补。而对于其他元素，可能存在补元，也可能不存在补元。如果存在，可能是唯一的，也可能是多个补元。但对于有界分配格，如果它的元素存在补元，一定是唯一的。 定理13.9设 证假设b,c是a的补元，则有 a∨c=1, a∧c=0, 又知b是a的补元，故 a∨b=1, a∧b=0 从而得到 a∨c=a∨b, a∧c=a∧b, 由于L是分配格，根据定理13.7，b=c. 4.有补格的定义 定义13.11设 例如，图13.5中的L2,L3和L4是有补格，L1不是有补格。图13.6中的L2和L3是有补格，L1不是有补格。 主要内容 1．如果格中一个运算对另一个运算是可分配的，称这个格是分配格。 2. 分配格的两种判别法：不存在与钻石格或五角格同构的子格；对于任意元素a,b,c, 有a∧b=a∧c且a∨b=a∨c b=c. 3. 有界格的定义及其实例。 4. 格中元素的补元及其性质（分配格中补元的唯一性） 5. 有补格的定义 学习要求 1. 会判别给定格为分配格。 2. 会求给定有界格的所有补元。 3. 会判别给定格是否为有补格。 1. 判别下述格L 是否为分配格。 L 1: L 2: L 3: L 1： 是分配格 不是分配格 L 2： 是分配格 不是分配格 L 3： 是分配格 不是分配格 提示 参看定义13.7，例13.8，定理13.6，定理13.7。 答案 L 1不是分配格，因为它含有与钻石格同构的子格。L 2和L 3不是分配格，因为它们 含有与五角格同构的子格。 2. 针对题1的格求出每个格的补元。说明它们是否为有补格。 题1中的格如下所示： L 1: L 2: L 3: 提示 参看定义13.10，例13.10。 答案 L 1中，a 与h 互为补元，其它元素没有补元。 L 2中，a 与g 互为补元。b 的补元为c,d,f ；c 的补元为b,d,e,f ；d 的补元为b,c,e ；e 的 补元为c,d,f ；f 的补元为b,c,e 。 L 3中，a 与h 互为补元，b 的补元为d ；c 的补元为d ；d 的补元为b,c,g ；g 的补元为d 。 离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科，它在计算机科学等领域 扮演着重要的角色。布尔函数和布尔代数是离散数学中的重要概念之一，它们 在逻辑电路设计、计算机编程等方面具有广泛的应用。 布尔函数是一种将布尔域上的值映射为布尔域上的值的函数。布尔域上的值只 有两个：真和假。布尔函数的输入和输出都是布尔值。布尔函数可以通过真值表、函数表达式或者逻辑电路图表示。常见的布尔运算有与运算、或运算、非 运算等。布尔函数可以定义在不同的布尔变量上，而布尔变量可以取真或假两 个值。通过组合不同的布尔运算，可以构造出复杂的布尔函数。 布尔代数是研究布尔函数性质和运算规则的代数系统。布尔代数的基本操作有 与运算、或运算、非运算等。与运算、或运算和非运算是布尔函数的基本运算，在布尔代数中具有特殊的性质。例如，与运算满足交换律、结合律和分配律； 或运算满足交换律、结合律和分配律；非运算满足德摩根定律。布尔代数还有 很多其他的运算规则，如吸收律、零元律、幂等律等。这些运算规则可以用来 简化布尔函数，使其更加简洁明了。 布尔函数和布尔代数在逻辑电路设计中起着重要的作用。逻辑电路是一种基础 的电子电路，用来完成逻辑运算。布尔函数可以用来描述逻辑电路的功能，布 尔代数可以用来简化逻辑电路。通过布尔函数和布尔代数可以设计出各种复杂 的逻辑电路，如逻辑门、多路选择器、时序电路等。逻辑电路在计算机硬件中 广泛应用，是计算机工作的基础。因此，研究布尔函数和布尔代数不仅有助于 理解离散数学的基本概念，也对计算机科学和工程领域有着重要的实际意义。 此外，布尔函数和布尔代数在计算机编程中也具有重要的应用。计算机程序是 一系列指令的集合，通过执行这些指令实现特定的功能。布尔函数可以用来描 述程序中的条件和逻辑关系，判断某个条件是否成立，从而确定程序的执行路径。布尔代数可以用来简化程序的逻辑表达式，使程序更加高效和可读。在编 程语言中，布尔变量和布尔运算是基础数据类型和基本运算符之一，它们与布 尔函数和布尔代数密切相关。 总之，离散数学中的布尔函数和布尔代数是研究离散结构和离散对象的重要概念。它们在逻辑电路设计、计算机编程等方面具有广泛的应用。深入理解布尔 函数和布尔代数对于理解离散数学的基本原理，以及应用于计算机科学和工程 领域具有重要的价值。 《离散数学》课程教学大纲课程编号:02700013 课程名称：离散数学 英文名称：Discrete Mathematics 课程类型: 专业基础课 总学时：108 讲课学时：108 实验学时：0 学分：5 适用对象: 计算机科学与技术专业 先修课程：高等数学、线性代数等 一、课程简介 离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机科学的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且离散数学所提供的训练可以帮助学生提高抽象思维能力和逻辑推理能力，有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 二、课程性质、目的和任务 1.性质:本课程是为计算机专业本科开设的专业基础课。 2.目的:《离散数学》以研究离散量的结构和相互之间的关系为主要目标，在信息处理技术、计算机软硬件的设计等领域都有着广泛应用。 3.任务:通过这门课程的学习，要使学生掌握离散数学的基本概念和基本原理，以现代数学的方法，初步掌握处理离散结构所必须的一些基本数学工具和方法。同时，也要培养学生抽象思维、逻辑推理，符号演算和慎密概括的能力，从而使学生具有良好的专业理论素质，提高学生分析和解决实际问题的能力。 三、教学基本要求 通过本课程的学习，使学生了解和掌握关于离散量的基本概念及其相关理论，为后继课程的学习作必要的理论准备。基本要求：（1）学习数理逻辑最基本的内容，掌握命题逻辑及谓词逻辑的基本概念，掌握命题演算的方法，掌握命题推理及谓词推理的基本理论，并会用推理理论进行逻辑论证。（2）学习集合论的基本概念及性质，掌握集合运算及证明的基本理论和方法；学习二元关系的概念与性质，掌握等价关系和偏序关系，并使学生从更高层次理解函数。（3）学习代数系统的基本知识，掌握二元运算的定义和性质，了解代数系统的子代数和积代数、同态与同构等概念，掌握半群、幺半群、群、环、域和格、布尔代数等代数系统的定义及其性质。（4）学习图论的基本概念及其理论，主要掌握简单图和一些特殊图的性质，包括欧拉图和哈密尔顿图、二部图、平面图等。掌握树的基本概念及其相关运算。学会使用图论方法解决具体问题。 第十三章格与布尔代数 13.1 格的定义与性质 一、格作为偏序集的定义 1．格的定义 定义13.1设 例13.2 判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。 (1) a,b∈L,a∨b a 许多格的性质都是互为对偶命题的。有了格的对偶原理,在证明格的性质时,只须证明其中的一个命题就可以了。 2. 运算性质 定理13.1设 习题13参考答案 1.图13.9中给出六个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格,说明理由。 图13.9 答案：(1),(3),(6)是格。(2)中的{e,d}没有最大下界。(4)中的{d,e}没有最大下界。(5)中的{a,b}没有最大下界。 2.下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格。 (1) L={1,2,3,4,5} (2) L={1,2,3,6,12} (3) L={1,2,3,4,6,9,12,18,36} (4) L={1,2,22,...,2n},n∈Z+ 答案：(1)不是格,其他都是。 3.(1)画出Klein四元群的子群格。 (2)画出模12的整数群Z12的子群格。 (3)画出3元对称群S3的子群格。 答案：(1) (2) (3) 4.设L是格,求以下公式的对偶式: (1) a∧(a∨b) a (2) a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c) (3) b∨(c∧a)(b∨c)∧a 答案：(1) a∨(a∧b) a (2) a∧(b∨c)(a∧b)∨(a∧c) (3) b∧(c∨a)(b∧c)∨a 5.设L是格,a,b,c∈L,且a b c,证明 a∨b=b∧c 答案：a∨b=b b∧c=b 6.针对图13.10中的格L1,L2和L3,求出他们的所有子格。 图13.10 答案： L1的子格：{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d}, {b,d},{c,d},{a,b,d},{a,c,d},L1 L2的子格：{a1},{d1},L2 L3的子格：{a2},{b2},{c2},{d2},{a2,b2},{a2,c2}, {a2,d2},{b2,c2},{b2,d2},{c2,d2},{a2,b2,c2}, {a2,b2,d2},{a2,c2,d2},{b2,c2,d2},L3 7.针对图13.9中的每个格,如果格中的元素存在补元,则求出这些补元。 答案：（1）a与d互补；b,c没有补元。 （3）a与f互补；b的补元为c,d；c的补元为b,e；d的补元为b,e；e的补元为c,d. （6）a与f互补；b的补元为e；c和d没有补元；e的补元为b. 8.说明图13.9中的每个格是否为分配格、有补格和布尔格,并说明理由。 答案： （1）是分配格，因为不包含与钻石格和五角格同构的子格；不是有补格和布尔格，b,c没有补元。 （3）不是分配格，不是布尔格，因为包含五角格作为子格；是有补格，a与f互补，b和e的补元有c,d；c,d的补元有b,e. （6）是分配格，因为没有5元子格与钻石格或五角格同构；不是有 《离散数学》课程教学大纲 一、课程基本信息 二、课程教学目标 本课程是专业基础课，以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，旨在介绍离散数学的各个分支的基本概念、理论和方法。通过系统的学习，学生可以逐步提高自身的抽象思维能力和逻辑推理能力,提升专业理论水平、业务素质、分析和解决实际问题的能力，为后续课程数据结构等奠定数学基础。 1.通过本课程的学习，学生要了解离散数学的主要组成部分以及各个部分所涉及的基 本内容，及其在计算机科学技术中的应用。 2. 通过本课程的学习，学生要理解离散数学的基本概念、结论、算法、应用方法及适 用范围，具有较强的抽象思维和逻辑推理能力。 3. 通过本课程的学习，学生的离散建模能力要得到培养并有所提高。 三、教学学时分配 《离散数学》课程理论教学学时分配表 四、教学内容和教学要求 第一章命题逻辑的基本概念（3学时） （一）教学要求 1. 了解命题和命题公式的基本概念。 2. 理解命题公式赋值的意义。 3. 掌握命题的判断、逻辑联结词的定义、命题的符号化以及用真值表法判断命题 公式的类型。 （二）教学重点与难点 教学重点：命题的概念及其符号化，逻辑联结词，命题公式的真值表表示。 教学难点：命题的符号化、命题公式类型的判断 （三）教学内容 第一节命题与逻辑联结词 1．命题的基本概念 2．逻辑联结词的定义 3．命题的符号化 第二节命题公式及其赋值 1．命题公式的基本概念 2．命题公式的赋值及其类型判断 本章习题要点： 1. 命题的判断及其符号化; 2. 利用真值表判断公式的类型。 第二章命题逻辑等值演算（5学时） （一）教学要求 1. 了解等值式的基本概念和常见的联结词完备集。 2. 理解主析取范式和主合取范式的定义，理解联结词完备集的概念，能判断哪些 集合是完备的。 3. 掌握等值式的判断以及利用等值演算法、真值表法将任给公式化为主析取（主 合取）范式并判断公式的类型。 （二）教学重点与难点 教学重点：等值式，等值演算 教学难点：析取范式和合取范式 （三）教学内容 第一节等值式 1．等值式的基本概念及其判断 2．基本等值式和等值演算 第二节析取范式与合取范式 1．析取范式和主析取范式 2．合取范式和主合取范式 第三节联结词的完备集 1．联结词的完备集 本章习题要点： 1. 等值式的证明; 为离散数学领域的经典教材,全世界几乎所有知名的院校都曾经使用本书作为教材.以我个人观点看来,这本书可以称之为离散数学百科.书中不但介绍了离散数学的理论和方法,还有丰富的历史资料和相关学习网站资源.更为令人激动的便是这本书少有的将离散数学理论与应用结合得如此的好.你可以看到离散数学理论在逻辑电路,程序设计,商业和互联网等诸多领域的应用实例.本书的英文版(第六版)当中更增添了相当多的数学和计算机科学家的传记,是计算机科学历史不可多得的参考资料.作为教材这本书配有相当数量的练习.每一章后面还有一组课题,把学生已经学到的计算和离散数学的内容结合在一起进行训练.这本书也是我个人在学习离散数学时读的唯一的英文教材,实为一本值得推荐的好书。 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 阶段作业一 一、判断题（共5道小题，共50.0分） 1. 命题公式的真值分别为0，1，则的真值为0 A. 正确 B. 错误 2. 设P，Q都是命题公式，则 A. 正确 B. 错误 3. 空集是任何集合的真子集． A. 正确 B. 错误 4．设为集合上的等价关系, 则 A. 正确 B. 错误 5．设为集合上的等价关系, 则也是集合上的等价关系 C. 正确 D. 错误 二、单项选择题（共5道小题，共50.0分） 1. 下面哪个联结词不可交换 A. B. C. D. 2. 下列各式中不正确的是 A. B. C. D. 3. 设为集合，若，则一定有 A. B. C. D. 4. 设为集合上的等价关系，对任意，其等价类为 A. 空集 B. 非空集 C. 是否为空集不能确定 D. 5. 设A，B是集合，则下列说法中（）是正确的. A. A到B的关系都是A到B的映射 B. A到B的映射都是可逆的 C. A到B的双射都是可逆的 D. 时必不存在A到B的双射 阶段作业二 判断题（共5道小题，共50.0分） 1. 设图G是连通的，则任意指定G的各边方向后所得的有向图是弱连通的 A. 正确 B. 错误 2. 在有向图中，结点到结点的有向短程即为到的有向短程 A. 正确 B. 错误 3. 图G的两个不同结点连接时一定邻接 A. 正确 B. 错误 4. 设A是某个无向图的邻接矩阵，则(是的转置矩阵) A. 正确 B. 错误 5. 如果有向图D仅有一个结点的入度为0，其余结点的入度都为1，则D是有向树 A. 正确 B. 错误 单项选择题（共5道小题，共50.0分） 1. 在任何图中必有偶数个 A. 度数为偶数的结点 B. 度数为奇数的结点 C. 入度为奇数的结点 D. 出度为奇数的结点 2. 仅由一个孤立点组成的图称为 A. 零图 B. 平凡图 C. 多重图 D. 子图 离散数学是数学的一个分支，研究的是离散结构和离散型对象的性质。其中，布尔函数是离散数学中的重要概念之一，而卡诺图则是布尔函数的一种可视化工具和简化方法。 布尔函数是指由布尔代数中的逻辑运算（如与、或、非）构成的函数。它将一组布尔变量映射到布尔值的集合上。布尔函数的输入和输出都只能是0（假）和1（真）。布尔函数在电子电路设计、计算机科学、密码学等领域有着广泛的应用。在离散数学中，我们通常用真值表来表示布尔函数，并通过逻辑运算的组合来描述其性质。 然而，随着布尔函数的规模增大，真值表的表示变得复杂而不直观。卡诺图（Karnaugh Map）成为一种常用的工具，用于优化和简化布尔函数的表示。卡诺图是由一张由2的幂次方的格子组成的表格构成，表格的每个格子表示布尔函数的一个可能输入组合。通过将真值表中的不同输入组合映射到卡诺图的格子上，并将对应的输出值填入格子中，我们可以更加直观地观察和分析布尔函数的模式。 利用卡诺图，我们可以进行布尔函数的最小化和化简操作。最小化操作是指通过合并相邻格子中具有相同输出值的格子，从而得到一个更简洁的布尔函数表示。而化简操作是指通过合并相邻格子中具有相同输入变量的格子，从而得到一个更简洁的真值表表示。 卡诺图的使用规则是相邻格子之间仅有一个变量取值不同。通过观察这种变化的模式，可以找到多个相邻格子可以合并的可能。通过将相邻格子合并，我们可以得到一个更简化的布尔函数或真值表表示，从而减少计算复杂度。 卡诺图的优点是直观且易于理解。通过观察格子的组合模式，我们可以更容易地理解和分析布尔函数的性质。此外，卡诺图还可以用于表示多个布尔函数之间的关系，进一步帮助我们进行逻辑分析和优化。 总结来说，离散数学中的布尔函数与卡诺图是相辅相成的概念。布尔函数作为离散数学中的重要概念，用于描述逻辑运算和电子电路的行为。而卡诺图作为布尔函数的可视化工具和简化方法，帮助我们更直观地观察和分析布尔函数的模式，进而进行最小化和化简操作。通过掌握布尔函数与卡诺图的相关知识，我们可以更加深入地理解离散数学的应用和相关领域的技术原理。 离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散、离散结构及其性质。其中，布尔代数和逻辑运算是离散数学中的重要内容。 布尔代数是离散数学中的一个分支，它是建立在两个元素的集合上的一种数学结构。布尔代数的基本元素是0和1，分别表示假和真。在布尔代数中，有四种基本运算：与（AND）、或（OR）、非（NOT）和异或（XOR）。这些运算在逻辑中起着至关重要的作用。布尔代数可以应用于计算机科学、电路分析和逻辑推理等领域。 逻辑运算是根据一定的规则对命题进行运算的过程。逻辑运算包括命题的合取（AND）、析取（OR）、否定（NOT）和条件（IF-THEN）等。布尔代数是逻辑运算的数学基础，在逻辑运算中起着重要的作用。通过布尔代数的运算规则，可以对逻辑表达式进行简化，并得出正确的逻辑推理结果。 布尔代数和逻辑运算在计算机科学中有广泛的应用。在计算机中，所有的数据都是以二进制形式存储和运算的。布尔代数的基本元素0和1对应于计算机中的假和真。通过布尔代数的运算规则，可以实现复杂的逻辑运算，如逻辑与、逻辑或、逻辑非等。这些逻辑运算在编程中经常使用，可以实现条件判断、循环控制等逻辑功能。布尔代数的运算规则也被应用于逻辑电路的设计和分析，如与门、或门和非门等。 此外，布尔代数和逻辑运算还广泛应用于电路分析和数字电子技术中。在电路分析中，逻辑门是一个重要的电路元件，用于实现布尔运算。通过逻辑门的组合，可以实现不同逻辑函数的实现。逻辑门通过电平的输入和输出来进行逻辑运算，具有高可靠性和稳定性。逻辑门的组合可以实现各种电路和系统的设计和实现，如计算机的中央处理器、存储器和输入输出接口等。 总而言之，离散数学中的布尔代数和逻辑运算在计算机科学、电路分析和逻辑推理等领域起着重要的作用。通过对布尔代数和逻辑运算的理解和应用，可以优化电路设计、简化逻辑运算和提高计算机编程的效率。布尔代数和逻辑运算是离散数学中的重要内容，深入研究和应用布尔代数和逻辑运算对于理解计算机科学和电子技术具有重要意义。 离散数学中的布尔代数基础离散数学是计算机科学的一门基础课程，它为计算机科学中的算法和数据结构提供了数学工具。离散数学中的布尔代数是其中最重要的一个分支。它是一种逻辑运算符号系统，能够处理真假命题的关系，因此被广泛应用于计算机科学中，包括逻辑电路的设计、逻辑程序设计、数据结构和算法分析等。 布尔代数的基本概念 布尔代数是描述真假命题之间关系的代数。所谓命题，就是能够判断为真或假的陈述。如果一个命题为真，则表示它所描述的结果如实存在；如果一个命题为假，则表示它所描述的结果不存在。布尔代数中的基本元素是命题变量，通常用字母p、q、r等来表示。命题变量取值只有两种：真和假。因此，布尔代数中的运算就是基于这两种取值进行的。 布尔代数的运算可以分为两类：逻辑运算和位运算。逻辑运算包括与、或、非、异或等；而位运算包括按位与、按位或、异或等。逻辑运算用于处理真假命题的关系，而位运算则是对二进制数进行操作。这里主要介绍逻辑运算。 逻辑运算 逻辑运算是布尔代数中最基本的运算。它包括与运算、或运算、非运算和异或运算等。这些运算符的定义如下： 与运算：p ∧ q（p and q），表示当p和q都为真时，该命题为真，否则为假。 或运算：p ∨q（p or q），表示当p和q中有至少一个为真时，该命题为真，否则为假。 非运算：¬p（not p），表示当p为假时，该命题为真，否则为假。 异或运算：p ⊕ q（p xor q），表示当p和q中只有一个为真时，该命题为真，否则为假。 逻辑运算的性质 逻辑运算具有各种有用的性质，这些性质可以帮助我们简化和优化复杂的逻辑表达式。 结合律和交换律 结合律和交换律的定义如下： 结合律：(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r) ，(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r) 交换律：p ∧ q = q ∧ p ，p ∨ q = q ∨ p 即对于逻辑运算，先结合再交换或先交换再结合，结果都是相同的。 分配律 分配律是逻辑运算的重要性质，它的定义如下： (p ∧ q) ∨ r = (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) 学习必备 欢迎下载 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (∃x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ∃x)(Ax)∨(∃x)(Bx) (∀x)((Ax)∧(Bx)) <=>(∀x)(Ax)∧(∀x)(Bx) —┐(∃x)(Ax) <=>(∀x)┐(Ax) —┐(∀x)(Ax) <=>(∃x)┐(Ax) (∀x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(∀x)(Bx) (∃x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(∃x)(Bx) (∃x)((Ax)→(Bx)) <=>(∀x)(Ax)→(∃x)(Bx) (∀x)(Ax) →B <=>(∃x) ((Ax)→B) (∃x)(Ax) →B <=>(∀x) ((Ax)→B) A →(∀x)(Bx) <=>(∀x) (A →(Bx)) A →(∃x)(Bx) <=>(∃x) (A →(Bx)) (∀x)(Ax)∨(∀x)(Bx) =>(∀x)((Ax)∨(Bx)) (∃x)((Ax)∧(Bx)) =>(∀x)(Ax)∧(∀x)(Bx) (∀x)(Ax)→(∀x)(Bx) =>(∀x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={ 离散数学布尔代数 离散数学（discrete mathematics）是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科， 是现代数学的一个重要分支。离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于 离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。 简介 离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有著广为的应用领域，同时离 散数学也就是计算机专业的专业课程，例如程序设计语言、数据结构、操作系统、编程技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。 通过离散数学的自学，不但可以掌控处置线性结构的叙述工具和方法，为时程课程的自学 创造条件，而且可以提升抽象思维和严苛的逻辑推理能力，为将来参予创新性的研究和研 发工作奠定稳固的基础。 发展 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的已连续数学占到主流的地位已 经出现了变化，离散数学的重要性逐渐被人们重新认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广为地彰显在计算机科学技术及有关专业的诸领域，从科学计算至信息处理，从理论 计算机科学至计算机应用技术，从计算机软件至计算机硬件，从人工智能至心智系统，无 不与离散数学密切相关。由于数字电子计算机就是一个线性结构，它就可以处置线性的或 线性化后了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用领域 密切相关的现代科学研究领域，都遭遇着如何对线性结构建立相应的数学模型；又如何将 已用已连续数量关系创建出来的数学模型线性化，从而可以由计算机予以处置。 离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析， 离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。离散数学的应用遍及现代科学技 术的诸多领域。 离散数学也可以说道就是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的存有一个知名 的典型例子-四色定理又称四色悖论，这就是世界近代三小数学难题之一，它就是在年， 由英国的一名绘图员弗南西斯·格思里明确提出的，他在展开地图着色时，辨认出了一个 现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上时相同的 颜色”。那么这若想从数学上展开证明呢？多年后的年，肯尼斯·阿佩尔（kenneth appel）和沃尔夫冈·哈肯（wolfgang haken）采用计算机辅助排序，用了个小时和亿次 的推论，终于证明了四色定理，震惊世界，这就是离散数学与计算机科学相互协作的结果。 离散数学可以看成是构筑在数学和计算机科学之间的桥梁，因为离散数学既离不开集 合论、图论等数学知识，又和计算机科学中的数据库理论、数据结构等相关，它可以引导 人们进入计算机科学的思维领域，促进了计算机科学的发展。离散数学中的布尔函数和布尔代数
离散数学_教学大纲
离散数学结构 第十三章 格与布尔代数
构成格。x,y∈S n,x∨y是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数。x∧y是gcd(x,y),即x与y的最大公约数。图13.1给出了格离散数学结构 习题13
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》题库大全及答案
北邮离散数学-阶段课后复习一二三
离散数学中的布尔函数与卡诺图
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离散数学中的布尔代数基础
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
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