布尔代数

6-4 布尔代数一、复习分配格，有界格，有补格二、布尔格定义6-4.1 一个有补分配格称为布尔格。

三、布尔代数由于布尔格中，每个元素a都有唯一的补元a，因此可在A上定义一个一元运算—补运算“”。

这样，布尔格可看作具有两个二元运算和一个一元运算的代数结构，习惯上称它为布尔代数，记为<A, ∨，∧，>。

定义6-4.2 由布尔格<A,≤>，可以诱导一个代数系统<A, ∨，∧，>，这个代数系统称为布尔代数。

举例：253页例1布尔代数中补运算的性质定理6-4.1 对于布尔代数中任意两个元素a,b∈A，必定有①()a a=②a b a b∨=∧③a b a b∧=∨后两式称为格中德·摩根律。

四、布尔代数中运算的性质前已指出，布尔代数是有补分配格。

对任意a,b,c∈A，有① <A, ≤>是格，≤为A上的偏序关系，运算∨，∧满足(A-1) a∨b=lub{a,b}， a∧b=glb{a,b}(A-2) a≤b⇔a∨b=b⇔a∧b=a(A-3) a∨a=a， a∧a=a （等幂律）(A-4) a∨b=b∨a， a∧b=b∧a （交换律）(A-5) (a∨b) ∨c=a∨(b∨c)，(a∧b)∧c=a∧(b∧c) （结合律）(A-6) a∨ (a∧b)=a，a∧ (a∨b)=a （吸收律）② <A, ≤>是分配格，满足(B-1) a∨ (b∧c)=(a∨b) ∧ (a∨c)，a∧ (b∨c)=(a∧b) ∨ (a∧c) （分配律）(B-2) (a∨b=a∨c)∧(a∧b=a∧c)⇒b=c(B-3) (a∨b) ∧ (b∨c) ∧ (c∨a)=(a∧b) ∨ (b∧c) ∨ (c∧a)③ <A, ≤>是有界格，满足(C-1) 0≤a≤1(C-2) a∨0=a，a∧a=a （幺律）(C-3) a∨1=1，a∧0=0 （零律）④ <A, ≤>是有补格，满足(D-1) 1,0∨=∧=（互补律）a a a a(D-2) 10,01==⑤ <A, ≤>是有补分配格，满足 (E-1)()a a = (E-2) a b a b ∨=∧，a b a b ∧=∨ （德·摩根律）(E-3) a ≤b ⇔a’ ∨b=1⇔a ∧b’=0⇔b’≤a’注意，上述公式并非都是独立的，可从中选出一些公式作为基本公式，用它们推出其余的公式，而且可以用基本公式定义布尔代数。

五、布尔代数的同构定义6-4.3 具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。

定义6-4.4 设<A, ∨，∧，>和<B, ∨，∧，>是两个布尔代数，如果存在着A 到B 的双射f ，对于任意的a,b ∈A ，都有 ()()()()()()()()f a b f a f b f a b f a f b f a f a ∨=∨∧=∧=则称<A, ∨，∧，>和<B, ∨，∧，>同构。

对于有限布尔代数，有以下结论：对于每一正整数n ，必存在含有2n个元素的布尔代数；反之，任一有限布尔代数，它的元素个数必为2的幂次。

对于元素个数相同的布尔代数都是同构的。

定义6-4.5 设<A, ≤>是一个格，且具有全下界0，如果有元素a 盖住0，则称元素a 为原子。

原子在偏序图中是那些紧位于零元之上的元素。

举例：1、上图所示格中，a 和b 都是原子，这说明原子不是唯一的。

显然，在格中若有原子a,b 且a ≠b ，则必有a ∧b=0。

2、254页例2定理6-4.2 设<A,≤>是一个具有全下界的有限格，则对任何一个非零元素b （即不等于全下界0的元素）至少存在一个原子a ，使得a ≤b 。

二元布尔代数其哈斯图是链的唯一布尔代数。

引理6-4.1 在一个布尔格中，0b c ∧=当且仅当b ≤c 。

引理6-4.2 设<A, ∨，∧，>是一个有限布尔代数，若b 是A 中任意非零元素， a ，a 1，a 2，…，a k 是A 中满足a i ≤b 的所有原子(1，2，…，k )，则b=a 1∨a 2∨…∨a k引理6-4.3 (原子表示定理) 设<A, ∨，∧，>是一个有限布尔代数，若b 是A 中任意非零元素， a ，a1，a2，…，a k是A中满足a i≤b的所有原子(1，2，…，k)，则b=a1∨a2∨…∨a k是将b表示为原子的并的唯一形式。

定理6-4.3 (斯通(Stone)定理) 设<A, ∨，∧，>是由有限布尔格<A,≤>所诱导的一个有限布尔代数，S是布尔格<A,≤>中的所有原子的集合，则<A, ∨，∧，>和幂集代数<P(A)，∪，∩，ˉ>同构。

本定理说明了，能够用布尔代数的各原子，完全确定该布尔代数，并且可用布尔集合代数<P(A)，∪，∩，ˉ>表示这一布尔代数。

由本定理可直接得到下面推论：推论6-4.1 有限布尔格的元素的个数必定等于2n，其中n是该布尔格中所有原子的个数。

由此又可推出，若两个有限布尔代数中的集合有相同的基数，则它们的原子集合也有相同的基数。

于是该二个布尔代数是同构的。

因此可得到如下推论：推论6-4.2 任何一个具有2n个元素的有限布尔代数都是同构的。

布尔代数Bn为了书写方便，用B n表示具有n个元素的布尔代数<A, ∨，∧，>，即B n=<A, ∨，∧，>。

根据推论6-4.1可知，n必为2的方幂。

因此，“最小”的布尔代数即是二元布尔代数B2=<A, ∨，∧，>，其中A={0，1}。

B2的运算表如表6-4.1所示。

表6-4.1下面再给出“次最小”的布尔代数B4=<A, ∨，∧，>的运算表6-4.2，其中A={0，α，β，1}。

表6-4.2作业：260页 （3）（7）（9）6-5 布尔表达式本节中先给出布尔表达式或布尔函数的定义，后讨论布尔表达式的范式定理。

一、在布尔代数上定义的函数261页例1二、布尔表达式定义6-5.1 给定布尔代数<A, ∨，∧，>及n 个变元x 1，x 2，…，x n ，则在<A, ∨，∧，>上由n 个变元产生的布尔表达式可归纳定义如下：(1) A 中的任何元素是一个布尔表达式。

(2) 任何变元x i (i =1，2，…，n )是一个布尔表达式。

(3) 若e 1和e 2是布尔表达式，那么1e ，(e 1 ∨e 2)和(e 1∧e 2)也是布尔表达式。

(4) 只有通过有限次运用规则2和3所构造的符号传是布尔表达式。

举例：262页例2定义6-5.2 一个含有n 个相异变元的布尔表达式，称为含有n 元的布尔表达式。

记为E(x 1，x 2，…，x n ),其中x 1，x 2，…，x n 为变元。

三、布尔表达式的值定义6-5.3 布尔代数<A, ∨，∧，>上的一个含有n 个变元的布尔表达式E(x 1，x 2，…，x n )的值是指：将A 的元素作为变元x i (i =1，2,…，n)的值来代替表达式中相应的变元（即对变元赋值），从而计算出表达式的值。

举例：262页例2四、两个布尔表达式等价的定义定义6-5.4 设布尔代数<A, ∨，∧，>上两个n 元的布尔表达式为E 1 (x 1，x 2，…，x n ) 和E 2 (x 1，x 2，…，x n )，如果对于n 个变元的任意赋值 ,i i i x x x A =∈时均有 112212(,,,)(,,,)n nE x x x E x x x = 则称两个布尔表达式是等价的。

记作E 1 (x 1，x 2，…，x n ) =E 2 (x 1，x 2，…，x n )证明两个布尔表达式等价的方法：1.验证；2.推导举例：263页例4五、布尔函数如果限定n 个变元x 1，x 2，…，x n 都取值于A 中的元素，那么在布尔代数<A, ∨，∧，>上由变元x 1，x 2，…，x n 所产生的布尔表达式的值便表示A 中的元素。

因此，这些表达式便是一个函数f ∈A n ，这里f (x 1，x 2，…，x n )对任意变元x 1，x 2，…，x n 可由布尔代数<A, ∨，∧，>中关于∨，∧，的运算来确定。

因此，有时将在<A, ∨，∧，>上由变元x 1，x 2，…，x n 产生的布尔表达式称为在<A, ∨，∧，>上的n 元布尔函数(以下简称布尔函数)。

定义6-5.5 设<A, ∨，∧，>是一个布尔代数，一个从A n 到A 的函数，如果它能够用<A, ∨，∧，>上的n 元布尔表达式来表示，那么，这个函数就称为布尔函数。

举例： 261页表6-5.1是从{0，1}3到{0，1}的函数，它可以用布尔代数<{0，1}, ∨，∧，>上的三元布尔表达式 1231231212(,,)()()()E x x x x x x x x x x =∧∧∨∧∨∧ 表示，因此它是一个布尔函数。

定理 6-5.1 对于两个元素的布尔代数<{0，1}, ∨，∧，>，任何一个从{0，1}n到{0，1}的函数都是布尔函数。

六、布尔表达式的范式定义 一个含有n 个相异变元的布尔表达式 12n x x x ∧∧ 称为由变元x 1，x 2，…，x n 产生的小项，其中x i 是x i 或i x 中的任一个。

对于一个从（0，1）n 到{0，1}的函数，先用那些使函数值为1的有序n 元组分别构造小项 12nx x x ∧∧ ，其中然后，再由这些小项组成析取范式，就是原来函数所对应的析取范式。

12nx x x ∨∨∨ 的布尔表达式称为由形如x n 产生的大项，其中其中x i 是x i 或ix 变元x 1，x 2，…，中的任一个。

对于一个从（0，1）n 到{0，1}的函数，先用那些使函数值为0的有序n 元组分别构造大项 12nx x x ∨∨∨ ，其中然后，再由这些大项组成合取范式，就是原来函数所对应的合取范式。

析取范式和合取范式都是原来函数的布尔表达式 式定理) 在布尔代数<A, ∨，∧，>上定理6-5.2(范由变元x 1，x 2，…，x n 产生的每个布尔表达式均可表成析取范式和合取范式。

布尔表达式的范式也可由推导的方法得到。

下面通过例子说明此方法。

举例：269页（1）n 1n i i i x i x x i ⎧⎪=⎨⎪⎩若元组中第个分量为若元组中第个分量为0 n n i i i x i x x i ⎧⎪=⎨⎪⎩若元组中第个分量为0若元组中第个分量为1作业：270页（2）。