数字逻辑第2章布尔代数基础
逻辑代数基础知识讲解
2. 与普通代数相似的定律
交换律 A·B=B·A
A+B=B+A
结合律 (A·B)·C=A·(B·C) (A+B)+C=A+(B+C)
分配律 A·(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。
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一般地说，若输入逻辑变量A、B、 C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的 值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的
逻辑函数，写作：
L=f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、“非”三种基本运算决定的。
“⊙”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两 变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊 函数。
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2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1 基本定律
1. 逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定 义，可推得以下关系式。 0-1律： A·0 =0 A+1 =1 自等律：A·1=A A+0=A 重叠律：A·A=A A+A=A 互补律：A·A=0 A+A=1
反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个
函数若的F反函A数B 。 C例 D如：AC, 则 F [(A B) C D](A C);
数字逻辑基础2
2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。 是另 项 是 F1 A B A BCD( E F ) A B 多外 的 另 运用摩根定律 余 一 因 外 如 的个 子 一 果 。乘 ， 个 乘 F2 A B CD ADB A BCD AD B 积则乘积 项这积项 ( A AD) ( B BCD) A B （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的变量。 因项 的 F AB C A C D BC D 子 的 反 F AB A C B C 如 AB C C ( A B) D 是 因 是 果 多子 另 一 AB ( A B )C 余， 一 个 AB C ( A B) D 的则 个 乘 AB ABC AB C AB D 。这 乘 积 AB C 个积项 AB C D
A B C D
& ≥1 F
与或非门的逻辑符号
5、同或运算：逻辑表达式为：
F AB AB AB
A B 同或门的逻辑符号
A 0 0 1 1
B F 0 1 1 0 0 0 1 1 真值表
=
F
L=A+B
2.2.3逻辑函数及其表示法
一、逻辑函数的建立： 1、逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连 接起来所构成的式子。 输入逻辑变量：等式右边的字母A、B、C、D 输出逻辑变量：等式左边的字母F 原变量，反变量。 2、逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、… 的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称 F是A、B、C、…的逻辑函数。记为 F f ( A, B, C,) 注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变 量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两 种不同的状态，没有数量的含义。
数字逻辑布尔代数基础知识
数字逻辑布尔代数基础知识数字逻辑布尔代数是计算机科学和电子工程中的重要基础知识。
它提供了一种分析和设计数字电路的方法，通过逻辑运算实现了信息处理和控制。
本文将简要介绍数字逻辑布尔代数的基本概念和应用。
一、布尔代数的基本概念1. 真值表和逻辑运算符布尔代数使用真值表来表示逻辑运算的结果。
常见的逻辑运算符包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）、异或（XOR）等。
它们的真值表分别表示了不同运算的逻辑规则和输出结果。
2. 逻辑门和逻辑电路逻辑门是数字电路中实现逻辑运算的基本构件，常见的逻辑门包括与门（AND）、或门（OR）、非门（NOT）等。
逻辑电路通过将逻辑门连接起来实现复杂的逻辑功能，如加法器、多路选择器等。
3. 布尔函数和逻辑代数布尔函数是布尔代数中的一个重要概念，它描述了逻辑运算的输入和输出之间的关系。
布尔函数可以使用逻辑表达式或真值表来表示，通过代数运算可以对其进行化简和优化。
二、布尔代数的应用1. 组合逻辑电路组合逻辑电路是一种没有存储元件的数字电路，其输出仅由输入决定。
通过使用布尔代数的方法，可以对组合逻辑电路进行分析和设计，实现各类数字电路功能，如加法器、译码器等。
2. 时序逻辑电路时序逻辑电路是一种带有存储元件的数字电路，其输出不仅由输入决定，还与电路内部的状态有关。
时序逻辑电路常用于计数器、寄存器、时钟等电路的设计。
3. 布尔代数在计算机科学中的应用布尔代数是计算机科学中的基础知识，对于计算机程序的编写和逻辑设计有重要的影响。
在计算机算法中，布尔代数的运算常用于判断条件和逻辑控制。
同时，布尔代数也被广泛应用于计算机网络、数据库系统等领域。
总结：数字逻辑布尔代数是计算机科学和电子工程中的重要基础知识，通过逻辑运算实现了信息处理和控制。
它涉及了布尔代数的基本概念，如真值表、逻辑运算符，以及应用领域，如组合逻辑电路、时序逻辑电路和计算机科学。
熟练掌握数字逻辑布尔代数的知识，对于理解和设计数字电路以及计算机系统都具有重要意义。
《数字电子技术基础》读书笔记02逻辑代数基础
《数字电子技术基础》读书笔记02 逻辑代数基础2.1从布尔代数到逻辑代数1849年英国数学家乔治布尔(George Boole)提出布尔代数，使用数学方法进行逻辑运算。
把布尔代数应用到二值逻辑电路中，即为逻辑代数。
2.2逻辑代数中的运算(想想初等代数中的加减乘除)2.2.1三种基本运算与(AND)：逻辑乘，Y=A B或(OR)：逻辑加，Y=A+B非(NOT)：逻辑求反，Y=Aˊ简单逻辑运算(与、或、非)的两套图形符号，均为IEEE(国际电气与电子工程师协会)和IEC(国际电工协会)认定。
上排为国外教材和EDA软件中普遍使用的特定外形符号；下排为矩形符号。
2.2.2复合逻辑运算(都可以表示为与、或、非的组合)与非(NAND)：先与后非，与的反运算，Y=(A B)ˊ或非(NOR)：先或后非，非的反运算，Y=(A+B)ˊ与或非(AND-NOR)：先与再或再非，Y=(A B+C D)ˊ异或(Exclusive OR)：Y=A⊕B=A Bˊ+AˊB A和B不同，Y为1；A和B相同，Y为0。
当A与B相反时，A Bˊ和AˊB，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或(Exclusive NOR)：Y=A⊙B=A B+AˊBˊA和B相同，Y为1；A和B不同，Y为0。
当A与B相同时，A B和AˊBˊ，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或与同或互为反运算，即两组运算，只要输入相同，一定结果相反。
A⊕B=(A⊙B)ˊA⊙B=(A⊕B)ˊ复合逻辑运算的图像符号和运算符号。
2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式(见对偶定理)2.3.2若干常用公式(见逻辑函数化简方法之公式化简法)2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理(相当于初等代数中的换元)任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。
2.4.2反演定理对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的""换成"+"，"+"换成""，"0"换成"1"，"1"换成"0"，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Yˊ。
2第二章布尔代数基础
第2章 逻辑函数及其简化
表 2 – 1 与逻辑的真值表 (a) A 假 假 真 真 B 假 真 假 真 F 假 假 假 真 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 (b) F 0 0 0 1
A
B
E
F
图 2 – 1 与门逻辑电路实例图
7
第2章 逻辑函数及其简化
由表2 - 1可知，上述三个语句之间的因果关系属于与 逻辑。 其逻辑表达式(也叫逻辑函数式)为：
2
第2章 逻辑函数及其简化
2.1 逻辑代数
2.1.1 基本逻辑 逻辑运算是逻辑思维和逻辑推理的数学描述。 具有“真”与“假”两种可能，并且可以判定其 “真”、 “假”的陈述语句叫逻辑变量。一般用英文大 写字母A，B， C， …表示。例如，“开关A闭合着”， “电灯F亮着”， “开关D开路着”等均为逻辑变量，可 分别将其记作A，F，D； “开关B不太灵活”， “电灯 L价格很贵”等均不是逻辑变量。
两变量的“异或”及“同或”逻辑的真值表如表2 - 4所 示。
表 2-4 “异或”及“同或”逻辑真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
F = A⊕ B
0 1 1 0
F = A⊙ B 1 0 0 1
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第2章 逻辑函数及其简化
反函数的定义：对于输入变量的所有取值组合，函数 F1和F2的取值总是相反，则称F1和F2互为反函数。记作：
非运算的运算规则是：
0 =1
−
1=0
16
−
第2章 逻辑函数及其简化
2.1.2 基本逻辑运算
1. 逻辑加（或运算） 逻辑加（或运算）
P = A+ B
逻辑加的意义是A或B只要有一个为1，则函数值P就为1。它表 示或逻辑的关系。在电路上可用或门实现逻辑加运算，又称为或运 算。运算规则为： 0＋0＝0 0＋1＝1 A＋0＝A
第二章 逻辑代数基础
A B A B
______
A (B C) A (B C) A B C
__________ _____
A ( B C ) A B C A B C
________
3.反演定理
对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所有的“•”换成 “＋”， “＋”换成“•”，0换成1，1换成0，原变量 __ 换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 Y
2、非逻辑真值表 A 0 1 Y
3 、非逻辑函数式
Y=A 或： Y A
1
0
4、 非逻辑符号
A
1
Y
或： 5 、 非逻辑运算 0=1 1=0
四、 几种最常见的复合逻辑运算
1 、 与非 Y=A B A B & Y
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 1 1 0
3 、 同或 Y= AB+A B =A⊙B A B Y
（还原律）
证明： A B A B A ( B B ) A 1 A
4.
A ( A B) A
（吸收律）
证明： A ( A B) A A A B A A B A (1 B) A 1 A
5. A B A C B C A B A C
c. 非非律： ( A) A
A+A=A
d. 吸收律：A + A B = A
A (A+B) = A
A AB A B
e. 摩根定律： ( AB) A B
A .B A B 反演律（摩根定律）： A B A B
数字电路和数字逻辑
1. 晶体二极管及其单方向导电特性
通常情况下，可把一些物体划分成导体（双向导电）和 绝 缘体（不导电）两大类。在这两类物体的两端有电压存在时， 会出现有电流流过或无电流流过物体的两种不同情形。
人们也可以制作出另外一类物体，使其同时具备导体和绝
缘体两种特性，其特性取决于在物体两端所施加电压的方向， 当在一个方向上有正的电压（例如 0.7V）存在时，可以允许电 流流过（如图所示），此时该物体表现出导体的特性；
计算机中常用的逻辑器件，包括组合逻辑和时序逻辑电路 两大类别；也可以划分为专用功能和通用功能电路两大类别。
组合逻辑电路的输出状态只取决于当前输入信号的状态， 与过去的输入信号的状态无关，例如加法器，译码器，编码器， 数据选择器等电路；
时序逻辑电路的输出状态不仅和当前的输入信号的状态有 关，还与以前的输入信号的状态有关，即时序逻辑电路有记忆 功能，最基本的记忆电路是触发器，包括电平触发器和边沿触 发器，由基本触发器可以构成寄存器，计数器等部件；
而在相反的方向上施加一定大小的电压时， +
-
该物体中不会产生电流，表现出绝缘体的
的特性，即该物体只能在单个方向上导电， 这样的物体被称为半导体。制作出的器件
电流 i
被称为二极管。
二极管的内部结构及其开关特性
绝缘体和导体不同的导电特性是由于它们不同的原子结构 特性造成的。
通过在绝缘材料中有控制地掺加进少量的导电物质，可以 使得到的材料有一定的导电特性。例如在 4价的硅材料（每个原 子核周围有 4个电子）中掺杂进少量 5价的金属材料形成 N型材 料，或者掺杂进少量 3价的金属材料形成 P型材料，使新得到的 材料中总的原子核数量与电子的数量不满足 1:4 的关系， N型 材料中形成有极少量的带负电荷的多余电子， P型材料中缺少 极少量的电子（反过来称为有极少量的带正电的空穴），这些 电子和空穴可以成为导电的载流子。当把这样的两种材料结合 在一起时，就表现出在单个方向导电的特性，这就是半导体， 做成器件就是二极管。当P型材料一端（称为二极管的正极）有 比N型材料一端（称为二极管的负极）高 0.7 伏的电压时，就会 产生从正极流向负极的电流，小的反向电压则不会产生电流。
布尔代数基础
布尔代数基础和布尔函数的化简和实现布尔代数是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。
因此这里从应用的角度向读者介绍布尔代数，而不是从数学的角度去研究布尔代数。
一、布尔代数的基本概念1、布尔代数的定义域和值域都只有“0”和“1”。
布尔代数的运算只有三种就是“或”(用＋表示)，“与”(用·表示)和“非”(用￣表示，以后用’表示)。
因此布尔代数是封闭的代数系统，可记为B=(k，＋，·，￣，0，1)，其中k表示变量的集合。
2、布尔函数有三种表示方法。
其一是布尔表达式，用布尔变量和“或”、“与”和“非”三种运算符所构成的式子。
其二是用真值表，输入变量的所有可能取值组合及其对应的输出函数值所构成的表格。
其三是卡诺图，由表示逻辑变量所有可能取值组合的小方格所构成的图形。
3、布尔函数的相等可以有两种证明方法，一种是从布尔表达式经过演绎和归纳来证明。
另一种就是通过列出真值表来证明，如两个函数的真值表相同，则两个函数就相等。
二、布尔代数的公式、定理和规则1、基本公式有交换律、结合律、分配律、0—1律、互补律、重叠律、吸收律、对合律和德·摩根律。
值得注意的是分配律有两个是：A·(B+C)=A·B+A·C和A+B·C=(A+B)·(A+C)，另外就是吸收律，A+AB=A；A+A’B=A+B它们是代数法化简的基本公式。
2、布尔代数的主要定理是展开定理(教材中称为附加公式)。
3、布尔代数的重要规则有对偶规则和反演规则。
三、基本逻辑电路1、与门F=A·B2、或门F=A+B3、非门F=A’(为了打字的方便，以后用单引号“’”表示非运算，不再用上划线表示非运算)4、与非门F=（A·B）’5、或非门F=（A+B）’6、与或非门F=（A·B+C·D）’7、异或门F=A’B+AB’=A⊕B8、同或门F=A’B’+AB=A⊙B四、布尔函数的公式法化简同一个布尔函数可以有许多种布尔表达式来表示它，一个布尔表达式就相应于一种逻辑电路。
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逻辑函数除了使用逻辑代数表示以外，还可以使用一种称为 “真值表”的表格表示。
真值表是由输入变量所有可能取值的组合与这些组合值对 应的输出变量的值构成的表格。真值表分为左、右两个部分。
左边部分每一列是输入变量的名字。右边部分的每一列是 输出变量的名字。左边部分是输入变量所有的取值的组合。
对于逻辑变量A1，A2，……An的任何一组取值，分别代入
2.1.3 IEEE逻辑符号
如前所述，逻辑函数是由“与”、“或”、“非”三种最基本的逻辑运算 构成。为了象表示电阻、电容和三极管一样，用图形化的方式表示不同 的逻辑函数，美国国家标准学会( the American National Standards Institute, ANSI )和美国电气与电子工程师协会(the Institute of Electrical and Electronic Engineers, IEEE) 在1984年制定了一个逻辑 函数符号标准。如图2-1所示。
图2-2是IEEE标准的“与”、“或”、“非”、“与非”、“或非”、“ 异或”、“异或非( 同或)”逻辑函数符号。
≥1
基本逻辑运算
≥1
复合逻辑运算
2.1.4 逻辑代数的公理、定理和规则
逻辑代数系统有它的公理系统，公理系统不需要证明。逻辑代数系
统的公理为逻辑代数的定理提供证明的依据。公理和定理也为逻辑代数
2.1.2基本逻辑运算
1.“与”运算 “与”运算的运算符是“·”、“*”、“∧”或是空。在本书中使用“”表示“与 ”运算符。
2.1.2基本逻辑运算
2．“或”运算 “或”运算的运算符是“+”、“∨”。本书中使用“+”表示“或”运算符。
2.1.2基本逻辑运算
3．“非”运算 “非”运算的运算符是“ ”或“ ” ，本书中使用“ ” 表示“非”运算符。
幸运的是，数字系统中采用的是“0”和“1”两个不同的值
。因此布尔代数可以用来作为分析和设计逻辑电路的数学工具 。
从应用的角度，布尔代数应用于逻辑电路领域称其为逻辑 代数。
本章介绍逻辑代数的基本理论和运算方法，其中包括逻
辑代数基本概念，逻辑函数的定义，逻辑代数的公理、定理和 规则，小项与大项的概念以及使用小项和大项表达逻辑函数的 标准形式。
在此基础上，介绍应用逻辑代数法和卡诺图法化简逻辑 函数的原理与方法。
2.1.1 逻辑代数的基本概念
逻辑代数包含逻辑变量集K(A、B、C、…)，每个变量的取 值只可能为常量“0”或“1”。这里的“0”和“1”没有量的概念，是用 来表达矛盾双方，是一种形式上的符号。
逻辑代数中逻辑变量之间是逻辑关系。逻辑关系用逻辑运算 符表示。使用逻辑运算符连接逻辑变量及常量“0”或“1”构成逻辑代 数表达式。
数字逻辑第2章布尔代数基 础
第2章 布尔代数基础
2.1 逻辑代数基础 2.1.1 逻辑代数的基本概念 2.1.2 基本逻辑运算 2.1.3 IEEE逻辑符号 2.1.4 逻辑代数的公理、定理和规则
2.2逻辑函数 2.2.1 逻辑函数表达式的基本形式 2.2.2 逻辑函数的标准形式 2.2.3 逻辑函数表达式的转换
证明提供演绎的数学基础。
1、公理系统
公理1 0 - 1律
对于任意的逻辑变量A，有
A+0=A
A ∙1 = A
A+1=1
公理2 互补律
对于任意的逻辑变量A，存在唯一的A,使得
A+A=1
AA=0
公理3 交换律
对于任意的逻辑变量A和B，有
A+B=B+A
AB=BA
A ∙0 = 0
公理4 结合律
对于任意的逻辑变量A、B和C，有
如果一个逻辑函数有n个变量，则输入变量所有的取值有2n 个组合。右边部分是把左边每一行输入变量的取值带到逻辑函 数中去运算，把运算的结果“0”或者“1”填进来。这样就完成了把 逻辑函数用真值表表示。
逻辑函数有的比较简单，有的相当复杂。但是它们都是 由“与”、“或”、“非”三种最基本的逻辑运算构成。下面分别介绍 这三种逻辑运算符、逻辑表达式、逻辑函数和逻辑函数符号。
2.3 逻辑函数的化简 2.3.1 代数化简法 2.3.2 卡诺图化简法
研究数字系统中逻辑电路设计和分析的数学工具是布尔代数。 布尔代数是由逻辑变量集K(A、B、C、…)，常量“0”、“1”以及“与”、“或” 、“非”3种基本逻辑运算构成的代数系统。 逻辑变量集K是布尔代数中变量的集合，它可以用任何字母表示，每个 变量的取值只能为常量“0”或“1”。 在数字系统中使用布尔变量表示开关电路的输入或输出。这些变量的每 一个取值是“0”或“1”两个不相同的值。“0”可以代表低电压，“1”可以代表高电 压。F( False )和T( True )也可以用于表示“0”或“1”。 布尔代数把矛盾的一方假设为“1”，另一方假设为“0”，使之数学化。 这样可以使用布尔代数中的公理和定理对物理现象作数学演算，达到逻 辑推理的目的。
(A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC)
公理5 分配律
对于任意的逻辑变量A、B和C，有
A + ( B C ) = ( A + B )( A + C )
A(B+C)=AB+AC
2、基本定理
根据逻辑代数的公理，推导出逻辑
0+1=1 0· 0 = 0 0· 1 = 0
2.1.2基本逻辑运算
4. “与非”运算 “与非”函数是由“非”函数和“与”函数导出。
2.1.2基本逻辑运算
5. “或非”运算 “或非”函数是由“非”函数和“或”函数导出。
2.1.2基本逻辑运算
6．“异或”运算 “异或”运算的运算符是“⊕”。
2.1.2基本逻辑运算
7．“同或”运算 “同或”运算也可以称为“异或非”运算，其运算符是“⊙”。
1+0=1
1+1=1 1· 0 = 0 1· 1 = 1
3、逻辑代数的重要规则： 逻辑代数有三条重要规则，它们是代入规则、反演规则和
对偶规则。这三条规则常常使用在逻辑表达式的运算和变换中
1 ) 逻辑函数的相等
如果两个逻辑函数：
F1 = f1 (A1,A2,…，An),
F2 = f2 ( A1,A2,…,An)