数字电路第二章 逻辑代数基础
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第2章 逻辑代数基础
0-1率A· 1=1
A B
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。 运用分配律 变并 相 和 包 量成 同 反 含 Y1 ABC A BC BC ( A A ) BC BC 的一 时 变 同 若 因项 ， 量 一 两 BC BC B(C C ) B 子， 则 ， 个 个 。并 这 而 因 乘 运用分配律 消两其子积 去项他的项 Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) 互可因原中 ABC ABC A( BC BC) A 为以子变分 反合都量别 运用摩根定律
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么 所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规 则称为反演规则。例如：
Y AB CD E
Y A B C D E
A A B A 吸收率： A ( A B) A
A ( A B) A B A A B A B
证明： A A B ( A A)(A B)
分配率 A+BC=(A+B)(A+C)
1 ( A B)
互补率A+A=1
A B
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。 运用分配律 变并 相 和 包 量成 同 反 含 Y1 ABC A BC BC ( A A ) BC BC 的一 时 变 同 若 因项 ， 量 一 两 BC BC B(C C ) B 子， 则 ， 个 个 。并 这 而 因 乘 运用分配律 消两其子积 去项他的项 Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) 互可因原中 ABC ABC A( BC BC) A 为以子变分 反合都量别 运用摩根定律
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么 所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规 则称为反演规则。例如：
Y AB CD E
Y A B C D E
A A B A 吸收率： A ( A B) A
A ( A B) A B A A B A B
证明： A A B ( A A)(A B)
分配率 A+BC=(A+B)(A+C)
1 ( A B)
互补率A+A=1
2逻辑代数基础
（15）
五、德 摩根定理(反演律）：表中8，18 （De Morgan) 证明： 1 AB A B 真值表法、 穷举法 2 A B AB
推广到多变量：
ABC A B C
A B C ABC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非） 运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非 与）运算。
（3）
§2.2
逻辑代数中的三种基本运算
基本逻辑运算：与 ( and )、或 (or ) 、 非 ( not )。 一、“与”逻辑 与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都 具备，事件才会发生（成立）。 规定:
A
E
B
C Y
开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0”
灯亮为逻辑“1”
灯灭为逻辑“0”
（4）
A(BC) A(BC) A B C
注：代入定理还可以扩展其他基本定律 的应用范围！
（23）
2.4.2 反演定理
内容：将函数式F中所有的 + + (反函数) 新表达式： F
变量与常数均取反 显然： F F 规则: 1.遵循先括号 再乘法 后加法的运算顺序。 2.不是一个变量上的反号不动。 用处：实现互补运算（求反运算）。
（29）
2.5.2 逻辑函数的表示方法
真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合 与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。
四 种 表 示 方 法 n个输入变量
2 种组合。
n
逻辑函数式 (逻辑表示式, 逻辑代数式)
Y AB AB
逻辑图: 波形图
A 1 & ≥1 B 1 &
Y
（30）
Y A B AB AB Y A B AB AB Y A B A B
第2章逻辑代数基础
同时，函数F的值为“0”。
便于获得逻辑电路图
逻辑表达式的简写:
1.“非”运算符下可不加括号，如
，
等。
2.“与”运算符一般可省略，如A·B可写成AB。
3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运 算，则按先“与”后“或”的规则进行运算，可省去括号,如 (A·B)+(C·D)可写为AB+CD。
注意:(A+B)·(C+D)不能省略括号,即不能写成A+B·C+D！
A
FA
1
FA
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 非门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.3 逻辑代数的复合运算
“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算按不同的方 式组合，还可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、 “同或”、“异或”等逻辑运算，构成复合逻辑运算。对应 的复合门电路有与非门、或非门、与或非门、异或门和同或 门电路。
能实现基本逻辑运算的电路称为门电路，用基本的门电 路可以构成复杂的逻辑电路，完成任何逻辑运算功能，这些 逻辑电路是构成计算机及其他数字系统的重要基础。
实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。
A
A
A
&
B
F B
F B
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 与门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.2 逻辑代数的基本运算
2．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪 的形式符号，无大小、正负之分。
2.1.1 逻辑代数的定义
逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集 K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所 构成，记为L={K,+,·,-,0,1}。该系统应满足下列公理。
《数字电子技术基础》读书笔记02逻辑代数基础
《数字电子技术基础》读书笔记02 逻辑代数基础2.1从布尔代数到逻辑代数1849年英国数学家乔治布尔(George Boole)提出布尔代数，使用数学方法进行逻辑运算。
把布尔代数应用到二值逻辑电路中，即为逻辑代数。
2.2逻辑代数中的运算(想想初等代数中的加减乘除)2.2.1三种基本运算与(AND)：逻辑乘，Y=A B或(OR)：逻辑加，Y=A+B非(NOT)：逻辑求反，Y=Aˊ简单逻辑运算(与、或、非)的两套图形符号，均为IEEE(国际电气与电子工程师协会)和IEC(国际电工协会)认定。
上排为国外教材和EDA软件中普遍使用的特定外形符号；下排为矩形符号。
2.2.2复合逻辑运算(都可以表示为与、或、非的组合)与非(NAND)：先与后非，与的反运算，Y=(A B)ˊ或非(NOR)：先或后非，非的反运算，Y=(A+B)ˊ与或非(AND-NOR)：先与再或再非，Y=(A B+C D)ˊ异或(Exclusive OR)：Y=A⊕B=A Bˊ+AˊB A和B不同，Y为1；A和B相同，Y为0。
当A与B相反时，A Bˊ和AˊB，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或(Exclusive NOR)：Y=A⊙B=A B+AˊBˊA和B相同，Y为1；A和B不同，Y为0。
当A与B相同时，A B和AˊBˊ，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或与同或互为反运算，即两组运算，只要输入相同，一定结果相反。
A⊕B=(A⊙B)ˊA⊙B=(A⊕B)ˊ复合逻辑运算的图像符号和运算符号。
2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式(见对偶定理)2.3.2若干常用公式(见逻辑函数化简方法之公式化简法)2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理(相当于初等代数中的换元)任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。
2.4.2反演定理对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的""换成"+"，"+"换成""，"0"换成"1"，"1"换成"0"，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Yˊ。
数电 第2章 逻辑代数基础
“异或”运算的符号：
异或逻辑的真值表及其逻辑表达式：
A B 0 0 1 1 0 1 0 1
F 0 1 1 0
F A B AB AB
第2章 逻辑代数基础
A B A B A B
F F
异或门的逻辑符号
＋ 1
F
第2章 逻辑代数基础
“同或”逻辑与“异或”逻辑相反，它表示当两个输入 变量相同时输出为1；相异时输出为0。 “同或”运算的符号：⊙ “同或”逻辑的真值表及其逻辑表达式：
必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能改
变， 且式中的非号也保持不变。 前面逻辑代数基本定律和公式，都是成对出现，而且都 是互为对偶的对偶式。 例如，已知 A(B+C)=AB+AC
则有
A+BC=(A+B)(A+C)
第2章 逻辑代数基础
2.2.3 若干常用公式
1. 合并律
AB AB A
V1 A B
&
F
( c) 中国标准
V2
二极管与门
与门的逻辑符号
第2章 逻辑代数基础
2. 或运算(逻辑加)
逻辑关系：？
或逻辑运算真值表:
A B E F
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
F 0 1 1 1
或逻辑实例
或逻辑可以用逻辑表达式表示：
F=A＋B
第2章 逻辑代数基础
实现或逻辑的单元电路称为“或门”，其逻辑符号如左下 图所示，其中图 (a)为国际流行符号，图 (b)为 IEEE标准符号，
的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
A B C A B C A B C
第2章 逻辑代数基础
第二章 逻辑代数基础
________
A B A B
______
A (B C) A (B C) A B C
__________ _____
A ( B C ) A B C A B C
________
3.反演定理
对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所有的“•”换成 “＋”， “＋”换成“•”，0换成1，1换成0，原变量 __ 换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 Y
2、非逻辑真值表 A 0 1 Y
3 、非逻辑函数式
Y=A 或： Y A
1
0
4、 非逻辑符号
A
1
Y
或： 5 、 非逻辑运算 0=1 1=0
四、 几种最常见的复合逻辑运算
1 、 与非 Y=A B A B & Y
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 1 1 0
3 、 同或 Y= AB+A B =A⊙B A B Y
（还原律）
证明： A B A B A ( B B ) A 1 A
4.
A ( A B) A
（吸收律）
证明： A ( A B) A A A B A A B A (1 B) A 1 A
5. A B A C B C A B A C
c. 非非律： ( A) A
A+A=A
d. 吸收律：A + A B = A
A (A+B) = A
A AB A B
e. 摩根定律： ( AB) A B
A .B A B 反演律（摩根定律）： A B A B
A B A B
______
A (B C) A (B C) A B C
__________ _____
A ( B C ) A B C A B C
________
3.反演定理
对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所有的“•”换成 “＋”， “＋”换成“•”，0换成1，1换成0，原变量 __ 换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 Y
2、非逻辑真值表 A 0 1 Y
3 、非逻辑函数式
Y=A 或： Y A
1
0
4、 非逻辑符号
A
1
Y
或： 5 、 非逻辑运算 0=1 1=0
四、 几种最常见的复合逻辑运算
1 、 与非 Y=A B A B & Y
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 1 1 0
3 、 同或 Y= AB+A B =A⊙B A B Y
（还原律）
证明： A B A B A ( B B ) A 1 A
4.
A ( A B) A
（吸收律）
证明： A ( A B) A A A B A A B A (1 B) A 1 A
5. A B A C B C A B A C
c. 非非律： ( A) A
A+A=A
d. 吸收律：A + A B = A
A (A+B) = A
A AB A B
e. 摩根定律： ( AB) A B
A .B A B 反演律（摩根定律）： A B A B
数字电路第2章逻辑代数基础及基本逻辑门电路
AB＋AC＋ABC＋ABC = = AB＋ABC）＋（AC＋ABC） （ = AB＋AC
（5）AB＋A B = A （6）（A＋B）（A＋B ）＝A 证明： （A＋B）（A＋B ）＝A＋A B＋AB＋0 A（ ＋B＋B） = 1 JHR A =
二、本章教学大纲基本要求 熟练掌握： 1.逻辑函数的基本定律和定理； 门、 2.“与”逻辑及“与”门、“或”逻辑及“或”
“非”逻辑及“非”门和“与”、“或”、“非” 的基本运算。 理解：逻辑、逻辑状态等基本概念。 三、重点与难点 重点：逻辑代数中的基本公式、常用公式、 基本定理和基本定律。
JHR
难点：
JHR
1.具有逻辑“与”关系的电路图
2.与逻辑状态表和真值表
JHR
我们作如下定义： 灯“亮”为逻辑“1”，灯“灭”为逻辑“0” 开关“通”为逻辑“1”，开关“断”为逻辑 “0” 则可得与逻辑的真值表。 JHR
3.与运算的函数表达式 L＝A·B 多变量时 或 读作 或 L＝AB L＝A·B·C·D… L＝ABCD… 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
与非逻辑真值表
Z = A• B
3.逻辑真值表
逻辑规律：有0出1 全1 出0
JHR
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Z 1 1 1 0
二、或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
Z = A+ B
先或后非
3.逻辑真值表
JHR
三、与或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
1.代入规则 在任一逻辑等式中，若将等式两边出现的同 一变量同时用另一函数式取代，则等式仍然成立。
JHR
代入规则扩大了逻辑代数公式的应用范围。例如摩 根定理 A＋B = A ⋅ B 若将此等式两边的B用B＋C 取代，则有
（5）AB＋A B = A （6）（A＋B）（A＋B ）＝A 证明： （A＋B）（A＋B ）＝A＋A B＋AB＋0 A（ ＋B＋B） = 1 JHR A =
二、本章教学大纲基本要求 熟练掌握： 1.逻辑函数的基本定律和定理； 门、 2.“与”逻辑及“与”门、“或”逻辑及“或”
“非”逻辑及“非”门和“与”、“或”、“非” 的基本运算。 理解：逻辑、逻辑状态等基本概念。 三、重点与难点 重点：逻辑代数中的基本公式、常用公式、 基本定理和基本定律。
JHR
难点：
JHR
1.具有逻辑“与”关系的电路图
2.与逻辑状态表和真值表
JHR
我们作如下定义： 灯“亮”为逻辑“1”，灯“灭”为逻辑“0” 开关“通”为逻辑“1”，开关“断”为逻辑 “0” 则可得与逻辑的真值表。 JHR
3.与运算的函数表达式 L＝A·B 多变量时 或 读作 或 L＝AB L＝A·B·C·D… L＝ABCD… 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
与非逻辑真值表
Z = A• B
3.逻辑真值表
逻辑规律：有0出1 全1 出0
JHR
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Z 1 1 1 0
二、或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
Z = A+ B
先或后非
3.逻辑真值表
JHR
三、与或非逻辑 1.逻辑表达式 2.逻辑符号
1.代入规则 在任一逻辑等式中，若将等式两边出现的同 一变量同时用另一函数式取代，则等式仍然成立。
JHR
代入规则扩大了逻辑代数公式的应用范围。例如摩 根定理 A＋B = A ⋅ B 若将此等式两边的B用B＋C 取代，则有
第2章 逻辑代数基础 第3次课
A B C D
1.“与非”、“或非”、“与或非”运算
• “与非”运算就是“与”运算和“非”运算的组合。用逻辑函 数表示就是： F = A ⋅ B A F “与非”门逻辑符号 B
2014年9月17日 北京理工大学 信息科学学院 7
“与或非”门逻辑符号
F
2014年9月17日
北京理工大学 信息科学学院
8
数字电路——分析与设计
2014年9月17日 北京理工大学 信息科学学院 17 2014年9月17日 北京理工大学 信息科学学院 18
数字电路——分析与设计
第2章 逻辑代数基础
数字电路——分析与设计 “同或”运算的两个重要特性
第2章 逻辑代数基础
表 2.13 “异或”和“同或”运算公式 名称 1. A ⊕ 0 = A 基本运 算规律 2. A ⊕ 1 = A 3. A ⊕ A = 0 4. A ⊕ A = 1 交换律 结合律 分配律 5. 公 式 1.＇A⊙1 = A 2.＇A⊙0 = A 3.＇A⊙A = 1 4.＇A⊙ A = 0 5.＇A⊙B = B⊙A 6.＇A⊙(B⊙C ) = (A⊙B)⊙C 7.＇A+(B⊙C ) = (A+B)⊙(A+C ) 类别
第2章 逻辑代数基础
(摩根定理) (摩根定理) (还原律) (分配律) (互补律) (自等律) (添加项定理)
作业2：2-9的(4),(5),(6),(7)；2-10；
= A A + AB + A C + B C
= 0 + AB + A C + B C
= AB + A C + B C
= AB + A C
2014年9月17日 北京理工大学 信息科学学院 14
1.“与非”、“或非”、“与或非”运算
• “与非”运算就是“与”运算和“非”运算的组合。用逻辑函 数表示就是： F = A ⋅ B A F “与非”门逻辑符号 B
2014年9月17日 北京理工大学 信息科学学院 7
“与或非”门逻辑符号
F
2014年9月17日
北京理工大学 信息科学学院
8
数字电路——分析与设计
2014年9月17日 北京理工大学 信息科学学院 17 2014年9月17日 北京理工大学 信息科学学院 18
数字电路——分析与设计
第2章 逻辑代数基础
数字电路——分析与设计 “同或”运算的两个重要特性
第2章 逻辑代数基础
表 2.13 “异或”和“同或”运算公式 名称 1. A ⊕ 0 = A 基本运 算规律 2. A ⊕ 1 = A 3. A ⊕ A = 0 4. A ⊕ A = 1 交换律 结合律 分配律 5. 公 式 1.＇A⊙1 = A 2.＇A⊙0 = A 3.＇A⊙A = 1 4.＇A⊙ A = 0 5.＇A⊙B = B⊙A 6.＇A⊙(B⊙C ) = (A⊙B)⊙C 7.＇A+(B⊙C ) = (A+B)⊙(A+C ) 类别
第2章 逻辑代数基础
(摩根定理) (摩根定理) (还原律) (分配律) (互补律) (自等律) (添加项定理)
作业2：2-9的(4),(5),(6),(7)；2-10；
= A A + AB + A C + B C
= 0 + AB + A C + B C
= AB + A C + B C
= AB + A C
2014年9月17日 北京理工大学 信息科学学院 14
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以上的公式比较常用，应该能熟用，为以后 逻辑函数的化简打好基础
2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
内容：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现
A 的位臵都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然 成立。
利用代入定理可以证明一些公式，也可以将 前面的两变量常用公式推广成多变量的公式
2. 交换律、结合律、分配律 a. 交换律： AB= BA A + B=B + A b. 结合律：A（BC） =（ AB）C
A +（ B ＋C）= （A＋B） + C
c. 分配律：A( B + C) = AB + AC
A + BC = (A + B)(A + C)
链接A
3.逻辑函数独有的基本定理
a. 互补律： A A 0
5.AB＋A C＋BC ＝ AB＋A C ：在三个乘积项相 加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余 的因子组成的另一项则是多余的，可以删掉； 公式 AB＋A C＋BCD ＝ AB＋A C 的原理和上述相同
6. A（A B） ＝A B ：如果某项和包含这一项的乘 积项取反相乘时，则这一项可以删掉； 7. A （A B） ＝A ：当某个项取反和包含这一项 的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项
第二章 逻辑代数基础
内容提要
本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首 先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定 理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数 的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数，为后续 课程打下基础。
本章的内容 2.1 概述
2.2 逻辑代数中的三种基本运算
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
Y A1 A2 An
3. 非逻辑运算
条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事 件发生，这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反
如图2.2.5所示电路，一个开关 控制一盏灯就是非逻辑事例， 当开关A闭合时灯就会不亮。
用与前面相同的逻辑赋 值同样也可得到其真值表如 表2.2.3所示 非逻辑运算也叫逻辑非或 非运算、反相运算，即输出变 量是输入变量的相反状态。其 逻辑式为
表 2.2.5 或非逻辑真值表 输入 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 输出 Y 1 0 0 0
“0”全“0”出“1”
或非运算用或非门电路来实现， 如图2.2.8所示
A B
1
A Y B
Y
图 2.2.8 或门逻辑符号
6.与或非运算
与或非运算是“先与后或再非”三种运算的组合。 以四变量为例，逻辑表达式为：
A A 1
b. 重叠律：A · A=A
c. 非非律： ( A) A
A+A=A
d. 吸收律：A + A B = A
A (A+B) = A
A AB A B
e. 摩根定律： ( AB) A B
( A B) A B
链接B
ห้องสมุดไป่ตู้
注：以上定律均可由真值表验证
7. 异或运算 其布尔表达式（逻辑函数式）为
Y A B AB AB
符号“⊕”表示异或运算，即两个输入逻辑变量取 值不同时Y=1，即不同为“1”相同为“0”，异或运 算用异或门电路来实现 表 2.2.6 异或逻辑真值表 其真值表如表2.2.6所示 输入 输出 其门电路的逻辑符号如图2.2.10 所示
A B Y
图2 . 2 . 1 与逻辑电路
A 设开关闭合用“1”表示， B 断开用“0”表示 ；灯亮用 Y “1”表示，灯灭用“0”表示 （逻辑赋值），则可得到表 2.2.1所示的输入输出的逻辑 图2 . 2 . 1 与逻辑电路 关系，称为真值表
从表中可知，其逻辑规律服 从“有0出0，全1才出1”
若有n个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为
Y A1 A2 An
2.2.2 或运算 或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条 件满足时，事件就会发生，即“有一即可
如图2.2.3所示电路，两个 并联的开关控制一盏灯就是或 逻辑事例，只要开关A、B有 一个闭合时灯就会亮。
用与前面相同的逻辑赋 值同样也可得到其真值表如 表2.2.2所示，其逻辑规律服 从“有1出1，全0才出0” 其逻辑式为 Y A B 上式说明：当逻辑变量A、B有 一个为1时，逻辑函数输出Y就 为1。只有A、B全为0，Y才为0。
注意：
1. 逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换 律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表 示变量，叫逻辑变量。 2. 逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学 代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无 理数，是进行十进制（0～9）数值运算。而逻辑代 数中变量的取值只有两个：“0”和“1”。并且“0” 和“1”没有数值意义，它只是表示事物的两种逻辑 状态。
A B B A A ( B C ) ( A B) C A B C ( A B) ( A C ) ( A B) A B
返回A
返回B
说明：由表中可以看出
1.关于变量与常数关系的定理
A· 0=0 A· 1=A
A+0 =A A+1 =1
4. 与非（NAND）逻辑运算
与非运算是先与运算后非运算 的组合。以二变量为例，布尔 代数表达式为：
表 2.2.4 与非逻辑真值表 输入 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 输出 Y 1 1 1 0
Y ( AB)
其真值表如表2.2.4所示
其逻辑规律服从“有0出1，
表 2.2.4 与非逻辑真值表 输入 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 输出 Y 1 1 1 0
A B =1 Y A B Y
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 1 1 0
图2.2.10 异或门逻辑符号
异或运算的性质 1. 交换律： A B B A 2. 结合律： A ( B C ) ( A B) C 3.分配律： A( B C ) AB AC 4.
2.4 逻辑代数的基本定理
2.5 逻辑函数及其表示方法 2.6 逻辑函数的化简方法 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简
2.1 概述
2.1.1 二值逻辑和逻辑运算
在数字电路中，1位二进制数码“0”和“1”不仅 可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同 的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、 电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两
0 A 0
1 A A
1 0
0 1
1 A 1
0 A A
A A A A A 0
A B B A
A A A A A 1
A ( B C ) ( A B) C
A (B C ) A B A C
( A B ) A B ( A) A
全1才出0”
实现与非运算用与非门电路来 实现，如图2.2.7所示 5. 或非（NOR）运算 或非运算是先或运 算后非运算的组合。以 二变量A、B为例，布尔 代数表达式为：
A B ＆
A Y B
Y
图2.2.7 与非门逻辑符号
Y ( A B)
其真值表如表2.2.5所示
或非逻辑规律服从有“1”出
A B = Y A B Y
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1
图 2.2.11 同或门逻辑符号
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.3.1 基本公式 表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式 表2.3.1 逻辑代数的基本公式
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 公 式 序号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 公 式
A A 1 A 1 A
A A 0 A0 A
推论：当n个变量做异或运算时，若有偶数个变量取 “1”时，则函数为“0”；若奇数个变量取1时，则函 数为1.
8. 同或运算：
其布尔表达式为 Y A⊙ B ( A B) AB AB
符号“⊙”表示同或运算，即两个输入变量值相同 时Y=1，即相同为“1”不同为“0” 。同或运算用同 或门电路来实现，它等价于异或门输出加非门， 其真值表如表2.2.7所示 表 2.2.7 同或逻辑真值表 其门电路的逻辑符号如图2.2.11 输入 输出 所示 A B Y
2.3.2 若干常用公式
表2.3.2为常用的一些公式
表2.3.2 常用公式
序号 21 22 23 24 25 公 式
A A B A A AB A B
A B A B A A( A B) A A B A C BC A B A C A B A C BCD A B A C
A B Y
图2 . 2 . 3 或逻辑电路
表 2.2.2 或逻辑真值表 输入 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 输出 Y 0 1 1 1
其逻辑门符号如图 A 2.2.4所示，实现或逻辑 运算的门电路称为或门。 B
1
A Y B
Y
图 2.2.4 或门逻辑符号
若有n个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为
数字电路是一种开关电路，输入、输出量是高、 低电平，可以用二值变量（取值只能为0，l）来表 示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因 果关系。仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻 辑函数的的数学工具来描述。 逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的 应用，它首先是由英国数学家乔治.布尔（George Boole）提出的，用在逻辑运算上。后来用在数字电 路中，就被称为开关代数或逻辑代数，它是逻辑函 数的基础。
种对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。