数字逻辑逻辑代数基础
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数字逻辑第2章布尔代数基础
采用逻辑代数表示逻辑电路的输入与输出之间的逻辑关系， 称逻辑函数。这种电路称数字逻辑电路。
逻辑函数除了使用逻辑代数表示以外，还可以使用一种称为 “真值表”的表格表示。
真值表是由输入变量所有可能取值的组合与这些组合值对 应的输出变量的值构成的表格。真值表分为左、右两个部分。
左边部分每一列是输入变量的名字。右边部分的每一列是 输出变量的名字。左边部分是输入变量所有的取值的组合。
对于逻辑变量A1，A2，……An的任何一组取值，分别代入
2.1.3 IEEE逻辑符号
如前所述，逻辑函数是由“与”、“或”、“非”三种最基本的逻辑运算 构成。为了象表示电阻、电容和三极管一样，用图形化的方式表示不同 的逻辑函数，美国国家标准学会( the American National Standards Institute, ANSI )和美国电气与电子工程师协会(the Institute of Electrical and Electronic Engineers, IEEE) 在1984年制定了一个逻辑 函数符号标准。如图2-1所示。
图2-2是IEEE标准的“与”、“或”、“非”、“与非”、“或非”、“ 异或”、“异或非( 同或)”逻辑函数符号。
≥1
基本逻辑运算
≥1
复合逻辑运算
2.1.4 逻辑代数的公理、定理和规则
逻辑代数系统有它的公理系统，公理系统不需要证明。逻辑代数系
统的公理为逻辑代数的定理提供证明的依据。公理和定理也为逻辑代数
2.1.2基本逻辑运算
1.“与”运算 “与”运算的运算符是“·”、“*”、“∧”或是空。在本书中使用“”表示“与 ”运算符。
2.1.2基本逻辑运算
2．“或”运算 “或”运算的运算符是“+”、“∨”。本书中使用“+”表示“或”运算符。
逻辑函数除了使用逻辑代数表示以外，还可以使用一种称为 “真值表”的表格表示。
真值表是由输入变量所有可能取值的组合与这些组合值对 应的输出变量的值构成的表格。真值表分为左、右两个部分。
左边部分每一列是输入变量的名字。右边部分的每一列是 输出变量的名字。左边部分是输入变量所有的取值的组合。
对于逻辑变量A1，A2，……An的任何一组取值，分别代入
2.1.3 IEEE逻辑符号
如前所述，逻辑函数是由“与”、“或”、“非”三种最基本的逻辑运算 构成。为了象表示电阻、电容和三极管一样，用图形化的方式表示不同 的逻辑函数，美国国家标准学会( the American National Standards Institute, ANSI )和美国电气与电子工程师协会(the Institute of Electrical and Electronic Engineers, IEEE) 在1984年制定了一个逻辑 函数符号标准。如图2-1所示。
图2-2是IEEE标准的“与”、“或”、“非”、“与非”、“或非”、“ 异或”、“异或非( 同或)”逻辑函数符号。
≥1
基本逻辑运算
≥1
复合逻辑运算
2.1.4 逻辑代数的公理、定理和规则
逻辑代数系统有它的公理系统，公理系统不需要证明。逻辑代数系
统的公理为逻辑代数的定理提供证明的依据。公理和定理也为逻辑代数
2.1.2基本逻辑运算
1.“与”运算 “与”运算的运算符是“·”、“*”、“∧”或是空。在本书中使用“”表示“与 ”运算符。
2.1.2基本逻辑运算
2．“或”运算 “或”运算的运算符是“+”、“∨”。本书中使用“+”表示“或”运算符。
逻辑代数基础
Y (AB)
其真值表如表2.2.4所示
表2.2.4 与非逻辑真值表
输入 输出
A
BY
0
01
0
11
1
01
1
10
其逻辑规律服从“有0出1， 全1才出0”
实现与非运算用与非门电路来 实现，如图2.2.7所示
5. 或非（NOR）运算
表2.2.4 与非逻辑真值表
输入 输出
A
BY
0
01
0
11
1
01
1
10
或非运算是先或运 算后非运算的组合。以 二变量A、B为例，布尔 代数表达式为：
其真值表如表2.2.7所示 其门电路的逻辑符号如图2.2.11 所示
表2.2.7 同或逻辑真值表
输入 输出
A
BY
A B
= YA B
Y
0
01
0
10
1
00
图2.2.11 同或门逻辑符号
1
11
逻辑符号国标
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.3.1 基本公式
表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式 表2.3.1 逻辑代数的基本公式
c. 非非律： (A) A
d. 吸收律：A + A B = A A (A+B) = A
e. 摩根定律： (AB) A B (A B) A B
注：以上定律均可由真值表验证
链接B
2.3.2 若干常用公式
表2.3.2为常用的一些公式
表2.3.2 常用公式
序号
公
式
21
A AB A
22 A AB A B
故： (ABC) A B C
其真值表如表2.2.4所示
表2.2.4 与非逻辑真值表
输入 输出
A
BY
0
01
0
11
1
01
1
10
其逻辑规律服从“有0出1， 全1才出0”
实现与非运算用与非门电路来 实现，如图2.2.7所示
5. 或非（NOR）运算
表2.2.4 与非逻辑真值表
输入 输出
A
BY
0
01
0
11
1
01
1
10
或非运算是先或运 算后非运算的组合。以 二变量A、B为例，布尔 代数表达式为：
其真值表如表2.2.7所示 其门电路的逻辑符号如图2.2.11 所示
表2.2.7 同或逻辑真值表
输入 输出
A
BY
A B
= YA B
Y
0
01
0
10
1
00
图2.2.11 同或门逻辑符号
1
11
逻辑符号国标
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
2.3.1 基本公式
表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式 表2.3.1 逻辑代数的基本公式
c. 非非律： (A) A
d. 吸收律：A + A B = A A (A+B) = A
e. 摩根定律： (AB) A B (A B) A B
注：以上定律均可由真值表验证
链接B
2.3.2 若干常用公式
表2.3.2为常用的一些公式
表2.3.2 常用公式
序号
公
式
21
A AB A
22 A AB A B
故： (ABC) A B C
数字逻辑———第二章逻辑代数基础
A BC A BC
A BC A BC
ABC ABC
ABC ABC
最小项(续)
对任意最小项，只有一组变量取值使它的值 为1，其他取值使该最小项为0 为方便起见，将最小项表示为mi n=3的8个最小项为：
m0 ABC m ABC m ABC m ABC 1 2 3 m ABC m ABC m ABC m ABC 4 5 6 7
第二章
逻辑代数基础
2.1 逻辑代数的基本概念 2.2逻辑代数的公理、定理及规则 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换 2.4逻辑函数的化简 （重点）
2.1 逻辑代数的基本概念
逻辑代数：二进制运算的基础。 应用代数方法研究逻辑问题。由英国数学家布 尔(Boole)和德.摩根于1847年提出，又叫布尔代数， 开关代数。 逻辑值：0或1。 逻辑变量：用字母表示，取值为逻辑值。 逻辑代数的基本运算：与、或、非 (1) “与”运算，逻辑乘 (2) “或”运算，逻辑加 (3) “非”运算，取反
∑m(0,1,2,3,4,5,6,7)=1
最小项(续)
任何逻辑函数均可表示为唯一的一组最小项之 和的形式，称为标准的与或表达式 某一最小项不是包含在F的原函数中，就是包 含在F的反函数中 例：F AB BC ABC
AB(C C ) ( A A) BC ABC ABC ABC ABC ABC m3 m2 m7 m4 m(2,3,4,7)
A、B是输入，F是输出
1+0=1
A +U B
1+1=1
A 0 1 0 1
B 0 0 1 1
F 0 1 1 1
F
逻辑代数的基本运算（续）
逻辑代数基础
第一章逻辑代数基础1.1概述1.1.1模拟信号和数字信号电子电路中的信号可以分为两大类：模拟信号和数字信号。
模拟信号——时间连续、数值也连续的信号。
数字信号——时间上和数值上均是离散的信号。
（如电子表的秒信号、生产流水线上记录零件个数的计数信号等。
这些信号的变化发生在一系列离散的瞬间，其值也是离散的。
）数字信号只有两个离散值，常用数字0和1来表示，注意，这里的0和1没有大小之分，只代表两种对立的状态，称为逻辑0和逻辑1，也称为二值数字逻辑。
数字电路的特点和分类传递与处理数字信号的电子电路称为数字电路。
1、数字电路的特点数字电路与模拟电路相比主要有下列优点：（1）由于数字电路是以二值数字逻辑为基础的，只有0和1两个基本数字，易于用电路来实现，比如可用二极管、三极管的导通与截止这两个对立的状态来表示数字信号的逻辑0和逻辑1。
（2）由数字电路组成的数字系统工作可靠，精度较高，抗干扰能力强。
它可以通过整形很方便地去除叠加于传输信号上的噪声与干扰，还可利用差错控制技术对传输信号进行查错和纠错。
（3）数字电路不仅能完成数值运算，而且能进行逻辑判断和运算，这在控制系统中是不可缺少的。
（4）数字信息便于长期保存，比如可将数字信息存入磁盘、光盘等长期保存。
（5）数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。
由于具有一系列优点，数字电路在电子设备或电子系统中得到了越来越广泛的应用，计算机、计算器、电视机、音响系统、视频记录设备、光碟、长途电信及卫星系统等，无一不采用了数字系统。
2、数字电路的分类按集成度分类：数字电路可分为小规模（SSI，每片数十器件）、中规模（MSI，每片数百器件）、大规模（LSI，每片数千器件）和超大规模（VLSI，每片器件数目大于1万）数字集成电路。
集成电路从应用的角度又可分为通用型和专用型两大类型。
1.1.2 数制与码制1. 数制一．几种常用的计数体制1、十进制(Decimal)数码为：0～9；基数是10。
逻辑代数基础知识讲解
2007、3、7
2. 与普通代数相似的定律
交换律 A·B=B·A
A+B=B+A
结合律 (A·B)·C=A·(B·C) (A+B)+C=A+(B+C)
分配律 A·(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。
2007、3、7
一般地说，若输入逻辑变量A、B、 C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的 值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的
逻辑函数，写作：
L=f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、“非”三种基本运算决定的。
“⊙”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两 变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊 函数。
2007、3、7
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1 基本定律
1. 逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定 义，可推得以下关系式。 0-1律： A·0 =0 A+1 =1 自等律：A·1=A A+0=A 重叠律：A·A=A A+A=A 互补律：A·A=0 A+A=1
反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个
函数若的F反函A数B 。 C例 D如：AC, 则 F [(A B) C D](A C);
2. 与普通代数相似的定律
交换律 A·B=B·A
A+B=B+A
结合律 (A·B)·C=A·(B·C) (A+B)+C=A+(B+C)
分配律 A·(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。
2007、3、7
一般地说，若输入逻辑变量A、B、 C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的 值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的
逻辑函数，写作：
L=f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、“非”三种基本运算决定的。
“⊙”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两 变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊 函数。
2007、3、7
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1 基本定律
1. 逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定 义，可推得以下关系式。 0-1律： A·0 =0 A+1 =1 自等律：A·1=A A+0=A 重叠律：A·A=A A+A=A 互补律：A·A=0 A+A=1
反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个
函数若的F反函A数B 。 C例 D如：AC, 则 F [(A B) C D](A C);
逻辑代数基础
所得到的图形叫n变量的卡诺图。
逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。 如最小项 m6=ABC、与
m7 =ABC 在逻辑上相邻 m7
m6
两变量卡诺图 AB 0 1 m0 m1 0 AB AB 1 mB AB A 2 m3 三变量卡诺图 B
四变量卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 A 11 m12 m13 m15 m14
b.去括号
ABC ABC AB
ABC ABC AB(C C )
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
三、 用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的引出 卡诺图：将n变量的全部最小项都填入小方格内，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,
L CD 00 01 AB 00 1 1 01 11 10 1 0 1 0 0 0 11 10 1 0 1 1 1 0 1 1
例2 画出下式的卡诺图
L ( A, B, C , D) ( A B C D)( A B C D)( A B C D)
解
( A B C D)( A B C D) 1. 将逻辑函数化为最小项表达式
结合律：A + B + C = (A + B) + C
A · · = (A · · B C B) C
A 分配律： ( B + C ) = AB + AC
A + BC = ( A + B )( A + C )
数字逻辑基础2
2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。 是另 项 是 F1 A B A BCD( E F ) A B 多外 的 另 运用摩根定律 余 一 因 外 如 的个 子 一 果 。乘 ， 个 乘 F2 A B CD ADB A BCD AD B 积则乘积 项这积项 ( A AD) ( B BCD) A B （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的变量。 因项 的 F AB C A C D BC D 子 的 反 F AB A C B C 如 AB C C ( A B) D 是 因 是 果 多子 另 一 AB ( A B )C 余， 一 个 AB C ( A B) D 的则 个 乘 AB ABC AB C AB D 。这 乘 积 AB C 个积项 AB C D
A B C D
& ≥1 F
与或非门的逻辑符号
5、同或运算：逻辑表达式为：
F AB AB AB
A B 同或门的逻辑符号
A 0 0 1 1
B F 0 1 1 0 0 0 1 1 真值表
=
F
L=A+B
2.2.3逻辑函数及其表示法
一、逻辑函数的建立： 1、逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连 接起来所构成的式子。 输入逻辑变量：等式右边的字母A、B、C、D 输出逻辑变量：等式左边的字母F 原变量，反变量。 2、逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、… 的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称 F是A、B、C、…的逻辑函数。记为 F f ( A, B, C,) 注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变 量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两 种不同的状态，没有数量的含义。
数字逻辑布尔代数基础知识
数字逻辑布尔代数基础知识数字逻辑布尔代数是计算机科学和电子工程中的重要基础知识。
它提供了一种分析和设计数字电路的方法，通过逻辑运算实现了信息处理和控制。
本文将简要介绍数字逻辑布尔代数的基本概念和应用。
一、布尔代数的基本概念1. 真值表和逻辑运算符布尔代数使用真值表来表示逻辑运算的结果。
常见的逻辑运算符包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）、异或（XOR）等。
它们的真值表分别表示了不同运算的逻辑规则和输出结果。
2. 逻辑门和逻辑电路逻辑门是数字电路中实现逻辑运算的基本构件，常见的逻辑门包括与门（AND）、或门（OR）、非门（NOT）等。
逻辑电路通过将逻辑门连接起来实现复杂的逻辑功能，如加法器、多路选择器等。
3. 布尔函数和逻辑代数布尔函数是布尔代数中的一个重要概念，它描述了逻辑运算的输入和输出之间的关系。
布尔函数可以使用逻辑表达式或真值表来表示，通过代数运算可以对其进行化简和优化。
二、布尔代数的应用1. 组合逻辑电路组合逻辑电路是一种没有存储元件的数字电路，其输出仅由输入决定。
通过使用布尔代数的方法，可以对组合逻辑电路进行分析和设计，实现各类数字电路功能，如加法器、译码器等。
2. 时序逻辑电路时序逻辑电路是一种带有存储元件的数字电路，其输出不仅由输入决定，还与电路内部的状态有关。
时序逻辑电路常用于计数器、寄存器、时钟等电路的设计。
3. 布尔代数在计算机科学中的应用布尔代数是计算机科学中的基础知识，对于计算机程序的编写和逻辑设计有重要的影响。
在计算机算法中，布尔代数的运算常用于判断条件和逻辑控制。
同时，布尔代数也被广泛应用于计算机网络、数据库系统等领域。
总结：数字逻辑布尔代数是计算机科学和电子工程中的重要基础知识，通过逻辑运算实现了信息处理和控制。
它涉及了布尔代数的基本概念，如真值表、逻辑运算符，以及应用领域，如组合逻辑电路、时序逻辑电路和计算机科学。
熟练掌握数字逻辑布尔代数的知识，对于理解和设计数字电路以及计算机系统都具有重要意义。
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? 注意：1.无论自变量或函数均只能取0或1两值。函数和自变 量的关系只能由“与”、“或”、“非”三种基本运算来定 义。
? 2.设F1=f１(A1,A2, …An)，F2=f２(A1,A2, …An)，若对应 于A1,A2, …An的任何一组取值， F1和F2的值都相同，则称 函数F1和F2相等，记成F1=F2。
分配律 互补律
16
因此，根据公理5（互补律）
可得到：
同理，可证明：
A+B=A?B，或是 A+B=A?B 即得证
A?B=A+B
17
定理7（合并律）
A?B+A?B=A
(A+B)?(A+B)=A
证明： A?B+A?B=A?(B+B)
公理3
=A?1
公理5
=A
公理4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(A+B)?(A+B)=A+(B?B)
公理3
定理2：A+A=A，A·A=A
? 证明： A+A=(A+A)·1
?
=(A+A)·(A+A)
?
=A+(A·A)
?
=A+0
?
=A
? 证明： A·A=A·A+0
?
=A·A+A·A
?
=A(A+A)
?
=A
（重叠律）
公理4（0-1律） 公理5（互补律） 公理3（分配律） 公理5 公理4 公理4 公理5 公理3 公理4
★ 逻辑代数中也用字母表示变量 ,这种变量称为逻 辑变量。变量的取值只能是 1或0，代表逻辑电路 中两种不同的逻辑状态，如开关的闭合与打开， 电路的导通与截止，电压与电流的有或无等。
2
1、基本逻辑运算
1）逻辑“与”运算
对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个 条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关 系称之为“与”逻辑。逻辑代数中，“与”逻辑关 系用“与”运算描述。
第二章 逻辑代数基础
★ 逻辑代数 是描述 /分析 /设计数字逻辑 电路的数学工具。运用逻辑运算可以 设计最简逻辑电路。
1
2.1 逻辑代数的基本概念
★ 逻辑代数：是由逻辑变量集、常量“ 0”、“ 1” 及“与”、“或”、“非”等运算符号、函数、 表达式等构成的代数系统。利用逻辑代数可以描 述任何复杂的电路中条件与输出结果间的逻辑关 系。
10
2、基本定理 (由上述公理推出下述基本定理)
定理1：0+0=0，1+0=1，0+1=1，1+1=1 0·0=0，1·0=0，0·1=0，1·1=1
证明：由公理4(0-1律)，分别以0和1代替A， 可得上述各式。
推论：1=0，0=1 证明：由公理5(互补律)，分别以0和1代替A，
可得上述两式。
11
=1?(A+B)
(互补律)
=A+B
(0-1律)
A?(A+B)=A?B 证明 : A?(A+B)=A?A+A?B
=0+A?B =A?B
(分配律) (互补律) (0-1律)
14
定理5： ?A=A （还原律） ?证明 : 由公理5可以得出A=A
15
定理6：(摩根定理)(是最重要和有用的定理)
?A+B=A?B
=A+0
公理5
=A
公理4
18
定理8（包含律、多余项定理）：
?A?B+A?C+B?C=A?B+A?C ?(A+B)?(A+C)?(B+C)=(A+B)?(A+C)
19
3、逻辑代数三条重要规则
规则1：代入规则 任何一个含有变量 A的逻辑等式，如果将所有出
现A的位置都代之以同一个逻辑函数 F，则等式仍然 成立。
?例：F=AB+BCD，则
“与”运算又称为逻辑乘，其符号为“·”、 “∧”、“AND”。
逻辑表达式： F=A·B=A∧B=
1 (A、B均为1) 0 (A、B中任一为0)
3
4
2）逻辑“或”运算
对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个 条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便 可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。逻辑 代数中，“或”逻辑关系用“或”运算描述。
运算符号：“ — ”（上面加横线）
逻辑表达式为： F= —A =
1 （A=0） 0 （A=1）
7
4）复合逻辑运算
①与非逻辑 ②或非逻辑 ③与或非逻辑 ④异或逻辑 ⑤同或逻辑
8
3、逻辑函数
? 在数字电路中，如某一输出变量与一组输入变量存在着一定 对应关系，即输入变量取任意一组确定的值，输出变量的值 也就唯一地被确定，则称这种关系为逻辑函数关系。设输入 变量为A1,A2,…An,输出变量为F，则：F=f(A1,A2, …An)。
用途：利用代入规则，可以将逻辑代数公理、 定理中的变量用任意函数代替，从而推导出更多的 等式。
20
规则2：反演规则：
?如果将逻辑函数式 F 中所有的 “ ?”变成 “+”，“+”变成“?”，“0”变成“1”， “1”变成“ 0”，原变量变成反变量，反 变量变成原变量，则所得到的新函数表达 式为原函数F的反函数F。
A?B=A+B
证明 :定义两组逻辑式为 A+B和A?B，则
(A?B)+(A+B)=(A ?B+A)+B
=(A+A?B)+B
=(A+A) ?(A+B)+B
=1?(A+B)+B=(A+B)+B
结合律 交换律 分配律
=A+1=1 (A?B)?(A+B)= A ?B?A+A?B?B
=B?0+A?0 =0+0=0
“或”运算又称为逻辑加，其符号为“ +”、 “∨”、“OR”。
逻辑表达式： F=A+B=A ∨B= 1 (A、B中任一为1)
0 (A、B均为0)
5
举例
DC
DC
6
3）逻辑“非”运算
对逻辑问题，如果某一事件的发生取决于
条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构 成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。 逻 辑“非”又称为逻辑反运算 .
9
2.2 逻辑代数的公理、定理及规则
1.公理系统： (满足一致性、独立性和完备性 ) 交换律：A+B=B+A ，A?B=B?A； 结合律：(A+B)+C=A+(B+C); (A?B)?C=A?(B?C) 分配律：A+(B?C)=(A+B)?(A+C) A?(B+C)=A?B+A?C 0-1律：A+0=A，A?1=A； A+1=1，A?0=0 互补律： A+A=1 ，A?A=0
12
定理3： A+A?B=A （吸收律）
证明：A+A?B=A?1+A?B
公理4（0-1律）
=A?(1+B)
公理3 （分配律）
=A?1
公理4
=A
公理4
A?(A+B)=A
证明：A?(A+B)=A?A+A?B =A+A?B =A
公理3
13
定理4： A+A?B=A+B （消因律）
证明：A+A?B=(A+A)?(A+B) (分配律)
? 2.设F1=f１(A1,A2, …An)，F2=f２(A1,A2, …An)，若对应 于A1,A2, …An的任何一组取值， F1和F2的值都相同，则称 函数F1和F2相等，记成F1=F2。
分配律 互补律
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因此，根据公理5（互补律）
可得到：
同理，可证明：
A+B=A?B，或是 A+B=A?B 即得证
A?B=A+B
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定理7（合并律）
A?B+A?B=A
(A+B)?(A+B)=A
证明： A?B+A?B=A?(B+B)
公理3
=A?1
公理5
=A
公理4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(A+B)?(A+B)=A+(B?B)
公理3
定理2：A+A=A，A·A=A
? 证明： A+A=(A+A)·1
?
=(A+A)·(A+A)
?
=A+(A·A)
?
=A+0
?
=A
? 证明： A·A=A·A+0
?
=A·A+A·A
?
=A(A+A)
?
=A
（重叠律）
公理4（0-1律） 公理5（互补律） 公理3（分配律） 公理5 公理4 公理4 公理5 公理3 公理4
★ 逻辑代数中也用字母表示变量 ,这种变量称为逻 辑变量。变量的取值只能是 1或0，代表逻辑电路 中两种不同的逻辑状态，如开关的闭合与打开， 电路的导通与截止，电压与电流的有或无等。
2
1、基本逻辑运算
1）逻辑“与”运算
对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个 条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关 系称之为“与”逻辑。逻辑代数中，“与”逻辑关 系用“与”运算描述。
第二章 逻辑代数基础
★ 逻辑代数 是描述 /分析 /设计数字逻辑 电路的数学工具。运用逻辑运算可以 设计最简逻辑电路。
1
2.1 逻辑代数的基本概念
★ 逻辑代数：是由逻辑变量集、常量“ 0”、“ 1” 及“与”、“或”、“非”等运算符号、函数、 表达式等构成的代数系统。利用逻辑代数可以描 述任何复杂的电路中条件与输出结果间的逻辑关 系。
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2、基本定理 (由上述公理推出下述基本定理)
定理1：0+0=0，1+0=1，0+1=1，1+1=1 0·0=0，1·0=0，0·1=0，1·1=1
证明：由公理4(0-1律)，分别以0和1代替A， 可得上述各式。
推论：1=0，0=1 证明：由公理5(互补律)，分别以0和1代替A，
可得上述两式。
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=1?(A+B)
(互补律)
=A+B
(0-1律)
A?(A+B)=A?B 证明 : A?(A+B)=A?A+A?B
=0+A?B =A?B
(分配律) (互补律) (0-1律)
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定理5： ?A=A （还原律） ?证明 : 由公理5可以得出A=A
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定理6：(摩根定理)(是最重要和有用的定理)
?A+B=A?B
=A+0
公理5
=A
公理4
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定理8（包含律、多余项定理）：
?A?B+A?C+B?C=A?B+A?C ?(A+B)?(A+C)?(B+C)=(A+B)?(A+C)
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3、逻辑代数三条重要规则
规则1：代入规则 任何一个含有变量 A的逻辑等式，如果将所有出
现A的位置都代之以同一个逻辑函数 F，则等式仍然 成立。
?例：F=AB+BCD，则
“与”运算又称为逻辑乘，其符号为“·”、 “∧”、“AND”。
逻辑表达式： F=A·B=A∧B=
1 (A、B均为1) 0 (A、B中任一为0)
3
4
2）逻辑“或”运算
对于逻辑问题，如果决定某一事件发生的多个 条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便 可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。逻辑 代数中，“或”逻辑关系用“或”运算描述。
运算符号：“ — ”（上面加横线）
逻辑表达式为： F= —A =
1 （A=0） 0 （A=1）
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4）复合逻辑运算
①与非逻辑 ②或非逻辑 ③与或非逻辑 ④异或逻辑 ⑤同或逻辑
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3、逻辑函数
? 在数字电路中，如某一输出变量与一组输入变量存在着一定 对应关系，即输入变量取任意一组确定的值，输出变量的值 也就唯一地被确定，则称这种关系为逻辑函数关系。设输入 变量为A1,A2,…An,输出变量为F，则：F=f(A1,A2, …An)。
用途：利用代入规则，可以将逻辑代数公理、 定理中的变量用任意函数代替，从而推导出更多的 等式。
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规则2：反演规则：
?如果将逻辑函数式 F 中所有的 “ ?”变成 “+”，“+”变成“?”，“0”变成“1”， “1”变成“ 0”，原变量变成反变量，反 变量变成原变量，则所得到的新函数表达 式为原函数F的反函数F。
A?B=A+B
证明 :定义两组逻辑式为 A+B和A?B，则
(A?B)+(A+B)=(A ?B+A)+B
=(A+A?B)+B
=(A+A) ?(A+B)+B
=1?(A+B)+B=(A+B)+B
结合律 交换律 分配律
=A+1=1 (A?B)?(A+B)= A ?B?A+A?B?B
=B?0+A?0 =0+0=0
“或”运算又称为逻辑加，其符号为“ +”、 “∨”、“OR”。
逻辑表达式： F=A+B=A ∨B= 1 (A、B中任一为1)
0 (A、B均为0)
5
举例
DC
DC
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3）逻辑“非”运算
对逻辑问题，如果某一事件的发生取决于
条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构 成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。 逻 辑“非”又称为逻辑反运算 .
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2.2 逻辑代数的公理、定理及规则
1.公理系统： (满足一致性、独立性和完备性 ) 交换律：A+B=B+A ，A?B=B?A； 结合律：(A+B)+C=A+(B+C); (A?B)?C=A?(B?C) 分配律：A+(B?C)=(A+B)?(A+C) A?(B+C)=A?B+A?C 0-1律：A+0=A，A?1=A； A+1=1，A?0=0 互补律： A+A=1 ，A?A=0
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定理3： A+A?B=A （吸收律）
证明：A+A?B=A?1+A?B
公理4（0-1律）
=A?(1+B)
公理3 （分配律）
=A?1
公理4
=A
公理4
A?(A+B)=A
证明：A?(A+B)=A?A+A?B =A+A?B =A
公理3
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定理4： A+A?B=A+B （消因律）
证明：A+A?B=(A+A)?(A+B) (分配律)