第二章 逻辑代数基础
第2章 逻辑代数基础
A B
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。 运用分配律 变并 相 和 包 量成 同 反 含 Y1 ABC A BC BC ( A A ) BC BC 的一 时 变 同 若 因项 ， 量 一 两 BC BC B(C C ) B 子， 则 ， 个 个 。并 这 而 因 乘 运用分配律 消两其子积 去项他的项 Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) 互可因原中 ABC ABC A( BC BC) A 为以子变分 反合都量别 运用摩根定律
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么 所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规 则称为反演规则。例如：
Y AB CD E
Y A B C D E
A A B A 吸收率： A ( A B) A
A ( A B) A B A A B A B
证明： A A B ( A A)(A B)
分配率 A+BC=(A+B)(A+C)
1 ( A B)
互补率A+A=1
数字逻辑———第二章逻辑代数基础
A BC A BC
A BC A BC
ABC ABC
ABC ABC
最小项(续)
对任意最小项，只有一组变量取值使它的值 为1，其他取值使该最小项为0 为方便起见，将最小项表示为mi n=3的8个最小项为：
m0 ABC m ABC m ABC m ABC 1 2 3 m ABC m ABC m ABC m ABC 4 5 6 7
第二章
逻辑代数基础
2.1 逻辑代数的基本概念 2.2逻辑代数的公理、定理及规则 2.3 逻辑函数表达式的形式与转换 2.4逻辑函数的化简 （重点）
2.1 逻辑代数的基本概念
逻辑代数：二进制运算的基础。 应用代数方法研究逻辑问题。由英国数学家布 尔(Boole)和德.摩根于1847年提出，又叫布尔代数， 开关代数。 逻辑值：0或1。 逻辑变量：用字母表示，取值为逻辑值。 逻辑代数的基本运算：与、或、非 (1) “与”运算，逻辑乘 (2) “或”运算，逻辑加 (3) “非”运算，取反
∑m(0,1,2,3,4,5,6,7)=1
最小项(续)
任何逻辑函数均可表示为唯一的一组最小项之 和的形式，称为标准的与或表达式 某一最小项不是包含在F的原函数中，就是包 含在F的反函数中 例：F AB BC ABC
AB(C C ) ( A A) BC ABC ABC ABC ABC ABC m3 m2 m7 m4 m(2,3,4,7)
A、B是输入，F是输出
1+0=1
A +U B
1+1=1
A 0 1 0 1
B 0 0 1 1
F 0 1 1 1
F
逻辑代数的基本运算（续）
第二章逻辑代数基础具有无关项的逻...
F=(A,B,C)
测点之上“0” 测点之下“1” 电机工作“1” 电机不工作“0”
任何一件具体的因果关系都可以用一
个逻辑函数来描述
怎么样描述？
2.5.2 逻辑函数的表示方法
举例 证明 A BC (A B)(A C)
解：等式左边的对偶式： A (B C)
等式右边的对偶式： A B AC
显然左右两边的对偶式相等，从而证得原 等式成立。 基本公式表中左右两边相对应的公式都是对偶式。
2.5 逻辑函数及其表示方法 2.5.1 逻辑函数的基本概念
普通代数中的函数： y f (x1, x2 , x3 ) x1x2 x3 其中， x1, x2 , x3 为自变量， y 为因变量，变量的取
3. 与或非运算
复合逻辑运算
以四个变量为例，逻辑表达式为：
逻辑符号：
Y=AB+CD
(国标)
(欧美)
4. 异或运算
复合逻辑运算
当A、B不同时，输出Y为1；当A、B 相同时，输出Y为0。
真值表
A
B
Y
逻辑表达式：
Y=A B=AB+AB
逻辑符号：
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
(国标) (欧美)
异或门的功能可以概括为：两输入变量相异时输出1。
开关状态：用1表示闭合，用0表示断开； 指示灯状态：用1表示灯亮，用0表示灯灭。
或状态逻辑表
开关A 开关B 指示灯Y 断开 断开 灭 断开 闭合 亮 闭合 断开 亮 闭合 闭合 亮
2逻辑代数基础
（15）
五、德 摩根定理(反演律）：表中8，18 （De Morgan) 证明： 1 AB A B 真值表法、 穷举法 2 A B AB
推广到多变量：
ABC A B C
A B C ABC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非） 运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非 与）运算。
（3）
§2.2
逻辑代数中的三种基本运算
基本逻辑运算：与 ( and )、或 (or ) 、 非 ( not )。 一、“与”逻辑 与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都 具备，事件才会发生（成立）。 规定:
A
E
B
C Y
开关合为逻辑“1” 开关断为逻辑“0”
灯亮为逻辑“1”
灯灭为逻辑“0”
（4）
A(BC) A(BC) A B C
注：代入定理还可以扩展其他基本定律 的应用范围！
（23）
2.4.2 反演定理
内容：将函数式F中所有的 + + (反函数) 新表达式： F
变量与常数均取反 显然： F F 规则: 1.遵循先括号 再乘法 后加法的运算顺序。 2.不是一个变量上的反号不动。 用处：实现互补运算（求反运算）。
（29）
2.5.2 逻辑函数的表示方法
真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合 与所对应的输出变量值用列表的方式 一一对应列出的表格。
四 种 表 示 方 法 n个输入变量
2 种组合。
n
逻辑函数式 (逻辑表示式, 逻辑代数式)
Y AB AB
逻辑图: 波形图
A 1 & ≥1 B 1 &
Y
（30）
Y A B AB AB Y A B AB AB Y A B A B
第2章逻辑代数基础
同时，函数F的值为“0”。
便于获得逻辑电路图
逻辑表达式的简写:
1.“非”运算符下可不加括号，如
，
等。
2.“与”运算符一般可省略，如A·B可写成AB。
3.在一个表达式中，如果既有“与”运算又有“或”运 算，则按先“与”后“或”的规则进行运算，可省去括号,如 (A·B)+(C·D)可写为AB+CD。
注意:(A+B)·(C+D)不能省略括号,即不能写成A+B·C+D！
A
FA
1
FA
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 非门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.3 逻辑代数的复合运算
“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算按不同的方 式组合，还可以构成“与非”、“或非”、“与或非”、 “同或”、“异或”等逻辑运算，构成复合逻辑运算。对应 的复合门电路有与非门、或非门、与或非门、异或门和同或 门电路。
能实现基本逻辑运算的电路称为门电路，用基本的门电 路可以构成复杂的逻辑电路，完成任何逻辑运算功能，这些 逻辑电路是构成计算机及其他数字系统的重要基础。
实现“与”运算关系的逻辑电路称为“与”门。
A
A
A
&
B
F B
F B
F
（a）我国常用传统符号
（b）国际流行符号 与门的逻辑符号
（c）国家标准符号
2.1.2 逻辑代数的基本运算
2．逻辑值0和1是用来表征矛盾的双方和判断事件真伪 的形式符号，无大小、正负之分。
2.1.1 逻辑代数的定义
逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由一个逻辑变量集 K，常量0和1以及“或”、“与”、“非”三种基本运算所 构成，记为L={K,+,·,-,0,1}。该系统应满足下列公理。
第二章 逻辑代数基础
A B A B
______
A (B C) A (B C) A B C
__________ _____
A ( B C ) A B C A B C
________
3.反演定理
对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所有的“•”换成 “＋”， “＋”换成“•”，0换成1，1换成0，原变量 __ 换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 Y
2、非逻辑真值表 A 0 1 Y
3 、非逻辑函数式
Y=A 或： Y A
1
0
4、 非逻辑符号
A
1
Y
或： 5 、 非逻辑运算 0=1 1=0
四、 几种最常见的复合逻辑运算
1 、 与非 Y=A B A B & Y
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 1 1 0
3 、 同或 Y= AB+A B =A⊙B A B Y
（还原律）
证明： A B A B A ( B B ) A 1 A
4.
A ( A B) A
（吸收律）
证明： A ( A B) A A A B A A B A (1 B) A 1 A
5. A B A C B C A B A C
c. 非非律： ( A) A
A+A=A
d. 吸收律：A + A B = A
A (A+B) = A
A AB A B
e. 摩根定律： ( AB) A B
A .B A B 反演律（摩根定律）： A B A B
第2章逻辑代数基础
A A 0
非
FA
A 1 F 01
A A
10
A＋A 1
2.2.2复合逻辑运算 由上面三种基本逻辑关系组合而成的复合逻辑关系有：
与非、或非、与或非、异或、同或等，如表1所示。
1、 与非逻辑
与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将 输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。
能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。
A接通、B断开，灯不亮。
A、B都接通，灯亮。
Ｙ＝ＡＢ 两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表
达式为：
假设：
开关闭合为 1 开关断开为 0
灯亮为 1 灯不亮为 0
AB
~ 220V 有0为F 0 全1为1
用四个式子表示：
0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 1 ·0 = 0 1 ·1 = 1
与逻辑的表示方法：（四种）
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分 析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有０和１ 两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、 与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。
逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系， 这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数 来描述。
A
1
F
F
逻辑符号： 把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。
逻辑运算 逻辑表达式 逻辑符号 真值表 基本运算规则
AB F
A A A
与
F AB
A B
&
F
000 010
A1 A
100
A0 0
111
A B F A＋A A
或
F AB
A B
≥1
F
第2章 逻辑代数基础(完整版)
2
A BC ( A B)( A C )
方法二：真值表法
[解]
方法一：公式法
右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C
A AC AB BC A(1 C B) BC
A BC 左式
A (B C) A B A C 分配律： C ( A B) ( A C ) A B 缓一缓 ( A B)' A'B' ( A B)' A' B' 反演律(摩根定理）：
( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C ' ( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C '
互补律： A A' 1
A 1 1 A 0 0
A A' 0
等幂律： A A A
A A A
双重否定律: ( A' )' A
20
CopyRight @安阳师范学院物电学院_2013
2
3）基本运算规则
A B B A 交换律： A B B A ( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
A E 电路图 B Y
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合 功能表
灯Y 灭 灭 灭 亮
5
L=ABCopyRight @安阳师范学院物电学院_2013
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第二章 逻辑代数基础（选择、判断共20题）
一、选择题
1. 以下表达式中符合逻辑运算法则的是 。
A.C ·C =C 2
B.1+1=10
C.0<1
D.A +1=1
2. 逻辑变量的取值１和０可以表示： 。
A.开关的闭合、断开
B.电位的高、低
C.真与假
D.电流的有、无
3. 当逻辑函数有n 个变量时，共有 个变量取值组合？
A. n
B. 2n
C. n 2
D. 2n
4. 逻辑函数的表示方法中具有唯一性的是 。
A .真值表 B.表达式 C.逻辑图 D.卡诺图
5.F=A B +BD+CDE+A D= 。
A.D B A + B.D B A )(+ C.))((D B D A ++ D.))((D B D A ++
6.逻辑函数F=)(B A A ⊕⊕ = 。
A.B
B.A
C.B A ⊕
D. B A ⊕
7．求一个逻辑函数F 的对偶式，可将F 中的 。
A .“·”换成“+”，“+”换成“·”
B.原变量换成反变量，反变量换成原变量
C.变量不变
D.常数中“0”换成“1”，“1”换成“0”
E.常数不变
8．A+BC= 。
A .A +
B B.A +
C C.（A +B ）（A +C ） D.B +C
9．在何种输入情况下，“与非”运算的结果是逻辑0。
A ．全部输入是0 B.任一输入是0 C.仅一输入是0 D.全部输入是1
10．在何种输入情况下，“或非”运算的结果是逻辑0。
A ．全部输入是0 B.全部输入是1 C.任一输入为0，其他输入为1 D.任一输入为1
二、判断题（正确打√，错误的打×）
1． 逻辑变量的取值，１比０大。
（ ）。
2． 异或函数与同或函数在逻辑上互为反函数。
（ ）。
3．若两个函数具有相同的真值表，则两个逻辑函数必然相等。
（ ）。
4．因为逻辑表达式A+B+AB=A+B 成立，所以AB=0成立。
（ ）
5．若两个函数具有不同的真值表，则两个逻辑函数必然不相等。
（ ）
6．若两个函数具有不同的逻辑函数式，则两个逻辑函数必然不相等。
（ ）
7．逻辑函数两次求反则还原，逻辑函数的对偶式再作对偶变换也还原为它本身。
（ ）
8．逻辑函数Y=A B +A B+B C+B C 已是最简与或表达式。
（ ）
9．因为逻辑表达式A B +A B +AB=A+B+AB 成立，所以A B +A B= A+B 成立。
（ ）
10．对逻辑函数Y=A B +A B+B C+B C 利用代入规则，令A=BC 代入，得Y= BC B +BC B+B C+B C =B C+B C 成立。
（ ）
三、填空题
1. 逻辑代数又称为 代数。
最基本的逻辑关系有 、 、 三种。
常用的几种导出的逻辑运算为 、 、 、 、 。
2. 逻辑函数的常用表示方法有 、 、 。
3. 逻辑代数中与普通代数相似的定律有 、 、 。
摩根定律又称为 。
4. 逻辑代数的三个重要规则是 、 、 。
5．逻辑函数F=A +B+C D 的反函数F = 。
6．逻辑函数F=A （B+C ）·1的对偶函数是 。
7．添加项公式AB+A C+BC=AB+A C 的对偶式为 。
8．逻辑函数F=A B C D +A+B+C+D= 。
9．逻辑函数F=AB B A B A B A +++= 。
10．已知函数的对偶式为B A +BC D C +，则它的原函数为 。
四、思考题
1. 逻辑代数与普通代数有何异同？
2. 逻辑函数的三种表示方法如何相互转换？
3. 为什么说逻辑等式都可以用真值表证明？
4. 对偶规则有什么用处？
第二章答案
一、选择题
1． D
2． ABCD
3． D
4． AD
5． AC
6． A
7． ACD
8． C
9． D
10． BCD
二、判断题
1.×
2.√
3.√
4.×
5.√
6.×
7.√
8.× 9．× 10．×
三、填空题
1．布尔 与 或 非 与非 或非 与或非 同或 异或
2．逻辑表达式 真值表 逻辑图
3．交换律 分配律 结合律 反演定律
4．代入规则 对偶规则 反演规则
5．A B （C+D ）
6．A+BC+0
7．（A+B ）（A +C ）（B+C ）=（A+B ）（A +C ）
8．1
9．0
10．)()(C B D C B A +∙+∙+
四、思考题
1．都有输入、输出变量，都有运算符号，且有形式上相似的某些定理，但逻辑代数的取值
只能有0和1两种，而普通代数不限，且运算符号所代表的意义不同。
2．通常从真值表容易写出标准最小项表达式，从逻辑图易于逐级推导得逻辑表达式，从与
或表达式或最小项表达式易于列出真值表。
3．因为真值表具有唯一性。
4．可使公式的推导和记忆减少一半，有时可利于将或与表达式化简。