电子教材-布尔代数和逻辑化简基础
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布尔代数与逻辑函数化简
根据对偶法则，原式F成立，则其对偶式也一 定成立。
在求对偶式时，为保持原式的逻辑优先关系， 应正确使用括号。
3.1.2 基本法则
公式名称
公式
1、0-1律 2、自等律 3、等幂律 4、互补律 5、交换律 6、结合律 7、分配律 8、吸收律1
A•0 0 A•1 A A• A A A• A 0 A•B B• A A • (B • C) (A • B) • C A(B C) AB AC (A B)(A B) A
F AB AC
A&
B
A&
C
1
F
3.1.3 基本公式的应用
（1）与非-与非式
F AB AC
将与或式两次取反，利用摩根定律一次即可。
F F AB AC AB• AC
A&
B
A&
C
&
F
3.1.3 基本公式的应用
（2）与或非式
F AB AC
① 求出反函数，化简为与或式
② 对反函数取反，即得与或非表达式
F AB AC AB AC
F AB AC
A & 1
B
F
A
C
3.1.3 基本公式的应用
（3）或与式 将与或非式用摩根定律展开，即得或与表达式
F AB AC
AB • AC ( A B)( A C)
A 1 B
A 1 C
&
F
3.1.3 基本公式的应用
（4）或非-或非式 将或与式两次取反，并用摩根定律展开一次即 得或非-或非表达式。
推广：在两项组成的与或表达式中，如果其中一项中含 有原变量 X，而另一项含有反变量 X ，将这两项的其余 因子各自取反，就可得到该函数的反函数。
在求对偶式时，为保持原式的逻辑优先关系， 应正确使用括号。
3.1.2 基本法则
公式名称
公式
1、0-1律 2、自等律 3、等幂律 4、互补律 5、交换律 6、结合律 7、分配律 8、吸收律1
A•0 0 A•1 A A• A A A• A 0 A•B B• A A • (B • C) (A • B) • C A(B C) AB AC (A B)(A B) A
F AB AC
A&
B
A&
C
1
F
3.1.3 基本公式的应用
（1）与非-与非式
F AB AC
将与或式两次取反，利用摩根定律一次即可。
F F AB AC AB• AC
A&
B
A&
C
&
F
3.1.3 基本公式的应用
（2）与或非式
F AB AC
① 求出反函数，化简为与或式
② 对反函数取反，即得与或非表达式
F AB AC AB AC
F AB AC
A & 1
B
F
A
C
3.1.3 基本公式的应用
（3）或与式 将与或非式用摩根定律展开，即得或与表达式
F AB AC
AB • AC ( A B)( A C)
A 1 B
A 1 C
&
F
3.1.3 基本公式的应用
（4）或非-或非式 将或与式两次取反，并用摩根定律展开一次即 得或非-或非表达式。
推广：在两项组成的与或表达式中，如果其中一项中含 有原变量 X，而另一项含有反变量 X ，将这两项的其余 因子各自取反，就可得到该函数的反函数。
第2章布尔代数基础
第2章 布尔代数基础 2.1 逻辑代数基础
1. 逻辑函数符号
如前所述，逻辑函数是由“与”、“或”、“非”三种最基 本的逻辑运算构成。为了象表示电阻、电容和三极管一样，用图 形化的方式表示不同的逻辑函数，美国国家标准学会( the American National Standards Institute, ANSI )和美国电气与电 子工程师协会(the Institute of Electrical and Electronic Engineers, IEEE) 在1984年制定了一个逻辑函数符号标准。如 图2-1所示。
第2章
布尔代数基础
2.1 逻辑代数基础 2.1.1 逻辑代数的基本概念 2.1.2 逻辑函数 2.1.3 逻辑代数的公理、定理和规则 2.1.4 逻辑表达式的基本形式 2.1.5 逻辑函数的标准形式 2.1.6 逻辑函数表达式的转换 2.2 逻辑函数的化简 2.2.1 代数化简法 2.2.2 卡诺图化简法
第2章 布尔代数基础 2.1 逻辑代数基础
在数字逻辑中使用逻辑函数研究逻辑电路从两个方面进行： 一方面是在对某一个具体的逻辑电路进行分析，使用逻辑 函数写出它的表达式，分析逻辑函数即分析相应的逻辑电路；
另一方面是使用逻辑函数进行逻辑电路的设计。 逻辑电路的设计要求一般是用文字表述的。根据文字表述， 使用设计方法进行逻辑电路设计，得到的是按要求设计的逻辑 电路的逻辑函数。最后根据逻辑函数画出按要求设计的逻辑电 路。 因此，逻辑函数是逻辑电路分析和设计的重要数学工具。
“异或”运算表达式与“同或”运算表达式有如下关系： A ⊕ B ＝ A ⊙ B，A ⊙ B ＝ A ⊕ B
第2章 布尔代数基础 2.1 逻辑代数基础
2.1.2逻辑函数
数字电子技术优质课件精选——《逻辑代数的运算法则及其化简》
站，站内有两台发电机G1和G2。G1的容量是G2的 两倍。如果一个车间开工，只需G2运行即可满足 要求；如果两个车间开工，只需G1运行；如果三 个车间同时开工，则G1和 G2均需运行。试画出 控制G1和 G2运行的逻辑图。
解：设A、B、C分别表示三个车间的开工状态
开工为1，不开工为0； G1和G2运行为1，停机为0。
010 011 100
AB BC CA
101
G2 A BC ABC ABC ABC
110 111
G1 G2
00 01
01 10 01 10 10 11
ABC ABC ABC ABC
⑶由逻辑式画出逻辑图 G1
&
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
G2
&
&
&
&
&
&
&
&
AB C
AB
C
本章作业
G1 G2
00 01
01 10 01 10 10 11
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
⑵ 由逻辑状态表写出逻辑式并化简
G1 ABC ABC ABC ABC A B C
G2 A BC ABC ABC ABC 0 0 0
用与非门构成逻辑电路
001
G1 AB BC CA
AB BC CA
B.
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
1
&
A
& Y
A•B
1
B
. ⑴ 写出逻辑式 Y = AB AB = AB +AB
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
⑵ 列逻辑状态表
AB
Y
解：设A、B、C分别表示三个车间的开工状态
开工为1，不开工为0； G1和G2运行为1，停机为0。
010 011 100
AB BC CA
101
G2 A BC ABC ABC ABC
110 111
G1 G2
00 01
01 10 01 10 10 11
ABC ABC ABC ABC
⑶由逻辑式画出逻辑图 G1
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20.6 组合逻辑电路的分析与综合
G2
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&
&
&
&
&
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AB C
AB
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本章作业
G1 G2
00 01
01 10 01 10 10 11
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
⑵ 由逻辑状态表写出逻辑式并化简
G1 ABC ABC ABC ABC A B C
G2 A BC ABC ABC ABC 0 0 0
用与非门构成逻辑电路
001
G1 AB BC CA
AB BC CA
B.
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
1
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A
& Y
A•B
1
B
. ⑴ 写出逻辑式 Y = AB AB = AB +AB
20.6 组合逻辑电路的分析与综合
⑵ 列逻辑状态表
AB
Y
2第二章布尔代数基础
6
第2章 逻辑函数及其简化
表 2 – 1 与逻辑的真值表 (a) A 假 假 真 真 B 假 真 假 真 F 假 假 假 真 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 (b) F 0 0 0 1
A
B
E
F
图 2 – 1 与门逻辑电路实例图
7
第2章 逻辑函数及其简化
由表2 - 1可知，上述三个语句之间的因果关系属于与 逻辑。 其逻辑表达式(也叫逻辑函数式)为：
2
第2章 逻辑函数及其简化
2.1 逻辑代数
2.1.1 基本逻辑 逻辑运算是逻辑思维和逻辑推理的数学描述。 具有“真”与“假”两种可能，并且可以判定其 “真”、 “假”的陈述语句叫逻辑变量。一般用英文大 写字母A，B， C， …表示。例如，“开关A闭合着”， “电灯F亮着”， “开关D开路着”等均为逻辑变量，可 分别将其记作A，F，D； “开关B不太灵活”， “电灯 L价格很贵”等均不是逻辑变量。
两变量的“异或”及“同或”逻辑的真值表如表2 - 4所 示。
表 2-4 “异或”及“同或”逻辑真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
F = A⊕ B
0 1 1 0
F = A⊙ B 1 0 0 1
30
第2章 逻辑函数及其简化
反函数的定义：对于输入变量的所有取值组合，函数 F1和F2的取值总是相反，则称F1和F2互为反函数。记作：
非运算的运算规则是：
0 =1
−
1=0
16
−
第2章 逻辑函数及其简化
2.1.2 基本逻辑运算
1. 逻辑加（或运算） 逻辑加（或运算）
P = A+ B
逻辑加的意义是A或B只要有一个为1，则函数值P就为1。它表 示或逻辑的关系。在电路上可用或门实现逻辑加运算，又称为或运 算。运算规则为： 0＋0＝0 0＋1＝1 A＋0＝A
第2章 逻辑函数及其简化
表 2 – 1 与逻辑的真值表 (a) A 假 假 真 真 B 假 真 假 真 F 假 假 假 真 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 (b) F 0 0 0 1
A
B
E
F
图 2 – 1 与门逻辑电路实例图
7
第2章 逻辑函数及其简化
由表2 - 1可知，上述三个语句之间的因果关系属于与 逻辑。 其逻辑表达式(也叫逻辑函数式)为：
2
第2章 逻辑函数及其简化
2.1 逻辑代数
2.1.1 基本逻辑 逻辑运算是逻辑思维和逻辑推理的数学描述。 具有“真”与“假”两种可能，并且可以判定其 “真”、 “假”的陈述语句叫逻辑变量。一般用英文大 写字母A，B， C， …表示。例如，“开关A闭合着”， “电灯F亮着”， “开关D开路着”等均为逻辑变量，可 分别将其记作A，F，D； “开关B不太灵活”， “电灯 L价格很贵”等均不是逻辑变量。
两变量的“异或”及“同或”逻辑的真值表如表2 - 4所 示。
表 2-4 “异或”及“同或”逻辑真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
F = A⊕ B
0 1 1 0
F = A⊙ B 1 0 0 1
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第2章 逻辑函数及其简化
反函数的定义：对于输入变量的所有取值组合，函数 F1和F2的取值总是相反，则称F1和F2互为反函数。记作：
非运算的运算规则是：
0 =1
−
1=0
16
−
第2章 逻辑函数及其简化
2.1.2 基本逻辑运算
1. 逻辑加（或运算） 逻辑加（或运算）
P = A+ B
逻辑加的意义是A或B只要有一个为1，则函数值P就为1。它表 示或逻辑的关系。在电路上可用或门实现逻辑加运算，又称为或运 算。运算规则为： 0＋0＝0 0＋1＝1 A＋0＝A
03逻辑代数基础（化简法）.pdf
讲稿03第1章 逻辑代数基础(逻辑函数的公式法、卡诺图化简法)1.4 逻辑函数的公式化简法 1 . 4 . 1 化简的意义与标准 一、化简逻辑函数的意义二、逻辑函数式的几种常见形式和变换 三、逻辑函数的最简与-或式 1 . 4 . 2 逻辑函数的代数化简法一、并项法 二、吸收法 三、消去法 四、配项法 1 . 4 . 3 代数化简法举例1.4 逻辑涵数的公式化简法 1 . 4 . 1 化简的意义与标准 一、化简逻辑函数的意义根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。
这对于节省元器件，优化生产工艺，降低成本和提高系统的可靠性，提高产品在市场的竞争力是非常重要的。
湖南省高校数字教学资源中心NE </t i t l e ></h e a d ><b o d y ><b r ><b二、逻辑函数式的几种常见形式和变换常见的逻辑式主要有5种形式，如逻辑式可表示为三、逻辑函数的最简与-或式1 . 4 .2 逻辑函数的代数化简法一、并项法湖南省高校数字教学资源中心N E </t it le></h ea d><b od y><b r><b1 . 4 . 3 代数化简法举例在实际化简逻辑函数时，需要灵活运用上述几种方法，才能得到最简与-或式.湖南省高校数字教学资源中心NE </t i t l e ></h e a d ><b o d y ><b r ><b1.5 逻辑函数的卡诺图化简法 1. 5. 1 最小项与卡诺图 一、最小项的定义和性质 1．最小项的定义 2．最小项的基本性质 二、表示最小项的卡诺图 1．相邻最小项2．最小项的卡诺图表示 1. 5. 2 用卡诺图表示逻辑函数 一、逻辑函数的标准与-或式 二、用卡诺图表示逻辑函数1．已知逻辑函数式为标准与-或式，画逻辑函数卡诺图。
数字逻辑电路 第三章 布尔代数与逻辑函数化简(52P)
=AC+C+AB （BC+BC=C 吸收律1） =C+AB （吸收律2）
例1
F=AC+BC+AB
加多余项
解法2
F=（A+B）C+AB （分配律） =ABC+AB （求反律）
=C+AB
例2 F=ABC+ABC+ABC+ABC
F=AB+AB （利用吸收律1 ABC+ABC=AB ABC+ABC=AB） =A （吸收律1）
反函数
③ 反演法则
例：求F A B C D E的反函数F
F A B C D E A B C D E A BC D E A BC DE
上述过程要反复应用求反律。而利用反演法则直接写出结果。
F A B C D E
3.1.3 基本公式应用
3 逻辑电路所用的级数要少—速度快
4 逻辑电路可靠工作 我们主=AC+BC+AB
加多余项
解法1
F=AC+BC+AB+AC (BC、AB多余项为AC） =C+BC+AB （AC+AC=C 吸收律1） =C+AB （吸收律2）
或 F=AC+BC+AB+BC (AC、AB多余项为BC)
① 等式的证明 ② 逻辑函数不同形式的转换 由于与或形式物理意义明确，与真值表相对应，且 对应的基本公式较为熟悉，故在一般情况下，函数均 以“与或”形式给出。 ③ 逻辑函数的化简 用基本公式将逻辑函数化简，称为代数法化简，将在 3.2节中专门讨论。
3.2.1 逻辑函数与逻辑图
F=ABC+ABC+ABC+ABC
数字电子技术基础逻辑代数和逻辑函数化简ppt课件
(3) 根据真值表，写出逻辑表达式：
• 把对应函数值为“1”的变量组合挑出 （即第1、4）组合，写成一个乘积项； •凡取值为“1”的写成原变量 A，取值为 “0”的写成反变量 A ； •最后，将上述乘积项相或，即为所求函数：
L A B AB
ab
A
B
~
cd
220
ABL
0 01 01 0 10 0 11 1
(5) AB AB A B AB
AB A B
A B AB
左 AB AB ( A B) ( A B)
A A A B AB B B A B AB 即 A B = A⊙B 同理可证 A⊙B A B
六、关于异或运算的一些公式
异或 A B AB AB 同或 A⊙B AB A B
0 0 0 1 11 1 0 1 1
0 1 0 1 10 1 1 0 0
1 0 0 1 01 1 1 0 0
1 1 1 0 00 0 1 0 0
相等
相等
还原律 A A
五、若干常用公式
(1) AB AB A(B B) A (2) A AB A(1 B) A 推广 A A( ) A
开关A 开关B
电源
灯Y
与逻辑关系
功能表
AB Y 断断 灭 断合 灭 合断 灭 合合 亮
与逻辑的表示方法：
真值表 （Truth table） 功能表
AB Y 00 0 01 0 10 0 11 1
AB Y 断断 灭 断合 灭
合断 灭 合合 亮
开关断用0表示, 开关闭合用1表示 灯亮用1表示, 灭用0表示
AB AB AB AB
Y F ( A ,B ,C ) ( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
• 把对应函数值为“1”的变量组合挑出 （即第1、4）组合，写成一个乘积项； •凡取值为“1”的写成原变量 A，取值为 “0”的写成反变量 A ； •最后，将上述乘积项相或，即为所求函数：
L A B AB
ab
A
B
~
cd
220
ABL
0 01 01 0 10 0 11 1
(5) AB AB A B AB
AB A B
A B AB
左 AB AB ( A B) ( A B)
A A A B AB B B A B AB 即 A B = A⊙B 同理可证 A⊙B A B
六、关于异或运算的一些公式
异或 A B AB AB 同或 A⊙B AB A B
0 0 0 1 11 1 0 1 1
0 1 0 1 10 1 1 0 0
1 0 0 1 01 1 1 0 0
1 1 1 0 00 0 1 0 0
相等
相等
还原律 A A
五、若干常用公式
(1) AB AB A(B B) A (2) A AB A(1 B) A 推广 A A( ) A
开关A 开关B
电源
灯Y
与逻辑关系
功能表
AB Y 断断 灭 断合 灭 合断 灭 合合 亮
与逻辑的表示方法：
真值表 （Truth table） 功能表
AB Y 00 0 01 0 10 0 11 1
AB Y 断断 灭 断合 灭
合断 灭 合合 亮
开关断用0表示, 开关闭合用1表示 灯亮用1表示, 灭用0表示
AB AB AB AB
Y F ( A ,B ,C ) ( 3 变量共有 8 个最小项)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
布尔代数和逻辑函数化简 224页PPT文档
6.1.2 异步时序电路分析举例
例1 时序电路如图所示，分析其功能。
“1”
“1”
1J
Q1
1J
Q2
CP
C1 1K
Q1
C2 1K
Q2
解: 异步时序电路的分析与同步基本一 样， 但多一个时钟方程。与同步时序电路相 比，异步电路的分析麻烦。具体过程如下：
6.1.2 异步时序电路分析举例
J1=K1=1 Q1n+1=Q1n CP1=CP J2=K2=1 Q2n+1=Q2n CP2=Q1n
2.画出状态迁移关系，画出状态迁移图
Q3n Q2nQ1n Q3n+1 Q2n+1Q1n+1 C 000 0 0 1 0 001 0 1 0 0 010 0 1 1 0 011 1 0 0 0
100 0 0 0 1
101 0 1 0 1
110 0 1 0 1 111 0 0 0 1
Q1n+1=J1Q1n+K1Q1n=Q3nQ1n Q2n+1=Q1nQ2n+Q1nQ2n Q3n+1=J3Q3n+K3nQ3n =Q1nQ2nQ3n
4. 画出波形 其电路是同步序列的波形
CP
Q1 Q2 Q3
6.1.1 同步时序电路分析举例
4. 画出波形 其电路是同步序列的波形
CP
Q1 Q2 Q3 C
6.1.1 同步时序电路分析举例
4. 画出波形 其电路是同步序列的波形
CP
Q1 Q2 Q3 C
6.1.1 同步时序电路分析举例
4. 画出波形 其电路是同步序列的波形
6.1.1 同步时序电路分析举例
3. 功能描述
101
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Rules of Boolean Algebra
• Rule 10: A + AB = A
Proof:
Floyd Digital Fundamentals, 9/e
A+AB=A(1+B)=A•1=A
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4-4 Boolean Analysis of Logic Circuits （逻辑电路的布尔分析）
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Laws of Boolean Algebra
• Commutative Law of Addition:
A+B=B+A
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4-2 Laws and Rules of Boolean Algebra （布尔代数的定理与规则）
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A simplified Boolean expression uses the fewest gates possible to implement a given expression. Method: to use the basic laws,rules and theorems of Boolean algebra.
= ABC + AB(C + C) = ABC + AB = A(BC + B ) = A(C + B ) = AC + AB
提出AB =1
提出A 反变量吸收
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Simplification Using Boolean Algebra
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Slide 20
New and Key Terms
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Laws of Boolean Algebra
• Commutative Laws（交换律） • Associative Laws（结合律） • Distributive Law（分配律）
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EX 1： F = A BC + ABC + ABC
•The sum-of-product (SOP) form
Example: X = AB + CD + EF
•The product of sum (POS) form
Example: X = (A + B)(C + D)(E + F) Minimum SOP Expression
• The fewest possible product terms • The fewest possible literals per term
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DeMorgan’s Theorems
• Theorem 1
XY = X + Y
• Theorem 2
Remember: “Break the bar, change the sign”
X + Y = XY
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Rules of Boolean Algebra
• Rule 11: A + AB = A + B
Proof: A + AB = A + AB + AB
= A + B( A + A ) = A + B
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4-1 Boolean Operations and Expressions （布尔运算与表达式）
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Boolean Operations and Expressions
• Addition
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
• Multiplication
0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1 =1
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Laws of Boolean Algebra
• Associative Law of Multiplication:
A * (B * C) = (A * B) * C
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4-5 Simplification Using Boolean Algebra （利用布尔代数进行逻辑化简）
Slide 8
Laws of Boolean Algebra
• Associative Law of Addition:
A + (B + C) = (A + B) + C
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Slide 10
Laws of Boolean Algebra
• Distributive Law: A(B + C) = AB + AC
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Laws of Boolean Algebra
• Commutative Law of Multiplication:
A*B=B*A
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