布尔代数
布尔代数
P( A), , , ~, , A
定义8.2 具有有限个元素的布尔代数称为有限布 尔代数. 定义8.3 设布尔代数 < B, ∨, ∧, ’, 0, 1 >, 若A是B 的子集, 且< A, ∨, ∧ , ’, 0, 1 > 也是布尔代数, 则 称 < A, ∨, ∧, ’, 0, 1 > 为 <B, ∨, ∧, ’, 0, 1 > 的子 布尔代数. 定理8.1 设 <B, ∨, ∧, ’, 0, 1 >为布尔代数, 若 A B 且A含有元素0和1, 并对∨, ∧, ’ 运算封闭, 那么 < A, ∨, ∧, ’, 0, 1 >为 < B, ∨, ∧, ’, 0, 1 > 的子布尔代数. 证明: 只需验证< A, ∨, ∧, ’, 0, 1 >为布尔代数.
定理8.8 (等幂律) 对于B中每个元素a，都有 a∨a＝a，a∧a＝a
证明: a∨a＝(a∨a)∧1 ＝(a∨a)∧ (a∨a’) ＝ a∨ (a∧a’) (分配律) ＝ a∨ 0 ＝a 同理可证第二式.
定理8.9 （零一律）对于B中每个元素a，有 a∨1＝1，a∧0＝0 证明：a∨1＝(a∨1)∧ 1 ＝(a∨1)∧ (a∨a’) ＝a∨ ( 1∧a’) ＝ a∨a’ ＝1 同理可证第二式.
定理11.2(对偶原理) 在任一个由布尔代数定义 中的基本性质所导出的等式中, 同时交换∨与∧ 以及0与1所得到的式子也可以从相应的性质导出.
8.1.3 布尔代数的基本性质 定理8.3 零元素是唯一的. 证明: 设B中有两个零元素01和02，则对任意元 素 a, b∈B 有：a∨01＝a，b∨02＝b, 令a＝02，b＝01，得 02∨01＝02和 01∨02＝01 由交换律02∨01＝01∨02 得 01＝02， 故零元是唯一的. 定理8.4 单位元1是唯一的. 证明方法类似.
布尔代数的关系表示及应用
布尔代数的关系表示及应用布尔代数是一种逻辑代数，用于描述和分析逻辑关系和运算。
它以英国的数学家George Boole的名字命名，被广泛应用于计算机科学、电子工程和数理逻辑等领域。
本文将介绍布尔代数的关系表示和应用，并探讨其在实际问题中的应用。
一、布尔代数的关系表示布尔代数中的基本运算包括与、或、非三种，分别用符号∧、∨和¬表示。
在关系表示中，我们使用布尔代数的运算符和关系符号来表达不同的逻辑关系。
1. 与运算与运算表示两个命题同时成立的关系。
在布尔代数中，与运算使用逻辑运算符∧表示。
例如，若命题A为真，命题B为假，则A∧B为假。
与运算还可以表示集合的交集操作，用于求解共同满足一组条件的元素。
2. 或运算或运算表示两个命题中至少一个成立的关系。
在布尔代数中，或运算使用逻辑运算符∨表示。
例如，若命题A为真，命题B为假，则A∨B为真。
或运算可以用于集合的并集操作，用于求解满足一组条件中任意一个条件的元素。
3. 非运算非运算表示一个命题的否定关系。
在布尔代数中，非运算使用逻辑运算符¬表示。
例如，若命题A为真，则¬A为假。
非运算可以用来求解排除某一条件的元素。
二、布尔代数的应用布尔代数在各个领域广泛应用，下面将介绍其中几个主要应用领域。
1. 电子电路设计布尔代数在电子电路设计中起着重要的作用。
通过使用与、或、非等逻辑运算符，我们可以设计出逻辑门电路，并通过连接多个逻辑门实现复杂的逻辑功能。
布尔代数的运算规则和定律对电路设计的优化和简化起着重要的指导作用。
2. 程序设计布尔代数在程序设计中用于控制程序流程和逻辑运算。
通过使用布尔变量和逻辑运算符，我们可以实现条件判断、循环控制等功能，并实现复杂的算法和逻辑运算。
布尔代数的规则和定律也可以帮助程序员优化代码的效率和可读性。
3. 布尔检索布尔检索是一种信息检索的方法，用于在大量文档中快速查找满足特定条件的文档。
通过使用布尔运算符和关系运算符，我们可以组合多个检索条件，实现对文档集合的精确匹配或排除。
布尔代数
布尔代数一个布尔代数是一个代数结构，其中A是一个集合， + 和 * 是定义在A上的二元运算符，- 是定义在A上的一元运算符，，且对于所有的，满足：1.x + y = y + x且x * y = y * x2.x + (y + z) = (x + y) + z且x * (y * z) = (x * y) * z3.x * y + y = y且(x + y) * y = y4.x * (y + z) = x * y + x * z且x + y * z = (x + y) * (x + z)5.x * ( - x) = 0且x + ( - x) = 1我们定义当且仅当x + y = y。
可以证明，布尔代数是一个有补分配格。
布尔代数可作为命题逻辑的模型。
格维基百科，自由的百科全书。
格是常见的代数结构之一。
目录[隐藏]1 格的定义2 格的例子3 格的对偶原理4 子格5 格的同态定理6 参见[编辑]格的定义设是一个偏序集，若对于任意的，{x,y}都有最小上界和最大下界，则称构成一个格。
由于最小上界和最大下界的唯一性，可以把{x,y}的最小上界和最大下界看成是x,的二元运算，分别用和表示，即表示x和y的最小上界，表示x和y的最大下界。
另一种定义格的方式是将格定义为一种代数结构。
一个格是一个代数结构，其中和是定义在集合L上的二元运算，且对于所有的满足：幂等律：交换律：结合律：吸收律：对于，定义当且仅当易见通过偏序集和代数结构这两种方式定义格是完全等价的。
相对于半格，通常也把格称为完全格。
[编辑]格的例子设n是正整数，S n是n的正因子集合，D为整除关系，则偏序集(S n,D)构成格。
对于所有，是x与y的最小公倍数，是x与y的最大公约数。
[编辑]格的对偶原理设f是含有格中的元素以及符号的逻辑命题，令f*是将f中的替换为，将替换为，将替换为，将替换为后所得到的命题。
则称f*是f的对偶命题。
设f是含有格中的元素以及符号的逻辑命题，若f对于一切格为真，则f的对偶命题f*也对于一切格为真。
简述什么是布尔代数及布尔表达式。
简述什么是布尔代数及布尔表达式。
布尔代数是一种数学计算模型，它用于描述逻辑运算的特性。
布尔代数以1854英国数学家查尔斯贝尔（Charles Babbage）的名字命名，他是提出这种思想的第一人。
它的名称来源于19世纪的英国数学家爱德华布尔（George Boole），他是第一个把这种思想付诸实践的人，并将其作为一种独立的数学计算系统发表出来。
布尔代数是一种数学系统，用于表达布尔逻辑，它是一种运算符号语言和两个值（又称真值）的结合。
布尔代数可以使用很简单的表达式来表示逻辑关系，例如：“A B”表示 A B为真；“A B”表示 A B 任一为真；“A 且非 B”表示 A 为真而 B 为假。
布尔代数可以用来描述复杂的逻辑关系，而无需使用复杂的数学运算。
它有点类似于一种编程语言，能够表达更多复杂的情况，例如：“如果 A B时为真，那么 C为真”。
它的优点在于可以用来解释许多复杂的逻辑关系，同时又可以使用极少的简单表达式来描述。
布尔表达式是布尔代数中最常用的表达形式。
它也被称为布尔函数。
布尔表达式是一种计算模型，它将一组特定的用户输入和一组特定的用户输出连接起来，形成一个简单的逻辑模型。
布尔表达式的工作原理是：当用户输入满足指定的条件时，它会产生指定的输出。
用户输入的哪些条件会产生指定的输出，取决于布尔表达式的具体内容。
布尔代数和布尔表达式是一种非常有用的数学工具，它们可以用来表达和准确表示复杂的逻辑关系。
它们也被广泛应用于计算机及自动控制系统中，它们可以提供有效率的逻辑控制算法。
此外，布尔代数也在生物学、物理学、数学等领域得到广泛的应用。
布尔代数和布尔表达式可以帮助我们更好地理解和分析复杂的逻辑关系，从而实现更高效的计算。
数字通信原理实验 布尔代数
数字通信原理实验布尔代数布尔代数作为一种表达逻辑关系的数学工具，在数字通信原理实验中扮演着重要的角色。
下面本文将从什么是布尔代数、布尔运算及其逻辑关系、布尔函数及其应用等几个方面来详细介绍布尔代数在数字通信原理实验中的应用。
一、什么是布尔代数？布尔代数是由英国数学家布尔（George Boole）在19世纪60年代提出的，它是处理逻辑关系的数学工具。
布尔代数是传统数学的一种扩展形式，将1和0的二进制数值，以及AND、OR、NOT三种基本的逻辑运算，用代数的方式加以表述。
它是逻辑代数的基础，适用于电子、电信、计算机等技术领域。
在数字通信原理实验中，布尔代数常用于电路的设计及数字信号的处理等领域。
二、布尔运算及其逻辑关系布尔运算是指布尔代数中的逻辑运算，包括AND、OR、NOT三种主要的逻辑运算。
下面逐一介绍：1.AND（与）运算：AND运算是指两个输入变量A、B，当它们都为1时，输出变量Y才为1，否则Y为0。
用符号表示为：Y=A·B。
2.OR（或）运算：OR运算是指两个输入变量A、B，当它们都为0时，输出变量Y 才为0，否则Y为1。
用符号表示为：Y=A+B。
3.NOT（非）运算：NOT运算是指一个输入变量A，当它为1时，输出变量Y为0，当它为0时，输出变量Y为1。
用符号表示为：Y=¬A。
布尔运算有一些重要的逻辑关系：1.结合律：结合律是指对于布尔代数中的AND和OR运算，无论括号怎样套用，结果都是相同的。
比如：(A·B)·C=A·(B·C)；(A+B)+C=A+(B+C)。
2.分配律：分配律是指对于布尔代数中的AND和OR运算，无论括号怎样套用，结果都是相同的。
比如：A·(B+C)=A·B+A·C；A+(B·C)=(A+B)·(A+C)。
3.德摩根定理：德摩根定理是指NOT运算在布尔代数中的运用。
离散数学中的布尔代数知识点介绍
离散数学中的布尔代数知识点介绍离散数学是计算机科学和数学中的一个重要分支，而布尔代数则是离散数学中的一个基础概念。
布尔代数是一种逻辑推理和计算的数学体系，其基本概念和运算规则直接应用于计算机计算和逻辑设计中。
一、布尔代数的基本概念布尔代数有两个基本元素：命题和逻辑操作符。
命题是关于真（True）和假（False）的陈述，可以用字母或其他符号表示。
逻辑操作符包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）三种基本运算符，用于对命题进行逻辑运算。
二、布尔代数的基本运算规则1. 与运算（AND）：只有当两个命题都为真时，与运算的结果才为真。
用符号“∧”表示，例如命题A∧B表示“命题A和命题B都为真”。
2. 或运算（OR）：只要两个命题中有一个为真，或运算的结果就为真。
用符号“∨”表示，例如命题A∨B表示“命题A或命题B为真”。
3. 非运算（NOT）：将命题的真值取反，即将真变为假，将假变为真。
用符号“¬”表示，例如¬A表示“命题A的取反”。
三、布尔代数的重要性布尔代数在计算机科学和逻辑设计中具有重要的应用。
布尔代数提供了一种形式化的工具，可以对逻辑关系和计算过程进行精确的描述和处理。
利用布尔代数的运算规则，可以进行逻辑推理、逻辑运算和逻辑设计。
布尔代数为计算机的基本运算提供了理论基础，是计算机科学不可或缺的一部分。
四、布尔代数的应用领域1. 逻辑电路设计：布尔代数的基本运算规则可以用于逻辑门电路的设计与分析。
逻辑门电路由与门、或门、非门等基本门电路组成，通过布尔代数的运算规则可以进行电路的优化和逻辑设计。
2. 程序设计与算法分析：布尔代数在程序设计和算法分析中具有重要地位。
利用布尔代数的运算规则，可以对程序的逻辑关系进行抽象和分析，确保程序的正确性和可靠性。
3. 数据库查询与管理：布尔代数可用于数据库查询和管理中的条件表达式构建。
通过布尔代数的运算规则，可以对数据库数据进行选择、过滤和计算，实现对数据的高效管理与查询。
布 尔 代 数
➢定义12.10
代数系统< B，∨，∧>
（∨，∧为B上二元运算）称为布尔代数， 如果
B满足下列条：
（1）运算∨，∧满足交换律。
（2）∨运算对∧运算满足分配律，∧运算对∨
运算也满足分配律。
（3）B有∨运算么元和∧运算零元O，∧运算
么元和∨运算零元1。
（4）对B中每一元素a，均存在元素a’，使
✓定理12.5
有补分配格中每一元素的补元都是 唯一的。
✓定理12.16
对有补分配格中每一元素a，有
（a’）’＝ a
.
布尔代数
1.1 有界格和有补格
✓定理12.17
设< L，∨,∧>为有补分配格，那么对
L中任意元素a，b，有
（1） （a∨b）’＝ a’∧ b’ （2）（a∧b）’= a’∨ b’
✓定理12.18
如果 a∨b = 1， a∧b = 0
a的补常用a’来表示。
.
布尔代数
1.1 有界格和有补格
➢定义12.8
有界格< L，∨,∧>称为有补格
（complemented lettice），如果L中每个 元素都有补元。
✓定理12.4
有补格< L，∨,∧>中元素0，1的 补元是唯一的。
.
布尔ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
1.1 有界格和有补格
称为 n个变元的极大项，其中 i为变元xi或xi’.
.
布尔代数
1.4 布尔表达式与布尔函数
➢定义12.16
布尔表达式f(x1,x2,…,xn)
所定义的函数f:B→B称为布尔函数
（Booleanl functions）．
布尔代数pdf
布尔代数pdf布尔代数（Boolean algebra）是数学中一种代数结构，由乔治·布尔（George Boole）于19世纪中叶提出。
它主要关注逻辑运算和关系，并在计算机科学、电子工程和信息技术等领域中得到广泛应用。
以下是一些基本概念：●布尔变量（Boolean Variables）：布尔代数的基本单位是布尔变量，它只能取两个值，通常表示为0和1。
这两个值分别代表逻辑中的"假"和"真"。
●布尔运算（Boolean Operations）：布尔代数包含一系列基本的逻辑运算，如与（AND）、或（OR）、非（NOT）等。
这些运算用于处理布尔变量，产生新的布尔值。
1.与运算（AND）：如果所有输入都是1，结果为1；否则结果为0。
2.或运算（OR）：如果至少有一个输入是1，结果为1；否则结果为0。
3.非运算（NOT）：对输入取反，即1变为0，0变为1。
●布尔表达式（Boolean Expression）：由布尔变量、常数和布尔运算符构成的代数表达式。
布尔表达式可用于描述逻辑函数。
●卡诺图（Karnaugh Map）：一种图形工具，用于简化布尔表达式。
通过填写卡诺图中的1和0，可以直观地找到布尔表达式的最简形式。
逻辑门（Logic Gates）：在电子和计算机领域，布尔代数被应用于设计逻辑电路。
逻辑门是实现布尔运算的电子元件，如与门、或门、非门等。
布尔代数在计算机科学中的应用是深远的，因为计算机内部的信息表示和处理都涉及到布尔逻辑。
逻辑电路和布尔代数的理论奠定了计算机硬件和软件设计的基础。
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第五章布尔代数布尔代数最初是作为对逻辑思维法则的研究出现的。
英国哲学家George Boole于1847年的论文“逻辑之数学分析”及“思维法则之研究”中引入了布尔代数。
本世纪30年代C.E. Shannon发表了“继电器和开关电路的符号分析”一文，为布尔代数在工艺技术中的应用开创了道路。
50年代苏联科学家把布尔代数发展成为接点网络实用中的通用理论，从而使布尔代数成为计算机科学中的重要基础理论。
从逻辑上讲，布尔代数是一个命题演算系统;从抽象代数观点讲，布尔代数是一个代数系统;从集合的观点讲，它是一个集合代数;从工程技术的观点讲，布尔代数是电路代数，电子线路的设计离不开它;5.1 布尔代数的基本定义和性质定义5.1.1给定一个具有三个运算的代数结构<S，⊕，⊙，′>，其中，⊕，⊙是S上的二元运算，′是S上的一元运算，0，1∈S。
若对于 x，y，z∈S(1) x⊕y=y⊕x，x⊙y=y⊙x (交换律)(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)⊕z，x⊙(y⊙z)=(x⊙y)⊙z(结合律)(3)x⊕(y⊙z)=(x⊕y)⊙(x⊕z)，x⊙(y⊕z)=(x⊙y)⊕(x⊙z)(分配律)(4)x⊕0=x，x⊙1=x (同一律)(5)x⊕x′=1，x⊙x′=0(有补律)则称<S，⊕，⊙，′>称为布尔代数(Boolean Algebra)，⊕，⊙，′分别称为它的并(布尔和)，交(布尔积)和补运算，0和1分别称为它的零元和么元。
一个布尔代数通常记为<S，⊕，⊙，′，0，1>。
例5.1.1二值（元）布尔代数<B，⊕，⊙，′，0，1>，其中B={0，1}1⊕1=1⊕0=0⊕1=1，0⊕0=0，1=0′1⊙1=1，1⊙0=0⊙1=0⊙0=0，0=1′例5.1.2集合代数<P(A)，∪，∩，′，Φ，A>例5.1.3*命题代数定理5.1.1在一个布尔代数中，0和1 都是唯一的;定理5.1.2在一个布尔代数中，任一元素的补元是唯一的;证明(利用同一律，有补律和分配律)定理5.1.3在一个布尔代数中<S，⊕，⊙，′0，1>中，则对∀x∈S，(x′) ′=x定理5.1.4条件同上，则0′=1，1′=0;定理5.1.5条件同上，则对∀x∈S，x⊕x=x，x⊙x=x(幂等律)证明(利用同一律，有补律和分配律)定理5.1.6条件同上，则对∀x∈S，x⊕1=1，x⊙0=0(零一律)证明(同定理5.1.5)定理5.1.7条件同上，则对∀x，y∈S，x⊕(x⊙y)=x，x⊙(x⊕y)=x(吸收律)证明(同定理5.1.5)定理5.1.8条件同上，则对∀x，y∈S，(x⊙y)′=x′⊕y′，(x⊕y) ′=x′⊙y′(De morgan律)证明(同定理5.1.5)定理5.1.9条件同上，若对x，y，z∈S，x⊙y=x⊙z，x⊕y=x⊕z，则y=z (消去律)证明(利用集合中类似证明方法)定理5.1.10 条件同上，则对∀x，y∈S，x⊙y=x⇔x⊕y=y证明(利用吸收律)对偶原理: 在布尔代数<S，⊕，⊙，′，0，1>中，若P是某个已经得到证明的定理，将定理中的条件和结论(1)⊕与⊙互换; (2) 0与1 互换则由此而得的新定理仍然成立;5.2 格定理5.2.1设<S，⊕，⊙，′，0，1>为一个布尔代数，则集合≤={<x，y>| x⊙y=x∧x∈S∧y∈S}称为S上的偏序关系。
注x≤y⇔ x⊕y=y⇔ x⊙y=x定理5.2.2设<S，⊕，⊙，′，0，1>为一个布尔代数，以及S上的偏序关系≤，则对∀x，y，z∈S(1)x⊙y≤x，x⊙y≤y;(2)x≤x⊕y，y≤x⊕y;(3)x≤z∧y≤z => x⊕y≤z; x≤y∧x≤z => x≤y⊙z;(4)x≤y ⇔ x⊙y′=0;(5)0≤x，x≤1;证明(利用≤定义及吸收律)定义5.2.2给定偏序集<S，≤>，若其中S的任两个元素组成的集合均有上确界(最小上界)和下确界(最大下界)，则称此偏序集为一个格(Lattice)。
有一些偏序集不是格:例5.2.1设S={0，1，a，，b，c，d}，≤={<0，0>，<1，1>，<a，a>，<b，b>，<c，c>，<d，d>，<0，a>，<0，b>，<0，c>，<0，d>，<0，1>，<a，d>，<a，c>，<a，1>，<b，c>，<b，d>，<b，1>，<c，1>，<d，1>}则{a，b}无上确界，{c，d}无下确界;定义5.2.3设<S，≤>是一个格，在S上定义两个二元运算: 对∀x，y∈S，x⊙y=GLB(x，y)，x⊕y=LUB(x，y)(其中GLB(x，y)和LUB(x，y)分别为集合{x，y}在偏序集<S，≤>中的下确界和上确界)。
格<S，≤>记为<S，⊕，⊙>;推论运算⊕，⊙分别满足交换律和结合律;定义5.2.4设<S，⊕，⊙>是一个格，若⊕，⊙相互满足分配律，则称之为一个分配格(Distributive Lattice)。
定义5.2.5设<S，⊕，⊙>是一个格，若S中有最大元和最小元，则称之为有界格(Bounded Lattice)。
且分别用0和1表示一个有界格中的最小元和最大元;注在一个有界格中，对∀x∈S，0≤x≤1;定义5.2.6设<S，⊕，⊙，0，1>是一个有界格，x∈S，存在y∈S 使x⊕y=1，x⊙y=0则称x和y互为补元(Complement)显然0和1互为补元;定义 5.2.7每个元素都有补元的有界格称为有补格(Complemented Lattice)。
定义5.2.8任一个有补分配格是一个布尔代数;将x的补元记为x′，′称为有补格的补运算;5.4 布尔代数的原子表示定义5.4.1设<S，⊕，⊙，′，0，1>为布尔代数，a是S中的一个非零元。
若对∀x∈S，有a⊙x=a或a⊙x=0，则称a是此布尔代数的一个原子(Atom);注1) 若a是布尔代数<S，⊕，⊙，′，0，1>的一个原子，则对∀x ∈S，有a≤x或a⊙x=0;2)若a为<S，⊕，⊙，′，0，1>的原子且x≤a，则x=a或x=0;例5.4.11)设S={a，b，…，c}，则{a}，{b}，…，{c}是布尔代数<P(S)，∪，∩，′，Φ，S>的所有原子;2)设S是一个无限集，则对∀a∈S，{a}是此布尔代数的一个原子;定理5.4.1若a和b为布尔代数<S，⊕，⊙，′，0，1>的两个原子，且a⊙b≠0，则a=b;(其逆否命题:若a，b为布尔代数<S，⊕，⊙，′，0，1>的两个不同原子，则a⊙b=0)定理 5.4.2若<S，⊕，⊙，′，0，1>为有限布尔代数，x∈S，x ≠0，则存在原子a∈S，使a≤x。
证明(构造性证明方法)定理5.4.3设<S，⊕，⊙，′，0，1>为布尔代数，若a为原子，则对∀x∈S，a≤x或a≤x′两式有且仅有一式成立;定理5.4.4 设<S，⊕，⊙，′，0，1>为有限布尔代数，a，a1，a2，…，a n为其原子，则a≤a1⊕a2⊕…⊕a n⇔存在i∈{1，2，…，n}，a= a i。
定理5.4.5设<S，⊕，⊙，′，0，1>为有限布尔代数，a1，a2，…，a n为其所有原子，y∈S，则y=0⇔y⊙a i=0，i＝1，2，…，n。
定理5.4.6 (原子表示定理) 设<S，⊕，⊙，′，0，1>为有限布尔代数，x为S中非零元，且设a1，a2，…，a n为满足a≤x的所有原子，则x= a1⊕a2⊕…⊕a n且如不计原子的出现顺序则这样的表示方式是唯一的。
证明(记y= a1⊕a2⊕…⊕a n求证y=x)定理5.4.7(Stone表示定理)<S，⊕，⊙，′，0，1>为有限布尔代数，A为其所有原子的集合，则<S，⊕，⊙，′，0，1>≌<P(A)，∪，∩，′，Φ，A>。
证明(作函数f:S→P(A)，f(x)= Φ，if x=0;f(x)={a|a∈A∧a≤x}(即所有满足a≤x的原子集合) if x≠0; 推论有限布尔代数的基数一定为2的幂次;5.5 布尔代数B r2用B n表示具有n个元素的布尔代数<S n，⊕，⊙，′，0，1>。
特别地当S2={0，1}，二元布尔代数为B2=<S2，⊕，⊙，′，0，1>; 我们考虑下列代数结构:设r是一个自然数，B r2= B2×B2×…×B2=< S r2，⊕，⊙，′，0r，1r>;其中0r=<0，0，…，0>，1r=<1，1，…，1>，且<a1,a2,…,a r>⊕<b1,b2,…,b r>=<a1⊕b1,a2⊕b2,…,a r⊕b r><a1,a2,…,a r>⊙<b1, b2,…,b r>=<a1⊙b1,a2⊙b2,…,a r⊙b r><a1,a2,…,a r>′=<a1′,a2′,…,a r′><a1,a2,…,a r>，<b1,b2,…,b r>∈S r2;定理5.5.11) B r2是一个布尔代数，2) 布尔代数< S2r，⊕，⊙，′，0，1>与B r2同构;3) 任一有限布尔代数都同构于一个布尔集合代数;5.6 布尔表达式及其范式定理布尔代数可用于逻辑电路的设计。
具有若干输入和某种逻辑功能的组合线路可以用一个定义在电路代数上的电路函数表示，而一个电路函数则可以用布尔表达式来表示。
定义5.6.1 设< S，⊕，⊙，′，0，1>为布尔代数，则S中的元素称为布尔常元; 取值于S中的变元称为布尔变量(Boole Variable)。
定义5.6.2设< S，⊕，⊙，′，0，1>为布尔代数，x1，x2，…，x n为布尔变元，则由这n个布尔变元产生的布尔表达式(BooleExpression)可递归定义如下:1) S 中的任何元素和变元为一个布尔表达式;2) 若F 和G 都是布尔式，则F ′，F ⊕G ，F ⊙G 也是布尔式;3) 只有有限次使用1)或2)构造而成的符号串才是一个布尔式;(a)为了简便起见，规定⊕的运算优先级低于⊙例 5.6.1 在布尔代数<{0，1，βα, }，⊕，⊙，′，0，1>中，布尔式有0⊙1′，1⊕(α⊙x 1) ⊕(x 2′⊙x 3)，(β′⊕x 1⊕x 3) ⊙1。