哥尼斯堡七桥问题和一笔画24页PPT
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数学模型思想及其渗透教学 ppt课件
变式与推广应用等。
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(二) 关于数学建模的认知与解读
数学建模可作为陈述性知识表征，即视作解决问题的方法。 数学建模可作为程序性知识表征，即视作解决问题的过程。 数学建模作为方法与过程的统一体，贯穿于数学教学活动 的始终，是数学认知活动的重要内容，更是数学探究活动的 主要方式；是数学学习的核心要素，也是数学教学的中心环 节；是揭示数学本质和演绎数学思想的平台，又是感悟数学 价值和实施数学应用的载体。
有实践就会有真知，有思考就会有卓见，实践加思考，真知变 卓见，循环诚恒之，必然成思想！
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二、探讨的主要质点
(一) 关于数学模型的内涵分析与界定 (二) 关于数学建模的认知与解读
(三) 关于数学模型思想的理解及其教学渗透 (四) 关于数学建模教学方略的探想
生活问题的数学化 • 事物之间的相互关系； • 事件发生的内在规律； • 事情所蕴含的事理。 数学应用的生活化 由数学模型联想实际应用、有实际问题联想相应的数学模型、 用数学模型解释实际问题、事件、现象所蕴含的原理。
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(四)关于数学建模教学方略的探想
2.数学应用的生活化
生活问题的数学化，让学生经历的是将实际问题抽象成 数学模型的过程，而数学应用的生活化，则是让学生经历应 用数学模型解决实际问题的过程。 新知形成时； 新知应用时； 知识综合应用中。
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三、数学建模教学的行与思
(一)激活经验储备 类化提炼建模
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(二)关于数学建模的认知与解读
一个数学概念常常就是一个数学模型，随着它的 拓展与推广，在种属关系下所层层派生的一个个属概 念又是一个个新的数学模型。 在数学概念下往会有相应的数学运算、规则、法 则、定律、性质等等衍生。
第九讲 一笔画问题 PPT
• 解答：图（1）中无奇点，能一笔画出，从任意点开始再回到这一点， 仅举一例：A→B→C→N→F→G→H→M→D→N→E→M→H；
• 图（2）有两个奇点，可以从B开始到E结束，也可以从E开始到B结束， 如：B→C→D→E→A→B→E；
• 图（3）不能一笔画出有4个奇点，要想一笔画出至少应该添一笔，可 以连接A、B，如图1，其它的任何两个奇点都可以。共有多少连法呢， 你能列举出来吗？共有6种分别为AB、AC、AD、BC、BD、CD；
重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连
通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我
们就来探求解决这个问题的方法。
•
为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做
奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的
八个结点全是奇点，上图（b）中E、F为奇点，G为偶点。
•
容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，
得出了一个非常重要的结论，你想知道吗？其实
这就是“一笔画”问题，也是一种数学游戏，学
完了下面的内容，也许你就能像欧拉那样解决
“七桥问题”了。
• 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为： 人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而 并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都 可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点 的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何 图形能否一笔画出的问题了.
都有一条通路（即可以从其中一点出发，沿着图 的边走到另一点，如A到I的通路为A→H→I或 A→D→I…），这样的图，我们称为连通图；而 下图中（c）的一些结点之间却不存在通路（如M 与N），像这样的图就不是连通图。
•
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不
哥尼斯堡七桥问题与一笔画课件
02
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
地图导航
在18世纪，人们开始对图论进行 研究，探索图的结构和性质，其 中哥尼斯堡七桥问题成为了图论 研究的重要问题之一。
哥尼斯堡七桥问题的起源
哥尼斯堡七桥问题起源于18世纪初，当时有一位名叫欧拉的 人，他是一位数学家和工程师，对图论进行了深入研究。
欧拉在研究哥尼斯堡的桥梁和河流时，提出了一个问题：是 否存在一条路径，能够遍历哥尼斯堡的所有桥梁，每座桥只 过一次？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
哥尼斯堡七桥问题对一笔画问题的影响
哥尼斯堡七桥问题的解决推动了数学领域的发展，它证明了不存在一条遍历七座 桥的路径，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
这个问题的解决对于一笔画问题的研究具有重要意义，它揭示了一笔画问题的复 杂性和多样性，也促使数学家们深入研究一笔画问题的性质和规律。
一笔画问题在哥尼斯堡七桥问题中的应用
哥尼斯堡七桥问题是一笔画问题的经典案例，它探讨的是从哥尼斯堡的一个地方开 始，能否遍历城市的七座桥，每座桥只过一次，最后回到开始的地方。
一笔画问题则是一个更广泛的几何问题，研究的是在一个连通图上，是否存在一条 路径能够遍历所有的边，每条边只过一次。
哥尼斯堡七桥问题实际上是几何图形的一笔画问题，它为后续一笔画问题的研究提 供了基础。
哥尼斯堡七桥问题的历史意义
哥尼斯堡七桥问题的解决标志着图论 的诞生，成为图论发展史上的一个里 程碑。
该问题的解决为后续的图论研究提供 了基础和指导，推动了数学和图论的 发展。
02 一笔画问题概述
一笔画问题的定义
一笔画问题，也称为欧拉路径问题，是图论中的一个经典 问题。它主要探讨的是在一个给定的图形中，是否存在一 条路径，使得这条路径能够遍历图形的每一条边且只遍历 一次。
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《格尼斯堡七桥问题》PPT课件
在“一笔画”问题里，长度、角度、面积、体积都没有了， 四大块陆地变成了四个点；连线的长短曲直、交点的方位都无 关紧要，要紧的只是点线之间的相关位置或相互连接的情况， 如下两图都没有改变七桥问题“一笔画”的性质。
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后来布勒格尔河上又架起第八座桥来——铁路桥，这又使人们 想起了那有趣的问题。虽然一次不重复走遍七座桥不可能，那 八座桥呢？从图中可以已看出，“奇点”只有两个（D、C）， 所以可以一次不重复走遍八座桥。
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如果一张图中奇点数大于2，并且是2 的n倍，则该图至少需要n 笔才能画成。如下图所示。
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回头来看邮路图，其中有6个奇点，故至少要3笔才能画成， 重复部分应该选择最短的邮路区间，故以下三种方案中，第 三个方案最好。
最短邮路问题是1960年由我国山东师范大学管梅谷教授提出并 解决的，因此国际上称为“中国邮路问题”。
6
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于是七桥问题就变成了用笔不重复的（笔不离开纸面）画出这 个几何图形的问题，即“一笔画”问题。如果可以画出来，则 必有一个起点和一个终点，如果这两点不重合，则与起点或终 点相交的线必为奇数条（称为奇点），如果起点与终点重合， 则与之相交的线必为偶数条（称为偶点），而除了起点与终点 外，其他点也必为偶点。据以上分析，如果一个图形可以一笔 画出来，则必须满足两个条件：
图论就是运用直观的图形和数学方法来研究组和关系的一 门新兴学科，原是组和数学的一个重要课题，由于发展迅速， 现已成为一个独立的数学分支。它把被研究系统中的各个元素 作为点，元素之间的关系作为线，然后画成图，通过对图形的 研究，找出解决问题的办法。
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图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种本质 的框架，在经济、心理、社会、遗传、运筹、计算机、网络、 信息论、控制论、逻辑学、语言学、物理学、化学、微电子技 术、通讯科学、系统科学等方面都有广泛的应用。
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后来布勒格尔河上又架起第八座桥来——铁路桥，这又使人们 想起了那有趣的问题。虽然一次不重复走遍七座桥不可能，那 八座桥呢？从图中可以已看出，“奇点”只有两个（D、C）， 所以可以一次不重复走遍八座桥。
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如果一张图中奇点数大于2，并且是2 的n倍，则该图至少需要n 笔才能画成。如下图所示。
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回头来看邮路图，其中有6个奇点，故至少要3笔才能画成， 重复部分应该选择最短的邮路区间，故以下三种方案中，第 三个方案最好。
最短邮路问题是1960年由我国山东师范大学管梅谷教授提出并 解决的，因此国际上称为“中国邮路问题”。
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于是七桥问题就变成了用笔不重复的（笔不离开纸面）画出这 个几何图形的问题，即“一笔画”问题。如果可以画出来，则 必有一个起点和一个终点，如果这两点不重合，则与起点或终 点相交的线必为奇数条（称为奇点），如果起点与终点重合， 则与之相交的线必为偶数条（称为偶点），而除了起点与终点 外，其他点也必为偶点。据以上分析，如果一个图形可以一笔 画出来，则必须满足两个条件：
图论就是运用直观的图形和数学方法来研究组和关系的一 门新兴学科，原是组和数学的一个重要课题，由于发展迅速， 现已成为一个独立的数学分支。它把被研究系统中的各个元素 作为点，元素之间的关系作为线，然后画成图，通过对图形的 研究，找出解决问题的办法。
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图论为研究任何一类离散事物的关系结构提供了一种本质 的框架，在经济、心理、社会、遗传、运筹、计算机、网络、 信息论、控制论、逻辑学、语言学、物理学、化学、微电子技 术、通讯科学、系统科学等方面都有广泛的应用。
七桥问题与一笔画
●
A
BA E
BA
G E
B
A G
E I A
B
H 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）
奇点 个数
0 2 2 4 0 2 2 6 4 0 0
偶点 个数
4 4 5 5 3 2 3 1 0 10 12
能否一 笔画
能 能 能 不能 能 能 能 不能 不能 能 不能
C
DC
F D C F A E A
小广场
超市
文具店
电器城
菜市场
服装城
课堂练习
2、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？
E ● ●G F ● D●
C●
● B
●A
课堂练习
3、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
问题分析
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
㈠ 每个图形都是一些连接点和线（边）组成的，任意两点之间都有一条
通路的图形叫连通图 A C 图1 D B D
A
E C 图2 B BAE C 图3源自GACB D
F H
㈡有奇数条边相连的点叫奇点。如：
● ●
图4
●
㈢有偶数条边相连的点叫偶点。如：
● ●
问题分析
数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、 C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七 座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画” 出图中的图形？ 一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。
① ⑥ A ② C ③ B ⑦ ④ ⑤ D ② ③ ① ⑥
A
BA E
BA
G E
B
A G
E I A
B
H 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）
奇点 个数
0 2 2 4 0 2 2 6 4 0 0
偶点 个数
4 4 5 5 3 2 3 1 0 10 12
能否一 笔画
能 能 能 不能 能 能 能 不能 不能 能 不能
C
DC
F D C F A E A
小广场
超市
文具店
电器城
菜市场
服装城
课堂练习
2、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？
E ● ●G F ● D●
C●
● B
●A
课堂练习
3、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
问题分析
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
㈠ 每个图形都是一些连接点和线（边）组成的，任意两点之间都有一条
通路的图形叫连通图 A C 图1 D B D
A
E C 图2 B BAE C 图3源自GACB D
F H
㈡有奇数条边相连的点叫奇点。如：
● ●
图4
●
㈢有偶数条边相连的点叫偶点。如：
● ●
问题分析
数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、 C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七 座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画” 出图中的图形？ 一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。
① ⑥ A ② C ③ B ⑦ ④ ⑤ D ② ③ ① ⑥
哥尼斯堡七桥问题PPT课件
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第2页/共20页
第3页/共20页
欧拉的解法
哥尼斯堡七桥问题引起了大数学家欧拉的兴趣。 他知道，如果沿着所有可能的路线都走一次的话，一共 要走5040次。就算是一天走一次，也需要13年多的时 间。实际上，欧拉只用了几天的时间就解决了七桥问题。
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第4页/共20页
欧拉的想法是：两岸的陆地与河中的 小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、形 状均与问题本身无关。因此，不妨把它们看 作是4个点。7座桥是7条必须经过的路线， 它们的长短、曲直，也与问题本身无关。因 此，不妨任意画7条线来表示它们。就这样， 欧拉将七桥问题抽象成了一个“一笔画”问 题，从而否定了问题的答案。
图1
图3
图5
图2
图4
图6
第13页/共20页
下图是一个公园的平面图，要使游人 走遍每一条路不重复，出口和入口应 设在哪儿？
第14页/共20页
中国邮递员问题
• 中国邮递员问题(Chinese Postman Problem, CPP)是由我国管梅谷教授于1962
年首先提出并发表的计表
可以一笔画的图形
不能一笔画的图形
图形序号 奇点个数 偶点个数
图形序号 奇点个数 偶点个数
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
图8
第10页/共20页
不连通的图形不能一笔画
连通的图 形有可能 一笔画
奇点个数超过两个的连通图 形不能一笔画
全都是偶点的连 通图可以一笔画
有两个奇点的连 通图可以一笔画
• 最短的一组添弧称为最优解。
第17页/共20页
案例：西北大学的洒水车要给主要 路面洒水，该如何确定行车路线？
七桥问题和一笔画
七桥问题和一笔画18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。
如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。
当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
图 1 图 2七桥问题引起了著名数学家欧拉（17071783）的关注。
他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图2是不能一笔画出的图形。
这就是说，七桥问题是无解的。
这个结论是如何产生呢？请看下面的分析。
如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。
如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。
因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。
1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。
在报告中，他证明了上述结论。
后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。
为了介绍这个定理，我们先来看下面的预备知识：由有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点。
七桥问题-课件
这个问题初看起来似乎不太难，所以很多人都想试一 试，寻找这种走法，但谁出找不出问题的答案，均以失败 告终。
当时大数学家殴拉从众多人的失败中想到，这样的走 法可能就根本不存在，随后他用数学的方法证实了自己的 猜想是正确的，并于1736 年发表了图论（组合数学的一个 分支）的第一篇论文“哥尼斯堡的七座桥”。
欧拉首先考虑到，由于关心的是能否不重复地走完七
座桥而对于桥的长短，岛的大小等因素都不重要，因此可 进行简化假设，不考虑陆地的地形，不考虑桥的形状及长 短，把四块陆地用4 个点A、B、C、D 来表示，七座桥用 相应的点之间的连线（曲线段或直线段）表示。
问题转换成从某个点出发能否不重复地把图形一笔画
出来。这样便简化了原问题而突出了问题实质。七桥问题 就抽象成通常所说的一笔画问题，即下笔后再不能离开纸 ，每一条不能重复，只画一次，画时任两条线允许交叉而 过。
下列图形能不能用一笔画出来？
生活故事发生在18 世纪欧洲东普鲁 士（现为俄罗斯的加里宁格勒） 有个名叫哥尼斯堡的城市近郊。 这里的普雷盖尔河穿城而过， 河中有两个岛，两岸与两岛之 间架有七座桥（如图）。当时 城中居民热烈地讨论着这样一 个问题：一个散步者怎样走才 能不重复地走遍所有的七座桥 而回到原出发点？
哥尼斯堡七桥问题与一笔画
● ●
●
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。
活动探究
下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一试哪 些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？
奇点个数
●
偶点个数
能否一笔画
B
图⑴
A
●
●
A
●
图⑵
B● D
C
E● A
● ●
●
图⑶
图⑷
奇点个数
图(5)
偶点个数
2、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？
E ● ●G F ● D●
C●
● B
●A
课堂练习
3、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
哥尼斯堡七桥问题
现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。 在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育 过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义的创始人康 德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家 之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。 在河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其 旁汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区 (A)， 东区(B)，南区(C)和北区(D)。
欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音 乐、哲学方面都取得了辉煌的成就。在 数学的各个领域，常常见到以欧来命名 的公式、定理、和重要常数。课本上常 见的如π、i、e、sin、cos、tg、△x、 Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。欧 拉还首先完成了月球绕地球运动的精确 理论，创立了分析力学、刚体力学等力 学学科，深化了望远镜、显微镜的设计 计算理论。 关键词：惊人的记忆力 杰出的智慧 顽强的毅力 孜孜不倦的奋斗精神 高尚的科学道德
●
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。
活动探究
下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一试哪 些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？
奇点个数
●
偶点个数
能否一笔画
B
图⑴
A
●
●
A
●
图⑵
B● D
C
E● A
● ●
●
图⑶
图⑷
奇点个数
图(5)
偶点个数
2、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？
E ● ●G F ● D●
C●
● B
●A
课堂练习
3、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
哥尼斯堡七桥问题
现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。 在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育 过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义的创始人康 德，终生没有离开过哥尼斯堡一步!二十世纪最伟大的数学家 之一，德国的希尔伯特也出生于此地。
哥城景致迷人，碧波荡漾的普累格河，横贯其境。 在河的中心有一座美丽的小岛。普河的两条支流，环绕其 旁汇成大河，把全城分为下图所示的四个区域：岛区 (A)， 东区(B)，南区(C)和北区(D)。
欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音 乐、哲学方面都取得了辉煌的成就。在 数学的各个领域，常常见到以欧来命名 的公式、定理、和重要常数。课本上常 见的如π、i、e、sin、cos、tg、△x、 Σ、f(x)等，都是他创立并推广的。欧 拉还首先完成了月球绕地球运动的精确 理论，创立了分析力学、刚体力学等力 学学科，深化了望远镜、显微镜的设计 计算理论。 关键词：惊人的记忆力 杰出的智慧 顽强的毅力 孜孜不倦的奋斗精神 高尚的科学道德
趣味数学七桥问题ppt课件
18世纪，在（现俄罗斯）哥尼斯堡 城风景秀美的普莱格尔河上有7座 别致的拱桥，将河中的两个岛和河 岸连结（如左图）。 城中的居民经常沿河过桥散步。城 中有位青年很聪明，爱思考，有一 天，这位青年给大家提出了这样一 个问题：能否一次走遍7座桥，而 每座桥只许通过一次，最后仍回到 起始地点。 这就是数学史上著名的七桥问题。
小热身 七桥问题
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能一笔画的图形必须是连通图。从图的一点出发，笔不离纸，经过每条边恰好一次， 不能重复。 但是，并不是所有的连通图都可以一笔画出。它是由图的奇、偶点的数目来决定的。 ① 有奇数条边相连的点叫奇点。如：
② 有偶数条边相连的点叫偶点。如：
小热身 七桥问题 一笔画
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欧拉定理：
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以任一偶点 为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ②只有两个奇点的连通图，一定可以一笔画完。画时必须以一个奇点 为起点，另一个奇点为终点。 ③其他情况的图，都不能一笔画出。
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
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拓扑学-神奇的莫比乌斯带
• 一、1979年，美国著名的“百路驰”轮胎公司创 造性地把传送带制成莫比乌斯带形状，这样一来， 整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了原 来单面传送带单面受损的情况，使得其寿命延长 了整整一倍。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
透过现象看本质
• 在把36道简单数学题（加减乘除）做 完后并加以分类的一组学生，比单独 做完这些题目的学生最终在类似数学 题的测验中成绩要好。
及时复习，善于归纳和总结。
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