小波分析第四讲_小波与滤波器组
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小波分析第四讲_小波与滤波器组
设数字滤波器信号dwt的三级分解算法树型结构小波变换的时频分析小波与滤波器组信号dwt的三级分解算法等效的简化结构小波变换与滤波器组小波变换的时频分析小波与滤波器组的频率特性分解算法中滤波器组的频域分析小波与滤波器组信号dwt的分布小波与滤波器组信号时域表达的时频分辨率信号频域表达的时频分辨率小波变换与滤波器组小波与滤波器组信号stft的时频分辨率信号dwt的时频分辨率小波变换的时频分析小波与滤波器组小波基函数具有非唯一性这使得小波分的信号采用不同的小波基信号从而使得变换后的小波系数更稀散更加易于信号分析和处理
∑
k
c j [k] ⋅ 2 ϕ(2 j t − k) +
小波与滤波器组
∑
k
d j [k] ⋅ 2 j / 2ψ (2 j t − k)
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
c j [ k ] = x (t ), ϕ j ,k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2 ϕ ( 2 j t − k )dt
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
H0(z) H0(z) H0 (z) c+1[k] J H1(z) ↓2 ↓2 H1 (z) ↓2 ↓2 H1(z) ↓2 d −2[k] [k J d −1[k] J d [k] J ↓2 c −2[k] J
信号DWT的三级分解算法树型结构 的三级分解算法树型结构 信号
d j [ k ] = x (t ),ψ j , k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2ψ ( 2 j t − k )dt
c j [ k ] = ∑ h[i − 2k ] ⋅ ∫ x(t ) ⋅ 2 ( j +1) / 2 ϕ ( 2 j +1 t − i )dt
∑
k
c j [k] ⋅ 2 ϕ(2 j t − k) +
小波与滤波器组
∑
k
d j [k] ⋅ 2 j / 2ψ (2 j t − k)
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
c j [ k ] = x (t ), ϕ j ,k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2 ϕ ( 2 j t − k )dt
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
H0(z) H0(z) H0 (z) c+1[k] J H1(z) ↓2 ↓2 H1 (z) ↓2 ↓2 H1(z) ↓2 d −2[k] [k J d −1[k] J d [k] J ↓2 c −2[k] J
信号DWT的三级分解算法树型结构 的三级分解算法树型结构 信号
d j [ k ] = x (t ),ψ j , k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2ψ ( 2 j t − k )dt
c j [ k ] = ∑ h[i − 2k ] ⋅ ∫ x(t ) ⋅ 2 ( j +1) / 2 ϕ ( 2 j +1 t − i )dt
小波与滤波器组：Wavelets and Filter Banks(PPT-15)
0 1
12
Then, x–1 = [1 -1 1 -1]
a b = [1 -1 1 -1] A–1 c d
x0 x1 x2 x3
PDE
f(x) = ∑ ckφ(x – k)
k p-1 i=0
Assume f(x) has polynomial behavior near boundaries ∑ αixi = f(x) = ∑ ckφ(x – k)
Symmetric extension of finite-length signal X(ω) = B(ω)e-iωβ
10
The output: Y(ω) = H(ω)X(ω) W W H H W H H W W H W H
W = whole-point symmetry H = half-point symmetry
n
x[n]e-i N n Want real-valued results.
14
2πk
complex-valued
0
N-1 n=0
1 m
2N-1
N-1
N
m
2N-1
2N
DFT of this extended signal: ∑ x[n]e
2πk –i 2N n
+ ∑
N-1
LOOMOON
n=N
2πk
k
{φ ( - k)} orthonormal ∑ αi ∫ φ(x – k)xidx = ck
i=0 p-1
LOMON
ik
13
0 1 m p-1 0 0 0 0 1 o 1 2 1 1 m
α0 α1 o αp-1 =
c0 c1 o cp-1
小波滤波器
小波滤波器语法：[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R]= wfilters('wname')[F1,F2]=wfilters('wname','type')[Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R] = wfilters('wname') 计算'wname'里的正交和双正交小波的四个滤波器Lo_D, the decomposition low-pass filter 分解低通滤波器Hi_D, the decomposition high-pass filter 分解高通滤波器Lo_R, the reconstruction low-pass filter 重建低通滤波器Hi_R, the reconstruction high-pass filter 重建高通滤波器[F1,F2] = wfilters('wname','type') 返回一下滤波器:模拟频率，数字频率，模拟角频率关系模拟频率f:每秒经历多少个周期，单位为Hz,即1/s;模拟角频率Ω是指每秒经历多少弧度，单位rad/s数字频率w:每个采样点间隔之间的弧度，单位radΩ=2*pi*f; w=Ω*TIIR数字滤波器设计方法：先根据已知带通参数求出最佳滤波器阶数和截止频率[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs);[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');[b,a]=butter(n,Wn,'ftype','s')Wp为0-1之间，Ws为阻带角频率，0-1之间。
Rp为通带波纹，或者通带衰减，Rs为阻带衰减。
给出的是模拟频率fp1通带截止频率，fp2阻带截止频率，则Wp=fp1*2/fs,Ws=fp2*2/fs。
传统FIR滤波器函数FIRl是采用经典窗函数设计线性相位FIR数字滤波器，且具有标准低通、带通、高通和带阻等类型。
小波滤波
1， N1(t)= 0,
0 t<1
others
=N m(t) *N1(t) 故 N m+1(t)
一、连续小波滤波
3.Mexico草帽小波 Mexico草帽小波是Gauss函数 et 2 /2 的二次导数， 它由下式给出
(t )
2 3
(1 t ) e
1/4 2
t 2 /2
（7）小波去噪程序
%应用db5作为小波函数进行3层分解 %利用无偏似然估计阈值 %对100.dat from MIT-BIH-DB的单导联数据进行去噪处理 clear;clc load('D:/matlab/matlab7.2/work/M.mat'); E=M(:,2); E=E'; n=size(E); s=E(1:2000); %小波分解 [C L]=wavedec(E,3,'db5'); % 从c中提取尺度3下的近似小波系数 cA3=appcoef(C,L,'db5',3); %从信号c中提取尺度1,2,3下的细节小波系数 cD1=detcoef(C,L,1); cD2=detcoef(C,L,2); cD3=detcoef(C,L,3);
其中的系数是为了满足 (t )的归一化要求
一、连续小波滤波
4.Morlet小波 morlet小波是经常用到的一种复值小波，其定义 如下
(t )
-1/4
(e
j 0t
e
2 0 /2
) e
t 2 /2
一、连续小波滤波
根据内积的定义
1 * x(t),g(t) x ( )g ( )d 2 式②做给出的小波变换便可被写成
小波变换的滤波器实现
小波变换的应用领域
信号处理
小波变换在信号处理领域应用广泛，如语音、图 像、雷达、地震等信号的分析和处理。
通信领域
小波变换在通信领域主要用于信号调制、解调、 信道均衡等方面。
ABCD
图像处理
小波变换在图像处理中主要用于图像压缩、图像 去噪、图像增强等方面。
金融领域
小波变换在金融领域主要用于金融数据分析、股 票市场预测等方面。
02
滤波器的基本概念
滤波器的定义
滤波器
一个系统或电路，用于允许一部分频 率通过而阻止另一部分频率通过。
数字滤波器
在数字信号处理中，滤波器通常由一 组数字系数定义，用于修改输入信号 的频谱。
滤波器的分类
01
低通滤波器
允许低频信号通过，抑制高频信号。
带通滤波器
允许某一频段的信号通过，抑制该 频段以外的信号。
计算复杂度
小波变换的计算复杂度较高，对于大 规模数据实时处理存在挑战。
选择合适的小波基函数
选择合适的小波基函数是关键，需要 根据具体应用场景进行选择和调整。
信号重构精度
小波变换的信号重构精度受到小波基 函数和分解层数的影响，需要权衡精 度和计算复杂度。
边界效应
小波变换在处理信号边界时可能会出 现边界效应，需要进行特殊处理以减 小影响。
根据具体应用需求，选择合适的小波基函数和分解层数，以实现最佳的信号处理效 果。
设计滤波器时需要考虑信号的频谱特性、噪声水平、动态范围等因素，以确保滤波 器能够有效地提取或抑制特定频率范围的信号。
常用的滤波器设计方法包括基于规则的滤波器和自适应滤波器，其中自适应滤波器 可以根据输入信号自动调整参数，具有更好的适应性。
小波变换的特点
小波分析全章节讲解
虽然时变信号的频率特性 随着时间而改变，但是这种改 变是渐变的而非突变的，也就 是说，在一个特定的足够小的 区间（窗）内，可以认为信号 的特性是不变的，信号是局部 稳定的或准平稳的。
（二）加窗时频分析 1.时窗处理 将信号在时域内进行分段，等效于用位置不 同的窗函数 g ( t ) 与原信号 f ( t ) 相乘的结果，如下 图所示。在时域内，时间函数一般选取具有能量 局部化的函数。先选定一个基本窗函数 g ( t ) ， 然后将 g ( t ) 沿时间轴平移得到一组窗函数，
en , em 0, m n (m n) 1, m n
对应的傅里叶展开式为
f
f , en en
n 1
规范正交性存在于原基底与对偶基底之间， 展开式也相应的由原基底和对偶基底构成， 这种基称为双正交基，与互为对偶基底。
（6）框架 { 设H为Hilbert空间， k } 为H中的一个函数 序列，若 f H ，都存在实数A,B使得
小波分析的应用领域十分广泛，它包括： 数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子 力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算 机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊 断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面； 例如： 在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。 在图象处理方面的图象压缩、分类、 识别与诊断，去污等。 在医学成像方面的减少B超、CT、 核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
f (t ) e
j t
d t f ( t ), e
j t
小波变换与小波滤波解析
17
小波尺度和信号频率的关系
大尺度 小尺度
信号的低频 信号的高频
18
1.6 离散小波变换（DWT）
在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系 数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有 许多数据是无用的。
如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j>0且为
整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数 来进行计算， 就会使分析的数据量大大减少。
ECG signal 100.dat 1
0.8
0.6
0.4
Voltage / mV
0.2
0 28 1
1
1
1
1
1
1
8
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time / s
在实际工程应用中，通常所分析的信号具有非线性， 非平稳,并且奇异点较多的特点。含噪的一维信号模型 可表示为：
26
1.7 小波重构
H′ L′
H′
S L′
小波重构算法示意图
27
1.7 小波重构
(1) 重构近似信号与细节信号 由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原
始信号。 同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号
的近似值或细节值，这时只要近似系数或细节系数置 为零即可。
28
1.7 小波重构
H′ 0 约 500个 0
23
图 （a） 信号分解； (b) 小波分树； （c）小波分解树 24
1.6 离散小波变换（DWT）
在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时， 得到的数据将是原始数据的两倍。
小波尺度和信号频率的关系
大尺度 小尺度
信号的低频 信号的高频
18
1.6 离散小波变换（DWT）
在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系 数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有 许多数据是无用的。
如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j>0且为
整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数 来进行计算， 就会使分析的数据量大大减少。
ECG signal 100.dat 1
0.8
0.6
0.4
Voltage / mV
0.2
0 28 1
1
1
1
1
1
1
8
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Time / s
在实际工程应用中，通常所分析的信号具有非线性， 非平稳,并且奇异点较多的特点。含噪的一维信号模型 可表示为：
26
1.7 小波重构
H′ L′
H′
S L′
小波重构算法示意图
27
1.7 小波重构
(1) 重构近似信号与细节信号 由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原
始信号。 同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号
的近似值或细节值，这时只要近似系数或细节系数置 为零即可。
28
1.7 小波重构
H′ 0 约 500个 0
23
图 （a） 信号分解； (b) 小波分树； （c）小波分解树 24
1.6 离散小波变换（DWT）
在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时， 得到的数据将是原始数据的两倍。
基于小波分析的数字滤波器设计
基于小波分析的数字滤波器设计
近年来，随着计算机技术和信息处理技术的发展，数字滤波器受到了越来越多的关注。
数字滤波器是一种常用的信号处理技术，用于消除频率信号中的噪声，以获得清晰的输出信号。
由于数字滤波器的复杂性，设计一个高性能的滤波器可能是非常耗时的，而小波分析则可以弥补这一短板。
小波分析是一种信号变换技术，可以将信号进行频域分解，以获得信号的完整信息。
同时，小波分析也可以有效地减少信号中的噪声和抖动，从而获得清晰的信号。
因此，将小波分析和数字滤波器结合起来，可以有效地设计出一个高性能的数字滤波器。
首先，在小波变换之前，我们需要对信号进行采样，以确保我们能够获得足够的信息。
然后，我们可以将采样后的信号送入小波变换过程，以获得信号的频域分解。
接下来，我们可以根据获得的信息，设计出一个最佳的数字滤波器，以最大程度地消除信号中的噪声。
最后，使用一种最佳系数设计方法，将设计出的滤波器应用到采样信号上，以获得最终的滤波器输出信号。
本文介绍了基于小波分析的数字滤波器设计的过程。
首先，利用小波变换技术对信号进行频域分解，以获得完整的信号信息，其次，使用最佳系数设计方法设计出一个高性能的数字滤波器，然后将该滤波器应用于采样信号上，最后得到的信号即为滤波器的最终输出。
通过结合小波分析和数字滤波器，能够有效地提升信号处理的性能，实现更高效、准确的信号处理。
因此，小波分析是一种有效的方法，可以帮助我们设计出更加高效、准确的数字滤波器，并有效地消除频率信号中的噪声，从而获得更加清晰的信号输出。
在未来，小波分析和数字滤波器将继续弥补彼此的短板，提供更好的信号处理解决方案。
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c j [k] = ∑h0[i − 2k] ⋅ c j+1[i] d j [k] = ∑h1[i − 2k] ⋅ c j+1[i]
i
小波与滤波器组
i
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
h0[−k]
cj+1[k]
y0[k] 2
V j+1 = V j ⊕W j
cj[k]=y0[2k]
h1[−k]
y1[k]
i
ψ ( 2 j t − k ) = ∑ h1 [i − 2 k ] 2 ⋅ ϕ ( 2 j +1 t − i )
x (t ) ∈V j +1
i
x (t ) =
∑ c j +1 [ k ] ⋅ 2
k
j/2
( j +1 ) / 2
ϕ ( 2 j +1 t − k )
Vj+1 =Vj ⊕Wj
x(t) =
信号频域表达的时频分辨率
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
f
f
t
t
小波与滤波器组
信号STFT的时频分辨率 的时频分辨率 信号
信号DWT的时频分辨率 的时频分辨率 信号
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析 小波基函数具有非唯一性， 小波基函数具有非唯一性，这使得小波分 析具有更广泛的适应性， 析具有更广泛的适应性，可实现对于不同特性 的信号采用不同的小波基信号， 的信号采用不同的小波基信号，从而使得变换 后的小波系数更稀散， 后的小波系数更稀散，更加易于信号分析和处 理。因此，小波分析有其独特的优点，特别对 因此，小波分析有其独特的优点， 于非平稳的信号，有着明显的优越性。 于非平稳的信号，有着明显的优越性。
数字信号处理
(Digital Signal Processing) Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
信号时频分析
问题的提出 短时傅里叶变换 小波展开与小波变换 小波变换与多分辨分析 小波变换与滤波器组 基于小波的信号处理及应用
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法 离散小波反变换的重构算法 小波变换的时频分析
离散小波变换的分解算法 离散小波反变换的重构算法 小波变换的时频分析
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
ϕ(t)的MRA方程： ϕ (t ) = ∑ h0 [n] 2 ⋅ ϕ (2t − n) MRA方程 方程：
n
ψ(t)的MRA方程： ψ ( t ) = ∑ h1 [ n ] 2 ⋅ ϕ ( 2t − n ) MRA方程 方程：
h1[ k]
IDWT二级重构算法框图 二级重构算法框图
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
信号x(t)小波变换可以由信号的抽样序列 j+1[k]经过 小波变换可以由信号的抽样序列c 信号 小波变换可以由信号的抽样序列 经过 滤波器组h − 和 − 而实现 而实现， 滤波器组 0[−n]和h1[−n]而实现，因此可从频域信号滤波 的概念来理解信号的小波变换， 的概念来理解信号的小波变换 ， 且可从滤波器组的理论 来阐述信号小波变换的时频特性。 来阐述信号小波变换的时频特性。 设数字滤波器h − 和 − 对应的系统函数分别为 设数字滤波器 0[−n]和h1[−n]对应的系统函数分别为 H0(z)和H1(z)，频率特性分别为 0(ejΩ)和H1(ejΩ)。 和 ，频率特性分别为H 和 。
d j [ k ] = x (t ),ψ j , k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2ψ ( 2 j t − k )dt
c j [ k ] = ∑ h[i − 2k ] ⋅ ∫ x(t ) ⋅ 2 ( j +1) / 2 ϕ ( 2 j +1 t − i )dt
i
c j +1[i ] = ∫ x(t ) ⋅ 2( j +1) / 2 ϕ (2 j +1 t − i )dt
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
信号的DWT并不是直接由ϕ(t)与ψ(t)经信号内积来实现， 并不是直接由 经信号内积来实现， 信号的 与 经信号内积来实现 而是利用h 来实现。 而是利用 0[n]和h1[n]来实现。 其将信号的小波展开系数 j[k] 和 来实现 其将信号的小波展开系数c 看作是离散信号， 看作是数字滤波器， 和dj[k]看作是离散信号， h0[n]和h1[n]看作是数字滤波器， 从 看作是离散信号 和 看作是数字滤波器 而建立小波变换与滤波器组(filter bank)之间的关系，由滤波 之间的关系， 而建立小波变换与滤波器组 之间的关系 器组的理论来实现信号小波分析。 器组的理论来实现信号小波分析。
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
H0(z) H0(z) H0 (z) c+1[k] J H1(z) ↓2 ↓2 H1 (z) ↓2 ↓2 H1(z) ↓2 d −2[k] [k J d −1[k] J d [k] J ↓2 c −2[k] J
信号DWT的三级分解算法树型结构 的三级分解算法树型结构 信号
2
dj[k]=y1[2k]
∑ h 0 [ i − k ] ⋅ c j +1 [ i ] i y 1 [ k ] = ∑ h1 [i − k ] ⋅ c j +1 [i ]
y 0 [k ] =
i
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
V j +1 = V j ⊕ W j = V j −1 ⊕ W j −1 ⊕ W j
J −1
H (1) ( z ) = H 0 ( z ) H 0 ( z 2 ) H 1 ( z 4 )
(1)
(2)
H ( 2) ( z ) = H 0 ( z ) H 1 ( z 2 ) dJ −1[k] (W )
(3)
H ( 3) ( z ) = H 1 ( z ) dJ [k] ( WJ )
信号DWT的三级分解算法等效的简化结构 的三级分解算法等效的简化结构 信号
∑
k
c j [k] ⋅ 2 ϕ(2 j t − k) +
小波与滤波器组
∑
k
d j [k] ⋅ 2 j / 2ψ (2 j t − k)
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
c j [ k ] = x (t ), ϕ j ,k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2 ϕ ( 2 j t − k )dt
cj [k]
2
h0 [ k]
+
d j [k]
2
cj+1[k] [k
h1[k]
IDWT一级重构算法框图 一级重构算法框图
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
离散小波反变换的重构算法
cj−1[k]
↑2 h0[k]
+
d j−1[k]
↑2
c j [k]
↑2
h0[k ]
h1[ k]
+
dj[k]
↑2
cj+1[k]
V j +1 = V j ⊕ W j
x ( t ) = ∑ c j +1 [ k ] ⋅ 2
k
( j +1) / 2
ϕ ( 2 j +1 t − k )
x(t) = ∑cj [k]⋅ 2 ϕ(2 j t −k) + ∑d j [k]⋅ 2 j / 2ψ(2 j t −k)
j /2 k k
x(t) =
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
数字滤波器h 数字滤波器 0[-n]和h1[-n]的频率特性 和 的频率特性
分解算法中滤波器组的频域分析
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
信号DWT的分布 信号 的分布
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
f
f
t
t
小波与滤波器组
信号时域表达的时频分辨率
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
H ( 0) ( z ) = H 0 ( z ) H 0 ( z 2 ) H 0 ( z 4 )
H ( V +1 ) J c +1 [k] J H H H
(0)
(z) (z) (z) (z)
↓8 ↓8 ↓4 ↓2
cJ −2[k] dJ −2[k]
( VJ −2 ) (WJ −2 )
n
t →(2 j t − k)
ϕ ( 2 j t − k ) = ∑ h 0 [ n ] 2 ⋅ ϕ ( 2 j +1 t − 2 k − n )
n
ψ (2 j t − k ) =
h1 [ n ] 2 ⋅ ϕ ( 2 j +1 t − 2 k − n ) ∑
n
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法 i = 2k + n ϕ (2 j t − k ) = ∑ h0 [i − 2k ] 2 ⋅ ϕ (2 j +1 t − i )
h0[−k]
↓2
cj−1[k]
h0[−k]
cj+1[k]
h1[−k]
↓2
cj [k]
h1[−k]
↓2
d j−1[k]
dj [k]
↓2
小波变换的分解(Analysis)算法（Mallat算法） 算法（ 算法） 小波变换的分解 算法 算法
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
离散小波反变换的重构算法
x (t ) ∈V j +1